知识清单-【红卷】2025-2026学年七年级上册数学期末复习方案（北师大版）

第一章 丰富的图形世界 1.生活中的立体图形 (1)常见的几何体及其特征见下表： 名称 图形 特征 例子 圆柱 上下底面是两个平行具相同的圆，侧面是典面 杯子、笔筒 柱体 棱柱 上下底面是两个平行的多边形，侧面是平行四边形 魔方、螺帽 圆锥 底面是圆，侧面是曲面 铅锤、漏斗 锥体 棱锥 底面是多边形，侧面是三角形 金字塔 R 球 表面是封闭的曲面 篮球、足球 (2)棱柱的特征及其分类见下表： 底面顶点 人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱.… 概念 侧面 侧棱 注：长方体、正方体都是四棱柱 六棱柱 特征 ①上、下两个底面的形状、大小完全相同；②所有侧棱长都相等；③侧面的形状都是平行四边形 分类 棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱.直棱柱的侧面是长方形 拓展 一个n棱柱：有2n个顶点；有n个侧面，2个底面，共有(n+2)个面；有n条侧棱，共有3n条棱 2.展开与折叠 (1)正方体展开图的类型如下： “一四一”型： p吗 型 中 “二二二”型： 型： 王心童《红卷》 ·七年级数学BS版上册 (2)几种常见立体图形的展开图见下列图形： 长方体 五棱柱 圆柱 圆锥 展开图 (举例) 3.截一个几何体 (1)截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面。 (2)用一个平面去截一个正方体，常见的截面形状如图： (三角形)（正方形）（长方形）（梯形）（五边形）（六边形） (3)常见的柱体、锥体的截面见下表： 类型 柱体 锥体 常见截 面形状 (圆)（长方形）（五边形）（六边形） （圆)（三角形） 4.从三个方向看物体的形状 示例见下表： 图形 A 从正 面看 从左 面看 从上 面看 ☒ 第二章有理数及其运算 1.有理数 (1)具有相反意义的量的表示方法：若一种量规定为正，则它的相反意义的量为负。 【注意】0既不是正数，也不是负数0是正数和负数的分界。 王心童《红卷》 2 七年级数学BS版上册 (2)有理数 ①定义：整数与分数统称有理数。 ②分类 按定义分 按性质分 正整数 正整数 正有理数 整数{零 正分数 有理数 负整数 有理数零 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 2.绝对值 (1)相反数的定义：两个数，它们的符号不同，数量相等。我们称其中一个数为另一个数的相反 数，也称这两个数互为相反数。 (2)求一个数的相反数的方法：非零有理数α的相反数为-a®特别地0的相反数是Q。 (3)特点：a,b互为相反数→a+b=0。 (4)绝对值 ①定义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 ②性质：当a>0时，lal=a;当a=0时，lal=0;当a<0时，lal=-ao ③非负性：lal≥0 应用：若1al+1b1+cl+…=0,则1al=0,Ib1=0,Icl=0,…。所以a=0,b=0,c=0,…。 (6)有理数的大小比较 ①数轴比较法：数轴上右边的数总大于左边的数。 ②法则比较法：正数>0>负数；两个负数绝对值大的反而小。 ③差值比较法：若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b;若a-b=0,则a=b。 3.数轴 (1)定义：规定了原点、单位长度、和正方向的直线称为数轴（见下图）。 单位长度 原点 正方向、 -4-3-2-10 1234 (2)画法：画直线：取原点：定方向：选长度：标读数。 (3)数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 4.有理数的加法 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 (2)异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的 绝对值减去较小的绝对值。 王心童”《红卷》 七年级数学BS版上册 (3)一个数同0相加，仍得这个数。 巧记：同号加号一边倒，异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑，绝对值相等“0”正好 数0相加变不了。 5.有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 6.有理数的乘法 (1)有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。 (2)倒数：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互 为倒数特别地，0没有倒数。 7.有理数的除法 (1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0的数都得0。 (2)除以一个数等于乘这个数的倒数.即a÷b=a·（b≠0)。 9.有理数的乘方 一般地，n个相同的因素a相乘，记作a”,这种求n个相同因数a的积的运算叫作乘方，乘方的 结果叫作幂，a叫作底数，n叫作指数。 【注意】①任何非0数的零次幂都为1，即a°=1(a≠0)。 (-1(n是奇数) ②(-1)”= (1(n是偶数) 10.科学记数法 一般地，一个大于10的数可以表示成a×10”的形式，其中1≤a<10,n是正整数，这种记数方法 叫作科学记数法。 11.有理数的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 第三章整式及其加减 1.代数式 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 【注意】代数中不能含有等号、不等号，也就是说等式和不等式都不是代数式。 王心童《红卷》 七年级数学BS版上册 3.整式 (1)单项式 ①定义：像5ab,5abc,3V,6P等，它们都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式。单独的 一个数或一个字母也是单项式。 ②系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 ③次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫作这个单项式的次数。 (2)多项式 ①定义：几个单项式的和叫作多项式。单项式和多项式统称整式。 ②项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项。 ③次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 4.整式的加减 (1)同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项。 【注意】①判断同类项时注意“两相同”：字母相同；相同字母的指数相同。 ②“两无关”：与系数无关；与字母的排列顺序无关。 (2)合并同类项：把同类项合并成一项叫作合并同类项。 【注意】合并同类项时，把同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变。 (3)去括号法则 ①括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。 ②括号前是“”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 第四章基本平面图形 1.线段、射线、直线 线段、射线、直线的认识见下表： 线段 射线 直线 图形 B B 线段AB或线段BA 射线AB 表示 直线AB或直线BA或直线I 或线段l (端点必须在前) 端点个数 2 1 0 延伸性 本身不能延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸 ①过一点可以画无数条直线 基本事实 两点之间线段最短 ②两点确定一条直线 度量 可以 不可以 不可以 王心童《红卷》 七年级数学BS版上册 【归纳总结】①线段向一方延伸就成为射线，向两方延伸就成为直线。 ②m条直线两两相交，最少有1个交点，最多有(？，1)个交点。 2 ③两，点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离。 ④线段可以向两方无限延长，射线可以反向延长，直线不能延长。 2.比较线段的长短 (1)度量法：用刻度尺分别测量两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较。 (2)叠合法：把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另 一个端点的位置进行比较。 (3)线段的中点 定义：点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM,点M叫作线段AB的中点。 图示：如图，若M=MB,则点M是线段B的点，此时M=MB=B。 M B 提示：若AC=BC,则点C不一定是线段AB的中点。如图。 3.角 (1)角的定义： 角由两条具有公共端点的射线组成角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。 (2)角的表示方法（见下图）： A ∠BAC或∠A (3)角的度量及换算 ①度量单位：把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份 就是1分的角，记作1'：把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1"。 ②角度的换算： 1°=60'，1'=60”；1周角=360°，1周角=2平角=4直角； 1平角=180°，1平角=2直角。 4.角的比较 (1)角的比较方法 ①度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。 王心童”《红卷》。 6 ,七年级数学BS版上册 ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同侧，通过边的位置关系比较 大小。 (2)角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的 定义 平分线。 1 如图：若∠AOC=∠B0C,则OC是∠AOB的平分线。此时∠AOB=∠B0C= ∠A0B。 图示 C 01 5.多边形和圆的初步认识 (1)多边形及其组成要素（见下表）： 概念 图示 在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封 多边形 闭平面图形叫作多边形 内角A 多边形的边 组成多边形的各条线段叫作多边形的边 B 多边形的顶点 相邻两边的公共端点叫作多边形的顶点 E 多边形相邻两边组成的在多边形内部的角叫作多边形的内角，简称 边 顶点 多边形的内角 C 多边形的角 对角线 多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线 【归纳总结】从n边形的一个顶，点出发，可以做(n-3)条对角线，它们把n边形分成了 (-2)个三角形：m边形一共有n(0-3）条对角线。 2 AAAAAAA (2)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形。 (3)圆的有关概念见下表： 概念 图示 平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 圆 成的图形叫作圆 扇形AOB圆孤AB 圆上任意两点A,B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作AB,读作“圆弧 弧 B AB”或“弧AB” 由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA,OB所组成的图形 圆心角 扇形 叫作扇形 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角 王心童《红卷》 七年级数学BS版上册 第五章一元一次方程 1.认识一元一次方程 (1)一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的 次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程。 (2)方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。 (3)等式的基本性质 ①等式的基本性质1：等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。 如果a=b,那么a±c=b±c。 ②等式的基本性质2：等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。 如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么2=b 2.求解一元一次方程 解一元一次方程的一般步骤见下表： 步骤 具体做法 注意事项 变形依据 方程两边同时乘各分母的最小公 等式的基本性 去分母 不要漏乘不含分母的项 倍数 质2 般先去小括号，再去中括号，最 ①不要漏乘括号里的项； 乘法分配律，去 去括号 后去大括号 ②括号前面是负号时，注意变号 括号法则 把含未知数的项移到方程的左 等式的基本性 移项 移项时注意变号 边，常数项移到方程的右边 质1 合并同类项 把方程化为ax=b(a≠0)的形式 未知数系数相加，指数不变 合并同类项法则 方程两边同时除以未知数的系数 等式的基本性 系数化为1 6 不要将分子、分母颠倒 a(a≠0)，得到方程的解x= 质2 a 3.应用一元一次方程 (1)解一元一次方程应用题的步骤： ①审：审清题意，找出题中的数量关系，分清题中的已知量、未知量。 ②设：设出未知数。 ③列：根据题中的相等关系，列出一元一次方程。 ④解：解所列出的一元一次方程。 ⑤验：检验所得的解是否符合题意。 ⑥答：写出答案（包括单位）。 王心童”《红卷》 8 七年级数学BS版上册 (2)一元一次方程应用题的常见类型（见下表）： 类型 基本数量关系 形积 等周长变形问题 图形变化前的周长=图形变化后的周长 变化 等面积变化问题 图形变化前的面积=图形变化后的面积 问题 等体积变化问题 几何体形状变化前的体积=几何体形状变化后的体积 售价=标价x打折数 10 进价×(1+利润率)； 商品销售问题 利润=售价-进价=进价×利润率； 利润率= 进价×100% 工作量=工作效率×工作时间； 工程问题 合作效率=各部分单独做的效率之和； 总工作量=各部分工作量之和 配套问题 若m个A产品和n个B产品配套，则A产品数量×n=B产品数量×m ①直线相遇：s甲+sz=甲、乙出发点之间的距离； 相遇问题 若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间 ②环形相遇：当同时同地、首次相遇时，5甲+s乙=环形的周长 行程问题 ①直线追及：同地不同时出发，5慢=5快； 追及问题 同时不同地出发：5慢+两地距离=5快 ②环形追及：同地同时、同向出发，5快-S慢=环形的周长 水流问题 U顺=V静十V水，V逆=V静一V水 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数； 比赛中的积分问题 比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 分段计费问题 费用=不超过部分的费用+超过部分的费用 日历中每一行相邻的两个数，右边比左边数大1，每一列相邻的两个 日历问题 数，下边比上边数大7 数字问题 两位数=其十位数字×10+其个位数字×1 按比例分配问题 总量=各部分量的和 在现实生活中，做一件事往往有多种方案可供选择，如何选择对我们 方案选择问题 最有利的方案呢？这就需要我们利用所学的知识，通过列方程、计算 和比较，来选择最优方案 ①火车从上桥到完全过桥，此时火车走的路程是“桥长+车长”； 火车过桥问题 ②火车完全在桥上，此时火车走的路程是“桥长-车长” 第六章 数据的收集与整理 1.数据的收集 (1)数据收集的方式 王心童《红卷》 9 七年级数学BS版上册 ①形式：全面调查（普查）和抽样调查。 ②方法：问卷调查；实地调查；媒体调查；实验；查资料。 (2)数据的整理：统计中，常用表格整理数据，用“划记”法记录数据时，“正”字的每一划（笔画） 代表一个数据。 2.普查和抽样调查 (1)普查和抽样调查的有关知识点如下表： 普查 抽样调查 为某一特定目的而对所有考察对象进行的全 从总体中按照一定的方法抽取部分个体作为 定义 面调查 代表进行调查分析，并以此推断总体的状况 工作量小，节省时间、人力、物力、财力，受客 优点 收集到的数据全面，准确 观限制少 缺点 工作量大，易受条件限制难以进行 收集到的数据不如普查全面、准确 适用 当调查范围较小，调查不具有破坏性，数据要 当调查对象涉及面大、范围广，受条件限制或 范围 求准确全面时采用 具有破坏性时采用 (2)总体、个体、样本与样本容量 ①总体：要考察对象的全体称为总体。 ②个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 ③样本：从总体抽取的一部分个体。 ④样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 3.数据的表示 (1)扇形统计图 ①利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，圆代表总体，各个扇形分别表示总体中不同的部分。 ②每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比 (2)条形统计图和频数直方图 ①条形统计图：条形统计图的横坐标一般反映考察对象的类别，纵坐标一般反映该类别考察对 象的数量特征。 ②频数直方图是一种以频数为纵坐标的条形统计图，能直观地表示出样本的具体数量。 (3)扇形统计图、条形统计图、折线统计图的特点见下表： 统计图 特点 清楚地表示出各部分在总体中所占的百 扇形统计图 分比 条形统计图 清楚地表示出每个项目的具体数目 折线统计图 清楚地反映事物的变化情况 王心童《红卷》 七年级数学BS版上册