福建省厦门集美中学2025-2026学年高二上学期105组数学练习（第10周）

集美中学高中105组高二（上）数学练习（第10周） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．设，向量，，，且，，则（　　） A． B．3 C． D．4 3．在空间直角坐标系中，已知，若四点共面，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．以椭圆的左、右焦点和上、下顶点为顶点的四边形是正方形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则线段的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列给出的命题不正确的是（ ） A．若为空间的一组基底，则不能构成空间的一组基底 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则// D．若空间向量，则在方向上的投影向量为 10．点是椭圆上任意一点，是椭圆的左､右焦点，则（    ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为1 11．已知正方体的棱长为2，点，，分别为棱，，的中点，则（    ） A．面 B．与面所成角的正弦值为 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．若为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为 . 13．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线的方程为 ． 14．已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆上运动，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，需写出必要的解答步骤. 15．（5+8）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 16．（5+10）已知椭圆的离心率为，长轴为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，求弦长； 17．（6+9）已知点为椭圆上的动点，为过点且垂直于轴的直线上一点，且点纵坐标为点纵坐标的2倍． (1)求点的轨迹； (2)过点作斜率为的直线交于点，且点在以为直径的圆外，求的取值范围． 18．（4+7+6）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，. （i）当时，求证：平面； （ii）当二面角的正弦值为时，求的值. 19．（4+5+8）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美中学高中105组高二（上）数学练习（第10周） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题可得. 故选：D 2．设，向量，，，且，，则（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】因为向量，，， 若，则，解得，所以； 且，则，解得，所以； 可得，所以. 故选：B. 3．在空间直角坐标系中，已知，若四点共面，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为四点共面，所以与共面， 又向量不共线， 即存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得， 故选：B. 4．以椭圆的左、右焦点和上、下顶点为顶点的四边形是正方形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的半焦距为， 由的左、右焦点与上、下顶点连线围成的四边形是正方形，得， 由椭圆的定义得，， 所以椭圆的离心率． 故选：B    5．函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由， 设，，. 得的几何意义为的值. 点关于轴对称点， 所以. 故选：B 6．已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，过且与平面垂直的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，，，， 则，， 所以， 故所求两直线夹角的余弦值为， 故选：D． 7．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 8．若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则线段的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆，，圆心，， 要使的长度最小，则最小，即最小. 因为，所以当最小时，最小. 又因为，所以当最小时，最小. 因为，所以， . 则. 当点在直线无限远取值时，，直径， 所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列给出的命题不正确的是（ ） A．若为空间的一组基底，则不能构成空间的一组基底 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则// D．若空间向量，则在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【详解】因为，所以三个向量共面， 所以不能构成空间的一组基底，故A对； 当同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误， 由， 但当时，满足条件，但直线l不平行于平面，故C错； 在上的投影向量为，故D错， 故选：BCD 10．点是椭圆上任意一点，是椭圆的左､右焦点，则（    ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为1 【答案】BCD 【详解】由，可得，则， 即， 因为点在椭圆上，所以. 对于A，的周长为，故A错误； 对于B，设，因为， 所以时，即点在短轴端点时，的面积取得最大值，故B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为4，故C正确； 对于D，由上分析，可得，故， 因为，即， 所以当或时，取得最小值1，故D正确. 故选：BCD. 11．已知正方体的棱长为2，点，，分别为棱，，的中点，则（    ） A．面 B．与面所成角的正弦值为 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．若为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，如图，    则，， ， 又都在平面内，所以平面，A正确； 平面的法向量为，设与面所成角为， ， ，故B错误； 依次连接的中点， 由正方体的性质可知正六边形即为平面截正方体所得的截面， 其边长为，故截面面积为，故C正确； 因为面，设垂足为， 因为直线与直线的夹角为 所以在平面内，以为圆心，为半径作圆，则该圆即为点的轨迹， 由正方体的性质可知：，所以半径， 所以点的轨迹长度为，D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【详解】由点，可得， 则，且， 因为，所以， 所以点到的距离为. 故答案为：. 13．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线的方程为 ． 【答案】和 【详解】（1）若过点，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线过原点满足，此时直线的方程为：； （2）设直线，将代入方程，解得：，故直线的方程为：； 故直线的方程为：和． 故答案为：和 14．已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆上运动，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意，圆的圆心为，点， 线段的垂直平分线交于点， 所以是的垂直平分线上的一点，所以， 又由，所以点满足， 根据椭圆的定义，可得点表示为焦点的椭圆，其中， 可得，所以， 所以椭圆的方程为. 圆的方程为， 圆心，半径， 设，则，， 到圆心的距离， 又当时，取得最大值， 的最大值为：， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分，需写出必要的解答步骤. 15．在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 16．已知椭圆的离心率为，长轴为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，求弦长； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知，又有，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）联立与椭圆可得， 设，则， 所以弦长. 17．已知点为椭圆上的动点，为过点且垂直于轴的直线上一点，且点纵坐标为点纵坐标的2倍． (1)求点的轨迹； (2)过点作斜率为的直线交于点，且点在以为直径的圆外，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则有，又 所以，即． 故点的轨迹为. （2）设直线为，与椭圆联立有： ，消元得， 设，则有， 且有， 由，解得．又点在以为直径的圆外， 所以，解得， 所以，又，所以． 即的取值范围为. 18．如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，. （i）当时，求证：平面； （ii）当二面角的正弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点， 又因为为中点，所以在中，有， 因为平面，平面，所以平面； （2）解法一： 在正方形中，有， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为平面，所以，又， 以为原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示. 则有，，，，， ，，，， （i）当时，，， 所以，， 所以，，即，， 又因为平面，平面，， 所以平面. （ⅱ）设为平面的法向量， 则有，即， 取，得，，则是平面的一个法向量， ， 设为平面的法向量， 则有，即，得， 取，得，， 则是平面的一个法向量， 因为二面角的正弦值为，所以， 所以，即， 化简得，解得或（舍去）. 所以的值为. 解法二： （i）因为平面平面，平面平面， 四边形为正方形，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又，为中点，所以， 又，所以平面， 又平面，所以. 又，，所以，所以， ，， 又. 由余弦定理可得 ， 所以，所以， 又，所以平面. （ii）因为平面，平面， 所以，， 又因为平面，平面， 所以二面角的平面角为， 所以，， 在中，，，所以， 在中，，所以. 又因为，所以， 所以（负值舍去）. 在中， ，， 在中， ， 又， 由正弦定理，得，即，解得， 所以的值. 解法三： （i）同解法二. （ii）因为平面，平面， 所以，， 又因为平面，平面， 所以二面角的平面角为， 所以，， 在平面内，以A为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向， 建立平面直角坐标系，如图所示. 则有，，， ，， ，， ， 即， 化简得，解得或（舍去）. 所以的值为. 19．在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)过定点， 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. （2）由题意可知圆心到直线的距离为. 若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离为； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则有，解得，此时直线. 综上，直线的方程为或. （3）由已知得：直线的斜率必存在，设直线的方程为， 由消去得， 当时，，（※） 又， 即，代入（※）得， 即，解得，或， 当时，直线的方程为，过定点（舍去）； 当时，直线的方程为，过定点， 故当时，直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $