专题07 碰撞模型及其拓展（模型与方法讲义）（全国通用）2026年高考物理二轮复习讲练测

该高中物理讲义聚焦高考碰撞模型及拓展核心考点，涵盖动量守恒、能量守恒等规律，按碰撞原则、两种模型、拓展应用的逻辑层次展开，通过考点梳理、方法指导、真题讲解等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破解题难点。 讲义融合科学思维与模型建构，如对比“保守型”“耗散型”拓展模型，结合典例v-t图像分析动量能量关系，分层练习覆盖选择、计算，培养学生推理与建模能力，为教师提供精准复习路径，高效提升学生应考能力。

专题07 碰撞模型及其拓展 目录 1．碰撞问题遵循的三条原则 1 2．两种碰撞模型的特点 1 3．碰撞模型拓展 2 (1)“保守型”碰撞拓展模型 2 (2)“耗散型”碰撞拓展模型 2 1．碰撞问题遵循的三条原则 2．两种碰撞模型的特点 (1)弹性碰撞 两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒定律和机械能守恒定律。 以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性正碰为例，有 m1v1＝m1v1′＋m2v2′ m1v12＝m1v1′2＋m2v2′2 解得v1′＝，v2′＝。 结论： ①当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1，两球碰撞后交换了速度。 ②当m1＞m2时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两球都沿速度v1的方向运动。 ③当m1＜m2时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的球被反弹回来。 ④当m1≫m2时，v1′＝v1，v2′＝2v1。 (2)完全非弹性碰撞 动量守恒，末速度相同，m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v共，机械能损失最多，机械能的损失ΔE＝m1v12＋m2v22－(m1＋m2)v共2。 3．碰撞模型拓展 (1)“保守型”碰撞拓展模型 图例(水平面光滑) 小球－弹簧模型 小球－曲面模型 小球－小球模型 达到共速 相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0＝(m＋M)v共，损失的动能最大，分别转化为弹性势能、重力势能或电势能 再次分离 相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0＝mv1＋Mv2，机械能守恒，满足mv02＝mv12＋Mv22 (2)“耗散型”碰撞拓展模型 图例(水平面或水平导轨光滑) 达到共速 相当于完全非弹性碰撞，动量满足mv0＝(m＋M)v共，损失的动能最大，分别转化为内能或电能 【典例1】如图(a)，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；物块B向A运动，t＝0时与弹簧接触，到t＝2t0时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的v－t图像如图(b)所示。已知从t＝0到t＝t0时间内，物块A运动的距离为0.36v0t0。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为θ(sin θ＝0.6)，与水平面平滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求 (1)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值； (2)第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值； (3)物块A与斜面间的动摩擦因数。 【题后总结】 【典例2】如图，质量为、半径的圆弧形凹槽N放在光滑水平面上，质量为、初速度的小球P从凹槽底端水平滑入。已知小球从滑入凹槽到分离过程中因两者的摩擦而产生的热量，重力加速度。 在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球和凹槽组成的系统因合外力不做功而机械能守恒 B．小球和凹槽组成的系统因水平方向合外力为零而水平方向动量守恒 C．小球能从凹槽顶端冲出并继续上升的最大高度为0.125m D．小球与凹槽分离后并以的速度向右做平抛运动 【总结提升】 【典例3】在光滑水平面上，A、B两个物体在同一直线上沿同一方向运动，A的动量为18kg∙m/s，B的动量为。A从后面追上B，它们相互作用一段时间后，B的动量增大为，方向不变。下列说法正确的是（　　） A．若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为 B．若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为 C．若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为 D．若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为 【典例4】如图所示，在光滑的水平面上有一质量M＝4 kg的平板车，小车右端固定一竖直挡板，挡板的质量不计，一轻质弹簧右端固定在挡板上，在平板车左端P处有一可以视为质点的小滑块，其质量m＝2 kg。平板车上表面Q点的左侧粗糙，右侧光滑，PQ间的距离L＝10 m。某时刻平板车以v1＝1 m/s的速度向左滑行，同时小滑块以v2＝8 m/s的速度向右滑行。一段时间后，小滑块与平板车达到相对静止，此时小滑块与Q点相距d＝5 m，取g＝10 m/s2，求： (1)小滑块与平板车相对静止时的速度v； (2)小滑块与平板车之间的动摩擦因数μ； (3)弹簧可能获得的最大弹性势能Ep。 【提炼总结】1．木板在光滑地面上滑动时，滑块和木板组成的系统满足动量守恒。 2．滑块不从木板上掉下的条件是两者达到共同速度，恰好不掉下的临界条件是滑块到达木板末端时两者共速。 3．应注意区分滑块、木板各自的相对地面位移和它们的相对位移，用运动学公式或动能定理列式时位移指相对地面位移；求系统摩擦生热时用相对位移(或相对路程)，即Q＝Ff·Δs(Δs为相对位移)。 1．在水平气垫导轨上，运动的滑块与静止的滑块碰撞，碰后二者结合在一起。碰撞前后两滑块的速度随时间的变化如图所示，根据图像可知（　　） A．碰撞过程中滑块动能的减小量等于滑块动能的增加量 B．碰撞过程中滑块速度的减小量等于滑块速度的增加量 C．碰撞过程中滑块动量的减小量等于滑块动量的增加量 D．滑块的质量大于滑块的质量 2．如图所示，光滑的水平地面上放置了两个完全相同的物块，一竖直轻杆固定在物块上，轻杆上端系一长的不可伸长的轻绳，轻绳另一端连接小球C。现用外力将球C拉起直至轻绳处于水平状态后，将小球C由静止释放，小球C摆到最低点的同时物块恰好发生碰撞，此后粘在一起运动，不计一切阻力，已知，均可视为质点，重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．整个运动过程中，、、C组成的系统动量守恒 B．木块碰撞后的速度大小为 C．木块间的初始距离为 D．小球C经过最低点后向左摆动所能上升的最大高度为 3．（多选）如图所示，光滑水平面上静止一小球B，小球B的左端固定一轻弹簧，小球A位于小球B的左侧，某时刻小球A获得向右的初速度，动能的大小为，已知小球A的质量为小球B质量的一半。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的弹性势能最大时，小球B的动能为 B．弹簧的最大弹性势能为 C．弹簧恢复原长时，小球A与小球B的速率之比为2：1 D．弹簧恢复原长时，小球A的动能与初动能之比为1：9 4．（多选）如图所示，质量为2m的小球B静止在光滑水平面上，质量为m的小球A以某一速度向右运动，经过一段时间与小球B发生碰撞，已知碰前小球A的动能为E0，下列说法正确的是（　　） A．若两球发生的是完全非弹性碰撞，则碰后小球A的动能为 B．若两球发生的是完全非弹性碰撞，则碰后小球B的动能为 C．若两球发生的是弹性碰撞，则碰后小球B的动能为 D．若两球发生的是弹性碰撞，则碰后小球A的动能为 5．（多选）如图所示，三个半径相同的刚性小球A、B、C穿在光滑、足够长的硬杆MN和M1N1上，硬杆MN和M1N1在同一竖直平面内且相互平行，A、B、C的质量分别为mA=1kg、mB=2kg、mC=6kg。刚开始三个小球均静止，B、C两球之间连着一根轻弹簧，轻弹簧处于原长且与硬杆垂直。某一时刻小球A获得大小为v0=18m/s的速度向左匀速运动，与同一杆上的B球碰撞后粘在一起（作用时间极短），则下列说法正确的是（　　） A．A球与B球碰后瞬间AB的速度大小为6m/s B．在以后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能为54J C．在以后的运动过程中，C球的最大速度为4m/s D．在以后的运动过程中，B球的最小速度为2m/s 6．（多选）在某次冰壶比赛中，红壶沿直线运动，一段时间后与静止的蓝壶在大本营中心发生对心碰撞（时间极短），如图甲所示，碰撞前后两壶运动的v-t图像如图乙中的实线所示，其中红壶碰撞前后的图线平行，两冰壶的质量相等，取红壶的初速度方向为正方向，下列说法正确的是（    ） A．蓝壶与冰面的动摩擦因数更小 B．红壶碰撞前后瞬间的速度变化量为1m/s C．碰撞后蓝壶的位移大小为2m D．碰撞后蓝壶的位移大小为4m 7．如图所示，小球从距水平地面高度为处开始做自由落体运动，运动时，小球速度水平向右，与小球在水平方向上发生弹性碰撞，碰撞时间极短，两球碰前瞬间的速度大小相等，，重力加速度大小为，不计空气阻力，求： (1)小球碰前瞬间的速度大小； (2)小球碰后瞬间的速度大小； (3)两小球落地的时间差； (4)两小球在水平地面上的落点间的距离。 8．如图所示，足够长的光滑水平面上静止放置两个形状完全相同的弹性小物块A、B，物块A的质量。在物块B右侧的竖直墙壁里有一水平轻质长细杆，杆的左端与一轻质弹簧相连，杆、弹簧及两物块的中心在同一水平线上，杆与墙壁作用的最大静摩擦力为9N。若弹簧作用一直在弹性限度范围内，弹簧的弹性势能表达式为，。现给物块A施加一水平向右的恒力，其大小为10N，作用1.6m后撤去，然后物块A与物块B发生弹性碰撞，碰撞后两物块速度大小相等，B向右压缩弹簧，并将杆向墙里推移。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)撤去恒力瞬间物块A的速度大小； (2)物块B的质量及物块A的最终速度； (3)物块B的最终速度大小。 9．如图所示，一质量为的小球A从某位置以初速度平抛后从点无碰撞进入光滑圆弧形轨道HF。已知弧形轨道对应的圆心角，OF竖直，半径。弧形轨道固定在光滑的水平面上，点右侧某处放置有两个大小与A相同的球B、C，质量分别是与，两球用轻质弹簧相连，弹簧初始处于原长状态，A、B碰后结合成一个整体。重力加速度为，小球均可视为质点，忽略空气阻力。 (1)求小球A在点的速度大小及在点对轨道的压力大小； (2)求之后弹簧弹性势能的最大值； (3)若在A、B碰撞的同时，在C球的右侧某位置放置一个竖直弹性挡板，C球与挡板碰后原速率反弹，且碰后瞬间撤去挡板及HF轨道。由于挡板所放位置的不同，弹簧最大压缩量也可能不同，求C球与挡板碰后弹簧弹性势能最大值的取值范围。 10．如图所示，质量为的长木板锁定在光滑水平面上，质量为的物块放在上，质量为的物块以初速度从的左端滑上长木板，与碰撞前瞬间的速度为，在、弹性碰撞后瞬间解除的锁定，已知、与的动摩擦因数均为，最终没有滑离，重力加速度为，不计物块的大小，求： (1)初始、间的距离； (2)、碰撞后瞬间的速度大小； (3)开始时到右端的距离至少为多少。 11．如图所示，置于光滑水平面上的轻弹簧左端固定，右端放置质量为的小球，小球置于弹簧原长位置。质量为的小球和质量为、半径为的光滑四分之一圆弧体C静止在足够长的光滑水平面上，圆弧体C的水平面刚好与圆弧面的最底端相切。用力向左推动小球压缩弹簧，由静止释放小球后与小球发生弹性碰撞。小球运动到圆弧体的最高点时，恰好与圆弧体相对静止。两小球均可视为质点，重力加速度为。求： (1)小球压缩弹簧时弹簧所具有的弹性势能； (2)小球与圆弧体C第一次分离时小球的速度大小； (3)小球第一次返回到圆弧体底端时对圆弧面的压力大小。 12．如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为3m的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为，圆管长度为。一质量为的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力是其重力大小的倍。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度为。求： (1)第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度； (2)在第二次碰撞前圆盘下滑的距离； (3)圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。 13．如图所示，光滑水平地面的右侧平滑连接一竖直放置的半圆形光滑轨道CD，轨道半径R=0.5m。物块A和B分别置于水平地面的不同位置，mA=3kg，mB=2kg。现使物块A以某一初速度向右运动，一段时间后与静止的物块B发生正碰，碰后物块A恰好通过圆轨道最高点D。物块A、B通过D点后做平抛运动，平抛运动落地点间的距离为，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块B通过D点时的速度大小 (2)求物块B通过半圆形光滑轨道CD的过程中，所受合外力的冲量大小 (3)判断A、B间的碰撞是否为弹性碰撞（不要求写计算过程） 14．如图所示，水平面上有两相同滑块c、d，kg，滑块d静止，其左边水平面光滑，右边水平面粗糙，滑块c以m/s的速度与滑块d相碰，碰撞时间极短，碰后两滑块粘在一起，已知滑块与粗糙面间的动摩擦因数，取重力加速度大小，求： (1)滑块d滑行的位移大小x； (2)因摩擦产生的热量Q。 15．如图所示，在一段水平光滑直道上每间隔铺设有宽度均为、与光滑直道等高的固定矩形防滑带。在第1个防滑带的左边缘点静止有质量为的小物块P，另一质量为的小物块Q以垂直于防滑带边缘、大小为的水平速度向右运动并与P发生正碰，碰后Q的速度恰好为0，碰撞时间极短。已知P与防滑带间的动摩擦因数均为。P、Q可视为质点，重力加速度取。求∶ (1)碰撞前后P、Q组成的系统的机械能的变化量，并判断碰撞类型； (2)P最终停在第几个防滑带上，并求出其停止位置到点的距离。 16．如图所示，长木板在光滑水平面上以的速度做匀速直线运动，长木板质量，某时刻在长木板的右端轻放一个可视为质点的小物块，小物块的质量，长木板右侧有一固定挡板，挡板下方留有仅允许长木板通过的缺口，小物块与木板之间的动摩擦因数，木板右端到挡板的距离足够大，使得木板与物块共速后，小物块与挡板发生正碰，碰撞是弹性碰撞。， (1)若要小物块不从长木板上滑下，试求长木板的长度至少是多少？ (2)若长木板的长度足够长，质量变为4.5kg，试求小物块和挡板第一次与第二次相碰之间的时间。 (3)在第二问的基础上，小物块与挡板第n次碰撞到第次碰撞过程中，物块相对于长木板的位移是多少？ 17．某同学研究小球碰撞现象．如图所示，光滑水平面上放置有两个半径相同的小球A、B，质量分别是m，km，两小球一开始均处于静止状态．现给A球一个水平向右的瞬时冲量I，A球向右运动与B发生正碰，不计一切摩擦．求： (1)A运动的初速度； (2)若，A与B发生碰撞后系统总动能损失了，求碰后两球的速度、； (3)若A与B碰撞后，系统的总动能损失了75％，求k可能的取值范围． 18．一光滑圆弧轨道与粗糙水平面相切，一质量为的物块静止在圆弧轨道底端，另一质量为的物块从圆弧轨道上距水平地面高为处由静止释放，与发生非弹性碰撞后，两者均向前运动最终均停在水平面上，且在水平面上的运动时间是在水平面上运动时间的2倍，、与水平面间的动摩擦因数相同，重力加速度为，碰撞时间不计，求： (1)、在水平面上运动的加速度大小之比； (2)碰撞结束瞬间、的速率之比； (3)碰撞结束瞬间物块的速率。 19．如图所示，C球固定一轻质弹簧静止于光滑的水平面上，A球以速度v0沿B、C两球球心的连线向B球运动，碰后A、B两球粘在一起，然后压缩弹簧，已知A、B球质量都为m，C球质量为2m，弹簧始终在弹性限度内。求： (1)整个过程中弹簧弹性势能最大值； (2)C球速度的最大值vC 20．内壁光滑的“”字形的管道平放并固定在水平地面上，俯视图如图所示。管道的左右两部分均可看作半径为R的圆，圆心分别为P、Q，衔接点为K。C、D为过P、Q、K直线与管道的两交点。将质量为的小球A放置于C点，质量为的小球B放置于K点。时小球A从C点以速度开始在管道内运动，小球运动过程中不考虑管道叠放部分的高度差。 (1)若，两小球发生弹性碰撞且碰撞时间极短，求小球A第1次回到C点的时刻； (2)若，，两小球发生弹性碰撞且碰撞时间极短，求小球A、B发生第2次碰撞的时刻； (3)物体在实际碰撞过程中，其形变并不能完全恢复，为描述此现象可引入恢复系数e。若，，小球A、B每次发生碰撞恢复系数均为，求小球A、B发生第3次碰撞的时刻。（恢复系数e等于碰撞后两物体的分离速度与碰撞前两物体的接近速度的比值，即，式中、为两物体碰撞前的速度，、为两物体碰撞后的速度。） 21．如图所示，在一头固定在点且不可伸长的轻绳上系一个可视作质点的小球，当把小球拉到使轻绳与水平面成角时，轻轻释放小球，运动到最低点时，小球恰好与放在光滑水平面上同可视作质点的小球对心正碰。碰后粘在一起向左摆动，此后轻绳与竖直方向之间的最大偏角，忽略空气阻力，求： (1)小球的质量比； (2)小球在碰撞过程中损失的机械能与小球在碰前的最大动能之比。 22．将质量为的物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，到达最高点时与水平飞来的质量为的物体发生碰撞，已知碰前物体的速度大小为，碰后两物体粘在一起，碰撞时间极短。空气阻力不计，两物体均可视为质点，重力加速度大小为。求： (1)物体A从抛出到最高点所用的时间； (2)两物体粘在一起后的落地点与抛出点的间距； (3)两物体碰撞中损失的机械能。 23．如图所示，质量为的物块A 静止在光滑水平轨道上，轨道右端与一半圆形  粗糙轨道相切，轨道半径R=0.1m 。质量为的物块B以初速度滑向A，A和B 碰后粘在一起运动，恰好通过圆弧轨道最高点P。物块A和物块B可视为质点，重力加速度g取10m/s²，求 ： (1)A和B碰撞过程中损失的机械能； (2)A和B粘合体在刚进入圆轨道时，对轨道的压力大小F； (3)A和B在半圆形粗糙轨道上运动过程中摩擦力所做的功W。 24．如图所示，可看成质点的B物体叠放在上表面粗糙的A板上，一起以v₀的速度沿光滑的水平轨道匀速运动，A与静止在同一光滑水平轨道上的C物体发生完全非弹性碰撞，且A与C碰后立即取走C（该操作对A不产生影响），B在A上滑行，恰好能到达A板的最右端。已知A、B、C质量均相等，且为m，木板A长为L，重力加速度为g。求： (1)B物体最终的速度大小； (2)A、B之间的动摩擦因数； (3)B在木板A上滑行的时间。 25．如图所示，质量为2m的小球Q静止在光滑水平面上，其左侧有一光滑弧面槽A静止在水平面上，弧面槽A轨道的截面可视为在竖直平面内半径为R的四分之一光滑圆弧，轨道的最低点与水平面相切。球Q的右侧有与轻弹簧一端连接的小球P，质量为m。当球P以的速度沿水平地面向左运动，与球Q发生相互作用，分离后，球Q冲上弧面槽A恰能到达圆弧轨道的最高点。小球P、Q均视为质点，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)弹簧的最大弹性势能； (2)弧面槽A的质量。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 碰撞模型及其拓展 目录 1．碰撞问题遵循的三条原则 1 2．两种碰撞模型的特点 1 3．碰撞模型拓展 2 (1)“保守型”碰撞拓展模型 2 (2)“耗散型”碰撞拓展模型 2 1．碰撞问题遵循的三条原则 2．两种碰撞模型的特点 (1)弹性碰撞 两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒定律和机械能守恒定律。 以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性正碰为例，有 m1v1＝m1v1′＋m2v2′ m1v12＝m1v1′2＋m2v2′2 解得v1′＝，v2′＝。 结论： ①当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1，两球碰撞后交换了速度。 ②当m1＞m2时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两球都沿速度v1的方向运动。 ③当m1＜m2时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的球被反弹回来。 ④当m1≫m2时，v1′＝v1，v2′＝2v1。 (2)完全非弹性碰撞 动量守恒，末速度相同，m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v共，机械能损失最多，机械能的损失ΔE＝m1v12＋m2v22－(m1＋m2)v共2。 3．碰撞模型拓展 (1)“保守型”碰撞拓展模型 图例(水平面光滑) 小球－弹簧模型 小球－曲面模型 小球－小球模型 达到共速 相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0＝(m＋M)v共，损失的动能最大，分别转化为弹性势能、重力势能或电势能 再次分离 相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0＝mv1＋Mv2，机械能守恒，满足mv02＝mv12＋Mv22 (2)“耗散型”碰撞拓展模型 图例(水平面或水平导轨光滑) 达到共速 相当于完全非弹性碰撞，动量满足mv0＝(m＋M)v共，损失的动能最大，分别转化为内能或电能 【典例1】如图(a)，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；物块B向A运动，t＝0时与弹簧接触，到t＝2t0时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的v－t图像如图(b)所示。已知从t＝0到t＝t0时间内，物块A运动的距离为0.36v0t0。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为θ(sin θ＝0.6)，与水平面平滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求 (1)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值； (2)第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值； (3)物块A与斜面间的动摩擦因数。 【答案】(1)0.6mv02　(2)0.768v0t0　(3)0.45 【解析】(1)当弹簧被压缩最短时，弹簧弹性势能最大，此时A、B速度相等，即在t＝t0时刻， 根据动量守恒定律有mB·1.2v0＝(mB＋m)v0 根据能量守恒定律有 Epmax＝mB(1.2v0)2－(mB＋m)v02 联立解得mB＝5m，Epmax＝0.6mv02 (2)B接触弹簧后，压缩弹簧的过程中，A、B动量守恒，有mB·1.2v0＝mBvB＋mvA 对方程两边同时乘以时间Δt，有 6mv0Δt＝5mvBΔt＋mvAΔt 0～t0之间，根据位移等于速度在时间上的累积，可得6mv0t0＝5msB＋msA，将sA＝0.36v0t0 代入可得sB＝1.128v0t0 则第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值 Δs＝sB－sA＝0.768v0t0 (3)物块A第二次到达斜面的最高点与第一次相同，说明物块A第二次与B分离后速度大小仍为2v0，方向水平向右，设物块A第一次滑下斜面的速度大小为vA′，取向左为正方向，根据动量守恒定律可得mvA′－5m·0.8v0＝m·(－2v0)＋5mvB′ 根据能量守恒定律可得 mvA′2＋·5 m·(0.8v0)2＝ m·(－2v0)2＋·5mvB′2 联立解得vA′＝v0 方法一：设在斜面上滑行的长度为L，上滑过程，根据动能定理可得 －mgLsin θ－μmgLcos θ＝0－m(2v0)2 下滑过程，根据动能定理可得 mgLsin θ－μmgLcos θ＝mvA′2－0 联立解得μ＝0.45 方法二：根据牛顿第二定律，可以分别计算出滑块A上滑和下滑时的加速度大小， mgsin θ＋μmgcos θ＝ma上 mgsin θ－μmgcos θ＝ma下 上滑时末速度为0，下滑时初速度为0，设在斜面上滑行的位移为L，由匀变速直线运动的位移速度关系可得2a上L＝(2v0)2－0,2a下L＝vA′2 联立可解得μ＝0.45。 【题后总结】 【典例2】如图，质量为、半径的圆弧形凹槽N放在光滑水平面上，质量为、初速度的小球P从凹槽底端水平滑入。已知小球从滑入凹槽到分离过程中因两者的摩擦而产生的热量，重力加速度。 在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球和凹槽组成的系统因合外力不做功而机械能守恒 B．小球和凹槽组成的系统因水平方向合外力为零而水平方向动量守恒 C．小球能从凹槽顶端冲出并继续上升的最大高度为0.125m D．小球与凹槽分离后并以的速度向右做平抛运动 【答案】BD 【详解】A．小球和凹槽组成的系统因有摩擦力做功而机械能不守恒，故A错误； B．由于水平面光滑，球和凹槽组成的系统水平方向合外力为零，所以系统水平方向动量守恒，故B正确； Ｃ．设小球能从凹槽顶端冲出而分离，并且从凹槽顶端冲出并继续上升的最大高度为h，小球和凹槽组成的系统水平方向动量守恒，两者的共同速度大小是v1 小球和凹槽组成的系统，由能量守恒定律得 代入数据，解得 ，说明小球不能从凹槽顶端冲出，故C错误； D．小球不能从凹槽顶端冲出，则小球从凹槽下滑后才与凹槽分离，小球从滑入凹槽到分离过程中因两者的摩擦而产生的热量。假设小球与凹槽分离时小球速度为，凹槽速度为，则由动量守恒 再根据能量守恒 两式联立解得 或 因小球与凹槽需，第二组解不符合实际，需舍掉；即小球与凹槽分离后并以的速度向右做平抛运动，故D正确。故选BD。 【总结提升】 【典例3】在光滑水平面上，A、B两个物体在同一直线上沿同一方向运动，A的动量为18kg∙m/s，B的动量为。A从后面追上B，它们相互作用一段时间后，B的动量增大为，方向不变。下列说法正确的是（　　） A．若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为 B．若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为 C．若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为 D．若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为 【答案】B 【详解】AC．碰前，有 解得 碰过程中，有 解得 碰后，有 解得 综上可得 若为弹性碰撞，则两物体的质量之比为 A、C错误； BD．若为非弹性碰撞，则两物体的质量之比为 B正确、D错误。 故选B。 【典例4】如图所示，在光滑的水平面上有一质量M＝4 kg的平板车，小车右端固定一竖直挡板，挡板的质量不计，一轻质弹簧右端固定在挡板上，在平板车左端P处有一可以视为质点的小滑块，其质量m＝2 kg。平板车上表面Q点的左侧粗糙，右侧光滑，PQ间的距离L＝10 m。某时刻平板车以v1＝1 m/s的速度向左滑行，同时小滑块以v2＝8 m/s的速度向右滑行。一段时间后，小滑块与平板车达到相对静止，此时小滑块与Q点相距d＝5 m，取g＝10 m/s2，求： (1)小滑块与平板车相对静止时的速度v； (2)小滑块与平板车之间的动摩擦因数μ； (3)弹簧可能获得的最大弹性势能Ep。 【答案】(1)2 m/s，方向水平向右　(2)0.54或0.18　(3)18 J 【解析】(1)设M、m共同速度为v，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有 mv2－Mv1＝(M＋m)v 解得v＝2 m/s，方向水平向右 (2)如果小滑块尚未越过Q点就与平板车达到相对静止，对平板车与滑块组成的系统 由能量守恒有 Mv12＋mv22－(M＋m)v2＝μmg×(L－d) 解得μ＝0.54 如果小滑块越过Q点与弹簧相互作用后，再返回与平板车达到相对静止，对平板车与滑块组成的系统，由能量守恒 Mv12＋mv22－(M＋m)v2＝μmg×(L＋d) 解得μ＝0.18 (3)如果小滑块尚未越过Q点就与平板车达到相对静止，弹簧的弹性势能为零。如果小滑块越过Q点与弹簧相互作用后，再返回平板车达到相对静止，对平板车、滑块和弹簧组成的系统，由能量守恒 Mv12＋mv22－(M＋m)v2＝μmgL＋Ep 得Ep＝18 J 所以弹簧可能获得的最大弹性势能为18 J。 【提炼总结】1．木板在光滑地面上滑动时，滑块和木板组成的系统满足动量守恒。 2．滑块不从木板上掉下的条件是两者达到共同速度，恰好不掉下的临界条件是滑块到达木板末端时两者共速。 3．应注意区分滑块、木板各自的相对地面位移和它们的相对位移，用运动学公式或动能定理列式时位移指相对地面位移；求系统摩擦生热时用相对位移(或相对路程)，即Q＝Ff·Δs(Δs为相对位移)。 1．在水平气垫导轨上，运动的滑块与静止的滑块碰撞，碰后二者结合在一起。碰撞前后两滑块的速度随时间的变化如图所示，根据图像可知（　　） A．碰撞过程中滑块动能的减小量等于滑块动能的增加量 B．碰撞过程中滑块速度的减小量等于滑块速度的增加量 C．碰撞过程中滑块动量的减小量等于滑块动量的增加量 D．滑块的质量大于滑块的质量 【答案】C 【详解】ACD．由图像可知，碰撞前匀速运动，碰撞后一起匀速运动，可知导轨阻力可以忽略。碰撞过程系统动量守恒，即碰撞过程中滑块动量的减小量等于滑块动量的增加量，根据动量守恒定律可得 可得 碰前动能为 碰后动能为，动能的减小量为 动能的增加量 比较可得碰撞过程滑块动能的减小量大于滑块动能的增加量，即碰撞过程系统的动能有损失。故AD错误，C正确； B．由图像可知，碰撞过程滑块速度的减小量大于滑块速度的增加量。故B错误。 故选C。 2．如图所示，光滑的水平地面上放置了两个完全相同的物块，一竖直轻杆固定在物块上，轻杆上端系一长的不可伸长的轻绳，轻绳另一端连接小球C。现用外力将球C拉起直至轻绳处于水平状态后，将小球C由静止释放，小球C摆到最低点的同时物块恰好发生碰撞，此后粘在一起运动，不计一切阻力，已知，均可视为质点，重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．整个运动过程中，、、C组成的系统动量守恒 B．木块碰撞后的速度大小为 C．木块间的初始距离为 D．小球C经过最低点后向左摆动所能上升的最大高度为 【答案】D 【详解】A．木块A、B和小球C组成的系统由于竖直方向动量不守恒，水平方向动量守恒，所以系统的总动量不守恒，故A错误； B．C球第一次摆到最低点过程中，以向左为正方向，由系统水平方向动量守恒可得 由系统机械能守恒可得 联立解得， 木块碰撞过程 解得木块碰撞后的速度大小为，故B错误； C．C球第一次摆到最低点过程中，根据题意有 又 联立可得木块间的初始距离为，故C错误； D．小球C经过最低点后向左摆动，当三者共速时，到达最大高度，根据动量守恒可知，初态水平总动量为零，末态水平总动量为零，速度为零，根据能量守恒 解得，故D正确。 故选D。 3．（多选）如图所示，光滑水平面上静止一小球B，小球B的左端固定一轻弹簧，小球A位于小球B的左侧，某时刻小球A获得向右的初速度，动能的大小为，已知小球A的质量为小球B质量的一半。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的弹性势能最大时，小球B的动能为 B．弹簧的最大弹性势能为 C．弹簧恢复原长时，小球A与小球B的速率之比为2：1 D．弹簧恢复原长时，小球A的动能与初动能之比为1：9 【答案】AD 【详解】A．设A质量为m，则B质量为2m，则 轻弹簧被压缩到最短时A和B的速度相等，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒有 可得 则此时小球B的动能为，故A正确； B．弹簧的最大弹性势能为，故B错误； C．弹簧恢复原长时，有， 可得， 小球A与小球B的速率之比为1：2，故C错误； D．小球A速率变为原来的，则动能变为原来的，即小球A的动能与初动能之比为1：9，故D正确。 故选AD。 4．（多选）如图所示，质量为2m的小球B静止在光滑水平面上，质量为m的小球A以某一速度向右运动，经过一段时间与小球B发生碰撞，已知碰前小球A的动能为E0，下列说法正确的是（　　） A．若两球发生的是完全非弹性碰撞，则碰后小球A的动能为 B．若两球发生的是完全非弹性碰撞，则碰后小球B的动能为 C．若两球发生的是弹性碰撞，则碰后小球B的动能为 D．若两球发生的是弹性碰撞，则碰后小球A的动能为 【答案】BD 【详解】AB．设碰前小球A的速度为v0，则有 若两球发生的是完全非弹性碰撞，设碰后的速度为v，则由动量守恒定律得mv0 = (m+2m)v 解得，小球A的动能为 解得 小球B的动能为 解得，A错误，B正确； CD．若两球发生的是弹性碰撞，设碰后小球A、B的速度大小为分别为v1、v2，则由动量守恒定律以及机械能守恒定律得mv0=mv1+2mv2， 解得， 小球A的动能为 解得 小球B的动能为 解得，故C错误，D正确。 故选BD。 5．（多选）如图所示，三个半径相同的刚性小球A、B、C穿在光滑、足够长的硬杆MN和M1N1上，硬杆MN和M1N1在同一竖直平面内且相互平行，A、B、C的质量分别为mA=1kg、mB=2kg、mC=6kg。刚开始三个小球均静止，B、C两球之间连着一根轻弹簧，轻弹簧处于原长且与硬杆垂直。某一时刻小球A获得大小为v0=18m/s的速度向左匀速运动，与同一杆上的B球碰撞后粘在一起（作用时间极短），则下列说法正确的是（　　） A．A球与B球碰后瞬间AB的速度大小为6m/s B．在以后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能为54J C．在以后的运动过程中，C球的最大速度为4m/s D．在以后的运动过程中，B球的最小速度为2m/s 【答案】AC 【详解】A．A、B碰撞过程中，由动量守恒 解得，A正确； B．在以后的运动过程中，AB的组合体与C的速度相等时，弹性势能最大，根据动量守恒可知： 解得 最大弹性势能 解得，B错误； CD．弹簧再次恢复原长时，C球速度最大，根据动量守恒和机械能守恒可知， 解得， 此时B反向，C速度最大，而B由于速度由正向到反向，因此最小速度为零，C正确，D错误； 故选AC。 6．（多选）在某次冰壶比赛中，红壶沿直线运动，一段时间后与静止的蓝壶在大本营中心发生对心碰撞（时间极短），如图甲所示，碰撞前后两壶运动的v-t图像如图乙中的实线所示，其中红壶碰撞前后的图线平行，两冰壶的质量相等，取红壶的初速度方向为正方向，下列说法正确的是（    ） A．蓝壶与冰面的动摩擦因数更小 B．红壶碰撞前后瞬间的速度变化量为1m/s C．碰撞后蓝壶的位移大小为2m D．碰撞后蓝壶的位移大小为4m 【答案】AC 【详解】A．图线的斜率表示加速度，由题图乙可知，蓝壶图线的斜率较小，即加速度较小，又由牛顿第二定律 可得 即，蓝壶与冰面的动摩擦因数更小，故A正确； B．由图乙可知，红壶碰撞前后瞬间的速度变化量为，故B错误； CD．设两冰壶的质量均为，碰后瞬间蓝壶的速度为，根据动量守恒有 其中，由图乙可知， 解得 由题中图像可知，蓝壶图线与时间轴的交点为，则碰后蓝壶的位移大小为 其中 解得，故C正确，D错误。 故选AC。 7．如图所示，小球从距水平地面高度为处开始做自由落体运动，运动时，小球速度水平向右，与小球在水平方向上发生弹性碰撞，碰撞时间极短，两球碰前瞬间的速度大小相等，，重力加速度大小为，不计空气阻力，求： (1)小球碰前瞬间的速度大小； (2)小球碰后瞬间的速度大小； (3)两小球落地的时间差； (4)两小球在水平地面上的落点间的距离。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）小球做自由落体运动，有 两球碰前瞬间的速度大小相等 解得 （2）两小球在水平方向上发生弹性碰撞，有 ， 解得 此时小球b的速度 解得 （3）小球碰后在竖直方向上做自由落体运动，有 小球碰后在竖直方向上做匀加速直线运动，有 则落地的时间差 解得 （4）两小球在水平方向上都做匀速直线运动，有 解得 8．如图所示，足够长的光滑水平面上静止放置两个形状完全相同的弹性小物块A、B，物块A的质量。在物块B右侧的竖直墙壁里有一水平轻质长细杆，杆的左端与一轻质弹簧相连，杆、弹簧及两物块的中心在同一水平线上，杆与墙壁作用的最大静摩擦力为9N。若弹簧作用一直在弹性限度范围内，弹簧的弹性势能表达式为，。现给物块A施加一水平向右的恒力，其大小为10N，作用1.6m后撤去，然后物块A与物块B发生弹性碰撞，碰撞后两物块速度大小相等，B向右压缩弹簧，并将杆向墙里推移。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)撤去恒力瞬间物块A的速度大小； (2)物块B的质量及物块A的最终速度； (3)物块B的最终速度大小。 【答案】(1)8m/s (2)1.5kg，4m/s (3)0.6m/s 【详解】（1）根据动能定理有 解得v0=8m/s （2）A、B碰撞过程，根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 解得mB=1.5kg，v=4m/s （3）由题可知，物块B在压缩弹簧的过程中，当弹簧弹力等于杆的滑动摩擦力时，杆开始移动，弹簧弹力不变，后将压缩的弹性势能转化为B的动能。设最终B的速度为，根据 解得x=0.06m 此时的弹性势能小于B的入射动能，根据 解得vB=0.6m/s 9．如图所示，一质量为的小球A从某位置以初速度平抛后从点无碰撞进入光滑圆弧形轨道HF。已知弧形轨道对应的圆心角，OF竖直，半径。弧形轨道固定在光滑的水平面上，点右侧某处放置有两个大小与A相同的球B、C，质量分别是与，两球用轻质弹簧相连，弹簧初始处于原长状态，A、B碰后结合成一个整体。重力加速度为，小球均可视为质点，忽略空气阻力。 (1)求小球A在点的速度大小及在点对轨道的压力大小； (2)求之后弹簧弹性势能的最大值； (3)若在A、B碰撞的同时，在C球的右侧某位置放置一个竖直弹性挡板，C球与挡板碰后原速率反弹，且碰后瞬间撤去挡板及HF轨道。由于挡板所放位置的不同，弹簧最大压缩量也可能不同，求C球与挡板碰后弹簧弹性势能最大值的取值范围。 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）质量为的小球A从某位置以初速度平抛后从点无碰撞进入光滑圆弧形轨道，则有 解得 小球从H点到F点，根据动能定理有 在F点，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律可知，在点对轨道的压力大小为。 （2）小球A、B碰撞，根据动量守恒定律有 之后运动过程中，当弹簧弹性势能最大时，三物体共速，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 解得 （3）若竖直挡板紧靠C球，则最大弹性势能为 若挡板恰好位于三球共速的位置，则最大弹性势能为 所以C球与挡板碰后弹簧弹性势能最大值的取值范围为 10．如图所示，质量为的长木板锁定在光滑水平面上，质量为的物块放在上，质量为的物块以初速度从的左端滑上长木板，与碰撞前瞬间的速度为，在、弹性碰撞后瞬间解除的锁定，已知、与的动摩擦因数均为，最终没有滑离，重力加速度为，不计物块的大小，求： (1)初始、间的距离； (2)、碰撞后瞬间的速度大小； (3)开始时到右端的距离至少为多少。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）设初始、间的距离为，根据动能定理有 解得初始、间的距离为 （2）设、碰后瞬间速度大小分别为、，以初速度方向为正方向，据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律 解得， 所以、碰撞后瞬间的速度均为。 （3）解除的锁定后，、、相对滑动过程中，对物块受力分析，由牛顿第二定律 解得做减速运动的加速度大小 对物块b受力分析，由牛顿第二定律 解得做减速运动的加速度大小 对长木板c受力分析，由牛顿第二定律 解得做加速运动的加速度大小 设从、碰撞到、刚好共速经过的时间为，则有 解得 这段时间内，相对的位移 解得 与共速后，由于，此后、不再发生相对滑动。 因此开始时到的右端距离至少为。 11．如图所示，置于光滑水平面上的轻弹簧左端固定，右端放置质量为的小球，小球置于弹簧原长位置。质量为的小球和质量为、半径为的光滑四分之一圆弧体C静止在足够长的光滑水平面上，圆弧体C的水平面刚好与圆弧面的最底端相切。用力向左推动小球压缩弹簧，由静止释放小球后与小球发生弹性碰撞。小球运动到圆弧体的最高点时，恰好与圆弧体相对静止。两小球均可视为质点，重力加速度为。求： (1)小球压缩弹簧时弹簧所具有的弹性势能； (2)小球与圆弧体C第一次分离时小球的速度大小； (3)小球第一次返回到圆弧体底端时对圆弧面的压力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球A以速度跟小球B碰撞，碰后小球A、B的速度分别为、，以水平向右为正方向，根据动量守恒有 根据机械能守恒定律有 小球B滑上圆弧体C最高点过程中，根据水平方向动量守恒有 根据机械能守恒定律有 由静止释放小球A，弹簧对小球A做功，根据功能关系有 解得 （2）小球B第一次返回到圆弧体底端的过程中，根据小球与圆弧体C水平方向动量守恒有 根据机械能守恒定律有 解得小球B与圆弧体C第一次分离时小球B的速度大小 （3）由第（2）问可得小球B第一次返回到圆弧体底端时圆弧体C的速度大小 小球B第一次返回到圆弧体底端时，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律可知，小球B对圆弧面的压力大小 12．如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为3m的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为，圆管长度为。一质量为的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力是其重力大小的倍。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度为。求： (1)第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度； (2)在第二次碰撞前圆盘下滑的距离； (3)圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。 【答案】(1)小球碰后速度大小，方向竖直向上；圆盘速度大小为，方向竖直向下； (2) (3)7次 【详解】（1）规定竖直向下为正方向，小球释放后自由下落，下降l，根据机械能守恒定律 解得 小球以初速度v0与静止圆盘发生弹性碰撞，根据能量守恒定律和动量守恒定律分别有 mv0=mv1+3mv2 解得， 小球碰后速度v1大小，方向竖直向上；圆盘速度v2大小为，方向竖直向下； （2）第一次碰撞后小球做竖直上抛运动，圆盘做匀减速运动，由3mg-Ff=3ma 解得圆盘加速度 由 解得圆盘运动的距离 第一次碰撞后，由0-v2=at2 解得圆盘运动时间 小球在t2时间内运动的位移 可见，当圆盘速度为零时，小球刚好与之第二次碰撞，即第一次碰撞后圆盘下滑的距离为 （3）第二次碰撞前小球的速度 接下来运动和小球第一次碰撞相同，因此每次碰撞圆盘向下移动，碰撞次数 小球和圆盘碰撞次数为7次。 13．如图所示，光滑水平地面的右侧平滑连接一竖直放置的半圆形光滑轨道CD，轨道半径R=0.5m。物块A和B分别置于水平地面的不同位置，mA=3kg，mB=2kg。现使物块A以某一初速度向右运动，一段时间后与静止的物块B发生正碰，碰后物块A恰好通过圆轨道最高点D。物块A、B通过D点后做平抛运动，平抛运动落地点间的距离为，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块B通过D点时的速度大小 (2)求物块B通过半圆形光滑轨道CD的过程中，所受合外力的冲量大小 (3)判断A、B间的碰撞是否为弹性碰撞（不要求写计算过程） 【答案】(1) (2) (3)不是弹性碰撞 【详解】（1）在D点根据牛顿第二定律，对A， 根据平抛运动知识， 得         代入得 且 根据 解得 （2）根据动能定理对物块B通过半圆形轨道的过程有 解得B通过C时的速度大小 根据动量定理对B，有 解得 （3）根据动能定理对物块A通过半圆形轨道的过程有 解得 如果是弹性碰撞， 解得 而实际为，所以不是弹性碰撞。 14．如图所示，水平面上有两相同滑块c、d，kg，滑块d静止，其左边水平面光滑，右边水平面粗糙，滑块c以m/s的速度与滑块d相碰，碰撞时间极短，碰后两滑块粘在一起，已知滑块与粗糙面间的动摩擦因数，取重力加速度大小，求： (1)滑块d滑行的位移大小x； (2)因摩擦产生的热量Q。 【答案】(1)2m (2)32J 【详解】（1）两滑块c、d碰撞过程动量守恒，有 根据动能定理 解得滑块d滑行的位移大小 （2）根据能量守恒 解得因摩擦产生的热量 15．如图所示，在一段水平光滑直道上每间隔铺设有宽度均为、与光滑直道等高的固定矩形防滑带。在第1个防滑带的左边缘点静止有质量为的小物块P，另一质量为的小物块Q以垂直于防滑带边缘、大小为的水平速度向右运动并与P发生正碰，碰后Q的速度恰好为0，碰撞时间极短。已知P与防滑带间的动摩擦因数均为。P、Q可视为质点，重力加速度取。求∶ (1)碰撞前后P、Q组成的系统的机械能的变化量，并判断碰撞类型； (2)P最终停在第几个防滑带上，并求出其停止位置到点的距离。 【答案】(1)，非完全弹性碰撞； (2)第4个，9.6m 【详解】（1）P、Q碰撞瞬间动量守恒，有 得 碰撞前后P、Q组成的系统的机械能的变化量 求得 系统机械能减少且碰后两物块速度不同，是非完全弹性碰撞。 （2）设P减速至停止过程中在防滑带上通过的位移，根据动能定理有 求得 因 故P最终停在第4个防滑带上，其停止位置到O点的距离 16．如图所示，长木板在光滑水平面上以的速度做匀速直线运动，长木板质量，某时刻在长木板的右端轻放一个可视为质点的小物块，小物块的质量，长木板右侧有一固定挡板，挡板下方留有仅允许长木板通过的缺口，小物块与木板之间的动摩擦因数，木板右端到挡板的距离足够大，使得木板与物块共速后，小物块与挡板发生正碰，碰撞是弹性碰撞。， (1)若要小物块不从长木板上滑下，试求长木板的长度至少是多少？ (2)若长木板的长度足够长，质量变为4.5kg，试求小物块和挡板第一次与第二次相碰之间的时间。 (3)在第二问的基础上，小物块与挡板第n次碰撞到第次碰撞过程中，物块相对于长木板的位移是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设长木板和小物块向右运动过程中第一次达到共速时的速度为，则由动量守恒定律得 解得 小物块与挡板发生弹性碰撞后，速度反向，大小不变，设长木板与小物块再次共速时速度为，则由动量守恒定律得 由能量守恒定律可得 联立解得 （2）更换长木板后，设长木板与小物块第一次共速时速度为v，由动量守恒定律可得 解得 小物块与挡板发生第一次弹性碰撞后，速度反向，大小不变，但系统总动量方向水平向右，故物块与木板将向右达到共速状态，根据动量守恒定律可得 解得 对小物块，由牛顿第二定律可得 解得 对物块在共速前则有 解得 由匀变速直线运动规律可得 解得 故有 小物块和挡板第一次与第二次相碰之间的时间 （3）设小物块与挡板第二次碰撞前的速度为，由动量守恒定律可得 解得 设第三次碰撞前、第四次碰撞前，小物块和木板的共同速度为、，同理可得， 则第次碰撞前的共同速度为 物块与挡板第n次碰撞到第次碰撞过程中，相对于长小板的位移是x，由能量守恒定律可得 解得 17．某同学研究小球碰撞现象．如图所示，光滑水平面上放置有两个半径相同的小球A、B，质量分别是m，km，两小球一开始均处于静止状态．现给A球一个水平向右的瞬时冲量I，A球向右运动与B发生正碰，不计一切摩擦．求： (1)A运动的初速度； (2)若，A与B发生碰撞后系统总动能损失了，求碰后两球的速度、； (3)若A与B碰撞后，系统的总动能损失了75％，求k可能的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）对A球，由动量定理，有 解得 （2）当时，对小球A、B，由动量守恒定律，有 碰后系统总动能损失了，剩余，则有 联立解得， （3）A与B碰撞中，发生完全非弹性碰撞时动能损失最多，此时 由动量守恒得 可得 损失的动能为 损失动能的比值为： 所以需要满足％ 解得 18．一光滑圆弧轨道与粗糙水平面相切，一质量为的物块静止在圆弧轨道底端，另一质量为的物块从圆弧轨道上距水平地面高为处由静止释放，与发生非弹性碰撞后，两者均向前运动最终均停在水平面上，且在水平面上的运动时间是在水平面上运动时间的2倍，、与水平面间的动摩擦因数相同，重力加速度为，碰撞时间不计，求： (1)、在水平面上运动的加速度大小之比； (2)碰撞结束瞬间、的速率之比； (3)碰撞结束瞬间物块的速率。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在水平面上运动过程，对P、Q由牛顿第二定律有， 联立解得 （2）设碰撞后瞬间P、Q的速率分别为、，Q在水平面上运动的时间为，由速度公式有 ，  联立解得 （3）物块Q下滑过程有 规定向右正方向，碰撞过程动量守恒有  联立解得 19．如图所示，C球固定一轻质弹簧静止于光滑的水平面上，A球以速度v0沿B、C两球球心的连线向B球运动，碰后A、B两球粘在一起，然后压缩弹簧，已知A、B球质量都为m，C球质量为2m，弹簧始终在弹性限度内。求： (1)整个过程中弹簧弹性势能最大值； (2)C球速度的最大值vC 【答案】(1) (2) 【详解】（1）A球以速度v0沿B、C两球球心的连线向B球运动，碰后A、B两球粘在一起，设碰后A、B两球的速度为，根据动量守恒可得 解得 当三球速度相等时弹簧的弹性势能最大，设最大弹性势能为，从A、B两球粘在一起到三球速度相等时，根据动量守恒有 根据机械能守恒有 解得 （2）A、B两球的总质量与C球质量相等，从A、B两球碰撞结束到弹簧第一次恢复原长的过程中，C球一直做加速运动，即此时C球的速度达到最大，设为，A、B两球的速度为，根据动量守恒和机械能守恒有， 相当于A、B两球作为整体与C球发生弹性碰撞，速度交换，可得此时C球的速度 即C球速度的最大值 20．内壁光滑的“”字形的管道平放并固定在水平地面上，俯视图如图所示。管道的左右两部分均可看作半径为R的圆，圆心分别为P、Q，衔接点为K。C、D为过P、Q、K直线与管道的两交点。将质量为的小球A放置于C点，质量为的小球B放置于K点。时小球A从C点以速度开始在管道内运动，小球运动过程中不考虑管道叠放部分的高度差。 (1)若，两小球发生弹性碰撞且碰撞时间极短，求小球A第1次回到C点的时刻； (2)若，，两小球发生弹性碰撞且碰撞时间极短，求小球A、B发生第2次碰撞的时刻； (3)物体在实际碰撞过程中，其形变并不能完全恢复，为描述此现象可引入恢复系数e。若，，小球A、B每次发生碰撞恢复系数均为，求小球A、B发生第3次碰撞的时刻。（恢复系数e等于碰撞后两物体的分离速度与碰撞前两物体的接近速度的比值，即，式中、为两物体碰撞前的速度，、为两物体碰撞后的速度。） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）球A从开始运动经时间与球B碰撞， A、B碰撞过程，动量守恒，机械能守恒，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有， 解得：， 撞后球B经时间在K点与球A发生弹性碰撞， 由前两式可知，二者再次交换速度，， 经时间小球A再次回到C点， 小球A再次回到C点的时间 （2）若，，经，两球发生第1次碰撞，A碰B过程，动量守恒，机械能守恒，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有， 联立可得：， A、B发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间 小球A、B发生第2次碰撞的时刻 （3）当恢复系数时， 从开始运动到第1次碰撞需时时间， 设AB第1次碰撞后，A的速度为，B的速度为，满足， 解得： 根据相对运动，从第1次碰撞到第2次碰撞所用时间 设AB第2次碰撞后，A的速度为，B的速度为，满足， 解得： 根据相对运动，从第2次碰撞到第3次碰撞所用时间 小球A、B发生第3次碰撞的时刻 21．如图所示，在一头固定在点且不可伸长的轻绳上系一个可视作质点的小球，当把小球拉到使轻绳与水平面成角时，轻轻释放小球，运动到最低点时，小球恰好与放在光滑水平面上同可视作质点的小球对心正碰。碰后粘在一起向左摆动，此后轻绳与竖直方向之间的最大偏角，忽略空气阻力，求： (1)小球的质量比； (2)小球在碰撞过程中损失的机械能与小球在碰前的最大动能之比。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设绳长为，如图所示 小球A先做自由落体运动，下落到释放点下方与水平成的位置，则 此时轻绳绷紧，绳对小球有一个冲量作用，在极短的时间内小球沿绳子方向的速度减为零，而垂直于轻绳方向的速度分量不变，则有 小球A再运动到最低点，根据动能定理有 小球相碰后粘在一起，规定向左为正方向，由动量守恒有 共同向左边摆起最大摆角，由机械能守恒有 联立解出 （2）小球在碰撞过程中损失的机械能 小球A在最低点与小球B相碰前的动能最大 联立解得 22．将质量为的物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，到达最高点时与水平飞来的质量为的物体发生碰撞，已知碰前物体的速度大小为，碰后两物体粘在一起，碰撞时间极短。空气阻力不计，两物体均可视为质点，重力加速度大小为。求： (1)物体A从抛出到最高点所用的时间； (2)两物体粘在一起后的落地点与抛出点的间距； (3)两物体碰撞中损失的机械能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据竖直上抛运动规律，可得物体A从抛出到最高点所用的时间 （2）设两物体粘在一起平抛时的速度为，水平方向动量守恒，根据动量守恒可得 解得两物体平抛运动得速度 根据运动的对称性可知，两物体落地的时间 则两物体粘在一起后的落地点与抛出点的间距 （3）两物体碰撞过程损失的能量 23．如图所示，质量为的物块A 静止在光滑水平轨道上，轨道右端与一半圆形  粗糙轨道相切，轨道半径R=0.1m 。质量为的物块B以初速度滑向A，A和B 碰后粘在一起运动，恰好通过圆弧轨道最高点P。物块A和物块B可视为质点，重力加速度g取10m/s²，求 ： (1)A和B碰撞过程中损失的机械能； (2)A和B粘合体在刚进入圆轨道时，对轨道的压力大小F； (3)A和B在半圆形粗糙轨道上运动过程中摩擦力所做的功W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对A和B系统，碰撞过程由动量守恒可得 解得 由能量守恒可得碰撞过程损失的机械能 （2）对AB粘合体受力分析，根据牛顿第二定律可得 解得轨道对AB粘合体支持力的大小为 根据牛顿第三定律可知，AB粘合体对轨道的压力大小 （3）对A和B系统，到达半圆弧轨道最高点P点时，由牛顿第二定律可得 由动能定理可得 联立代入数据解得 24．如图所示，可看成质点的B物体叠放在上表面粗糙的A板上，一起以v₀的速度沿光滑的水平轨道匀速运动，A与静止在同一光滑水平轨道上的C物体发生完全非弹性碰撞，且A与C碰后立即取走C（该操作对A不产生影响），B在A上滑行，恰好能到达A板的最右端。已知A、B、C质量均相等，且为m，木板A长为L，重力加速度为g。求： (1)B物体最终的速度大小； (2)A、B之间的动摩擦因数； (3)B在木板A上滑行的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A与C碰撞过程中动量守恒，令A与C碰后的共同速度大小为，以初速度方向为正方向，由动量守恒定律得 解得 C被取走，B在A上滑行，恰好能到达A板的最右端。设B物体最终的速度大小为，A、B动量守恒可得 解得 （2）A与C碰后到B在A上共速，根据能量守恒可得 解得A、B之间的动摩擦因数 （3）A、B最终的速度为，对B物体，根据牛顿第二定律可得 解得 根据速度公式可得 解得B在木板A上滑行的时间 25．如图所示，质量为2m的小球Q静止在光滑水平面上，其左侧有一光滑弧面槽A静止在水平面上，弧面槽A轨道的截面可视为在竖直平面内半径为R的四分之一光滑圆弧，轨道的最低点与水平面相切。球Q的右侧有与轻弹簧一端连接的小球P，质量为m。当球P以的速度沿水平地面向左运动，与球Q发生相互作用，分离后，球Q冲上弧面槽A恰能到达圆弧轨道的最高点。小球P、Q均视为质点，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)弹簧的最大弹性势能； (2)弧面槽A的质量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球P、Q共速时弹簧有最大弹性势能，有 弹簧的最大弹性势能 （2）小球P、Q弹性碰撞，有 设弧面槽A的质量，球Q冲上弧面槽A恰能到达圆弧轨道的最高点，水平方向有 联立得弧面槽A的质量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $