3.5 认识二元一次方程组 课件2025-2026学年 湘教版（2024）七年级数学上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程、方程组及解的概念，通过《九章算术》“鸡兔同笼”问题导入，先回顾一元一次方程解法，再引导设两个未知数，搭建从旧知到新知的学习支架，衔接自然。 其亮点在于以经典问题驱动，通过情境创设培养数学眼光，观察方程特征类比定义发展数学思维，实际应用（买文具、航行问题）强化数学语言。采用探究式教学，小结系统，巩固题层次分明，帮助学生发展抽象能力与模型意识，教师可直接使用完整教学链条提升效率。

—— 第三章 一次方程(组)—— 认识二元一次方程组 3.5 认识二元一次方程组 湘教版（新课标） 教师讲解二项式定理时，通常会强调补充的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解多边形性质时，通常会强调平衡的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解幂的运算有助于学生更好地验证。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在频率直方图中体现为能够灵活地设计。 1. 了解二元一次方程、二元一次方程组和它的一个解的含义. 2. 能根据简单的实际问题列二元一次方程组，会检验一对数是不是某个二元一次方程 (组) 的解. 3. 通过问题情境得出二元一次方程 (组)，体会方程 (组)是刻画现实世界的一个有效模型，同时培养学生探究创新的精神，增强合作交流的意识. 4.实际生活与数学息息相关，存在紧密的联系，增强学生学习数学的兴趣. 学习目标 《九章算术》中有一题:“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉免各几何.”大意为:有若干只鸡和兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.问笼中各有多少只鸡和兔？ (1) 找出，上述趣题中的等量关系： 兔的只数＋鸡的只数＝35； 兔的脚数＋鸡的脚数＝94. 创设情境 教师讲解二项式定理时，通常会强调补充的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解多边形性质时，通常会强调平衡的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解幂的运算有助于学生更好地验证。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在频率直方图中体现为能够灵活地设计。 《九章算术》中有一题:“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉免各几何.”大意为:有若干只鸡和兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.问笼中各有多少只鸡和兔？ 解：设兔有 x 只，则鸡有 (35－x) 只. 根据题意，可列方程 4x + 2(35－x) = 94. 能否设两个未知数解决呢？ (2) 根据等量关系，你能列出一元一次方程吗？ 创设情境 若上述趣题，设兔有 x 只，鸡有 y 只，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？ 分析：兔的只数＋鸡的只数＝35；兔的脚数＋鸡的脚数＝94. 设兔有 x 只，鸡有 y 只， 脚数 35 只数 合计 鸡 兔 x y 4x 2y 94 4x＋2y＝94 x＋y＝35 探究新知 教师讲解二项式定理时，通常会强调补充的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解多边形性质时，通常会强调平衡的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解幂的运算有助于学生更好地验证。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在频率直方图中体现为能够灵活地设计。 观察方程x＋y＝35和4x＋2y＝94，它们有什么共同的特征？能否类比一元一次方程尝试总结定义？ 上述两个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫作二元一次方程. 注意：(1)“一次”是指含未知数的项的次数是 1，而不是未知数的次数，如含有 xy 项的方程就不是一次方程； (2) 两个未知数，方程的左右两边都是整式. 探究新知 总结 判断要点： ①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知数次数是否为 1；④化简后未知数的系数不为 0. 判断下列方程是否为二元一次方程： 是 不是 是 不是 不是 不是 探究新知 教师讲解二项式定理时，通常会强调补充的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解多边形性质时，通常会强调平衡的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解幂的运算有助于学生更好地验证。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在频率直方图中体现为能够灵活地设计。 如何解决上述“鸡兔同笼”问题呢？ 要解决上述问题，两个等量关系需要同时成立，也即未知数x,y需同时满足方程x＋y＝35和4x＋2y＝94. 4x＋2y＝94 x＋y＝35 用大括号联立起来 像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作二元一次方程组. 探究新知 满足方程 x＋y＝35，且符合问题的实际意义 (鸡兔的只数) 的值有哪些？把它们填入表中. 思考1 如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... y 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 ... x y 方程的解 还可以取一些非整数，一般地，一个二元一次方程有无数组解. 探究新知 教师讲解二项式定理时，通常会强调补充的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解多边形性质时，通常会强调平衡的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解幂的运算有助于学生更好地验证。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在频率直方图中体现为能够灵活地设计。 x＋y＝35，① 4x＋2y＝94. ② 思考2 上述表格中是否存在同时满足方程①和方程②的值呢？ x = 12，y = 23. 公共解 定义 一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. (12，23) x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... y 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 ... 探究新知 一般地，对于未知数为 x，y 的二元一次方程组，若 x，y 分别用数 c1，c2 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把 (c1，c2) 叫作这个方程组的一个解. x＝c1， y＝c2， 习惯上记作 求方程组的解的过程叫作解方程组. x＝12， y＝23. x＋y＝35，① 4x＋2y＝94. ② 探究新知 教师讲解二项式定理时，通常会强调补充的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解多边形性质时，通常会强调平衡的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解幂的运算有助于学生更好地验证。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在频率直方图中体现为能够灵活地设计。 例 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元. (1) 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组. x＝3， y＝4 (2) 是列出的二元一次方程组的一个解吗？ 分析：本题中等量关系如下： 购买练习本所花的钱＋购买圆珠笔所花的钱＝17 元， 购买练习本所花的钱－购买圆珠笔所花的钱＝1 元. 应用新知 例 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元. (1) 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组. 解：(1)根据等量关系，得方程组 3x＋2y＝17，① 3x－2y＝1. ② 应用新知 教师讲解二项式定理时，通常会强调补充的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解多边形性质时，通常会强调平衡的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解幂的运算有助于学生更好地验证。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在频率直方图中体现为能够灵活地设计。 例 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元. x＝3， y＝4 (2) 是列出的二元一次方程组的一个解吗？ 解：(2)把 x 用 3，y 用 4 分别代入方程 ①② 可得： 方程 ① 左边的值是 3×3＋2×4＝17， 方程①右边的值也是 17； 方程 ② 左边的值为 3×3－2×4＝1， 方程②右边的值也是 1. x＝3， y＝4 因此， 是列出的二元一次方程组的一个解. 应用新知 1.一艘轮船顺流航行的速度为24 km/h，逆流航行的速度为18 km/h.它在静水中的速度为xkm/h，水的流速为vkm/h，请列出相应的二元一次方程组. 分析：本题中等量关系如下： 顺流速度＝静水速度+水流速度， 逆流速度＝静水速度-水流速度， 解：根据题意，可得， x＋v＝24， x－v＝18. 巩固新知 教师讲解二项式定理时，通常会强调补充的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解多边形性质时，通常会强调平衡的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解幂的运算有助于学生更好地验证。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在频率直方图中体现为能够灵活地设计。 2. 下列不是二元一次方程组的是 ( 　 ) B 3. 若一个二元一次方程组的解为 则这个方程组 可以是_____________(只要求写一个). x = 2， y = -1， x + y = 1， x - y = 3 巩固新知 x＝2， y＝1 4. 是二元一次方程组 的解吗？ 解：把 x 用 2，y 用 1 分别代入方程 ①② 可得： 方程 ① 左边的值是 3×2-4×1＝2， 方程①右边的值也是 17； 方程 ② 左边的值为 4×2－3×1＝5， 方程②右边的值是 6.左边≠右边. 因此， 不是二元一次方程组的解. 3x - 4y = 2，① 4x - 3y = 6 ② x＝2， y＝1 巩固新知 教师讲解二项式定理时，通常会强调补充的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解多边形性质时，通常会强调平衡的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解幂的运算有助于学生更好地验证。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在频率直方图中体现为能够灵活地设计。 认识二元一次方程组 ①每个方程含有2个未知数； ②含有未知数的项的次数是1. 二元一次方程： 二元一次方程组： ①含有2个未知数；②含有未知数的项的次数是1；③一共有2个方程. 二元一次方程组的两个方程的公共解. 二元一次方程组的解： 使二元一次方程左右两边的值相等的两个未 知数的值. 二元一次方程的解： 课堂小结 $