专题2.1 直线与圆的位置关系（知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题）-2025-2026学年浙教版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦初中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离的定义及判定（d与r关系），通过17个题型构建从基础判断、半径/距离计算到切线性质判定，再到与三角形、四边形、函数综合应用的学习支架，衔接知识脉络。 该资料以“知识梳理+题型讲练+真题演练+分层练”为框架，17个题型含典例与变式，结合日出美景等实例培养几何直观，综合题型提升推理能力，分层练习助学生查漏补缺，课中辅助教学，课后强化应用意识，共59题覆盖全面。

专题2.1 直线与圆的位置关系 （知识荟萃+17个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理：直线和圆的位置关系 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：判断直线和圆的位置关系 2 考点2：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 3 考点3：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7 考点4：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 10 考点5：求直线平移到与圆相切时运动的距离 11 考点6：切线的应用 17 考点7：切线的性质定理 22 考点8：切线的性质和判定的综合应用 27 考点9：有关切线的概念辨析 30 考点10：判断或补全使直线为切线的条件 32 考点11：证明某直线是圆的切线 34 考点12：过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 38 考点13：圆内知识综合(圆的综合问题) 41 考点14：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 45 考点15：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 51 考点16：圆与函数的综合(圆的综合问题) 56 考点17：其他问题(圆的综合问题) 59 中考真题 实战演练 64 难度分层 拔尖冲刺 73 基础夯实 73 培优拔高 80 知识点梳理：直线和圆的位置关系 1.相交的定义：如图24.2-8（1），直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线. 2.相切的定义：如图24.2-8（2），直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 3.相离的定义：如图24.2-8（3），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离. 4.直线和圆的位置关系的判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有 直线和⊙O相交 ⇔ d＜r ； 直线和⊙O相切 ⇔ d=r ； 直线和⊙O相离 ⇔ d＞r . 考点1：判断直线和圆的位置关系 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽·自主招生）如图，已知的半径是1，圆心P在抛物线上运动．当与x轴相切时，圆心P的坐标为 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题主要考查了切线的性质、抛物线的性质，由题意可得圆心的纵坐标为，代入抛物线方程，分别求出圆心的横坐标，则答案可求．解决本题的关键在于当与轴相切时，确定点的纵坐标. 【规范解答】解:设点的坐标为． 与轴相切，，． 当时，，解得，，点的坐标为或； 当时，，解得，点的坐标为． 综上所述，圆心的坐标为或或． 故答案为:或或． 【变式训练】（24-25九年级下·贵州黔东南·月考）如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【规范解答】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：A． 考点2：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【典例精讲】（2025·广东东莞·二模）【问题背景】 已知抛物线（k是实数）与x轴有交点，将此抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到新的抛物线E，设抛物线E与x轴的交点为B、C，如图． 【构建联系】 （1）求k的值，并求抛物线E所对应的函数关系式及其顶点A的坐标． （2）连接，把所在的直线平移，使它经过点C，得到直线l，点P是l上一动点（与点C不重合）．设以点A，B，C，P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当时，求出S关于t的函数关系式，并求出t的取值范围． 【深入探究】 （3）点Q是直线l上的另一个动点，以点Q为圆心，R为半径作⊙，当R取何值时，⊙与直线相切？相交？相离？直接给出结果． 【答案】（1），，坐标为；（2）；（3）当时相切，时相交，时相离 【深入探究】（1）首先根据抛物线与轴有交点，则判别式，据此即可求得的值，函数的解析式即可求得，然后根据将此抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到新的抛物线，即可求得的解析式以及顶点坐标； （2）首先求得、的坐标，然后利用待定系数法即可求得，的解析式，分在轴下方和上方，两种情况利用的横坐标表示出四边形的面积，再根据得出t的范围即可得到S关于t的函数关系式，求得的范围； （3）过点作，为垂足，利用三角形的面积公式求得的长，然后利用直线与圆的位置关系的判定方法，即可写出结果． 【规范解答】解：（1）抛物线是实数）与轴有交点， 则判别式， 则， 因而抛物线的解析式是：， 将此抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到的抛物线是：， 即： 即， 顶点坐标为； （2）令，得， 解得：， 所以，，， 设直线的函数关系式为、 ，， ，解得， 直线且过点， 可设直线的函数关系式为， 直线过点， ，解得：， 直线的函数关系式为， 点是上一动点且横坐标为， 点坐标为， 当在轴下方时， ． ， ， ， 又， ， 当在轴上方时， 作轴于，设对称轴与轴交点为．则 ， ， ， ， 又， ， 综上所述，； （3）因为，， 所以， 过点作，为垂足， 所以， 因为平行线间距离处处相等，所以点到直线的距离等于， 所以当时相切，时相交，时相离． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交求解即可． 【规范解答】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选：C． 考点3：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例精讲】（2025·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点，点分别是正方形的边上的动点，且，过原点作，垂足为，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】连接，交于，连接，取的中点，连接，过点作于，交于点，作于点，如图所示，先证明，再证点在以直径的圆上运动，则当点在的延长线上时，点到的距离最大，由相似三角形的性质可求，的长，由三角形的面积公式代值求解即可得到答案． 【规范解答】解：连接，交于，连接，取的中点，连接，过点作于，交于点，作于点，如图所示： 直线分别与轴、 轴相交于点、， 点，点， , ， ， 四边形是正方形， ， ，， 又， ， ， 点是的中点，即点是的中点， ， ， ， 点在以直径的圆上运动，则当点在的延长线上时，点到的距离最大， 点是的中点， ， ，， ， 则， ， ， 又， ， ， 则 ，解得，， ， ，， ， ，即， ， ， 点到的最大距离为， 面积的最大值 ， 故答案为：． 【变式训练】（2025·浙江·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【思路点拨】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【规范解答】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 考点4：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【典例精讲】（24-25九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【答案】2或10 【思路点拨】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【规范解答】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【变式训练】（24-25九年级下·江苏扬州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【思路点拨】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【规范解答】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 考点5：求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例精讲】（2025·北京·模拟预测）对于平面内的点，如果点，点与点所构成的是边长为1的等边三角形，则称点，点为点的一对“关联点”．已知． (1)在，，，中，点的一对关联点是______； (2)以原点为圆心作半径为1的圆，已知直线． ①若点在上，点在直线上，点，点为点的一对关联点，求的值； ②若在上存在点，在直线上存在两点和，其中，点、点为点的一对关联点，且点、点、点关于的中心按顺时针方向排列，直接写出的取值范围______． 【答案】(1)C、D， (2)①b的值为0或或；②b的值为． 【思路点拨】（1）画出图形，可得是等边三角形，根据“关联点”的定义判断即可； （2）①如图2-1中，点P，点Q为点A的一对关联点，有三种情形如图所示，求出直线经过原点，，，b的值即可． ②如图2—2中，当直线与相切于E，F时，解析式分别为：，．以为边向上构造等边三角形（边长1），当等边三角形与有交点时，满足条件（这个交点为点R ），求出两种特殊位置，b的值可得结论． 【规范解答】（1）解：如图1中， 观察图象可知，是边长为1的等边三角形， 点A的一对关联点是D，C． 故答案为：C，D． （2）解：①如图2-1中，点P，点Q为点A的一对关联点，有三种情形如图所示， 当直线经过原点，满足条件，此时． 当直线经过点，满足条件，此时． 当直线经过点，满足条件，此时． 综上所述，满足条件的b的值为0或或． ②如图2-2中，当直线与相切于E，F时， 设切点坐标为， ∵以原点为圆心作半径为1的圆， ∴， 化简得， ∵直线与相切， ∴， 解得或, ∴或． 以为边向上构造等边三角形（边长1），当等边三角形与有交点时，满足条件（这个交点为点R ）， 当R与E重合时，直线的解析式为， 当R与F重合时，直线的解析式为， 观察图象可知，满足条件的b的值为． 【变式训练】（24-25九年级下·山东济宁·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，连接，在直线上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求当以为直径的圆与轴相切时的值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)存在这样的点或，使得与相似 【思路点拨】（1）把点代入抛物线，运用待定系数法可得二次函数解析式，设直线的解析式为，运用待定系数法可得解析式，由此即可求解； （2）根据题意得到，，则线段的中点，根据题意，分类讨论：点在轴下方时，与轴切于点；点在轴上方时；数学结合分析即可求解； （3）分类讨论：如图所示，，得，由此列式求解；如图所示，，过点作轴于点，可证，则，由此列式求解． 【规范解答】（1）解：二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，直线的解析式为，， ∴，， ∴设线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即，过点作轴于点， 如图所示，点在轴下方时，与轴切于点， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴， 解得，，， 当时，，即点重合，不符合题意，舍去； ∴时，以为直径的圆与轴相切； 如图所示，点在轴上方时， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴时，以为直径的圆与轴相切； 综上所述，的值为或； （3）解：存在，理由如下， 如图所示，， ∴，， ∵，，，， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），（点与点重合，不符合题意，舍去），， ∴， ∴； 如图所示，，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，则， ∵，，，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在这样的点或，使得与相似． 考点6：切线的应用 【典例精讲】（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：若存在点，满足点与点在直线的异侧，，且，则称点为点关于线段的“平衡点”． (1)已知点，． ①在点，，中，点_____是点关于线段的“平衡点”； ②若直线上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围； (2)已知半径为2，是的弦，且．点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)或． 【思路点拨】本题考查了几何新定义，勾股定理，圆内接四边形对角互补，切线的性质，坐标与图形，理解新定义是解题的关键； （1）先进行定义分析，得出，的长度临界值为四点共圆， ①根据定义即可求解； ②根据定义得出点关于线段的“平衡点”，在上，且在以的圆的内部，包括圆上，即上的点，进而将点和分别代入一次函数解析式，即可求解； （2）根据定义得出点关于线段的“平衡点”在的右侧，在的垂直平分线上，且在的外接圆的内部，找出范围，进而将正方形从左到右移动找到临界值，即可求解． 【规范解答】（1）解：定义分析，如图，满足点与点在直线的异侧，过点分别作的垂线，垂足分别为 根据勾股定理可得：， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即重合， ∴符合条件的四边形，，如图， 又∵， ∴，即的长度临界值为四点共圆，且包括圆上的点， ①∵点，，，，， ∴只有点使得，，且 ∴点是点关于线段的“平衡点” ②作的外接圆，则圆心为的垂直平分线的交点，如图， 由定义可得，点关于线段的“平衡点”，在上，且在以的圆的内部，包括圆上，即上的点， 当经过和时，即 将代入，解得， 将代入，解得： ∴； （2）解：∵半径为2，是的弦，且， ∴是等边三角形， 如图，点关于线段的“平衡点”在的右侧，在的垂直平分线上，且在的外接圆的内部， 设的中点为，，则在的外接圆上，此时为直径， ∵是的弦， ∴点关于线段的“平衡点”在以，为半径的圆弧内部，不包括为半径的圆上部分，包括为半径的圆上部分， ∵， ∴，， ∵点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”， 如图，当正方形与为半径的圆在轴的负半轴外切时， ∴ 解得：， 如图，当正方形的一个顶点在以为半径的圆上时， 解得：或（舍去） ∴ 继续移动正方形，如图，当在以为半径的圆上时， ∴ 解得：（舍去）或 当正方形与为半径的圆在轴的正半轴外切时， ∴ ∴ 综上所述，或． 【变式训练】（2025·四川南充·二模）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，恰是圆的切线，弦，弧等于孤的2倍． (1)比较与的大小，并说明理由． (2)当时，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2)2 【思路点拨】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，等角对等边，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，．由得是直径，由恰是圆的切线得，根据平分可得，求得，根据同弧所对圆周角相等可得结论； （2）连接，证明，得出．再证明，得出． 【规范解答】（1）解：． 理由：连接． ∵， ∴是直径． ∵是切线， ∴．即, ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴，即． （2）解：连接，则． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵弧等于弧的2倍， ∴． ∴．． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 考点7：切线的性质定理 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·期末）如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3) 【思路点拨】（1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，接着利用切线的性质得，然后根据平行线的性质得到结论； （2）先利用得到，所以，再根据圆周角定理得，则利用余弦的定义可求出，所以，接着在中利用余弦的定义得到，于是设，则，求出得到，然后计算即可； （3）由圆周角定理得到，再根据菱形的性质得到，解直角三角形求出，由（1）知，进而推出，，进而求出，再根据阴影部分的面积为即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴设， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵是的直径，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，与的边相切于点C，与分别交于点D，E，连接，，是的直径，连接，平分，过点C作交于点 G，连接与交于点F． (1)求证：直线与相切； (2)求证：； (3)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据圆周角定理以及得，然后得到垂直平分线段，继而可证明，再结合与的边相切，即可证明直线与相切； （2）先证明，则，然后证明，而，故，那么，再交叉相乘并由结合即可证明； （3）先导角证明，求出，在中，由勾股定理得，即可求解半径． 【规范解答】（1）证明：∵是的直径 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴垂直平分线段， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线， 即直线与相切； （2）证明：如解图，连接． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）解：由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴在中， ， ∴ 即的半径为． 考点8：切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（2025·广东·模拟预测）将一张边长为4的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把正方形纸片展平．再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点P在边上，过点P作的垂线交的延长线于点H． 【知识技能】 （1）如图1，若点H落在边上，求证：是等边三角形． 【数学理解】 （2）如图2，设，，试求关于的函数解析式． 【拓展探索】 （3）如图3，为的外接圆，若与边相切，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【思路点拨】（1）证明四边形是矩形，再结合折叠的性质可得，从而得到，即可解答； （2）过点 H 作于点M，则四边形是矩形，可得，可得，从而得到，然后在中，由勾股定理解答即可； （3）如图，设与边相切于点M，连接并延长，交边于点N．根据是的中位线，可得，，然后在中，由勾股定理求出，即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵，四边形 是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ， ∴是等边三角形； （2）解∶如图，过点 H 作于点M，则四边形是矩形， 由折叠的性质得：． 同理， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∴ 整理，得：， ∴y关于x的函数解析式为． （3）解∶如图，设与边相切于点M，连接并延长，交边于点N． 设， 由（2）可知， ∵， ∴是的直径． ∵与边， ， ∴，即， ∴是的中位线． ∴， ， ， 在中，由勾股定理，得 解得： ． 【变式训练】（2025·江苏无锡·模拟预测）下列判断正确的是（   ） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了等弧的定义，弧与圆心角之间的关系，确定圆的条件，切线的定义，分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可． 【规范解答】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； C、能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，不符合题意； D、经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 考点9：有关切线的概念辨析 【典例精讲】（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，，用尺规作图法在找一点，以为半径作，使得与相切．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了角平分线与圆的作图，正确理解题意，结合角平分线与圆的性质确定圆心是解题的关键．作的角平分线交于点即可．再以D为圆心，为半径画圆即可． 【规范解答】解：如图所示为所求． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏淮安·期中）如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切． 【答案】/1.5 【思路点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，先证明是等边三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得，然后再证，即可判断． 【规范解答】解：当时，与半圆相切． 连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵是半的半径， ∴与半相切， ∴当时，与半圆相切． 故答案为：． 考点10：判断或补全使直线为切线的条件 【典例精讲】（2023·江苏镇江·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上． (1)的周长为______． (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹） 【答案】(1)12 (2)见解析 【思路点拨】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定定理作图即可． 【规范解答】（1）解：由勾股定理得：， 则的周长， 故答案为：12； （2）延长至，使，连接，取的中点，连接交于点， 则点即为所求． 【变式训练】（24-25九年级下·陕西·期末）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点D，与交于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求弧的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题属于几何综合题，考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质，锐角三角函数等性质． （1）利用全等三角形的判定与性质，即可证得是的切线； （2）结合，联立勾股定理，解出半径的长度，观察边长的关系，可得的大小，通过角度计算得出的大小，即弧所对的圆心角，根据弧长公式可得弧的长度． 【规范解答】（1）证明：连接，如下图： 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：设的半径为R，则， 在中，，，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴弧的长为． 考点11：证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（24-25九年级下·广东广州·期末）如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E．    (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)点F是与的交点，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，再结合等腰三角形“三线合一”，即可证明； （2）连接，结合等腰三角形性质证明，进而推出，再结合切线判定定理，即可证明为的切线； （3）过点作于点，利用勾股定理与等面积法求出，再根据等腰三角形性质，角平分线性质得到，连接交于点，证明四边形为矩形，推出，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【规范解答】（1）证明： 是的直径， ， ， ； （2）证明：连接，    ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （3）解：过点作于点，    ，， ，， ， 即， 解得， ，，， ， 连接交于点， 是的直径， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ． 【变式训练】（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查切线的判定与性质、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及扇形面积公式，熟练掌握切线的判定与性质、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及扇形面积公式是解题的关键； （1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，，，由题意易得，则有，然后可得是等边三角形，进而根据扇形面积公式及等积法可进行求解． 【规范解答】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线． （2）解：如图，连接，，， 点是劣弧的中点， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 又， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ． 考点12：过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏镇江·期中）数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作的一条切线． (1)尺规作图：作的切线．（保留作图痕迹）． (2)作图的依据是：________； 【答案】(1)见解析 (2)直径所对的圆周角为直角 【思路点拨】本题考查了作圆的切线，圆周角定理，切线的判定． （1）①连接，分别以O，P为圆心，以大于长为半径作弧，两弧分别交于C，D两点（点C，D分别位于直线的上下两侧）；②作直线交于点M；③以点M为圆心，为半径作，交于点Q；④连接，则直线即为所求； （2）由作图知是的内接三角形，且是的直径，则，即，得到是的切线，即可得出作图的依据． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求的切线． （2）解：由作图知是的内接三角形，且是的直径， 则，即， 是的半径， 是的切线， 故作图的依据是：直径所对的圆周角为直角． 【变式训练】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的边上的高； (2)在图②中作出的中位线； (3)在图③中作出的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查圆周角定理，中位线的判定以及切线的判定，掌握疏导他对于空间解答本题的关键． （1）延长交半圆于点，连接，则，即是边上的高； （2）取格点，连接，交于点，连接，则是的中位线； （3）取格点，作射线，则是⊙O的切线 【规范解答】（1）解：如图，是边上的高； （2）解：如图，是的中位线； （3）解：如图，是⊙O的切线 考点13：圆内知识综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽安庆·月考）如图，是的直径，点为上一点，交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的直径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，根据垂径定理和圆周角定理的推论可证明，进而证明，再利用相似三角形的性质求解即可； （2）连接，解直角三角形可得，再根据勾股定理可求出，根据，求出即，在中，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接， ， ， ． 又， ， ，即； （2）解：连接． 是的直径， ． 的直径为5，， ． 在中，由勾股定理得，， ，， ，即． 在中，． 【变式训练】（2023·四川德阳·中考真题）如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（    ） ①； ②是的切线； ③B，E两点间的距离是； ④．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】连接、、，过点作交延长线于，于．①根据已知、垂径定理和圆内接四边形证，，即可得到；②根据已知、垂径定理、中垂线定理证，推出，不垂直，即可判断不是的切线；③证，结合、，计算出、、，最后根据勾股定理计算即可；④先计算出，推理出，设，用含的代数式表示和，代入求解即可． 【规范解答】如图，连接、、，过点作交延长线于，于   的直径，， ，， ，， 是弦，，， （垂直于弦的直径平分弦所对的弧）， ，即， ， ， ， （圆内接四边形的一个外角等于它的内对角）， ， 故结论①正确 ， ， 又（同弧所对圆周角是圆心角的一半）， ， ， ，于， ， ， ， ， ， 故结论③正确 ，， ， ， 平分（垂直于弦的直径平分弦）， 是的中垂线， ， ， ， ， ，即， 是弦， 是锐角， 是钝角， 是钝角，， 不垂直，不是的切线， 故结论②不正确 ，， ，， ， ，， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故结论④不正确 综上，①和③这2个结论正确， 故选：B． 考点14：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·自主招生）已知：如图，直线 交x轴于 交y轴于 与x轴相切于O点，交直线 于 P点，以 为圆心 为半径的圆交x轴于A、B两点，交 于点F， 的弦 ，的延长线交于D， 连接． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)的延长线交 于C点，若G为上一动点，以 为直径作 交 于点 M，交 于N．下列结论： ①为定值；②线段的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论， 并证明正确的结论， 以及求出它的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)②线段的长度，证明见解析 【思路点拨】（1）连接．由，可得．得，得，得．由，即得． （2）延长交于点H，连接，，．证明，得，可得，可得，得，得，得．可得，即得为的切线． （3）的长度不变．过N作的直径，连接，． 由圆周角定理证明则，得．求出，得，，得．可得四边形为矩形，得，∴，即得．故的长度不会发生变化，其长度为． 【规范解答】（1）解：连接． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵为直径， ∴． ∴． （2）解：延长交于点H，连接，，，． 由（1）知，，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴由对称性知，． 由（1）知， ∴． ∴为的切线． （3）解：的长度不变． 证明：过N作的直径，连接，． 则，． 又∵， ∴． ∴． 对， 令， 则， 解得； 令， 则． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵与相切， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∴． ∴． ∴． 故的长度不会发生变化，其长度为． 【变式训练】（23-24九年级下·北京东城·期末）如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作．交的延长线于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决问题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理进行解答即可； （2）设与交于点F，利用含角的直角三角形的性质，勾股定理求得和的长度，再利用相似三角形的判定与性质求得和的长度，最后利用勾股定理进行解答即可． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， 是的平分线， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线． （2）解：设与交于点F，如图， 为的直径， ，， ，， ， ，， 过点C作于点H，则， ， ， ， ， ， 令，则， ， ， ，， ， ， ． 答：的长为． 考点15：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【变式训练】（2025·湖南益阳·模拟预测）已知矩形，，，边上有一动点E，连接，将沿直线翻折，点C恰好落在边上的点F处． (1)求的值； (2)若半径为1的在四边形内（包括边界）任意移动，则能够到达的区域的面积是多少？（第（2）问只需要写出结果，不要过程） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）先由折叠得：，，，由勾股定理可得的长，由三角函数可得，由平角的定义和直角三角形的两锐角互余可得，，由此即可解答； （2）分别计算半径为1的不能到四边形四个顶点处的区域，计算四边形的面积与这四个顶点处处不能到的面积差即可解答． 【规范解答】（1）解：四边形是矩形， ，， 由折叠得：，，， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ； （2）解：如图1，与，相切，设切点为G，H，连接，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点D处不能到的区域的面积； 如图2，与，相切，设切点为G，P，连接，， ，， ， 四边形是正方形， ， 点C处不能到的区域的面积； 同理可得：点F处不能到的区域的面积； 如图3，与，相切，设切点为P，Q，连接，， ，， 同理得， ， ， 点E处不能到的区域的面积； 能够到达的区域的面积为： ． 考点16：圆与函数的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2025·河南南阳·模拟预测）已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 【答案】(1) (2)，，； (3) 【思路点拨】本题考查反比例函数的图象与性质、圆的性质、三角形的面积公式． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据点的坐标求出的长，进而求出的方程，联立的方程和反比例函数的解析式即可求解； （3）根据点，的坐标，求出直线的解析式，进而求出直线与轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可求解． 【规范解答】（1）解：将点代入反比例函数中，得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵点为圆心，，， ， 的方程为， 联立， 将代入得 ，即， 设 ，则， 解得或． 当时，，， 时 时． 当时，，， 时， 时． 除点外的其余交点的坐标为，，； （3）由（2）可知，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入中，得 ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 直线与轴的交点坐标为， ． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值； (3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的性质，切线的性质、勾股定理、正方形、三角形面积的计算等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键； （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）连接、，过点P作，交BC于点D，求直线的解析式，设点P坐标为，则，得出，根据，运用三角函数的性质可得结论； （3）设点P坐标为，则 设的半径为r．根据切线的性质得，然后根据的长为边长的正方形的面积与的面积相等，列式计算即可得出结论． 【规范解答】（1）解：由题意，得， ∴， ∴； （2）连接、，过点P作，交于点D． 由题意，可得点，设直线对应函数表达式为，则 ∴， ∴ 设点P坐标为，则， 则 当时，的最大值为8． ∴， ∴， ∴最大． （3）设点P坐标为，则 设的半径为r． ∵与相切，切点为T． ∴ ∵以的长为边长的正方形的面积与的面积相等 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴的半径是常量． 考点17：其他问题(圆的综合问题) 【典例精讲】（2024九年级下·江西赣州·竞赛）如图，是正方形中一动点，连接，，． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若时，（）点是否在“半径为的”上？（）请你证明：； (3)如图，在（）的条件下，若正方形的边长为，为上一点，，连接，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（）点在“半径为的”上，理由见解析；（）见解析 (3) 【思路点拨】（1）先求出，从而易证是等边三角形，即可得到 ， 再根据三角形内角和定理和等边对等角求出，最后根据求解即可； （2）（）以为圆心，为半径作圆，根据优弧所对的圆周角是，从而得证点在“半径为的”上；（）根据点在上，可得，结合， 等量代换从而得证； （3）以为圆心，为半径作圆， 则点在上，设与的交点为，当时，面积有最大值， 先求出， 在中，由勾股定理求解的长，再用等积法求出的长，从而得到的长，最后根据三角形面积公式求解面积即可． 【规范解答】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：（）点在“半径为的”上，理由如下： ，， 以为圆心，为半径作圆， 如图所示， 优弧所对的圆心角度数为， 优弧所对的圆周角度数为， ， 点在“半径为的”上； （）证明：点在上； ， 四边形是正方形， ， ； （3）解：如图所示，以为圆心，为半径作圆， 则点在上，设与的交点为， 当时，面积有最大值， ，， ， ， ， 即， ， ， ， 面积的最大值为． 【变式训练】（2025·广东清远·模拟预测）【问题背景】 在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，，点B是轴上的一个动点．过点A，B的圆P与轴相切，切点为点B，与轴交于点A，C．设圆心P的坐标为． 【构建联系】 （1）当时，直接写出点P的坐标； （2）如图1，连接，过点A作，垂足为点H，线段满足什么数量关系？试求出满足的函数关系式； 【深入探究】 （3）如图2，过点B作的直径，连接．作点A关于直线的对称点，当点落在的边上时，求的长度． 【答案】（1）点P的坐标为或； （2）线段满足的数量关系为；x，y满足的函数关系式为 （3）当点落在的边上时，的长度为2或4． 【思路点拨】（1）利用圆的切线的性质定理，点的坐标的特征和矩形的判定与性质解答即可； （2）利用勾股定理得到，利用点的坐标的特征得到，，利用矩形的判定与性质得到，利用勾股定理化简运算即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点落在的边上时，利用圆的切线的性质定理和正方形的判定与性质解答即可；当点落在的边上时，利用对称性和圆周角定理求得，，再利用含角的直角三角形的性质解答即可． 【规范解答】解：（1）当时， ∵， ∴， ∵与x轴相切，切点为点B， ∴轴， ∴轴， ∴点P到x轴，y轴的距离为1， ∴点P的坐标为或， ∴当1时，点P的坐标为或； （2）∵， ∴， ∴线段满足的数量关系为：． ∵圆心P的坐标为， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴x，y满足的函数关系式为； （3）①当点落在的边上时，如图， ∵点A关于直线的对称点， ∴， ∴点重合，即与y轴相切， 连接，四边形为正方形， ∴， ∴； ②当点落在的边上时，如图，连接， ∵点，点A关于直线的对称，点落在的边上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当点落在的边上时，的长度为2或4． 1．（2024·浙江台州·中考真题）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行改编：如图，是一座圆形城堡，四个城门分别向正东、正南、正西、正北而开．北门外的正北方向有一棵大树，与城堡的最近距离为城堡直径的，出南门向东走6里恰好能看见这棵树（即视线恰好与城堡外围相切），则城堡外围的直径是（   ） A．3里 B．6里 C．里 D．里 【答案】B 【思路点拨】本题考查切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．如图，设城堡外围的半径为r，则直径为，用勾股定理求出，再证，根据对应边成比例求出r即可． 【规范解答】解：如图， 设城堡外围的半径为r，则直径为， ，， ， 由题意知， 是的切线， ， ， 由题意知， ， 又 ， ， ，即 ， 解得， 城堡外围的直径是（里）， 故选B． 2．（2024·重庆开州·中考真题）如图，在中，点O在上，以O为圆心，为半径作圆与相切于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地求出的度数是解题的关键．由切线的性质得，因为，所以，由圆周角定理得，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：∵与相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了切线的性质，解直角三角形．过点M作于H，作于F，推出，进而有，由四边形是矩形得出，因此当与相切时，取得最大和最小，进而确定的最大值和最小值即可解答． 【规范解答】解：过点M作于H，作于F ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当与相切时，取得最大和最小， 如图，    连接，，， 可得：四边形是正方形， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴． 如图，    由上知：，， ， ， ， ∴． 故答案为：． 4．（2024·上海·中考真题）已知：如图，直线切于点C，为的直径，延长交直线于点，、分别为垂足，交于，连结、，过点作为垂足，连结、． 下列结论：其中正确的有 ． ； ； ； ． 【答案】 【思路点拨】①由与圆相切于点，根据切线的性质可得，又由为圆直径，可得，则可证得，同理可得，根据全等三角形的对应边相等，即可得； ②由①可证得，根据相似三角形的对应边成比例，与，即可证得； ③由与即可证得； ④由与．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得． 【规范解答】解：与圆相切于点， ∴， 为圆直径， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， 同理，， ∴，故①正确； 由①的过程知：， ∴， ， ∴， ∴， ， 由①的结论知，， ， ∴，故②正确； 由①过程知，， ，（1） 为切线， ∴同理可得， 由①结论知，， ， ∴， 而由①的过程知，， ∴， ，（2） 由（1）（2）得到：；故③正确； ，， ， ， ， ， ，（3） 又∵， ∴，（4） 由（3）（4）得到：， ∴；故④正确． 故答案为：①②③④． 5．（2024·全国·中考真题）如图，是的直径，点在上，连接，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，如图，先利用平行线的性质得到，则可证明，接着证明，然后根据圆周角定理得到，从而可证明，于是根据切线的判定方法得到结论； （2）先利用点F是OE的中点得到，则根据余弦的定义可求出，再根据含度角的直角三角形三边的关系计算出，，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式，利用阴影部分的面积=进行计算． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， 是的直径， 即 即 是⊙O的切线； （2）解：点F是的中点， 在中， 在中， ， ∴阴影部分的面积． 基础夯实 1．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，的边经过圆心，与圆相切于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是切线的性质、圆周角定理. 连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【规范解答】解：连接， ， ， 与圆相切于点， ， ， 故选：C． 2．（2023·江苏淮安·模拟预测）下列命题中，假命题的是（    ） A．经过两点有且只有一条直线 B．平行四边形的对角线相等 C．有两角相等的三角形是等腰三角形 D．圆的切线垂直于经过切点的半径 【答案】B 【思路点拨】本题考查命题与定理，掌握这些性质定理是解题关键．根据直线公理、平行四边形性质定理、等腰三角形的判定定理、切线性质定理即可判断A、C、D正确． 【规范解答】解：A．经过两点有且只有一条直线，是真命题，故本选项不符合题意； B．平行四边形的对角线平分，原命题是假命题，故本选项符合题意； C．有两角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意； D．圆的切线垂直于经过切点的半径，是真命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，P是延长线上一点，过P作的切线，切点为点C，点D是劣弧上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质， 连接，根据切线的性质及直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出 ，然后根据圆内接四边形对角互补得出答案. 【规范解答】解：连接， ∵是的切线， ∴， 即. ∵， ∴， ∴ 在圆内接四边形中，， ∴. 故选：C. 4．（2023九年级下·湖南湘西·竞赛）一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则劣弧的长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了弧长公式和切线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用切线的性质和弧长公式解题即可． 【规范解答】解：由题意得：和分别与相切于点和点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴劣弧的长为：． 故答案为： ． 5．（2025·吉林长春·三模）如图，是两条切线，切点分别为点，点，若，的半径为2，则的长度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了切线的性质，弧长公式，根据切线的性质得，再结合，算出，然后根据弧长公式，即可作答． 【规范解答】解：过点O分别作，如图所示： ∵是两条切线，切点分别为点，点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为2， 则的长度为， 故答案为：． 6．（2025·浙江台州·三模）如图，与相切于点，连结交于点，连结，，若，则 ． 【答案】/35度 【思路点拨】本题考查了切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，进而求出，计算即可． 【规范解答】解：∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 7．（2025·浙江杭州·三模）如图，的切线交直径的延长线于点，连接，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质等知识，连接过切点的半径是解题的关键与常作的辅助线． 连接，则，由圆周角定理得，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． 8．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P． 【规范解答】解：如图，点P即为所作． 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，点C、E在上，，点F在线段的延长线上且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【思路点拨】此题重点考查圆周角定理、切线的判定、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，因为是的直径，所以，由，，得，而，则，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，由，得，求得，所以的半径长为4． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． ； （2）解：， ， ， ∴ ， ， 解得， 的半径长为4． 10．（2025·吉林·三模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，作的中线，高线，则______（填“>”、“=”或“<”） (2)在图②中，作以为直径的圆O的切线（点E为格点）． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据三角形的高，中线的定义画出图形，再根据垂线段最短判定大小； （2）取格点E，作直线，可得，直线即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，的中线，高线即为所求，． 故答案为：； ； （2）解：如图，直线即为所求． ． 培优拔高 11．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可． 【规范解答】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接， ∵小圆与相切于， ， ， 在中，， 则剩余部分的面积为：， 故选：D． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，矩形中，，．以为直径的半圆O与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，扇形面积公式等知识点． 连接交于点，根据切线的性质可得，可得到四边形和四边形为矩形，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积，即可求解． 【规范解答】解：连接交于点，如图， 以为直径的半圆与相切于点， ， ， 四边形为矩形， ，， 四边形和四边形为矩形， ，， 在和中， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：C． 13．（2025·上海·模拟预测）如果有三个圆分别任取一条半径都能组成一个直角三角形，则称这三个圆为一组“Right圆组”． 已知在直角梯形中，，两底中，，腰． 点在上，以点为圆心，作三个同心圆分别与直线相切，过点D和点C． 若三个同心圆为一组“Right圆组”，则OD =（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【思路点拨】本题考查了切线的性质、勾股定理，理解“Right圆组”的半径满足勾股定理是解题关键． 可得三个圆的半径分别为：、、，过点作，垂足为，求出梯形的高， 设，则，，再分以或为斜边，利用勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】解：如图，以点O为圆心，作三个同心圆分别与直线BC相切于点，过点D和点C．其半径分别为：、、，， 过点作，垂足为， ∵在直角梯形中，， ∴，， ∴四边形、是矩形， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴ 设，则，， ∴， 若三个同心圆为一组“Right圆组”， 当为斜边时，即： ， 解得：， 当为斜边时，即： ， 解得：， 综上所述：长为或． 故选：A． 14．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，，是的切线，，为切点，若，，则的周长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质，证明为等边三角形是解题的关键. 由切线的性质得出，，，证是等边三角形，，得出，，即可得出答案． 【规范解答】解：、是的切线，、是切点， ，，， ， ， 是等边三角形，， ， ，， ， 的周长. 故答案为：． 15．（2025·青海西宁·三模）如图所示，的两条切线和相交于点，与圆相切于两点，是圆 上的一点，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆的切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理． 连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据圆周角定理即可得． 【规范解答】解：如图，连接， ∵，分别与相切于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 16．（2025·山东泰安·一模）如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，三角形外角性质，圆周角定理等知识，连接，由切线性质可得，又，则，所以，则，根据是的直径，得，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2024·广东清远·一模）如图，矩形中，，以为直径的半圆与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】π 【思路点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式． 连接交于点，根据切线的性质可得，可得到四边形和四边形为矩形，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积，即可求解． 【规范解答】解：连接交于点，如图， 以为直径的半圆与相切于点， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形和四边形为矩形， ，， 在和中， ， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为π． 18．（24-25九年级下·云南昆明·月考）如图， 在中，，点O在上，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与，分别相交于点E，F． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查圆的基础知识，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，合理作出辅助线是关键． （1）如图所示，连接，则，，根据角的等量代换即可求解； （2）运用勾股定理得到，设，则，证明，代入计算即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图所示，连接， ∵以为圆心，长为半径的圆与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的半径为． 19．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②的最小值为． 【思路点拨】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键． （1）连接、，由“直径所对的圆周角是直角”得，即有，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得，从而得出：是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得，根据切线的判定定理得证； （2）①由题意证明，求出，从而得出结论； ②在中，由边角关系可以求出，从而得出：，，过点P作于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得，延长到点F，使，则由线段垂直平分线的性质可知：上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，此时，在中，由边角关系即可求出最小值． 【规范解答】（1）证明：连接、，如图： ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：①若，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． ②点P为上一点，连接，有最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点G，则， 延长到点F，使，则上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有， 由两点之间，线段最短可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长， 此时，在中，， ， 即的最小值为． 20．（2025·四川广元·一模）如图，是的直径，点是延长线上一点，过作的切线，切点为，连接、． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和解直角三角形． （1）连接，先证，再证，得到，可得结论； （2）先证明，得到，再利用三角形函数得，最后求出PD的长． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在和中，，， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 直线与圆的位置关系 （知识荟萃+17个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理：直线和圆的位置关系 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：判断直线和圆的位置关系 2 考点2：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 3 考点3：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 4 考点4：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 4 考点5：求直线平移到与圆相切时运动的距离 5 考点6：切线的应用 6 考点7：切线的性质定理 7 考点8：切线的性质和判定的综合应用 8 考点9：有关切线的概念辨析 9 考点10：判断或补全使直线为切线的条件 10 考点11：证明某直线是圆的切线 11 考点12：过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 12 考点13：圆内知识综合(圆的综合问题) 13 考点14：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 14 考点15：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 15 考点16：圆与函数的综合(圆的综合问题) 16 考点17：其他问题(圆的综合问题) 17 中考真题 实战演练 19 难度分层 拔尖冲刺 20 基础夯实 20 培优拔高 23 知识点梳理：直线和圆的位置关系 1.相交的定义：如图24.2-8（1），直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线. 2.相切的定义：如图24.2-8（2），直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 3.相离的定义：如图24.2-8（3），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离. 4.直线和圆的位置关系的判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有 直线和⊙O相交 ⇔ d＜r ； 直线和⊙O相切 ⇔ d=r ； 直线和⊙O相离 ⇔ d＞r . 考点1：判断直线和圆的位置关系 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽·自主招生）如图，已知的半径是1，圆心P在抛物线上运动．当与x轴相切时，圆心P的坐标为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·贵州黔东南·月考）如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 考点2：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【典例精讲】（2025·广东东莞·二模）【问题背景】 已知抛物线（k是实数）与x轴有交点，将此抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到新的抛物线E，设抛物线E与x轴的交点为B、C，如图． 【构建联系】 （1）求k的值，并求抛物线E所对应的函数关系式及其顶点A的坐标． （2）连接，把所在的直线平移，使它经过点C，得到直线l，点P是l上一动点（与点C不重合）．设以点A，B，C，P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当时，求出S关于t的函数关系式，并求出t的取值范围． 【深入探究】 （3）点Q是直线l上的另一个动点，以点Q为圆心，R为半径作⊙，当R取何值时，⊙与直线相切？相交？相离？直接给出结果． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 考点3：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例精讲】（2025·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点，点分别是正方形的边上的动点，且，过原点作，垂足为，连接，则面积的最大值为 ． 【变式训练】（2025·浙江·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 考点4：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【典例精讲】（24-25九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【变式训练】（24-25九年级下·江苏扬州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 考点5：求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例精讲】（2025·北京·模拟预测）对于平面内的点，如果点，点与点所构成的是边长为1的等边三角形，则称点，点为点的一对“关联点”．已知． (1)在，，，中，点的一对关联点是______； (2)以原点为圆心作半径为1的圆，已知直线． ①若点在上，点在直线上，点，点为点的一对关联点，求的值； ②若在上存在点，在直线上存在两点和，其中，点、点为点的一对关联点，且点、点、点关于的中心按顺时针方向排列，直接写出的取值范围______． 【变式训练】（24-25九年级下·山东济宁·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，连接，在直线上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求当以为直径的圆与轴相切时的值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 考点6：切线的应用 【典例精讲】（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：若存在点，满足点与点在直线的异侧，，且，则称点为点关于线段的“平衡点”． (1)已知点，． ①在点，，中，点_____是点关于线段的“平衡点”； ②若直线上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围； (2)已知半径为2，是的弦，且．点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围． 【变式训练】（2025·四川南充·二模）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，恰是圆的切线，弦，弧等于孤的2倍． (1)比较与的大小，并说明理由． (2)当时，求的长． 考点7：切线的性质定理 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·期末）如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 【变式训练】（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，与的边相切于点C，与分别交于点D，E，连接，，是的直径，连接，平分，过点C作交于点 G，连接与交于点F． (1)求证：直线与相切； (2)求证：； (3)若，求的半径． 考点8：切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（2025·广东·模拟预测）将一张边长为4的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把正方形纸片展平．再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点P在边上，过点P作的垂线交的延长线于点H． 【知识技能】 （1）如图1，若点H落在边上，求证：是等边三角形． 【数学理解】 （2）如图2，设，，试求关于的函数解析式． 【拓展探索】 （3）如图3，为的外接圆，若与边相切，求的长． 【变式训练】（2025·江苏无锡·模拟预测）下列判断正确的是（   ） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．垂直于半径的直线是圆的切线 考点9：有关切线的概念辨析 【典例精讲】（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，，用尺规作图法在找一点，以为半径作，使得与相切．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练】（24-25九年级下·江苏淮安·期中）如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切． 考点10：判断或补全使直线为切线的条件 【典例精讲】（2023·江苏镇江·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上． (1)的周长为______． (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹） 【变式训练】（24-25九年级下·陕西·期末）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点D，与交于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求弧的长． 考点11：证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（24-25九年级下·广东广州·期末）如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E．    (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)点F是与的交点，若，求． 【变式训练】（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 考点12：过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏镇江·期中）数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作的一条切线． (1)尺规作图：作的切线．（保留作图痕迹）． (2)作图的依据是：________； 【变式训练】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的边上的高； (2)在图②中作出的中位线； (3)在图③中作出的切线． 考点13：圆内知识综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽安庆·月考）如图，是的直径，点为上一点，交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的直径为5，，求的长． 【变式训练】（2023·四川德阳·中考真题）如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（    ） ①； ②是的切线； ③B，E两点间的距离是； ④．    A．1 B．2 C．3 D．4 考点14：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·自主招生）已知：如图，直线 交x轴于 交y轴于 与x轴相切于O点，交直线 于 P点，以 为圆心 为半径的圆交x轴于A、B两点，交 于点F， 的弦 ，的延长线交于D， 连接． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)的延长线交 于C点，若G为上一动点，以 为直径作 交 于点 M，交 于N．下列结论： ①为定值；②线段的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论， 并证明正确的结论， 以及求出它的值． 【变式训练】（23-24九年级下·北京东城·期末）如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作．交的延长线于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 考点15：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【变式训练】（2025·湖南益阳·模拟预测）已知矩形，，，边上有一动点E，连接，将沿直线翻折，点C恰好落在边上的点F处． (1)求的值； (2)若半径为1的在四边形内（包括边界）任意移动，则能够到达的区域的面积是多少？（第（2）问只需要写出结果，不要过程） 考点16：圆与函数的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2025·河南南阳·模拟预测）已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值； (3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量． 考点17：其他问题(圆的综合问题) 【典例精讲】（2024九年级下·江西赣州·竞赛）如图，是正方形中一动点，连接，，． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若时，（）点是否在“半径为的”上？（）请你证明：； (3)如图，在（）的条件下，若正方形的边长为，为上一点，，连接，，求面积的最大值． 【变式训练】（2025·广东清远·模拟预测）【问题背景】 在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，，点B是轴上的一个动点．过点A，B的圆P与轴相切，切点为点B，与轴交于点A，C．设圆心P的坐标为． 【构建联系】 （1）当时，直接写出点P的坐标； （2）如图1，连接，过点A作，垂足为点H，线段满足什么数量关系？试求出满足的函数关系式； 【深入探究】 （3）如图2，过点B作的直径，连接．作点A关于直线的对称点，当点落在的边上时，求的长度． 1．（2024·浙江台州·中考真题）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行改编：如图，是一座圆形城堡，四个城门分别向正东、正南、正西、正北而开．北门外的正北方向有一棵大树，与城堡的最近距离为城堡直径的，出南门向东走6里恰好能看见这棵树（即视线恰好与城堡外围相切），则城堡外围的直径是（   ） A．3里 B．6里 C．里 D．里 2．（2024·重庆开州·中考真题）如图，在中，点O在上，以O为圆心，为半径作圆与相切于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ． 4．（2024·上海·中考真题）已知：如图，直线切于点C，为的直径，延长交直线于点，、分别为垂足，交于，连结、，过点作为垂足，连结、． 下列结论：其中正确的有 ． ； ； ； ． 5．（2024·全国·中考真题）如图，是的直径，点在上，连接，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 基础夯实 1．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，的边经过圆心，与圆相切于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏淮安·模拟预测）下列命题中，假命题的是（    ） A．经过两点有且只有一条直线 B．平行四边形的对角线相等 C．有两角相等的三角形是等腰三角形 D．圆的切线垂直于经过切点的半径 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，P是延长线上一点，过P作的切线，切点为点C，点D是劣弧上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2023九年级下·湖南湘西·竞赛）一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则劣弧的长是 ． 5．（2025·吉林长春·三模）如图，是两条切线，切点分别为点，点，若，的半径为2，则的长度为 ． 6．（2025·浙江台州·三模）如图，与相切于点，连结交于点，连结，，若，则 ． 7．（2025·浙江杭州·三模）如图，的切线交直径的延长线于点，连接，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 8．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，点C、E在上，，点F在线段的延长线上且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 10．（2025·吉林·三模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，作的中线，高线，则______（填“>”、“=”或“<”） (2)在图②中，作以为直径的圆O的切线（点E为格点）． 培优拔高 11．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，矩形中，，．以为直径的半圆O与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 13．（2025·上海·模拟预测）如果有三个圆分别任取一条半径都能组成一个直角三角形，则称这三个圆为一组“Right圆组”． 已知在直角梯形中，，两底中，，腰． 点在上，以点为圆心，作三个同心圆分别与直线相切，过点D和点C． 若三个同心圆为一组“Right圆组”，则OD =（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 14．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，，是的切线，，为切点，若，，则的周长是 ． 15．（2025·青海西宁·三模）如图所示，的两条切线和相交于点，与圆相切于两点，是圆 上的一点，若，则 ． 16．（2025·山东泰安·一模）如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是 ． 17．（2024·广东清远·一模）如图，矩形中，，以为直径的半圆与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 18．（24-25九年级下·云南昆明·月考）如图， 在中，，点O在上，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与，分别相交于点E，F． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 19．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 20．（2025·四川广元·一模）如图，是的直径，点是延长线上一点，过作的切线，切点为，连接、． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $