专题09 直线方程与距离公式（讲义）-2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第9个专题，内容为直线方程与距离公式。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题09 直线方程与距离公式 一、考纲解读 内容 要求 难易度 说明 直线方程与距离公式 1.理解直线的倾斜角、斜率和截距的概念 B A对应容易；B对应较易；C对应较难；D对应难。 2. 掌握已知两点坐标求斜率公式，理解直线方程的斜截式、点斜式和一般式 B 3.理解两直线平行与垂直的条件 B 4.掌握两条相交直线的交点的求解方法 B 5. 掌握中点公式和两点间距离公式 A 6. 会求点到直线的距离、两平线直线间距离 C 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 5 直线斜率的计算 3 （1）题型：集中在选择题与填空题。 （2）分值：单选题和填空题各考查一道，总分值在7分。 （3）内容：直线的斜率与倾斜角每年必考，两直线的平行与垂直也是考查的热点内容。 填空题 17 两条直线垂直的斜率关系 4 2024 选择题 5 直线倾斜角的定义及与直线方程的关系 3 填空题 15 直线平行的判定条件 4 2023 选择题 4 直线的倾斜角与斜率的关系 3 填空题 14 直线方程的求法（垂直关系） 4 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山西省对口招生考试一定有2道题目考查直线的斜率与倾斜角的关系以及两直线的平行和垂直关系，题型分别为单项选择题和填空题，分值为7分。 具体考点可能涉及如下内容： · 直线斜率和倾斜角的换算（高频考点） · 两直线平行与垂直时的等价关系（高频考点） · 直线方程与距离问题 四、知识梳理 （一）直线的倾斜角、斜率与截距 （1）定义 （2）范围：直线的倾斜角α的取值范围是：． （3）斜率与倾斜角 （4）直线的截距：直线的截距分横截距与纵截距，横截距是直线与轴交点的横坐标，纵截距是直线与轴交点的纵坐标。注意，截距可以取任何数值。 （二）直线方程的三种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 其中要求A2＋B2≠0 适用于平面直角坐标系内的所有直线 2.两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两条直线平行 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)两条直线垂直 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 3.两条直线的交点 直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解． 相交⇔方程组有唯一解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 4.三种距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝． 五、10分钟小测验 1.若直线与x轴垂直，则这条直线的斜率为（   ） A． B．1 C． D．不存在 【答案】D 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系即可得解. 【详解】因为直线与x轴垂直，所以直线的倾斜角为，此时直线的斜率不存在， 故选：D. 2.如图所示，直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据倾斜角的定义即可求解. 【详解】由图可知，直线l向上的方向与y轴正方向夹角为， 所以直线l向上的方向与x轴正方向夹角为， 所以由倾斜角的定义知直线的倾斜角为. 故选：B. 3.已知和，则直线的斜率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据斜率公式求值即可. 【详解】已知和， 代入斜率公式得直线的斜率. 故选：C. 4.经过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由倾斜角确定斜率，再由点和斜率写出点斜式即可. 【详解】已知倾斜角为， 则，因为经过点， 则代入点斜式方程得，化简得. 故选：A. 5.已知两条直线和+1互相平行，则等于（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两条直线平行的条件求解即可. 【详解】两条直线和+1互相平行， 所以斜率相等，可得，． 故选：B. 6.点到直线的距离等于（   ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离公式求值即可. 【详解】已知点和直线， 代入点到直线的距离公式中， 得. 故选：C. 7.若直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】D 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据题意，结合两直线垂直，有，代入即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故选：D. 8.两平行直线与的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平行线间的距离 【分析】由两平行线间的距离公式即可得解. 【详解】由两平行线间的距离公式可得：． 故选：A. 六、经典例题解析 （一）直线方程 【考试题型1】直线斜率与倾斜角的关系 【例1】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】将直线的一般式化为斜截式，由此求解斜率即可. 【详解】直线化为斜截式为， ∴直线的斜率为. 故选：B. 【例2】（2023年·山西省对口升学考试数学真题）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求特殊角的三角函数值、直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线的一般式方程及辨析 【分析】先得到直线斜率，根据斜率的定义和倾斜角的范围求解. 【详解】∵直线为， ∴直线斜率. 令倾斜角为，则， 又∵，∴. 故选：D. 【例3】（2024年·山西省对口升学考试数学真题）已知直线方程为，则该直线向上的方向与轴正方向的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【知识点】求特殊角的三角函数值、直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线的一般式方程及辨析 【分析】先得到直线斜率，根据斜率的定义和倾斜角求解. 【详解】∵直线为， ∴直线斜率 令倾斜角为，则 又∵，∴ 故选：A 【考试题型2】直线方程 【例4】（2026届·湖南省职教高考高三上学期系统性考试第一次联合考试）已知直线过点且倾斜角为，则该直线的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析 【分析】由直线斜率的定义，可得斜率不存在，从而可得直线的方程. 【详解】因为直线过点且倾斜角为，则直线的斜率不存在， 所以直线方程为，即. 故选：B. 【例5】（2025届·河北省职教高考研究联合体高三下学期第六次联合考试）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】分直线过不过原点两种情况讨论，不过原点时由截距相等设出直线方程，再代点求解即可. 【详解】当直线过原点时，斜率，直线方程是，即； 当直线不过原点时，设直线的方程是，把点代入方程得，所以直线方程是． 综上可知，所求直线的方程为或． 故选：D. 【考试题型3】两直线的平行与垂直关系 【例6】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）若直线与直线垂直，则 . 【答案】 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据两条直线垂直时，斜率之积等于，列方程即可得解. 【详解】直线，即，所以直线的斜率为3， 直线，即，所以直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 故答案为：. 【例7】（2023年·山西省对口升学考试数学真题）过点且与直线垂直的直线方程 . 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解． 【详解】由题意直线的斜率为， 则所求直线的斜率为， 而所求直线过点， 所以所求直线的方程为，即. 故答案为： 【例8】（2024年·山西省对口升学考试数学真题）已知直线与直线平行，则 【答案】 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、由两条直线平行求方程 【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，以及直线的斜截式方程，即可求解． 【详解】由题意直线的斜率为， 则所求直线的斜率为， 而所求直线的斜率，所以 所以 故答案为： 【考试题型4】点到直线距离、两点间距离以及平行直线间距离 【例9】（2023届·福建省龙岩市上杭县职业中专学校高三高考数学模拟）已知线段的端点坐标为，，则（   ） A．16 B． C．72 D．10 【答案】B 【知识点】求平面直角坐标系中两点间的距离 【分析】根据题意，结合两点间的距离公式，即可求解． 【详解】因为线段的端点坐标为，， 所以． 故选：B． 【例10】（2023届·山西省对口升学五月份押题密卷模拟考试）直线上的点与原点的距离的最小值是 ． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离 【分析】套用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线上的点与原点距离的最小值， 即原点到直线的距离. 故答案为：. 【例11】（2025届·湖南省职教高考研究联合体高三下学期第五次联考）已知直线与直线平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据两条平行直线间的距离公式，即可求解. 【详解】由题意知直线与直线平行， 且， 所以两直线间的距离． 故选：A. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 直线的“两大公式”与“四种方程” 核心概念 公式或方程 适用场景 斜率公式 ​ 已知两点求斜率 距离公式 两点间距离公式： 点线间距离公式： 求长度、半径、判断位置关系 点斜式 已知一点和斜率（最常用） 斜截式 已知斜率和y轴截距 一般式 所有直线，用于计算距离 选择口诀：“知点知斜点斜式，知斜知截斜截式；一般式用于算距离” （二）、易错点总结 易错类型 典型案例 错因分析 倾斜角的大小与斜率的关系 直线的倾斜角为时，设斜率为 设直线方程时，先考虑斜率k是否存在 点线距离公式漏绝对值 求点(−1,2)到直线2x−y+1=0的距离，得负值 公式分子漏加绝对值 （三）、复习建议 1、学生能力培养重点： · 数形结合意识：养成“见数思形，见形想数”的习惯，多画图分析。 · 分类讨论思想：特别是涉及直线斜率时要讨论是否存在的。 · 运算能力：强化代数运算（如解方程组、求距离）的准确性和速度。 2. 真题演练方向： · 题型1：求直线的方程（各种形式灵活运用）。 · 题型2：直线斜率与倾斜角的关系互化 · 题型3：两直线平行与垂直时的等价条件 · 题型4：求三种距离问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $