专题03 简单的几何图形（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材北京版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统归纳简单几何图形的核心考点、复习目标及考情规律，分知识点细化立体与平面图形、点线面体、直线射线线段等概念性质及易错点，用实例和关系图呈现知识内在联系，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层题型训练设计，如“从不同方向观察立体图形”题型结合三视图画法培养空间观念，“线段计算”题型渗透方程思想提升运算能力。基础通关练、重难突破练等分层练习满足不同学生需求，助力教师精准教学，支持学生自主复习提升。

专题03 简单的几何图形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 认识立体图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等） 能准确识别常见的立体图形，并说出它们的名称和基本特征 易错点：对棱柱和棱锥的侧面形状、底面边数易混淆； 命题趋势：常结合生活中的实物图片考查识别 立体图形的构成元素（点、线、面） 能描述立体图形是由点、线、面构成的，理解点动成线、线动成面、面动成体的过程 易错点：对“点动成线、线动成面、面动成体”的实际例子理解不透彻； 命题趋势：多以选择题形式考查对构成元素关系的理解 画立体图形的三视图（主视图、左视图、俯视图） 能画出简单立体图形（如正方体、圆柱、圆锥、球及其简单组合体）的三视图 易错点：画三视图时，几何体的轮廓线虚实不分，尤其是看不见的轮廓线易漏画或画错；命题趋势：以简单组合体的三视图为主要考查对象，注重空间想象能力 根据三视图描述立体图形 能根据三视图判断出原立体图形的形状，并说出构成该立体图形的基本几何体 易错点：由三视图还原立体图形时，对几何体的高度、长度、宽度把握不准确； 命题趋势：结合简单的立方体搭建模型考查，要求具备一定的逆向思维能力 认识平面图形（线段、射线、直线、角、多边形、圆等） 能从具体图形中识别出线段、射线、直线、角、多边形和圆等平面图形 易错点：对线段、射线、直线的表示方法及区别易混淆； 命题趋势：常与立体图形展开图结合考查平面图形的识别 线段的概念与基本性质 能阐述线段的概念，理解并运用“两点之间，线段最短”的基本性质解决简单问题 易错点：运用线段性质解决实际问题时，不能准确找到最短路径；命题趋势：结合生活中的实际场景考查线段性质的应用 比较线段的长短 会用叠合法和度量法比较两条线段的长短，能说出比较结果 易错点：叠合法比较时，端点对齐和线段方向易出错； 命题趋势：多以选择题或填空题形式直接考查比较方法和结果 线段的和与差 能结合图形理解线段的和与差的意义，进行简单的线段和差计算 易错点：进行线段和差计算时，对图形中线段之间的关系分析不清； 命题趋势：以图形为载体，考查简单的线段和差运算，注重对图形的观察能力 线段中点的概念与应用 能说出线段中点的定义，会利用中点的性质进行线段长度的计算 易错点：在复杂图形中，不能准确找到线段中点或运用中点性质时计算失误； 命题趋势：是线段计算的核心考点，常与线段和差结合考查 角的概念与表示方法 能明确角的概念，会用不同的方法（顶点字母、三个大写字母、阿拉伯数字、希腊字母）表示角 易错点：用三个大写字母表示角时，顶点字母位置易写错； 命题趋势：在复杂图形中考查角的识别与正确表示 角的度量与换算 会使用量角器度量一个角的度数，能进行度、分、秒之间的简单换算 易错点：度、分、秒之间的进制换算易出错，尤其是分秒向度的换算； 命题趋势：以填空题形式考查度分秒的换算，要求计算准确 比较角的大小 会用量角器度量法和叠合法比较两个角的大小，能说出比较结果 易错点：叠合法比较角大小时，顶点和一边对齐后，另一边的位置判断易出错； 命题趋势：多为基础题，直接考查比较方法和结果 角的和与差 能结合图形理解角的和与差的意义，进行简单的角的和差计算 易错点：进行角的和差计算时，对图形中角之间的关系分析不到位； 命题趋势：与角平分线结合考查角的和差运算，注重图形的结合 角平分线的概念与应用 能说出角平分线的定义，会利用角平分线的性质进行角的度数计算 易错点：在多个角平分线或复杂图形中，不能准确运用角平分线性质进行计算； 命题趋势：是角的计算的核心考点，常与角的和差、度分秒换算结合考查 垂线的概念、性质及画法 理解垂线的定义，掌握“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的性质，能规范用三角尺或量角器画已知直线的垂线 易错点：忽略“在同一平面内”这一前提条件；画垂线时未标注垂直符号或垂足；利用垂线性质解决实际问题（如最短路径）时思路不清晰 点到直线的距离 理解点到直线距离的定义，能度量点到直线的距离，并运用其解决简单问题 易错点：混淆“点到直线的距离”与“两点间的距离”；计算距离时未找到垂线段 知识点01 几何图形初步 几何图形的概念：我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。几何图形是数学研究的重要对象之一，它帮助我们描述和理解现实世界中的物体形状、大小和位置关系。 示例：长方体（如书本）、圆柱体（如铅笔）、圆形（如硬币）、三角形（如三角尺）等都是常见的几何图形。 易错点：几何图形只关注物体的形状、大小和位置，不考虑物体的颜色、材质等其他属性。例如，一个红色的篮球和一个蓝色的篮球，从几何图形角度看都是球体。 立体图形与平面图形 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形，具有长、宽、高（或厚度）。 示例：正方体（骰子）、长方体（冰箱）、圆柱（易拉罐）、圆锥（沙堆）、球（足球）。 平面图形：各部分都在同一平面内的几何图形，只有长和宽。 示例：线段、角、三角形、长方形、正方形、圆、平行四边形。 关系：立体图形是由平面图形围成的。例如，正方体是由6个正方形平面围成的；圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形），上下底面是两个圆形。 易错点：判断一个图形是立体还是平面，关键看各部分是否在同一平面内。例如，我们在纸上画的立方体，虽然看起来有立体感，但它仍然是平面图形，因为它画在一个平面上。 知识点02 点、线、面、体 体（几何体）：几何体也简称体，是由面围成的。几何体占有一定的空间。 示例：正方体、圆柱体、球体等都是几何体。 面：包围着体的是面。面有平面和曲面两种。 示例：正方体的6个面都是平面；圆柱的侧面是曲面，上下底面是平面；球的表面是曲面。 线：面与面相交的地方形成线。线有直线和曲线之分。 示例：正方体相邻的两个面相交形成一条直线（棱）；圆柱的侧面和下底面相交形成一个曲线（圆）。 点：线与线相交的地方是点。 示例：正方体三条棱相交的地方是一个点（顶点）；两条直线相交有一个交点。 点、线、面、体之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体。 示例：笔尖在纸上移动就能画成一条线（点动成线）；汽车雨刷在挡风玻璃上摆动，可以画出一个扇形的面（线动成面）；长方形绕着它的一条边旋转一周，会形成一个圆柱体（面动成体）。 易错点：对“点动成线，线动成面，面动成体”的理解需要结合具体实例，避免死记硬背。例如，“线动成面”，这里的“线”可以是直线也可以是曲线，运动方式也可以是平移或旋转等。 知识点03 直线、射线、线段 直线 概念：直线是向两方无限延伸的，没有端点，无法度量长度。 表示方法： 用一个小写字母表示，如直线 l 。 用这条直线上的两个点来表示，如直线 AB （或直线 BA ）。 基本事实（公理）：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线。 示例：建筑工人砌墙时，经常在两个墙角分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，就是利用了“两点确定一条直线”的原理。 特征： 无限延伸性（向两端无限延伸，不可度量）。 没有粗细。 易错点：“直线”不可度量，所以不能说“画一条2厘米长的直线”。 射线 概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点，射线可以向一方无限延伸，无法度量长度。 表示方法： 用射线的端点和射线上另一个点来表示，端点字母必须写在前面。如射线 (OA （不能写作射线 (AO ，因为方向不同）。 特征： 只有一个端点。 向一方无限延伸（不可度量）。 易错点：射线的表示方法中，端点字母必须在前。例如，射线 OA )和射线 AO 表示不同的射线，因为它们的端点和延伸方向都不同。 线段 概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。线段有有限长度，可以度量。 表示方法： 用两个端点的字母表示，如线段 AB （或线段 BA ）。 用一个小写字母表示，如线段 a 。 特征： 有两个端点。 可以度量长度。 基本事实（公理）：两点之间，线段最短。 示例：从A地到B地，走直路比走弯路近，这就是“两点之间，线段最短”的体现。我们把两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。此时或 ( AB = 2AM = 2MB )。 示例：若线段AB长为8cm，点M是AB的中点，则AM=MB=4cm。 易错点：“距离”是指线段的长度，是一个数量，而不是线段本身。例如，“A、B两点之间的距离是5cm”，不能说成“A、B两点之间的距离是线段AB”。 知识点04 角 角的概念 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 示例：三角尺的三个角，钟面上时针和分针所成的夹角。 角的表示方法： 用三个大写字母表示：表示顶点的字母写在中间。如（顶点是O，边是OA、OB）。 用一个大写字母表示：当以某点为顶点的角只有一个时，可以用这个顶点字母表示。如。 用一个数字表示：如。 用一个希腊字母表示：如（阿尔法）、（贝塔）。 易错点：用一个大写字母表示角时，必须确保这个顶点处只有一个角，否则会产生混淆。例如，在一个顶点O处有多个角时，就不能简单地说。 角的度量单位：度（°）、分（′）、秒（″）。 进制：1° = 60′，1′ = 60″。（六十进制） 示例：1.5° = 1°30′；30′ = 0.5°；1°15′ = 75′ = 4500″。 度、分、秒的换算： 将度化为度、分、秒：如。 将度、分、秒化为度：如。 易错点：度、分、秒的换算采用六十进制，而非十进制。例如，1°不等于100′。 角的分类（按大小）： 锐角：大于0°而小于90°的角。（） 直角：等于90°的角。（），直角通常用符号“Rt∠”表示。 钝角：大于90°而小于180°的角。（） 平角：等于180°的角。（），平角的两边成一条直线。 周角：等于360°的角。（），周角的两边重合。 关系：1周角 = 2平角 = 4直角 = 360°；1平角 = 2直角 = 180°。 示例：30°的角是锐角，90°的角是直角，120°的角是钝角，180°的角是平角。 易错点： 平角不是一条直线，它是由一条射线绕端点旋转180度形成的角，有顶点和两条边（只是两条边在同一直线上且方向相反）。 周角不是一条射线，它是由一条射线绕端点旋转360度形成的角，看起来像一条射线，但实际上顶点和两条重合的边。 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言描述：若OC是的平分线，则，或。 示例：如果，OC是其平分线，则。 角的比较与运算： 比较方法： 叠合法：把两个角的顶点和一条边重合，另一条边放在重合边的同旁，根据另一条边的位置关系比较大小。 度量法：用量角器量出角的度数，根据度数大小比较。 知识点05 相交线与平行线 概念：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行。 相交线：如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，这个公共点叫做它们的交点。 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD。 示例：教室墙面相邻的两条边是相交线；黑板相对的两条长边是平行线（在理想平面情况下）。 易错点： “在同一平面内”是定义平行线的重要前提。如果不在同一平面内，不相交的两条直线不一定平行（如正方体中既不相交也不平行的棱），这一点现阶段暂不深入讨论，但需牢记前提条件。 平行线的定义强调“不相交”，所以重合的两条直线不能算作平行线，它们实际上是同一条直线。 知识点05 点到直线的距离 概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 示例：从直线l外一点P作l的垂线，垂足为Q，那么线段PQ的长度就是点P到直线l的距离。如果PQ=5cm，那么点P到直线l的距离就是5cm。 易错点：距离是一个数量，是垂线段的“长度”，而不是垂线段本身。不能说“点到直线的距离是这条垂线段”，而应说“点到直线的距离是这条垂线段的长度”。 题型一 从不同方向观察立体图形 解｜题｜技｜巧 1.明确观察方向：主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看），分别确定能看到的列数和每列小正方形的个数。 2.绘制原则：长对正（主视图与俯视图长度相等）、高平齐（主视图与左视图高度相等）、宽相等（俯视图与左视图宽度相等）。 3.小正方体组合体：先确定底层小正方体分布（俯视图），再根据主视图和左视图确定各层小正方体的层数和位置。 【典例1】若干桶方便面摆放在桌子上，从不同方向看到的图形如图所示，则这一堆方便面共有（    ） A．9桶 B．8桶 C．7桶 D．6桶 分析与解答： 本题考查从不同方向看几何体的视图，根据从不同面看到图形的特征求出每一部分方便面的桶数，最后求和即可． 【详解】解：从上面看，方便面一共分为三堆，如图中①②③： 结合“从正面看”和“从上面看”可知③有2桶， 结合“从左面看”和“从上面看”可知①有1桶， 结合“从正面看”和“从左面看”可知②有3桶， 故这一堆方便面总共有（桶）， 答案：D 【变式1】如果从不同的方向看一个立体图形，得到的平面图形如图所示，那么这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 分析与解答： 本题考查从不同方向看几何体，从各个方向看选项的图形，与题干的三视图对比即可得到答案． 【详解】解：A：从前面和左面看是相同的，都是三角形，从上面看是圆，不符题意； B：从前面和左面看是相同的图形，都是一个矩形上面叠了一个三角形，从上面看是圆，不符题意； C：从不同的方向看均符合题意； D：从正面看是三角形，且中间有一条虚线，从左面看是三角形，从上面看是三角形，且中间有一点，这一点与三角形三个顶点均有线段相连，不符题意． 答案： 【变式2】下列立体图形中，从前面看和从上面看得到的平面图形不同的是（   ） A． B． C． D． 分析与解答： 此题主要考查了不同方向看几何体，分别写出从不同方向看四个立体图形的图形，即可得到答案． 【详解】解：A、从前面看是长方形，从上面看是长方形，得到的平面图形相同，故选项不符合题意； B、从前面看是正方形，从上面看是正方形，得到的平面图形相同，故选项不符合题意； C、从前面看是三角形，从上面看是圆加一个点，得到的平面图形不相同，故选项符合题意； D、从前面看是圆，从上面看是圆，得到的平面图形相同，故选项不符合题意； 答案：C 题型二 直线、射线、线段的概念与性质 解｜题｜技｜巧 1.概念辨析：直线无端点、向两方无限延伸；射线有1个端点、向一方无限延伸；线段有2个端点、不可延伸。表示时直线和线段可用两个大写字母（无序）或一个小写字母，射线用端点和射线上另一点表示（端点在前，有序）。 2.基本性质：两点确定一条直线；两点之间线段最短。 3.线段计算：①利用中点定义（若M是AB中点，则AM=MB=AB）；②利用线段和差（AC=AB+BC或AC=AB-BC，视点C位置而定）；③方程思想：设未知数表示线段长度，根据等量关系列方程求解。 【典例1】如图，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 分析与解答： 本题考查了线段的和差，以及线段中点的特点，根据D，E分别是线段的中点，推出，再结合求解，即可解题． 【详解】解：因为D，E分别是线段的中点， 所以， 所以 ， 又因为， 所以 ， 答案：C 【变式1】如图，已知点为线段的中点，点在线段上．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 分析与解答： 本题考查了线段的中点，线段的和差，由可得，进而由中点定义可得，再根据线段的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴ 答案：B 【变式2】下列说法正确的个数为（    ） ①过两点有且只有一条直线；②射线和射线表示同一条射线；③两点之间的线段叫做两点间的距离；④如果，则点B是线段的中点． A．1 B．2 C．3 D．4 分析与解答： 题考查直线的性质，射线的定义，两点间的距离，线段的中点，根据相关性质和定义逐一进行判断即可． 【详解】解：过两点有且只有一条直线；故①正确； 射线和射线表示两条射线；故②错误； 两点之间的线段的长度叫做两点间的距离；故③错误； 如果，且点在线段上，则点B是线段的中点；故④错误 答案：A 题型三 角的度量与换算 解｜题｜技｜巧 1.度分秒换算：1°=60′，1′=60″，换算时大单位化小单位乘60，小单位化大单位除以60（先分后秒，逐级换算）。 2.角的度量：使用量角器时，中心点与角的顶点重合，0°刻度线与角的一边重合，另一边所对刻度即为角度数（注意区分内圈和外圈刻度）。 3.方向角：以正北或正南方向为基准，描述物体位置，如北偏东30°（不能说东偏北60°），南偏西45°可简称西南方向。 【典例1】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 分析与解答： 本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 答案： 【变式1】如图，，，则表示北偏西的射线是（   ） A． 射线 B．射线 C．射线 D．射线 分析与解答： 此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度． 根据，，可得射线在北偏西的方向上 ． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴表示北偏西的射线是． 答案：B 【变式2】如图，直线上有一点，以点为端点在直线的上方依次作射线和射线，若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 分析与解答： 本题主要考查了几何图形中角度的计算，正确理解是解题关键． 由邻补角的概念求得，然后由求得，从而根据角的和差关系分析计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答案：C 题型四 角的比较与运算（角平分线） 解｜题｜技｜巧 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。几何语言：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。 2.角的和差：多个角组合时，利用图形中角的重叠、相邻关系，将未知角表示为已知角的和或差，如∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD，∠AOC=∠AOB-∠COB（当OC在∠AOB内部时）。 3.三角板组合角：一副三角板有30°、45°、60°、90°，可拼出15°（45°-30°）、75°（45°+30°）、105°（60°+45°）、120°（90°+30°）等特殊角。 【典例1】如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 分析与解答： 本题主要考查角的和差，角平分线与三等分线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由角平分线得到，结合可得，再根据射线是三等分线可分和两种情况求解可得． 【详解】解： 平分，， ， ， ， ∵是三等分线， ∴①若， 则， ； ②若， 则， ； 综上，的度数为或 答案：C 【变式1】如图，射线是的平分线，．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 分析与解答： 本题考查与角平分线有关的计算，角平分线求出，垂直得到，角的和差关系求出，再根据平角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵射线是的平分线，，， ∴，， ∴ ∴ 答案：B 【变式2】已知，平分，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 分析与解答： 此题考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算． 熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分关系，根据题意画出图形，分类讨论，是解题的关键． 分两种情况进行讨论，①在的外部，②在的内部，继而根据角平分线的定义分别运算即可得出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， 当在的外部时，如图所示： ∵， ∴； 当在的内部时，如图所示： ； 答案：C 题型五 立体图形的展开与折叠 解｜题｜技｜巧 1.正方体展开图：共11种，分为“1-4-1型”（6种）、“2-3-1型”（3种）、“2-2-2型”（1种）、“3-3型”（1种）。相对面特点：“Z”字两端、隔一行/列、不相邻（无公共边或公共顶点）。 2.展开图还原：判断给定展开图能否折叠成正方体（排除“田”字形、“凹”字形等），或根据展开图中面的位置关系确定立体图形中相对面、相邻面的图案。 3.其他立体图形：圆柱展开图是长方形+两个等圆（底面），圆锥展开图是扇形+一个圆（底面），棱柱展开图是n个长方形+两个相同的n边形（底面）。 【典例1】下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 分析与解答： 本题主要考查了正方体的展开图，根据口诀“一线不过四，田凹应弃之”判断是解题的关键． 根据口诀观察图形即可得解； 【详解】观察四个选项发现，选项中有“田”出现，故不是正方体的展开图，其他选项正确 答案：A 【变式1】如图是一个小立方块几何体的平面展开图，哪个不正确（   ） A． B． C． D． 分析与解答： 本题主要考查了正方体的表面展开图．正方体的展开图有一四一型、二三一型、二二二型、三三型，据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、符合一四一型，是正方体的表面展开图，则此项不符合题意； B、不符合正方体的展开图的几种模型图，不是正方体的表面展开图，则此项符合题意； C、符合二二二型，是正方体的表面展开图，则此项不符合题意； D、符合一四一型，是正方体的表面展开图，则此项不符合题意． 答案：B 【变式2】下列图形中，为圆锥的侧面展开图的是（ ） A． B． C． D． 分析与解答： 本题考查了几何体的展开图，根据圆锥的侧面展开图是扇形得到答案，掌握圆锥的展开图是解题的关键． 【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形， 答案：B 题型六 垂线的性质与应用 解｜题｜技｜巧 1. 垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 2. 性质应用：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（可用于求最短距离） 3. 几何计算：利用垂直关系得到直角（90°），结合其他角的关系进行角度计算 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．不相交的两条直线叫作平行线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线最短 D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线 分析与解答： 本题主要考查平行线的定义，垂线的性质，垂线段最短，直线，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别． 根据平行线、垂线的性质，垂线段最短和直线的概念逐一判断可求解． 【详解】解：A、应强调在同一平面内，故错误； B、同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故正确； C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故错误； D、过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误 答案：B 【变式1】如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 分析与解答： 根据垂线段最短，得出的取值范围，再据此判断选项．本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴（垂线段最短）． ∵， ∴． ，不满足，故A项错误； ，满足，故B项正确； ，满足，故C项正确； ，满足，故D项正确． 答案：A 【变式2】如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 分析与解答： 本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：垂线段最短， 点P到直线l的距离小于4 答案：D 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下面图中，_________是三棱柱的展开图．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了常见几何体的展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征是解题的关键，根据三棱柱的展开图的特点作答． 【详解】解：A、是圆锥的展开图，故不符合题意； B、是圆柱的展开图，故不符合题意； C、是三棱柱的平面展开图，符合题意； D、是长方体的平面展开图，故不符合题意； 故选：C． 2．如图，是平角，，，分别是，的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的计算是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据平角的定义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵分别是，的平分线，，， ∴，， ∵是平角， ∴， ∴， 故选：D． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．射线a比直线b短 B．若点C在线段上，且，则点C为线段的中点 C．已知C、D为线段上的两点，若，则 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线的概念，线段的和差计算，以及线段中点的定义，通过分析各选项，利用几何性质判断正误即可． 【详解】解：∵射线和直线均无限长，无法比较长度，∴A错误； ∵点C在线段上时，恒成立，但C不一定为中点（中点需），∴B错误； ∵C、D在线段上，， ∴， 又∵， ∴，∴C正确； ∵射线端点为B向A延伸，射线端点为A向B延伸，方向不同，∴D错误； 故选C． 4．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角度的换算，熟练掌握角度的换算是解题的关键；将角度的小数部分转换为分，使用的换算关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 5．如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选C． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．用小正方体搭成一个立体图形，如图是分别从左面和上面看到的形状，则最多需要小正方体的个数（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查从不同方向看，培养空间想象能力是解题的关键．根据题目给出的两个方向看到的形状，若使小正方体最多，可得出从左面看，上下有两层，前后有两排，上层后排最多有3个，下层后排最多有3个，前排有1个． 【详解】解：根据从左面看，上下有两层，前后有两排，上层后排最多有3个，下层后排最多有3个，前排有1个，共计最多需要7个， 故选：A． 7．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 8．如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上， ∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个， 故选：D． 9．如图，线段，图中所有线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是能够数出，，，的线段的条数，从而求得解． 从图可知长为的线段共4条，长的线段共3条，长为的线段共2条，长为的线段仅1条，再把它们的长度相加即可． 【详解】∵， ∴， ∴图中所有线段的长度之和为（）． 故选：C． 10．若干桶方便面摆放在桌子上，从不同方向看到的图形如图所示，则这一堆方便面共有（    ） A．9桶 B．8桶 C．7桶 D．6桶 【答案】D 【分析】本题考查从不同方向看几何体的视图，根据从不同面看到图形的特征求出每一部分方便面的桶数，最后求和即可． 【详解】解：从上面看，方便面一共分为三堆，如图中①②③： 结合“从正面看”和“从上面看”可知③有2桶， 结合“从左面看”和“从上面看”可知①有1桶， 结合“从正面看”和“从左面看”可知②有3桶， 故这一堆方便面总共有（桶）， 故选：D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，已知点、、都是线段上的点，，，点是的中点. (1)求的长（请根据提示，将下列过程补充完整）： 解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是的中点 ∴ (2)若点是的中点，则的长为______. 【答案】(1)；；；， (2) 【分析】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据，，求出，再根据中点的定义求出，即可； （2）首先求出，得到，根据中点的定义求出，即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是的中点 ∴ （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 12．一个几何体由若干个完全相同的小立方体搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数． (1)分别画出从正面和左面看该几何体的形状图． (2)如果将这个几何体表面涂上红色（底面不涂），则需要涂________个面． 【答案】(1)图见解析 (2)41 【分析】本题考查从不同方向看几何体，良好的空间想象能力，是解题的关键： （1）根据从上面看到的图形，得到从正面看有3列，第1列有4个小正方形，第2列有2个小正方形，第3列有3个小正方形，从左面看有3列，第1列有2个小正方形，第2列有4个小正方形，第3列有3个小正方形，画出图形即可； （2）根据题意，需要涂的面包括前后两个面，左右两个面，上面一个面，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，画图如下： （2）需要涂的面有（个）面； 故答案为：41． 13．如图所示，点在线段上，，，点，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】此题考查了与线段中点有关的线段和差计算，解题的关键是根据题干信息和图形得出各线段的关系． （1）先求出的长度，根据N是的中点求出的长度即可． （2）求出和的长度，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴， 是的中点， ， （2）解： 点，分别是，的中点．， ， ． 14．（1）如图1，线段，延长到点，使，点M、N分别为的中点，求线段的长． （2）如图2，已知平分平分，求的度数． 【答案】（1）线段的长为，线段的长为 （2）的度数为 【分析】本题考查了两点之间的距离，关于角平分线的角度运算． （1）由题意可知，由点M、N分别为的中点，可得，，再根据，即可求出答案； （2）设，则，根据角平分线的性质可得，，由列方程，可求出x的值，进而即可求出的度数． 【详解】解：（1），， ， 点M、N分别为的中点， ，， ，； （2）设，则， 平分平分， ，， ， ， 解得， ． 15．如图．已知四点A，B，C，D．读下列语句，并分别画出图形．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，线段； (2)画射线，并与直线交于点E； (3)连接，在线段上取点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是画直线，射线，线段，两点之间线段最短的含义，熟练的画图是解本题的关键； （1）根据直线和线段的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可； （3）连接交于点，根据两点之间线段最短，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线，线段即为所求； （2）解：如图所示，射线，点E即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求． 20 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 简单的几何图形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 认识立体图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等） 能准确识别常见的立体图形，并说出它们的名称和基本特征 易错点：对棱柱和棱锥的侧面形状、底面边数易混淆； 命题趋势：常结合生活中的实物图片考查识别 立体图形的构成元素（点、线、面） 能描述立体图形是由点、线、面构成的，理解点动成线、线动成面、面动成体的过程 易错点：对“点动成线、线动成面、面动成体”的实际例子理解不透彻； 命题趋势：多以选择题形式考查对构成元素关系的理解 画立体图形的三视图（主视图、左视图、俯视图） 能画出简单立体图形（如正方体、圆柱、圆锥、球及其简单组合体）的三视图 易错点：画三视图时，几何体的轮廓线虚实不分，尤其是看不见的轮廓线易漏画或画错；命题趋势：以简单组合体的三视图为主要考查对象，注重空间想象能力 根据三视图描述立体图形 能根据三视图判断出原立体图形的形状，并说出构成该立体图形的基本几何体 易错点：由三视图还原立体图形时，对几何体的高度、长度、宽度把握不准确； 命题趋势：结合简单的立方体搭建模型考查，要求具备一定的逆向思维能力 认识平面图形（线段、射线、直线、角、多边形、圆等） 能从具体图形中识别出线段、射线、直线、角、多边形和圆等平面图形 易错点：对线段、射线、直线的表示方法及区别易混淆； 命题趋势：常与立体图形展开图结合考查平面图形的识别 线段的概念与基本性质 能阐述线段的概念，理解并运用“两点之间，线段最短”的基本性质解决简单问题 易错点：运用线段性质解决实际问题时，不能准确找到最短路径；命题趋势：结合生活中的实际场景考查线段性质的应用 比较线段的长短 会用叠合法和度量法比较两条线段的长短，能说出比较结果 易错点：叠合法比较时，端点对齐和线段方向易出错； 命题趋势：多以选择题或填空题形式直接考查比较方法和结果 线段的和与差 能结合图形理解线段的和与差的意义，进行简单的线段和差计算 易错点：进行线段和差计算时，对图形中线段之间的关系分析不清； 命题趋势：以图形为载体，考查简单的线段和差运算，注重对图形的观察能力 线段中点的概念与应用 能说出线段中点的定义，会利用中点的性质进行线段长度的计算 易错点：在复杂图形中，不能准确找到线段中点或运用中点性质时计算失误； 命题趋势：是线段计算的核心考点，常与线段和差结合考查 角的概念与表示方法 能明确角的概念，会用不同的方法（顶点字母、三个大写字母、阿拉伯数字、希腊字母）表示角 易错点：用三个大写字母表示角时，顶点字母位置易写错； 命题趋势：在复杂图形中考查角的识别与正确表示 角的度量与换算 会使用量角器度量一个角的度数，能进行度、分、秒之间的简单换算 易错点：度、分、秒之间的进制换算易出错，尤其是分秒向度的换算； 命题趋势：以填空题形式考查度分秒的换算，要求计算准确 比较角的大小 会用量角器度量法和叠合法比较两个角的大小，能说出比较结果 易错点：叠合法比较角大小时，顶点和一边对齐后，另一边的位置判断易出错； 命题趋势：多为基础题，直接考查比较方法和结果 角的和与差 能结合图形理解角的和与差的意义，进行简单的角的和差计算 易错点：进行角的和差计算时，对图形中角之间的关系分析不到位； 命题趋势：与角平分线结合考查角的和差运算，注重图形的结合 角平分线的概念与应用 能说出角平分线的定义，会利用角平分线的性质进行角的度数计算 易错点：在多个角平分线或复杂图形中，不能准确运用角平分线性质进行计算； 命题趋势：是角的计算的核心考点，常与角的和差、度分秒换算结合考查 垂线的概念、性质及画法 理解垂线的定义，掌握“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的性质，能规范用三角尺或量角器画已知直线的垂线 易错点：忽略“在同一平面内”这一前提条件；画垂线时未标注垂直符号或垂足；利用垂线性质解决实际问题（如最短路径）时思路不清晰 点到直线的距离 理解点到直线距离的定义，能度量点到直线的距离，并运用其解决简单问题 易错点：混淆“点到直线的距离”与“两点间的距离”；计算距离时未找到垂线段 知识点01 几何图形初步 几何图形的概念：我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。几何图形是数学研究的重要对象之一，它帮助我们描述和理解现实世界中的物体形状、大小和位置关系。 示例：长方体（如书本）、圆柱体（如铅笔）、圆形（如硬币）、三角形（如三角尺）等都是常见的几何图形。 易错点：几何图形只关注物体的形状、大小和位置，不考虑物体的颜色、材质等其他属性。例如，一个红色的篮球和一个蓝色的篮球，从几何图形角度看都是球体。 立体图形与平面图形 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形，具有长、宽、高（或厚度）。 示例：正方体（骰子）、长方体（冰箱）、圆柱（易拉罐）、圆锥（沙堆）、球（足球）。 平面图形：各部分都在同一平面内的几何图形，只有长和宽。 示例：线段、角、三角形、长方形、正方形、圆、平行四边形。 关系：立体图形是由平面图形围成的。例如，正方体是由6个正方形平面围成的；圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形），上下底面是两个圆形。 易错点：判断一个图形是立体还是平面，关键看各部分是否在同一平面内。例如，我们在纸上画的立方体，虽然看起来有立体感，但它仍然是平面图形，因为它画在一个平面上。 知识点02 点、线、面、体 体（几何体）：几何体也简称体，是由面围成的。几何体占有一定的空间。 示例：正方体、圆柱体、球体等都是几何体。 面：包围着体的是面。面有平面和曲面两种。 示例：正方体的6个面都是平面；圆柱的侧面是曲面，上下底面是平面；球的表面是曲面。 线：面与面相交的地方形成线。线有直线和曲线之分。 示例：正方体相邻的两个面相交形成一条直线（棱）；圆柱的侧面和下底面相交形成一个曲线（圆）。 点：线与线相交的地方是点。 示例：正方体三条棱相交的地方是一个点（顶点）；两条直线相交有一个交点。 点、线、面、体之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体。 示例：笔尖在纸上移动就能画成一条线（点动成线）；汽车雨刷在挡风玻璃上摆动，可以画出一个扇形的面（线动成面）；长方形绕着它的一条边旋转一周，会形成一个圆柱体（面动成体）。 易错点：对“点动成线，线动成面，面动成体”的理解需要结合具体实例，避免死记硬背。例如，“线动成面”，这里的“线”可以是直线也可以是曲线，运动方式也可以是平移或旋转等。 知识点03 直线、射线、线段 直线 概念：直线是向两方无限延伸的，没有端点，无法度量长度。 表示方法： 用一个小写字母表示，如直线 l 。 用这条直线上的两个点来表示，如直线 AB （或直线 BA ）。 基本事实（公理）：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线。 示例：建筑工人砌墙时，经常在两个墙角分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，就是利用了“两点确定一条直线”的原理。 特征： 无限延伸性（向两端无限延伸，不可度量）。 没有粗细。 易错点：“直线”不可度量，所以不能说“画一条2厘米长的直线”。 射线 概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点，射线可以向一方无限延伸，无法度量长度。 表示方法： 用射线的端点和射线上另一个点来表示，端点字母必须写在前面。如射线 (OA （不能写作射线 (AO ，因为方向不同）。 特征： 只有一个端点。 向一方无限延伸（不可度量）。 易错点：射线的表示方法中，端点字母必须在前。例如，射线 OA )和射线 AO 表示不同的射线，因为它们的端点和延伸方向都不同。 线段 概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。线段有有限长度，可以度量。 表示方法： 用两个端点的字母表示，如线段 AB （或线段 BA ）。 用一个小写字母表示，如线段 a 。 特征： 有两个端点。 可以度量长度。 基本事实（公理）：两点之间，线段最短。 示例：从A地到B地，走直路比走弯路近，这就是“两点之间，线段最短”的体现。我们把两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。此时或 ( AB = 2AM = 2MB )。 示例：若线段AB长为8cm，点M是AB的中点，则AM=MB=4cm。 易错点：“距离”是指线段的长度，是一个数量，而不是线段本身。例如，“A、B两点之间的距离是5cm”，不能说成“A、B两点之间的距离是线段AB”。 知识点04 角 角的概念 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 示例：三角尺的三个角，钟面上时针和分针所成的夹角。 角的表示方法： 用三个大写字母表示：表示顶点的字母写在中间。如（顶点是O，边是OA、OB）。 用一个大写字母表示：当以某点为顶点的角只有一个时，可以用这个顶点字母表示。如。 用一个数字表示：如。 用一个希腊字母表示：如（阿尔法）、（贝塔）。 易错点：用一个大写字母表示角时，必须确保这个顶点处只有一个角，否则会产生混淆。例如，在一个顶点O处有多个角时，就不能简单地说。 角的度量单位：度（°）、分（′）、秒（″）。 进制：1° = 60′，1′ = 60″。（六十进制） 示例：1.5° = 1°30′；30′ = 0.5°；1°15′ = 75′ = 4500″。 度、分、秒的换算： 将度化为度、分、秒：如。 将度、分、秒化为度：如。 易错点：度、分、秒的换算采用六十进制，而非十进制。例如，1°不等于100′。 角的分类（按大小）： 锐角：大于0°而小于90°的角。（） 直角：等于90°的角。（），直角通常用符号“Rt∠”表示。 钝角：大于90°而小于180°的角。（） 平角：等于180°的角。（），平角的两边成一条直线。 周角：等于360°的角。（），周角的两边重合。 关系：1周角 = 2平角 = 4直角 = 360°；1平角 = 2直角 = 180°。 示例：30°的角是锐角，90°的角是直角，120°的角是钝角，180°的角是平角。 易错点： 平角不是一条直线，它是由一条射线绕端点旋转180度形成的角，有顶点和两条边（只是两条边在同一直线上且方向相反）。 周角不是一条射线，它是由一条射线绕端点旋转360度形成的角，看起来像一条射线，但实际上顶点和两条重合的边。 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言描述：若OC是的平分线，则，或。 示例：如果，OC是其平分线，则。 角的比较与运算： 比较方法： 叠合法：把两个角的顶点和一条边重合，另一条边放在重合边的同旁，根据另一条边的位置关系比较大小。 度量法：用量角器量出角的度数，根据度数大小比较。 知识点05 相交线与平行线 概念：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行。 相交线：如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，这个公共点叫做它们的交点。 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD。 示例：教室墙面相邻的两条边是相交线；黑板相对的两条长边是平行线（在理想平面情况下）。 易错点： “在同一平面内”是定义平行线的重要前提。如果不在同一平面内，不相交的两条直线不一定平行（如正方体中既不相交也不平行的棱），这一点现阶段暂不深入讨论，但需牢记前提条件。 平行线的定义强调“不相交”，所以重合的两条直线不能算作平行线，它们实际上是同一条直线。 知识点05 点到直线的距离 概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 示例：从直线l外一点P作l的垂线，垂足为Q，那么线段PQ的长度就是点P到直线l的距离。如果PQ=5cm，那么点P到直线l的距离就是5cm。 易错点：距离是一个数量，是垂线段的“长度”，而不是垂线段本身。不能说“点到直线的距离是这条垂线段”，而应说“点到直线的距离是这条垂线段的长度”。 题型一 从不同方向观察立体图形 解｜题｜技｜巧 1.明确观察方向：主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看），分别确定能看到的列数和每列小正方形的个数。 2.绘制原则：长对正（主视图与俯视图长度相等）、高平齐（主视图与左视图高度相等）、宽相等（俯视图与左视图宽度相等）。 3.小正方体组合体：先确定底层小正方体分布（俯视图），再根据主视图和左视图确定各层小正方体的层数和位置。 【典例1】若干桶方便面摆放在桌子上，从不同方向看到的图形如图所示，则这一堆方便面共有（    ） A．9桶 B．8桶 C．7桶 D．6桶 【变式1】如果从不同的方向看一个立体图形，得到的平面图形如图所示，那么这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列立体图形中，从前面看和从上面看得到的平面图形不同的是（   ） A． B． C． D． 题型二 直线、射线、线段的概念与性质 解｜题｜技｜巧 1.概念辨析：直线无端点、向两方无限延伸；射线有1个端点、向一方无限延伸；线段有2个端点、不可延伸。表示时直线和线段可用两个大写字母（无序）或一个小写字母，射线用端点和射线上另一点表示（端点在前，有序）。 2.基本性质：两点确定一条直线；两点之间线段最短。 3.线段计算：①利用中点定义（若M是AB中点，则AM=MB=AB）；②利用线段和差（AC=AB+BC或AC=AB-BC，视点C位置而定）；③方程思想：设未知数表示线段长度，根据等量关系列方程求解。 【典例1】如图，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【变式1】如图，已知点为线段的中点，点在线段上．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法正确的个数为（    ） ①过两点有且只有一条直线；②射线和射线表示同一条射线；③两点之间的线段叫做两点间的距离；④如果，则点B是线段的中点． A．1 B．2 C．3 D．4 分析与解答： 题型三 角的度量与换算 解｜题｜技｜巧 1.度分秒换算：1°=60′，1′=60″，换算时大单位化小单位乘60，小单位化大单位除以60（先分后秒，逐级换算）。 2.角的度量：使用量角器时，中心点与角的顶点重合，0°刻度线与角的一边重合，另一边所对刻度即为角度数（注意区分内圈和外圈刻度）。 3.方向角：以正北或正南方向为基准，描述物体位置，如北偏东30°（不能说东偏北60°），南偏西45°可简称西南方向。 【典例1】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，，则表示北偏西的射线是（   ） A． 射线 B．射线 C．射线 D．射线 【变式2】如图，直线上有一点，以点为端点在直线的上方依次作射线和射线，若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 题型四 角的比较与运算（角平分线） 解｜题｜技｜巧 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。几何语言：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。 2.角的和差：多个角组合时，利用图形中角的重叠、相邻关系，将未知角表示为已知角的和或差，如∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD，∠AOC=∠AOB-∠COB（当OC在∠AOB内部时）。 3.三角板组合角：一副三角板有30°、45°、60°、90°，可拼出15°（45°-30°）、75°（45°+30°）、105°（60°+45°）、120°（90°+30°）等特殊角。 【典例1】如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】如图，射线是的平分线，．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，平分，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 题型五 立体图形的展开与折叠 解｜题｜技｜巧 1.正方体展开图：共11种，分为“1-4-1型”（6种）、“2-3-1型”（3种）、“2-2-2型”（1种）、“3-3型”（1种）。相对面特点：“Z”字两端、隔一行/列、不相邻（无公共边或公共顶点）。 2.展开图还原：判断给定展开图能否折叠成正方体（排除“田”字形、“凹”字形等），或根据展开图中面的位置关系确定立体图形中相对面、相邻面的图案。 3.其他立体图形：圆柱展开图是长方形+两个等圆（底面），圆锥展开图是扇形+一个圆（底面），棱柱展开图是n个长方形+两个相同的n边形（底面）。 【典例1】下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图是一个小立方块几何体的平面展开图，哪个不正确（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列图形中，为圆锥的侧面展开图的是（ ） A． B． C． D． 题型六 垂线的性质与应用 解｜题｜技｜巧 1. 垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 2. 性质应用：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（可用于求最短距离） 3. 几何计算：利用垂直关系得到直角（90°），结合其他角的关系进行角度计算 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．不相交的两条直线叫作平行线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线最短 D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线 【变式1】如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【变式2】如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下面图中，_________是三棱柱的展开图．（    ） A． B． C． D． 2．如图，是平角，，，分别是，的平分线，则（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．射线a比直线b短 B．若点C在线段上，且，则点C为线段的中点 C．已知C、D为线段上的两点，若，则 D．射线与射线是同一条射线 4．计算：（    ） A． B． C． D． 5．如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．用小正方体搭成一个立体图形，如图是分别从左面和上面看到的形状，则最多需要小正方体的个数（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 7．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，线段，图中所有线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 10．若干桶方便面摆放在桌子上，从不同方向看到的图形如图所示，则这一堆方便面共有（    ） A．9桶 B．8桶 C．7桶 D．6桶 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，已知点、、都是线段上的点，，，点是的中点. (1)求的长（请根据提示，将下列过程补充完整）： 解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是的中点 ∴ (2)若点是的中点，则的长为______. 12．一个几何体由若干个完全相同的小立方体搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数． (1)分别画出从正面和左面看该几何体的形状图． (2)如果将这个几何体表面涂上红色（底面不涂），则需要涂________个面． 13．如图所示，点在线段上，，，点，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 14．（1）如图1，线段，延长到点，使，点M、N分别为的中点，求线段的长． （2）如图2，已知平分平分，求的度数． 15．如图．已知四点A，B，C，D．读下列语句，并分别画出图形．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，线段； (2)画射线，并与直线交于点E； (3)连接，在线段上取点P，使的值最小． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $