第15章 轴对称（知识清单）-【红卷】2025-2026学年八年级上册数学期末复习方案（人教版）

第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 知识点1轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条 概念 直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称 对称轴 图示 两部分互相重合 知识点2轴对称 1.轴对称 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴 概念 对称，也称这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对 称点. 对称轴 图示 个图形 ◇◇ 另一个图形 两个图形成轴对称 2.轴对称图形和轴对称的区别与联系 名称 轴对称图形 轴对称 关系 对象 一个图形 两个图形 意义 个形状特殊的图形 两个图形的特殊位置关系 区别 对称点位置 对称点在这个图形上 对称点分别在这两个图形上 对称轴数量 条或多条 只有一条 (1)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形； 联系 (2)把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称 知识点3 轴对称和轴对称图形的性质 成轴对称的两个图形全等（对应线段相等，对应角相等）； 内容 连接对称点的线段被对称轴垂直平分 图示 B B 王心童”《红卷》 7 ,八年级数学RJ版上册 知识点4线段的垂直平分线 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 判定 与线段两个端，点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 图示 知识点5尺规作图 1.线段的垂直平分线 作法 图示 (1)分别以点A和点B为圆心，大于2B的长为半径作弧，两弧相交于C,D 两点； 米D (2)作直线CD.CD就是线段AB的垂直平分线 2.经过直线外一点作这条直线的垂线 作法 图示 (1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB与点D和点E; (2)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F: ADB (3)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线 知识点6互逆命题和互逆定理 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫 原命题 互逆命题 作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆 题设 逆命题 结论 命题 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这 定理 互逆定理 题设 结论 两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理 逆定理（真） (1)每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题； 注意 (2)一个定理不一定有逆定理； (3)互逆命题不一定是互逆定理，但互逆定理一定是互逆命题 15.2画轴对称的图形 知识点1 画对称轴 1. 找：找出轴对称图形或成 作：作出对应点所连线段 轴对称的两个图形的任 连：连接这对对应点 的垂直平分线 意一对对应点 王心童”《红卷》 八年级数学J版上册 2. 找：找出两组不平行的对 延长：延长这两组对应线 作：过两个交点做直线 应线段 段得到其交点 知识点2画轴对称图形 找：在原图形上找特殊点 作：画出各个特殊点关于 连：依次连接各对应点 (如顶点) 对称轴的对应点 知识点3用坐标表示轴对称 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y); 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y). 15.3等腰三角形 知识点1等腰三角形的性质 内容 符号语言 图示 等腰三角形的两个底角相等 性质1 在△ABC中，AB=AC,则∠B=∠C (简写成“等边对等角”) 在△ABC中，AB=AC, 等腰三角形底边上的中线， ①若AD平分∠BAC,则AD⊥BC,BD=CD; 性质2 高及顶角平分线重合 ②若AD⊥BC,则AD平分∠BAC,BD=CD; (简写成“三线合一”) ③若BD=CD,则AD平分∠BAC,AD⊥BC 知识点2等腰三角形的判定 内容 符号语言 图示 有两条边相等的三角形是等腰三 在△ABC中，若AB=AC,则△ABC为等腰三 方法1 角形 角形 有两个角相等的三角形是等腰三 在△ABC中，若∠B=∠C,则△ABC为等腰 方法2 角形（简写成“等角对等边”） 三角形 知识点3等边三角形的性质 内容 符号语言 图示 等边三角形的三个角都相等，并且每一个 在△ABC中，AB=AC=BC,则∠A=∠B= ☑ /6 角都等于60° ㄥC=60° Bh60°+60AC 王心童《红卷》 9 八年级数学RJ版上册 知识点4等边三角形的判定 内容 符号语言 图示 三个角都相等的三角形是等边三 在△ABC中，∠A=∠B=∠C,则△ABC是 方法1 角形 等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是 在△ABC中，AB=AC,∠A=60°（或∠B= 方法2 60° 等边三角形 60°或∠C=60),则△ABC是等边三角形 知识点5含30°角直角三角形的性质 内容 符号语言 图示 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC 1 30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半 =24B 综合与实践最短路径问题 知识点1牧民饮马问题及拓展 问题 作法 最小值 B B 类型1 PA+PB的最小值为AB的长 在直线L上找一点P,使PA+PB最小连接AB,与直线I的交点即为点P B A B PA+PB的最小值为A'B 类型2 在直线L上找一点P,使PA+PB 的长 作点A关于直线l的对称点A',连 最小 接A'B,与直线I的交点即为点P P △PMN周长的最小值为 类型3 P'P"的长 在直线l1,l2上分别求点M,N,使 分别作点P关于直线，2的对称 △PMN的周长最小 点P,p",连接P'p",与两直线的交 点即为点M,N 王心童《红卷》 八年级数学J版上册 续表 .P Q 12 四边形PMNQ周长的最小 类型4 值为PQ+P'Q'的长 在直线l1,2上分别求点M,V,使四 分别作点P,Q关于直线1,2的对 边形PMNQ的周长最小 称点P',Q',连接P'Q',与两直线的 交点即为点M,N 知识点2造桥选址问题 问题 作法 最小值 A· B 路径AMNB最短 A,B两地在一条河的两岸，现要在河上造 将点A沿与河岸垂直的方向平移河宽的 为A'B+MN的长 座桥MN,使从A到B的路径AMNB最 距离，得到点A',连接A'B交直线b于点 短（假定河的两岸是平行的直线，桥与河N,过点N作MW⊥b交a于点M,则MW即 岸垂直) 为所求位置 第十六章整式的乘法 16.1幂的运算 知识点1同底数幂的乘法 法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 符号表示 am·a”=amt"(m,n都是正整数) 推广 am·a。…·a2=am+n++p(m,n,…,p都是正整数) 逆用 am"=am·a”(m,n都是正整数) (1)不要忽略指数为1的因式，如c·c≠c+5; 注意 (2)底数可以是单项式，也可以是多项式，通常把底数看作一个整体，运用整体思想求解 知识点2幂的乘方 法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘 符号表示 (am)"=a"(m,n都是正整数) 推广 [(a")"]P=aw(m,n,p都是正整数) 逆用 a=(am)”=(a)(m,n都是正整数) 知识点3积的乘方 法则 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 符号表示 (ab)"=a"b(n是正整数) 王心童”《红卷》 11 八年级数学J版上册