第12讲 全等三角形 讲义 -2025-2026学年北师大版数学七年级下册寒假预习

第12讲 全等三角形 一、核心知识点 （一）全等图形的定义（基础铺垫） 1. 定义 能够完全重合的两个图形叫做全等图形（也叫全等形）。 核心条件：① 形状完全相同；② 大小完全相同（二者缺一不可）； 反例：两个大小不同的正方形（形状相同、大小不同）、一个正方形和一个长方形（形状不同），均不是全等图形。 2. 全等图形的性质 全等图形的对应边（或对应线段）相等，对应角相等；全等图形的周长相等，面积相等。 （二）全等三角形的定义与表示方法 1. 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 重合要素： 对应顶点：重合的顶点（如△ABC与△DEF重合时，A与D、B与E、C与F重合，D/E/F分别是A/B/C的对应顶点）； 对应边：重合的边（AB与DE、BC与EF、AC与DF分别是对应边）； 对应角：重合的角（∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F分别是对应角）。 2. 全等三角形的表示方法 符号：用“≌”表示，读作“全等于”； 书写规则：对应顶点必须写在对应位置上（核心，用于快速确定对应边/角）； 示例：△ABC与△DEF全等，记作△ABC ≌ △DEF（不可写成△ABC ≌ △FED，否则对应关系混乱）； 读法：“三角形ABC全等于三角形DEF”。 （三）全等三角形的核心性质（高频考点） 1. 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； · 符号表示：若△ABC ≌ △DEF，则： · AB = DE，BC = EF，AC = DF（对应边相等）； · ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F（对应角相等）。 1. 衍生性质： 全等三角形的周长相等（对应边之和相等）； 全等三角形的面积相等（完全重合，面积必然相等）； 全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线分别相等（对应线段重合，故相等）。 （四）找全等三角形对应边/角的方法（关键技能） 方法类型 具体应用场景 示例 . 按对应顶点找 根据全等符号的书写顺序（对应顶点位置固定），直接确定对应边/角 △ABC ≌ △DEF，A对应D、B对应E、C对应F → AB对应DE，∠B对应∠E 2. 按图形特征找 ① 公共边/公共角/对顶角通常是对应边/角；② 最长边对最长边，最短边对最短边；③ 最大角对最大角，最小角对最小角 △ABC ≌ △ABC，∠A是公共角 → ∠A与∠A是对应角；AB是最长边 → 对应△ABC的最长边AB 3. 按重合轨迹找 观察图形平移、旋转、翻折后的重合情况（全等三角形常由平移/旋转/翻折得到） △ABC沿BC翻折得到△DBC → AB对应DB，AC对应DC，∠A对应∠D （五）全等三角形的形成方式（辅助理解对应关系） 全等三角形可通过平移、旋转、翻折（轴对称）得到，这三种变换不改变图形的形状和大小，仅改变位置，因此变换前后的三角形全等： 平移：图形沿直线移动（如△ABC向右平移5cm得到△DEF）； 旋转：图形绕某一点转动（如△ABC绕点B旋转90°得到△DBE）； 翻折：图形沿某条直线翻转（如△ABC沿AC翻折得到△ADC）。 二、常见易错知识 1. 混淆“全等图形”与“相似图形” 错误表现： 认为“形状相同的图形就是全等图形”（忽略“大小相同”的条件）； 把两个大小不同的等边三角形、两个边长不等的正方形判定为全等图形。 正确分析： · 全等图形的核心是“完全重合”，即形状且大小都相同；相似图形仅形状相同、大小可不同，因此全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形。 2. 全等三角形表示时对应顶点顺序错误 错误表现： 随意书写全等符号，如△ABC ≌ △FED（实际A对应D、B对应E、C对应F，却写成A对应F、B对应E、C对应D）； 因对应顶点顺序错误，导致对应边/角找错（如误将AB对应FE，∠B对应∠D）。 正确分析： · 全等符号的书写规则是“对应顶点按顺序写”，这是快速确定对应关系的关键，书写时必须严格匹配重合的顶点，不可颠倒。 3. 找对应边/角时的常见错误 错误表现： · ① 不看对应关系，凭直观乱找（如△ABC ≌ △DEF，误将AC对应EF）； · ② 忽略隐含的对应特征（公共边、公共角、对顶角），如△ABD ≌ △ACD，AD是公共边，却误将AD对应AB； · ③ 最长边/最大角对应错误（如△ABC中AB是最长边，△DEF中DE是最长边，却误将AB对应DF）。 正确分析： · 找对应边/角的优先级：① 按对应顶点顺序（最可靠）；② 按图形特征（公共边/角、边长/角度大小）；③ 按变换轨迹（平移/旋转/翻折后的重合边/角），避免仅凭视觉判断。 4. 对全等三角形性质的误解 错误表现： · ① 认为“全等三角形的所有线段都相等”（如非对应高、非对应中线，实际只有对应线段相等）； · ② 认为“面积相等的三角形就是全等三角形”（面积相等仅说明底×高相等，形状和大小可不同，如底为4、高为3的三角形与底为6、高为2的三角形面积相等，但不全等）； · ③ 忽略“对应”二字，直接说“全等三角形的边相等，角相等”（未明确“对应边/角”，表述不严谨）。 正确分析： · 全等三角形的性质必须强调“对应”——只有对应边、对应角、对应线段相等；全等三角形面积/周长相等，但面积/周长相等的三角形不一定全等。 5. 误解全等三角形的形成变换 错误表现： 认为“图形放大/缩小后与原图形全等”（放大/缩小改变大小，属于相似变换，非全等变换）； 把图形拉伸/压缩（改变形状）后得到的三角形判定为全等（拉伸/压缩改变形状，既不全等也不相似）。 正确分析： · 只有平移、旋转、翻折三种变换（均为“刚性变换”）能保证图形形状和大小不变，变换前后的三角形全等；放大/缩小、拉伸/压缩会改变大小或形状，无法得到全等三角形。 6. 忽略“完全重合”的核心条件 错误表现： 两个三角形部分重合（如只有一条边和一个角重合），就判定为全等； 认为“三个角分别相等的三角形是全等三角形”（AAA只能保证形状相同，大小可不同，如两个大小不同的等边三角形）。 正确分析： · 全等三角形的定义是“能够完全重合”，即所有边、所有角都分别重合；仅部分重合或仅角相等（无边相等），都无法保证完全重合，因此不是全等三角形。 三、核心速记与易错警示 1. 核心速记 全等图形：“形状同，大小同，能重合”； 全等三角形表示：“对应顶点对对应，顺序不能乱”； 全等性质：“对应边相等，对应角相等，周长面积都相等”； 对应关系找法：“先看顶点序，再看形特征，最后查变换”。 2. 易错警示 两不混淆：不混淆“全等”与“相似”，不混淆“对应线段”与“任意线段”； 两不忽视：不忽视全等符号的顶点顺序，不忽视“完全重合”的核心定义； 关键原则：“找对应看顺序，判全等看形状+大小”。 【知识点结合练】 一、单选题 1．已知≌，且，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题关键．根据全等三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵（、、分别与、、对应），， ∴， 故选：B． 2．如图，点E，F在线段上，，，，那么的长度是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是正确解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，进而求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，线段与相交于点，且，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③线段与关于点成中心对称；④和关于点成中心对称． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查成中心对称的两个图形的性质，全等三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：∵，线段与相交于点， ∴，，线段与关于点成中心对称，和关于点成中心对称， 故选：A． 4．如图，，并且，小胡同学写了四个结论，其中有一个不正确，这个结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，故A，C选项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意； ∴，故B选项正确，不符合题意； 故选：D． 5．如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 6．下列说法正确的是(   ) A．若，则与互余 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定，三角形的面积，垂线以及对顶角、余角．难度不大，掌握相关的定义及性质即可作出正确的判断根据余角定义、全等三角形判定、对顶角性质及垂线性质逐一分析选项． 【详解】解：A． 若，根据余角的定义，与互为余角，正确． B． 面积相等的三角形不一定全等．例如底和高不同但面积相等的三角形，形状不同，错误． C． 相等的角不一定是对顶角，如平行线中的同位角也可能相等，错误． D． 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直需满足“同一平面内”和“直线外一点”的条件，题目未限定，错误． 故选：A． 7．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ， ∴， ∴；故②错误； ，故③正确； 由②知，，故④正确； 故选：C． 8．如图，已知图中两个三角形全等，则与的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据题意以及全等三角形的性质可得，即可得到答案． 【详解】解：图中两个三角形全等， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 9．如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上，交于点G．若四边形的面积为6，则四边形（即阴影部分）的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质作答即可． 【详解】∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 10．如图，，，，则的度数是 ．    【答案】/110度 【分析】本题考查了全等三角形性质，根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，，分别是 ，上的点．若，则∠ ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得，即可求得． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴，         ∵， ∴， ∴, 故答案为：． 12．如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中，点，，以为一边作三角形与全等，则另一顶点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分点在轴负半轴上时，点在第一象限时，点在第二象限时，三种情况讨论即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】如图， 点在轴负半轴上时， ∵与全等， ∴， ∴点， 点在第一象限时， ∵与全等， ∴，， ∴点， 点在第二象限时， ∵与全等， ∴，， ∴点； 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 14．如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质．和全等，分两种情况，①当时，，则，②当时，，则，即可解答． 【详解】解：和全等， 分两种情况， ①当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴； ②当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴， ∴， 即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒； 故答案为：5． 15．如图，在中，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．若，则形状为 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质．由全等三角形的性质可得，，再由垂直可得，则有，从而得，即可求得，即可判定． 【详解】解：， ，， 直线， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 16．如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出t值即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，，， ∴点重合，点在点右侧， 此时，， ∴， 解得：； 当时，， 当点在点左侧时， 此时，， ∴， 解得：； 当点在点右侧时， 此时，， ∴， 解得：； 综上：则t的值为或或时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 三、解答题 17．如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的有关概念，关键是掌握全等三角形的对应顶点，对应边，对应角的定义．由全等三角形的对应顶点，对应边、对应角的定义，即可得到答案． 【详解】解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是和和和，对应角是和和和． 18．如图，，和，和是对应角．说出这两个三角形的对应边和另一组对应角． 【答案】对应边是和；和；和；另一组对应角是和， 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上写出对应边和对应角即可． 【详解】（1）解：∵，且和，和是对应角， ∴对应边是和；和；和； 另一组对应角是和． 19．如图，在长方形中，，点P在线段上以的速度由A向终点B运动，同时，点Q在线段上由点B向终点C匀速运动，它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等且时，求证：． (2)在运动过程中，若，求此时点Q的运动速度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据四边形是矩形，，得出，，因为点Q的运动速度与点P的运动速度相等且，所以证明，即可作答． （2）因为，所以，，因为点P在线段上以的速度由A向终点B运动，所以，．即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等且， ∴ ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵点P在线段上以的速度由A向终点B运动， ∴，． 20．如图，，．判断与的关系，并证明你的结论． 【答案】且．证明见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解答此题的关键． 先根据得出，再由可知，，由可知，故，由此可得出结论． 【详解】解：且，证明如下： ， ， ， ， ， ， ，即． 21．如图，． (1)求的长度； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，掌握“全等三角形的对应边相等、对应角相等以及内错角相等，两直线平行”是解题的关键． （1）利用全等三角形对应边相等的性质，结合线段之间的关系求出的长度； （2）通过全等三角形对应角相等，得到内错角相等，从而证明两直线平行． 【详解】（1）解： （2）解： 22．如图，三点在同一条直线上，的周长为． (1)求的长． (2)求梯形的面积． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及梯形面积的计算，解题的关键是利用全等三角形的性质得出对应边相等，再结合勾股定理和梯形面积公式进行求解． （1）根据全等三角形的性质得到，因为的周长为30 ，进而得出的长； （2）先求出梯形的上底、下底和高，再利用梯形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：， ， 的周长为 ； （2）解：， ， ， 答：梯形的面积为． 23．如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长； (2)当点在边上时，求证：； (3)当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)1或或8 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）由题意分和两种情况列出代数式即可； （2）由直角三角形的性质以及平角的性质即可解答； （3）由全等三角形的性质分三种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当点到点时，； 当点到点时，； 当时，在上，则， ； 当时，点在上， ， ． 的长为或； （2）证明：， ， ， ， ， ． （3）解：当点到点时，， 当点P到点C时，， 当点Q到点B时，， 当点Q到点A时，， 当时，点P在边上，点Q在边上，， 此时，则有， ， ，解得：； 当时，点P、Q都在边上时，， 此时， ， ，解得：； 当时，点Q到终点A停止不动，点P在边上此时两个三角形不全等； 当时，点Q到终点A停止不动，点P在边上，， 此时， ， ，解得：． 综上，当与全等时，的值为1或或8． 24．如图所示，已知于 D． (1)已知，求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 试卷第18页，共20页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 全等三角形 一、核心知识点 （一）全等图形的定义（基础铺垫） 1. 定义 能够完全重合的两个图形叫做全等图形（也叫全等形）。 核心条件：① 形状完全相同；② 大小完全相同（二者缺一不可）； 反例：两个大小不同的正方形（形状相同、大小不同）、一个正方形和一个长方形（形状不同），均不是全等图形。 2. 全等图形的性质 全等图形的对应边（或对应线段）相等，对应角相等；全等图形的周长相等，面积相等。 （二）全等三角形的定义与表示方法 1. 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 重合要素： 对应顶点：重合的顶点（如△ABC与△DEF重合时，A与D、B与E、C与F重合，D/E/F分别是A/B/C的对应顶点）； 对应边：重合的边（AB与DE、BC与EF、AC与DF分别是对应边）； 对应角：重合的角（∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F分别是对应角）。 2. 全等三角形的表示方法 符号：用“≌”表示，读作“全等于”； 书写规则：对应顶点必须写在对应位置上（核心，用于快速确定对应边/角）； 示例：△ABC与△DEF全等，记作△ABC ≌ △DEF（不可写成△ABC ≌ △FED，否则对应关系混乱）； 读法：“三角形ABC全等于三角形DEF”。 （三）全等三角形的核心性质（高频考点） 1. 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； · 符号表示：若△ABC ≌ △DEF，则： · AB = DE，BC = EF，AC = DF（对应边相等）； · ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F（对应角相等）。 1. 衍生性质： 全等三角形的周长相等（对应边之和相等）； 全等三角形的面积相等（完全重合，面积必然相等）； 全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线分别相等（对应线段重合，故相等）。 （四）找全等三角形对应边/角的方法（关键技能） 方法类型 具体应用场景 示例 . 按对应顶点找 根据全等符号的书写顺序（对应顶点位置固定），直接确定对应边/角 △ABC ≌ △DEF，A对应D、B对应E、C对应F → AB对应DE，∠B对应∠E 2. 按图形特征找 ① 公共边/公共角/对顶角通常是对应边/角；② 最长边对最长边，最短边对最短边；③ 最大角对最大角，最小角对最小角 △ABC ≌ △ABC，∠A是公共角 → ∠A与∠A是对应角；AB是最长边 → 对应△ABC的最长边AB 3. 按重合轨迹找 观察图形平移、旋转、翻折后的重合情况（全等三角形常由平移/旋转/翻折得到） △ABC沿BC翻折得到△DBC → AB对应DB，AC对应DC，∠A对应∠D （五）全等三角形的形成方式（辅助理解对应关系） 全等三角形可通过平移、旋转、翻折（轴对称）得到，这三种变换不改变图形的形状和大小，仅改变位置，因此变换前后的三角形全等： 平移：图形沿直线移动（如△ABC向右平移5cm得到△DEF）； 旋转：图形绕某一点转动（如△ABC绕点B旋转90°得到△DBE）； 翻折：图形沿某条直线翻转（如△ABC沿AC翻折得到△ADC）。 二、常见易错知识 1. 混淆“全等图形”与“相似图形” 错误表现： 认为“形状相同的图形就是全等图形”（忽略“大小相同”的条件）； 把两个大小不同的等边三角形、两个边长不等的正方形判定为全等图形。 正确分析： · 全等图形的核心是“完全重合”，即形状且大小都相同；相似图形仅形状相同、大小可不同，因此全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形。 2. 全等三角形表示时对应顶点顺序错误 错误表现： 随意书写全等符号，如△ABC ≌ △FED（实际A对应D、B对应E、C对应F，却写成A对应F、B对应E、C对应D）； 因对应顶点顺序错误，导致对应边/角找错（如误将AB对应FE，∠B对应∠D）。 正确分析： · 全等符号的书写规则是“对应顶点按顺序写”，这是快速确定对应关系的关键，书写时必须严格匹配重合的顶点，不可颠倒。 3. 找对应边/角时的常见错误 错误表现： · ① 不看对应关系，凭直观乱找（如△ABC ≌ △DEF，误将AC对应EF）； · ② 忽略隐含的对应特征（公共边、公共角、对顶角），如△ABD ≌ △ACD，AD是公共边，却误将AD对应AB； · ③ 最长边/最大角对应错误（如△ABC中AB是最长边，△DEF中DE是最长边，却误将AB对应DF）。 正确分析： · 找对应边/角的优先级：① 按对应顶点顺序（最可靠）；② 按图形特征（公共边/角、边长/角度大小）；③ 按变换轨迹（平移/旋转/翻折后的重合边/角），避免仅凭视觉判断。 4. 对全等三角形性质的误解 错误表现： · ① 认为“全等三角形的所有线段都相等”（如非对应高、非对应中线，实际只有对应线段相等）； · ② 认为“面积相等的三角形就是全等三角形”（面积相等仅说明底×高相等，形状和大小可不同，如底为4、高为3的三角形与底为6、高为2的三角形面积相等，但不全等）； · ③ 忽略“对应”二字，直接说“全等三角形的边相等，角相等”（未明确“对应边/角”，表述不严谨）。 正确分析： · 全等三角形的性质必须强调“对应”——只有对应边、对应角、对应线段相等；全等三角形面积/周长相等，但面积/周长相等的三角形不一定全等。 5. 误解全等三角形的形成变换 错误表现： 认为“图形放大/缩小后与原图形全等”（放大/缩小改变大小，属于相似变换，非全等变换）； 把图形拉伸/压缩（改变形状）后得到的三角形判定为全等（拉伸/压缩改变形状，既不全等也不相似）。 正确分析： · 只有平移、旋转、翻折三种变换（均为“刚性变换”）能保证图形形状和大小不变，变换前后的三角形全等；放大/缩小、拉伸/压缩会改变大小或形状，无法得到全等三角形。 6. 忽略“完全重合”的核心条件 错误表现： 两个三角形部分重合（如只有一条边和一个角重合），就判定为全等； 认为“三个角分别相等的三角形是全等三角形”（AAA只能保证形状相同，大小可不同，如两个大小不同的等边三角形）。 正确分析： · 全等三角形的定义是“能够完全重合”，即所有边、所有角都分别重合；仅部分重合或仅角相等（无边相等），都无法保证完全重合，因此不是全等三角形。 三、核心速记与易错警示 1. 核心速记 全等图形：“形状同，大小同，能重合”； 全等三角形表示：“对应顶点对对应，顺序不能乱”； 全等性质：“对应边相等，对应角相等，周长面积都相等”； 对应关系找法：“先看顶点序，再看形特征，最后查变换”。 2. 易错警示 两不混淆：不混淆“全等”与“相似”，不混淆“对应线段”与“任意线段”； 两不忽视：不忽视全等符号的顶点顺序，不忽视“完全重合”的核心定义； 关键原则：“找对应看顺序，判全等看形状+大小”。 【知识点结合练】 一、单选题 1．已知≌，且，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点E，F在线段上，，，，那么的长度是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 3．如图，线段与相交于点，且，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③线段与关于点成中心对称；④和关于点成中心对称． A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，，并且，小胡同学写了四个结论，其中有一个不正确，这个结论是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 6．下列说法正确的是(   ) A．若，则与互余 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 7．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，已知图中两个三角形全等，则与的和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上，交于点G．若四边形的面积为6，则四边形（即阴影部分）的面积为 ． 10．如图，，，，则的度数是 ．    11．如图，在中，，分别是 ，上的点．若，则∠ ． 12．如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 13．在平面直角坐标系中，点，，以为一边作三角形与全等，则另一顶点的坐标为 ． 14．如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 15．如图，在中，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．若，则形状为 ． 16．如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 三、解答题 17．如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 18．如图，，和，和是对应角．说出这两个三角形的对应边和另一组对应角． 19．如图，在长方形中，，点P在线段上以的速度由A向终点B运动，同时，点Q在线段上由点B向终点C匀速运动，它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等且时，求证：． (2)在运动过程中，若，求此时点Q的运动速度． 20．如图，，．判断与的关系，并证明你的结论． 21．如图，． (1)求的长度； (2)求证：． 22．如图，三点在同一条直线上，的周长为． (1)求的长． (2)求梯形的面积． 23．如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长； (2)当点在边上时，求证：； (3)当与全等时，直接写出的值． 24．如图所示，已知于 D． (1)已知，求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 试卷第18页，共20页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $