专项3 图形的相似-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年九年级上册数学期末试卷精选（冀教版2012 河北专版）

期末复习方略·攻专项 专项3 图形的相似 锁定期末高频考点，快速掌握 说明：本套试卷根据河北省新中考考情编写 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.(台)已知子=a060),下列变形错误的是 A.4a=5b B.46=5a D.b=5 a 4 2.如图，四边形ABCD四边形EFGH,∠E=85°，∠G=90°，∠D=120°，则∠B等于 A.55° B.75 C.659 D.85° 救 A 0 弥 线 B C 才 6 第2题图 第3题图 第4题图 题 3.〔河北中考〕“这么近，那么美，周末到河北.”嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶 虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）.回家后量出照片上笔和化 石的长度分别为7cm和4cm,笔的实际长度为14cm,则该化石的实际长度为 ) 辐 A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10cm 4.(西安市]如图，直线AD与BC交于点0，AB,∥EF/∥CD.若B0=2,0E=1,EC=2,则 FD的值为 B号 c 5.如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，经过对应点B与E,C与F的两直线交于点O.若OC:OF= 1:3,则下列判断错误的是 A.直线AD一定经过点O B.BC∥EF C.DF=3AC D.△DEF与△ABC的周长比为9：1 D E A 6 02 12 C 第5题图 第6题图 6.〔石家庄市〕依据图中所标注的数据，添加下列任意一个条件，都不能判定△ABC与△DEF相 班 似的是 ( ①LB=∠E:②LA=∠F:③BC ④4C=Dr EF C 12 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 河北专版数学 九年级冀教第1页共3页 7.跨学科物理图中是“小孔成像”实验示意图.已知蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为50cm,当蜡烛火 焰的高度AB是它的像A'B高度的一半时，蜡烛与光屏之间的水平距离为 A.150 cm B.100cm C.50 cm D.25 cm 纸板 光屏 D 8 B4 第7题图 第8题图 第9题图 8.〔合肥市〕如图，点E是正方形ABCD中CD边上的中点，对角线的交点为O,连接BE交AC于点F,则OF:CF 的值为 ( A.2 B时 C.3 D 9.〔唐山市〕如图所示的是三角形纸片ABC,其中D,E是AB边的三等分点，F是DE的中点.若从AB上的 一点M,沿着与直线BC平行的方向将纸片剪开后得到的两部分面积之比为1：2，关于点M的位置， 甲、乙、丙的观点如下： 甲：在BE上且不与点B,E重合；乙：在点D处或点E处；丙：在EF上且不与点E,F重合 则下列说法正确的是 A.只有甲对 B.甲、乙答案合在一起才完整 C.甲、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 二、填空题 10.已知△ABC△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应高线.若AD=8,A'D'=6,则△ABC与△A'B'C的相似比 是 11.中华优秀传统文化情境汉字了黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字 “晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上，且AB∥NP,“晋”字 的笔画八的位置在AB的黄金分割点C处，且BC=√5-L若NP=2m,则BC的长为 AB 2 cm. (结果保留根号) 视线 视，点E 视线 D 第11题图 第12题图 第13题图 12.日常生活情境测旗杆高度了在数学综合与实践活动课上，小南提出利用现有的直尺来测量学校旗杆的高 度.如图，小南把手臂水平向前伸直，手持直尺保持竖直，瞄准直尺的两端E,F,不断调整站立的位置，使 站在点D处正好分别过点F,E看到旗杆的底部A和顶部B.如果小南的手臂长l=50cm,直尺的长a=30cm, 点D到旗杆底部的距离AD=20m,那么旗杆的高度AB为 m. 13.〔济南中考〕如图，一个由8个小正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点 M,N,O,P,Q都在矩形ABCD的边上.若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为 河北专版数学九年级冀教第2页共3页 专项3 三、解答题 14.〔成都市]如图，△ABC与△ABC,是位似图形， C 在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐 标为(1，-6) B (1)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2,使 B △AB,C2和△ABC位似，且位似比为1：2，并写 C 出点C,的坐标为 (2)在图上标出△ABC与△A,B,C,的位似中心 P,并写出点P的坐标为 A 15.〔石家庄市〕如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE. (1)求证：△ABC~△AEB; (2)当AB=6,AC=4时，求AE的长. 16.九上教材P91例2改编(1)如图1，一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高 AD=80mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC 上，这个正方形零件的边长为多少？ (2)若一块三角形材料可以按照图2加工成四个大小相同的正方形，且∠B=30°.求证：AB= BC. H D B 图1 图2 专项3 河北专版数学九年级冀教第3页共3页 期末复习方略·攻专项 专项4解直角三角形 锁定期末高频考点，快速掌握 说明：本套试卷根据河北省新中考考情编写. 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1.〔唐山市〕Rt△ABC的边长都扩大2倍，则cosA的值 A.不变 B.变大 C.变小 D.无法判断 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CDLAB,下列用线段比表示sinA的值，错误的是 CD BC A. B. C.BD CD AC AB ·BC D.BC 北 C 河岸B →东 D 河岸A 第2题图 第3题图 3.一段东西流向且河岸平行的河道如图所示，点A,B分别为两岸上一点，且点B在点A的正北 方向，由点A向正东方向走am到达点C,此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的 长为 () A.atan55°m B.a C0s55°m C.a sin55°m D.a tan55°n 4在△ABC中，AB=AC=10,0sB=2,则BC的长是 A.4 B.8 C.2W21 D.4W21 5.〔唐山市〕某人沿着坡度为1：2的山坡前进了100√5m,则此人所在的位置升高了( A.100m B.505 m C.50m D.100√5m 6.若∠a为锐角，且tana是方程x2-2x-3=0的一个根，则sina等于 A.1 B.V2 C.10 D.310 2 10 10 7.数学思想数形结合了构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算 tan15°时，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D= 15,所以anl15=4C=1 2-√3 =2-√3.类比这种方法，则tan22.5 CD 2+√3(2+√3)(2-√3) 的值为 A.√2+1 B.√2 C.√2-1 1 30 15D B 河北专版数学九年级冀教第1页共3页 专项4 8.中华优秀传统文化情境《天工开物》图1为《天工开物》记载的用于春(chong)捣谷物的工具一一“碓(dui)”的结 构图，图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B,AB与水平线l相交于点0，OE⊥l.若BC=4dm,OB=12dm, ∠B0E=60°，则点C到水平线L的距离CF为（结果用含根号的式子表示） A.(6-2√3)dm B B.(6+2√3)dm C.(2√3-2)dm D.(2√3+2)dm 图1 图2 二、填空题 9.〔正定县〕如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，那么tana的值是 小猫 航行方向 P 门 房间 D 鸟 人 F 0 第9题图 第11题图 第12题图 sinA- 12 10.若△ABC中，∠A,∠B为锐角，满足 2 cos B- 2 =0,则△ABC是 三角形 (选填“钝角”“直角”或“等边”) 11.如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫（小猫位置不变）.如果每块正方形地砖的边长均为1，那么 小猫观察老鼠最大视角的正弦值为 .（不计墙的厚度) 12.〔福建中考〕无动力帆船是借助风力前行的.帆船借助风力航行的平面示意图如图所示，已知帆船航行方 向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N. 根据物理知识，F可以分解为两个力F,与F2,其中与帆平行的力F不起作用，与帆垂直的力F,又可以分 解为两个力f与，f与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力. 在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F=AD=400,则6=CD= (单位：N,参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77.) 三、解答题 13.计算：(1)〔张家口市〕2cos45°+2sin60°-tan60°；(2)〔邢台市改编〕2sin30°+4cos30°.tan30°-tan45°. 专项4 河北专版数学九年级冀教第2页共3页 14.〔河北中考)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点 P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m,仰角为；淇淇向前走了3m后 到达点D,透过点P恰好看到月亮，仰角为B,示意图如图所示.已知，淇淇的眼睛与水平地面 BQ的距离AB=CD=1.6m,点P到BQ的距离PQ=2.6m,AC的延长线交PQ于点E (注：图中所有点均在同一平面) (1)求B的大小及tana的值； (2)求CP的长及sin/APC的值. 弥 D D 线 内 15.〔承德市〕放在水平桌面上的台灯的示意图如图所示，OM垂直于底座且不可转动，支架OA,AB 可分别绕点0，A转动，经调试发现，当∠0AB=115°，∠A0M=160°时，台灯所投射的光线最适 些 合写作业，测量得A到B的水平距离AC=10cm,台灯底座高度为2cm,固定支点0到水平桌 不 面的距离为7.5cm,已知AB+A0=26.14cm,∠C=90°.解决下列问题： (参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，√2≈1.414.) (1)∠BAC= °，0M=; (2)求点B到桌面的距离. 要 6 答 题 席 河北专版数学九年级冀教第3页共3页x=-6,*20.-6±25-3±v5. 2×1 2 x1=-3+W5,x2=-3-√5 (2)因式分解，得(x-1)(3x-2)=0. 于是得x-1=0或3x-2=0. 2 x1=1,x2=3 17.解：(1).关于x的一元二次方程x2-2(1-m)x +m2=0有实数根，∴.b2-4ac=[-2(1-m)P-4 .1 ×1×m2≥0..m≤2 .1 (2)由(1)知m≤2m是最大的负整数，m= -1.将m=-1代人一元二次方程，得x2-4x+1= 0.1+x2=4,x1x2=1.x月+x号=(x1+x2)2- 2xx2=42-2×1=14.+五=号+= x1 X2 X1'x2 4-14 18.解：(1)设每件商品降价x元，则每件商品盈利 (40-x)元，平均每天可以售出(20+2x)件 根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200. 解得x1=10,x2=20. 每件盈利不少于25元，即40-x≥25， ∴.x≤15...x=10. 答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售 利润为1200元 (2)该商店每天的销售利润不可能达到1450元. 理由：设每件商品降价y元，则每件商品盈利(40 -y)元，平均每天可以售出(20+2y)件。 令(40-y)(20+2y)=1450. 整理，得y2-30y+325=0. .∴.a=1,b=-30,c=325 .b2-4ac=(-30)2-4×1×325=-400<0, 原方程没有实数根. .该商店每天的销售利润不可能达到1450元 19.解：(1)设正方形区域的边长为xm,则矩形部分 的长为(x-4)m,宽为(x-5)m. 根据题意，得(x-4)(x-5)=650. 解得x1=30,x2=-21(不合题意，舍去). 答：正方形区域的边长为30m. (2)设小路的宽度为ym. 根据题意，得(30-y)(30-1-y)=812. 解得y1=1,y2=58(不合题意，舍去. 答：小路的宽度为1m. 专项3图形的相似 一、选择题 1.A2.C3.C4.D5.D6.D7.A 8.B【解析】：四边形ABCD是正方形，∴AB=CD, AB,∥CD,0A=0C.E是CD的中点，CE=2CD -AB.0A=OG-OF+CF.AFOA+OF- CE= CF+2OF.AB,/∥CD,△CEF△ABF.A 河北专版数学 CF 1 CF 、1 AF=2六CF+20F=2·2CF=CF+20r 0F1 CF=20F.CF=2故选B. 9.C【解析】过点M作MN∥BC,交AC于点N. MW∥BC,△AMN△ABC..△4w=A AB :若从AB上的一点M,沿着与直线BC平行的方 向将纸片剪开后得到的两部分面积之比为1：2， -子指 AB)=3·AB 3 AB 5号<号<5<1点w可能在 3 上且不与点E,F重合或在BE上且不与点B,E重 合.∴.甲、丙答案合在一起才完整.故选C. 二、填空题 10.4:311.(W5-1)12.12 13.20√13 13 【解析】如图所示，连接EG,则上OEP=90° B 由题意，得OE=3,EP=2,QM=4,∠0EP=∠MQP= ∠EPQ=∠NMQ=90°..OP=√OE2+EP2= √13.，四边形ABCD是矩形，.∠B=∠C=∠A= 90°..∠BMQ=∠CQP=90°-∠MQB,∠EP0= ∠CQP=90°-∠QPC.∴.∠EP0=∠BMQ.∠OEP 气∠B=90°，△0EP△QBM.OB=BMs 4.0B=1213 13 BM=8Y33.LB=LA=90,六∠BM09 ∠ANM=90°-∠AMN.'QM=MN=4,.△QBM ≌△MAN.QB=AM=2g13AB=AM+ BM=20√13 13 三、解答题 14.解：(1)△AB2C2如图所示.(1，-3) S C B B C C B2 A 九年级 冀救 (2)点P位置如图所示.(-1，-2) 15.解：(1)证明：四边形ABCD为菱形， .LACD=∠BCA. LACD=∠ABE,∴.LBCA=∠ABE. :∠BAC=∠EAB,.△ABC∽△AEB. 2△Mc-AMB投=G AB=6.AC=4.AE=6 64 ..AE =9. 16.解：(1)设正方形零件的边长为xmm,则KD= EF=x mm,AK=AD-KD =(80-x)mm. 四边形EFHG是正方形，∴.EF∥BC. .△AEF△ABC.BC=AD EF AK ￥=80-.解得x=48. 120=80 .正方形零件的边长为48mm. (2)证明：过点A作AD⊥BC分别交BC,GH,EF于 点D,N,M. 根据正方形的性质，得EF∥GH∥BC. .△AEF△AGH,△AGH△ABC,AMLEF,ANL 6m微-品8设 设每个小正方形的边长为a,则AM=AD-DM= AD-2a,AN AD-DN AD-a. ÷40-2a-“,4D-0=30 AD-a 3a’AD BC ..AD=2.5a,BC=5a...BC=2AD. ∠B=30°，AD⊥BC,∴.AB=2AD.∴.AB=BC 专项4解直角三角形 一、选择题 1.A2.D3.D4.B5.A6.D 7.C【解析】如图，在等腰直角三角形ABC中， ∠C=90°，延长CB至点D,使得AB=BD,则 ∠BAD=∠D. 22.5 C B D LABC=45°，∠D=2ABC=22.5.设AC=1, AC 则CB=1,AB sin2ABc=√2CD=CB+BD= CB+AB=1+√2..tan2.5°=tanD=A CD 1 √2-1 =√2-1.故选C. 1+√2(1+√2)（√2-1） 8.A【解析】延长DC交于点H.OELl,ABLCD, ∠E0H=90°，∠ABH=90°.∠B0E=60°， ∴.∠B0H=30°..∠BH0=90°-∠B0H=60°.在 Rt△OBH中，OB=12,.BH=OB.tan.∠B0H=12 ×an30°=12×5=4V3.:CH=BH-BC= 3 4W3-4..CF=CH-sin.∠BH0=(4√3-4)× 河北专版数学 3=(6-23)dm.故选A 2 二、填空题 9.音10.等边 11.√0【解析】如图所示，小猫观察老鼠的最大 10 视角为∠BAD. 小猫 E 房间 、D C B 根据题意，可得AB2=62+32=45,BD2=22+12= 5,AD2=52+52=50,.AB2+BD2=AD2,BD= √5，AD=5√2..△ABD是直角三角形，∠ABD= 90'.sinLBAD=BD=5=10 AD5√210 12.128【解析】∠PDA=70°，∠PDQ=30°， ∴.∠ADQ=∠PDA-∠PDQ=40°.由题意可知 AB∥QD..∠BAD=∠ADQ=40°.：在Rt△ABD 中，F=AD=400,∠ABD=90°，∴.F2=BD=AD sin∠BAD=400sin40°≈400×0.64=256.由题 意可知BD⊥DQ..∠BDQ=90°..∠BDC=180°- ∠BDQ-∠PDQ=60°.∴.在Rt△BCD中，5=CD= BD-emBD0=256Xems60=256×2-128 三、解答题 13.解：(1)原式=2×2+2×5-√3 2 2 =√2+√3-√3 =√2 （2)原式=2×分+4x号x得- 2 =1+2-1 =2. 14.解：(1)根据题意，得PQ⊥AE,PQ=2.6,AB= CD=EQ=1.6,AE=BQ=4,AC=BD=3. ∴.CE=AE-AC=1,PE=PQ-EQ=1,∠CEP=90°. ÷CE=PE,tana=PE=1 AE=4 ∴.B=∠PCE=45°. (2)CE=PE=1,∠CEP=90°， .CP=√CE2+PE2=√2. 如图，过点C作CH⊥AP于点H. D ☆ H 窗户 A B E D 0 九年级冀教