专题09 期末真题百练通关（60题13大压轴题型）（含几何和函数）（期末复习专项训练）九年级数学上学期沪科版

专题09 期末真题百练通关（60题13大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 二次函数的最值问题 题型6 二次函数的图象与性质 题型2 二次函数与一元二次方程的关系 题型7 二次函数与几何综合 题型3 二次函数中的图形运动问题 题型8 二次函数中的探究性问题 题型4 几何中的最值问题 题型9 反比例函数与几何综合 题型5 圆中的最值问题 题型10 相似三角形综合 题型11 解直角三角形综合 题型12 旋转与几何综合 题型13 圆的几何压轴 题型一 二次函数的最值问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（  ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东揭阳·一模）已知和为方程的两个实数根，且，则实数n的最大值为 ． 题型二 二次函数与一元二次方程的关系（共3小题） 4．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）已知抛物线（a、b、c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴左侧，下列结论中，错误的是（   ） A． B．方程没有实数根 C． D． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线（，a，b，c为常数）经过点，，且满足，．下列四个结论：①；②；③抛物线上的两点，，当时，则；④关于x的方程无实数根．其中一定正确的是 （填写序号） 6．（24-25九年级上·广东广州·期中）我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有   （填序号） 题型三 二次函数中的图形运动问题（共3小题） 7．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在矩形中，，，当三角板的直角顶点F在边上移动时（不与点B，点C重合），直角边始终经过点A，设三角板的另一直角边与相交于点H．若，，那么y与x之间的函数图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   8．（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，cm，cm，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，，分别是，的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是个单位秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型四 几何中的最值问题（共3小题） 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中，，，以为腰向外作等腰，，连结，则线段的最大值为（　　） A． B．6 C． D．8 11．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B．8 C．5 D． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，等腰与等腰，，，，，垂足为H，直线交于点O．将绕点C顺时针旋转，则的长的最大值是 ． 题型五 圆中的最值问题（共3小题） 13．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是的直径，点C是上一点，，点D是上一动点，以为边作，连接，若，则的最大值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 14．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，、是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点，当的面积最大时，点的坐标为 ． 15．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，在平面坐标系中，，，为动点，，为直线上的动点，则线段长的最小值为 ． 题型六 二次函数的图象与性质（共3小题） 16．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（是常数，且）． (1)若拋物线经过，求二次函数解析式． (2)在（1）的条件下，抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该拋物线上，求点的坐标． (3)若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与y轴相交于点，与x轴相交于点，． (1)求抛物线的函数表达式及d的值． (2)M是抛物线上的一点，且在第四象限内． ①如图1，当点M到x轴的距离为3时，的面积为_______． ②如图2，过点M作于点N，当线段最大时，求此时点M的坐标． (3)将抛物线：沿x轴翻折，得到抛物线，点P（横坐标为x）在抛物线上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意，恒成立，请直接写出实数t的所有整数值的和． 18．（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的的取值范围； (3)已知和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 题型七 二次函数与几何综合（共3小题） 19．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为点，交于点．点为抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）问取得最小值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 20．（25-26九年级上·天津·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； (3)抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型八 二次函数中的探究性问题（共3小题） 22．（24-25九年级上·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”． (1)直线上的“好点”坐标为______； (2)若“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式； (3)若“好点二次函数的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最大值与最小值的差为d，求d关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围． 23．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如， (1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标_______． (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，求的取值范围． (3)设关于x的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，且，求m，的值． 24．（24-25九年级上·云南昆明·期末）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（c为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数解析式； (2)在（1）的条件下，①求出该图象上的“三倍点”坐标；②当时，求出该函数的最小值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 题型九 反比例函数与几何综合（共3小题） 25．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知：双曲线． (1)若直线与双曲线交于点，求和的值； (2)在（1）的条件下，直线分别交轴、轴于点、，若的顶点在双曲线上，点在平面内，且的面积是某个定值，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标； (3)若点，点在双曲线的第二象限，连接并延长交双曲线于点，连接交双曲线于点（点在点的左侧），连接交轴于点，若点的横坐标为，求的长． 26．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，轴上的点，作直线． (1)求反比例函数的解析式； (2)直线与轴交于点，连接，． ①在直线上找点，使得，求出所有点的坐标； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 27．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 题型十 相似三角形综合（共3小题） 28．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 29．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 30．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． 题型十一 解直角三角形综合（共3小题） 31．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决 （1）若四边形是菱形，边长为2，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，连接，则与的数量关系为 ，长度的最小值为 ． 【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决： （2）如图2，若四边形是正方形，边长为2，点O为中点，点P是射线上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接求： ①与的数量关系； ②求长度的最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的基础上，当P是对角线的延长线上一动点时，以为直角边在边的右侧作等腰，，连接，若，，求的面积． 32．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是、上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则=______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上， 且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中， E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 33．（24-25九年级上·陕西西安·期末）（1）如图①，中，，．点P为上动点，则长度的最小值为___________． （2）如图②，中，，，，点P为平面内一点，，于点．求长度最小值． （3）如图③，光明公司在一块四边形荒地进行观赏种植实验，经过测量发现，四边形中，米，米，．种植方案是：将四边形分成一些区域种植不同的观赏作物，其中点在上，，于点P，交于点．现决定先对区域进行种植实验，请你确定的面积是否有最小值，若有最小值，求出的面积最小值；若没有最小值，请说明理由． 题型十二 旋转与几何综合（共3小题） 34．（25-26九年级上·河南安阳·期末）综合与实践 在数学活动课上，某兴趣小组用两张完全相同的长方形纸片（长）展开探究活动． (1)他们先将两张完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点与点重合，边与边共线，边与边在同一直线上．请写出图中一个的角___________； (2)如图2，他们继续将长方形绕点顺时针旋转后，边与边交于点，连接，若． ①求证：是等腰三角形； ②求的长； (3)从图2开始，他们将长方形绕点顺时针旋转一周，，当边所在的直线恰好经过线段的中点时，连接，直接写出的长． 35．（25-26九年级上·江苏南通·期末）（1）如图①，在等边三角形中，点B，C在直线上，E为边上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是 ，线段与直线所夹锐角的度数是 ． （2）如图②，在等边三角形中，点B，C在直线上．若E为延长线上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，在正方形中，点B，C在直线上，E为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，若正方形的边长为2，则当时，求线段的长． 36．（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上． (1)如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形，A，B，C的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交x轴于点D，与y轴交于点E． ①如图②，当时，点的坐标为 ，点E的坐标为 ； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围． 题型十三 圆的几何压轴（共3小题） 37．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 38．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)的半径为_________；与相交于点M，求阴影部分的面积； (3)F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边，交于点G，H，连接，．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说得是否正确，并说明理由； (4)在（3）的条件下，设（），，直接写出y与x之间满足的函数关系． 39．（25-26九年级上·浙江金华·期中）（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到； （2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数； （3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值； （4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，求的取值范围？ 1.二次函数图象如图，下列结论：①若，且，则；②；③；④当时，．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，以下结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线l上，点C，E重合．现将沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为（    ） A．B．C．D． 4.如图，函数G的图象是由的图象和它关于成中心对称的图象组成．下列说法：①函数G的图象关于轴对称；②当时，函数G随的增大而增大；③直线与G图象有三个交点，则；④已知不重合的两点，在函数G的图象上，且，，若当时，函数G的最大值和最小值均为定值．则的取值范围为．其中正确的命题有（   ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．②③ 5.如图，在钝角三角形中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，平分交于点M，取的中点D，的中点N，连接，，．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6.如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C． D． 7.如图，已知正方形的边长为4，E是线段上的一点，过点C作的垂线交于点F，以点F为圆心，长为半径的圆交于点P，点M在上，点N在上，则周长的最小值为(    ) A． B． C． D． 8.如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 9.如图，四边形为正方形，，于是绕点逆时针旋转60°得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 10.如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（     ） A．4 B． C． D．5 11.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若对于，都有，则的取值范围是 12.如图，在矩形中，，连接，在边上取一点，过点作，交于点，连接，在上取一点，使得，连接，则的最小值为 ． 13.如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，过点作于点． （1） ； （2）连接，若交于点，则 ． 14.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点．A，B是半径为2的上的两动点，且，M为弦的中点，点．当A，B两点在圆上运动时，面积的最大值是 ． 15．如图①，D是等边三角形内部的一点，连接，，．将绕着点C顺时针旋转一定的角度得到，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，，求的度数； (3)【探究】如图②，E为正方形内部的一点，连接、、，将绕着点C顺时针旋转一定的角度得到．若，，，求的长为 16.【问题探究】 （1）如图1，已知的半径是3，点是上的一个动点，点是平面内一点，连接，，则线段的最大值为___________； 【问题延伸】（2）如图2，在中，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点，连接，求线段的最小值； 小亮同学思考如下：由知，则点在以为直径的圆上，如图2，以为直径作，连接交于点，则当三点共线（即点与点重合）时，取得最小值，即为． 请你根据小亮同学的思路，写出解题过程； 【拓展提升】 （3）如图3，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆（左侧）两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点，沿修建小路，并在的中点处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，求仿古长廊长度的最小值．（小路、长廊宽度及凉亭大小忽略不计） 17.【问题探究】 （1）已知正方形，点E在边上，点H在射线上，连接 ①如图1，当点H在边上时，过点H作交于点O，交边于点G，则线段______；（填“”“”或“”） ②如图2，平移图1中的线段，使点G与点D重合，点H在的延长线上，连接，取的中点P，连接，点N在上，且，连接求证：； 【问题解决】 （2）如图3，某市区有一块正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点E、F分别是正方形的边、的中点，沿、修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观G处，为人行步道，同时修建一条穿过G点的特色步道（点M、N分别在边AD、BC上），且，将点E规划为一个入口，需要确定点E到点M的长度与整条步道MN长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请你帮助工作人员求出的值廊道宽度忽略不计） 18.在边长为的正方形中，作射线，点是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形，点，，，按顺时针排列，连接交射线于点，连接． (1)当点在线段上（不与点和点重合）时，如图， ①请判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长； (2)当时，求的长． 19.如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作轴，交直线于点N，求四边形的最大面积，并求出点M的坐标； (3)是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 20.若抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点，则称与互为“孪生抛物线”． (1)抛物线与互为“孪生抛物线”吗？ (2)求出抛物线的所有“孪生抛物线”（要求顶点坐标在坐标轴上）； (3)已知抛物线，互为“孪生抛物线”． ①求常数的值； ②点，分别是抛物线与上的动点（位于两顶点之间），且直线平行轴，求线段长的最大值． 21.如图1是放在水平桌面上的高脚杯的轴截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． (1)如图2，以C为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，从点B处插入一根吸管（吸管粗细忽略不计），吸管恰好位于截面内，吸管的一端与杯子交于点M，连接，已知的面积是面积的2倍，求点M的坐标； (3)如图3，现将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当倾斜角为时停止，此时液面为，求此时高脚杯内液体的最大深度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 期末真题百练通关（60题13大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 二次函数的最值问题 题型6 二次函数的图象与性质 题型2 二次函数与一元二次方程的关系 题型7 二次函数与几何综合 题型3 二次函数中的图形运动问题 题型8 二次函数中的探究性问题 题型4 几何中的最值问题 题型9 反比例函数与几何综合 题型5 圆中的最值问题 题型10 相似三角形综合 题型11 解直角三角形综合 题型12 旋转与几何综合 题型13 圆的几何压轴 题型一 二次函数的最值问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（  ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，解题的关键是运用分类讨论思想．首先根据待定系数法得到n与m的关系，再根据二次函数的对称轴位置分情况讨论，求出m的值． 【详解】解：二次函数的图象经过点， 代入，得，即， 二次函数对称轴为直线， 然后分情况讨论： ①对称轴为直线，即， 此时在上，y随x的增大而增大， 当时，y有最小值0，不符合题意，舍去； ②对称轴为直线满足时，即， 此时二次函数的顶点在范围内，顶点的纵坐标为最小值， 二次函数顶点纵坐标公式为，将代入， 可得， 解得或， ， ； ③对称轴为直线，即， 此时在上y随x的增大而减小， 当时，y有最小值， 令，解得，不符合题意，舍去； 故答案为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9， ∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，当时，y随的x增大而增大， 那么时取得最小值，时取得最大值， 最小值为，最大值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程- ， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当时， 此时 时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 此时最大值与最小值的差为12， 符合题意； ③当时， 此时时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为：． 故选：B． 3．（2025·广东揭阳·一模）已知和为方程的两个实数根，且，则实数n的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数的最值问题，根据根解析式的关系可得，，进而结合已知条件，表示出的函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵和为方程的两个实数根， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴存在最大值，最大值为 故答案为：． 题型二 二次函数与一元二次方程的关系（共3小题） 4．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）已知抛物线（a、b、c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴左侧，下列结论中，错误的是（   ） A． B．方程没有实数根 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的增减性，利用数形结合思想，计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴对称轴为直线， ∵抛物线（a、b、c为常数，）经过点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得，此时无解； 当时，，解得，此时取值范围为， ∴，， ∴， 故A，C选项都正确； ∵抛物线开口向下，与x轴的一个交点坐标为，且在对称轴的右侧， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵，且当时，， ∴， ∴， 故D选项正确； ∵， ∴方程， ∵抛物线开口向下，且经过点， ∴抛物线分布在四个象限中， ∴当时，与抛物线一定有两个不同的交点， ∴方程有实数根， 故B选项错误． 故选：B． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线（，a，b，c为常数）经过点，，且满足，．下列四个结论：①；②；③抛物线上的两点，，当时，则；④关于x的方程无实数根．其中一定正确的是 （填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据抛物线经过点，，可得，对称轴为，推出，，再结合，，可判断①和②；根据抛物线上的两点，，且，结合抛物线的对称轴为，列出关于的不等式，求出的范围，可判断③；代入，到方程，再利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴，对称轴为， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； ∵， ∴抛物线的图象开口向下， ∵抛物线上的两点，，且， ∴， 解得：， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于x的方程无实数根，故④正确； ∴综上所述，一定正确的是①②④． 故答案为：①②④． 6．（24-25九年级上·广东广州·期中）我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有   （填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据题意，可知，的图象，是由的图象，函数值小于0的部分的图象沿轴翻折得到的，分两种情况求出函数解析式，进而判断①②③，图象法，求出临近点，判断④． 【详解】由题意，可知，的图象，是由的图象，函数值小于0的部分的图象沿轴翻折得到的， 由图象可知：过点，或，， 当过点，时： 设函数解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 此时， ∴， 同理，当过点，时：， 此时， ∴， 故①错误，②正确； ∵图象过，对称轴为，故③正确； 如图， 当直线过时，，， 当直线过时，，， ∴当时，直线与 的图象有2个公共点， 当与只有一个交点时： 令，整理，得： ，解得：， ∴当时，直线与 的图象有2个公共点， 综上：当直线与 的图象有2个公共点，则或；故④正确； 故答案为：②③④ 题型三 二次函数中的图形运动问题（共3小题） 7．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在矩形中，，，当三角板的直角顶点F在边上移动时（不与点B，点C重合），直角边始终经过点A，设三角板的另一直角边与相交于点H．若，，那么y与x之间的函数图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数的图象，矩形的性质，勾股定理， 连接，根据勾股定理得 ，再代入数值整理得出关系式即可得出图象． 【详解】解：如图所示，连接，    根据题意可知，则，， 根据勾股定理得 ， 即，， ∴， 整理，得． 当时，， 所以图象是过原点的抛物线，开口向下，当时，，图象最高点． 故选：B． 8．（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，cm，cm，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理．需要根据点的不同位置分情况讨论的面积与时间的函数关系．先求出不同时间段内的长度，再通过相似三角形等知识求出相应的高，进而得到面积表达式，最后根据函数表达式判断函数图象。分两种情况讨论：当时，点在上，过作交于点，当时，点在上，两种情况求出函数解析式即可求解； 【详解】解：①当时，点在上， ∴，， 过作交于点， ∵中，，，， ∴， ∵，， 又∵ ∴， ∴，即 ∴， ， 此时 是关于的二次函数，且二次项系数，图象开口向上； ②当时，点在上，如图， ， 此时是关于的二次函数，二次项系数，图象开口向下，对称轴为 综上所述，正确的图象是C． 故选：C． 9．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，，分别是，的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是个单位秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∵点是中点， ∴，， 当时，点在上，点在上，， ∴； 如图，当时，点在上，点在上， ∵， ∴，，， ∴ ； 如图，当时，点都在上， ∴， 综上判断选项A的图象符合题意， 故选：A． 题型四 几何中的最值问题（共3小题） 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中，，，以为腰向外作等腰，，连结，则线段的最大值为（　　） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等及性质，勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，连接，可证得，进而可知，取的中点E，连接、，得到的长度，通过勾股定理算出，进而通过，即可知道答案． 【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，连接，则，， ∵以为腰向外作等腰，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 取的中点E，连接、，则， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最大值为， 故选：A．    11．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B．8 C．5 D． 【答案】B 【分析】过点B作轴于点C，过点作轴于点D，证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接，根据两点之间线段最短，得出当在点E处时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图所示： 则， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∵为定值， ∴当最小时，的周长最小， 如图，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当在点E处时，最小，且最小值为的长度， ∴最小值为：， ∴的周长最小值为． 故选：B． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，等腰与等腰，，，，，垂足为H，直线交于点O．将绕点C顺时针旋转，则的长的最大值是 ． 【答案】 【分析】如图，延长到N，使得，连接，，连接交于M，取的中点F，连接，，根据可证的，然后根据角度关系可证得，从而得到，然后得到点O为中点，可得到是中位线，从而求出，然后在中，利用勾股定理计算出，当O，A，F三点共线时即可解决问题 【详解】如图，延长到N，使得，连接，，延长交于M，取的中点F，连接，，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 题型五 圆中的最值问题（共3小题） 13．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是的直径，点C是上一点，，点D是上一动点，以为边作，连接，若，则的最大值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，过C作于H，连接，，，根据正弦的定义求出，根据勾股定理求出，，然后根据证明，得出，则，故当B、C、E三点共线时，取最大值为11． 【详解】解：过C作于H，连接，，， ∵是的直径，， ∴半径， ∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 根据勾股定理，得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当B、C、E三点共线时，取最大值为11， 故选：C． 14．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，、是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点，当的面积最大时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，过点作于点，连接，可证明是等腰直角三角形，则；求出，，可证明是等腰直角三角形，则，，可证明当点O在线段上时，有最大值，此时，即此时点P到的距离最大，则此时的面积最大，且，求出直线解析式为，设，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    由题意可知，，， ， ∴是等腰直角三角形， 为弦的中点， ， 在中，当，则；当，则，解得：， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 为的中点， ∴，， ∵， ∴当点O在线段上时，有最大值，此时，即此时点P到的距离最大， ∴此时的面积最大，且， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， 解得或（舍去）， ∴ 故答案为：． 15．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，在平面坐标系中，，，为动点，，为直线上的动点，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，三角形的三边关系，一次函数的几何应用等，由得点在以为直径的圆上，设为直径的圆的圆心为点，可得，即得，又可知直线时，最短，利用勾股定理求出的最小值即可求解，由题意判断出点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在以为直径的圆上， 设为直径的圆的圆心为点，如图， 连接交于， ∵，， ∴，， ∴， ∵(当且仅当共线时取等号) ， ∴， ∵直线时，最短， ∴的最小值为， ∴线段长的最小值为， 故答案为：． 题型六 二次函数的图象与性质（共3小题） 16．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（是常数，且）． (1)若拋物线经过，求二次函数解析式． (2)在（1）的条件下，抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该拋物线上，求点的坐标． (3)若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或3 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、新定义，分类求解是解题的关键． （1）把代入解析式计算即可求解； （2）设点，则平移后点的坐标为：，将该点的坐标代入即可求解； （3）由抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍得到方程且，即可得到，再根据与的位置关系分情况讨论分别求最小值即可． 【详解】（1）解：∵拋物线经过， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设点，则平移后点的坐标为：， 将该点的坐标代入得：， 解得：， 则点的坐标为：； （3）解：存在， 理由： 一个点的纵坐标是横坐标的三倍的点所在图形解析式为：， 得方程组，，整理得：， ∵抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍， ∴，即 ∴， 当时，，当时，，当时，， 当，即时，在范围内随的增大而减小，则函数在时取得最小值，即，解得或（舍去）； 当，即时，则函数在顶点时取得最小值，即（舍去）； 当，即时，则函数在时取得最小值，即则或（舍去）； 综上，或3． 17．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与y轴相交于点，与x轴相交于点，． (1)求抛物线的函数表达式及d的值． (2)M是抛物线上的一点，且在第四象限内． ①如图1，当点M到x轴的距离为3时，的面积为_______． ②如图2，过点M作于点N，当线段最大时，求此时点M的坐标． (3)将抛物线：沿x轴翻折，得到抛物线，点P（横坐标为x）在抛物线上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意，恒成立，请直接写出实数t的所有整数值的和． 【答案】(1)； (2)①6；② (3)3 【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的函数表达式，然后把代入解析式求解即可； （2）①根据两点坐标求出，再根据三角形面积公式求解； ②过点M作于P，连接，，设点，且点M在第四象限内，则，，，再根据，则，然后由二次函数的最值求解即可； （3）根据二次函数图象的几何变换求得抛物线：，则抛物线：开口向下，当时，y随x增大而增大 ，当时，，y随x增大而减小，当时，y 有最大值4；然后分类讨论：当时，当时，当时，分别求出整数t的值，从而即可求解． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴抛物线的函数表达式， 把代入，得 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴． （2）解：①∵，， ∴ ∵当点M到x轴的距离为3时， ∴； ②过点M作于P，连接，， ∵，， ∴， 设点， ∵点M在第四象限内， ∴，，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时，有最大值， ∴当时， ∴当线段最大时，此时点M的坐标为． （3）解：∵抛物线：沿x轴翻折，得到抛物线， ∴抛物线：， ∵ ∴抛物线：开口向下，当时，y随x增大而增大 ，当时，，y随x增大而减小，当时，y 有最大值4； 当，即时， 在时，最大值， 最小值， ∵ ∴ 解得： ∴； ∴t的整数值为0， ②当 且，即时， 在时， i)当时，最大值， 最小值， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴t的整数解为1； ii)当时， ∴t无整数解； ③当，即时，最大值， 最小值， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴t的整数解为2； 综上，若对于任意，恒成立， 实数t的所有整数值的和为． 18．（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的的取值范围； (3)已知和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． （1）先求出解析式，再令，即可求解； （2）先求出解析式为，则向上平移3个单位长度后的函数解析式为：，然后求出对称轴，根据x的取值范围可得y的最值； （3）由题意得， 在上恒成立，问题转化为：在上恒成立，再分类讨论，画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当， ∴抛物线与轴的交点坐标为； （2）解：∵点在的图象上， ∴， 解得：或（舍）， ∴解析式为：， 则向上平移3个单位长度后的函数解析式为：， 对称轴为直线：， ∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∴当时，求新的二次函数的的取值范围：． （3）解：由题意得，， 在上恒成立， 问题转化为：在上恒成立， 当时，， 令， 当时，， 要满足时，，则，如图： ∴； 当时，， 令， 当时，， 要满足时，，则，如图： ∴ 综上所述：对于，都有，则的取值范围为或． 题型七 二次函数与几何综合（共3小题） 19．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为点，交于点．点为抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）问取得最小值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数与几何图形的综合，学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是正确解决问题的关键． （1）用待定系数法求解析式即可； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时最小，即可求解； （3）点关于原抛物线的对称点为点，，则直线过点，得到直线的表达式为，当点在轴上方时，直线和关于轴对称，直线的表达式为，分别联立直线，和抛物线的表达式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，与x轴交于点， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：抛物线的表达式为， 设直线的表达式为， ， 解得， 直线的表达式为， 设点，则点， ， 当时，取得最大值， 此时，点，    点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时最小， ； （3）解：抛物线沿射线方向平移，故抛物线向右平移个单位，向下平移个单位，    则新抛物线的表达式为， 其对称轴为直线， 新抛物线对称轴过点， ， ， 新抛物线的表达式为， 点关于原抛物线的对称点为点， ， 直线过点， 直线的表达式为， 当点在轴上方时，直线和关于轴对称， 直线的表达式为， 分别联立直线，和抛物线的表达式得： 或， 解得：或（不符合题意的值舍去）， 故点或． 20．（25-26九年级上·天津·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为直线 (2)，4 (3)存在，M的坐标是或 【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式，求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，根据抛物线与x轴交点可得交点式，化简即可求解； （2）求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以， 则抛物线的对称轴为直线； （2）解：设直线的表达式为， 将点B的坐标代入上式得， 解得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ， ∴有最大值， 当时，的最大值为4； （3）解：存在，理由： 当时，点， 设点，而点； ∵四边形是菱形， ∴， 即， 解得：， 即点M的坐标为或． 21．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； (3)抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或3或或 (3)， 【分析】（1）根据待定系数法，将点、点代入抛物线解析式，解关于、的一元一次方程，即可求得抛物线的解析式； （2）通过点、求出直线的解析式，设点、的坐标，结合轴，以、、、为顶点的四边形是平行四边形得，解一元二次方程即可． （3）过点作于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点．设点，当在右侧时，证明，得、，故可推出，解二元一次方程组可得，即，结合点推出直线的解析式为，联立解一元二次方程即可得；当在左侧时，同理可得． 【详解】（1）解：将点、代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设点， 抛物线与轴交于点， ． 设直线的解析式为， 将点、代入，得：， 解得：，， 直线的解析式为． 设， ， 轴， ， 当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 解得或或或． （3）解：抛物线上存在点，使，理由如下： 过点作于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点． 设点． ①当在右侧时，如图： ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， 解得：， ， 由，可得直线的解析式为， 联立， 解得：（此时点，点重合，舍去）或， ． ②当在左侧时，如图： 同理可得：， 解得：， ，直线的解析式为， 联立，解得：（此时点，点重合，舍去）或， ． 综上所述，点坐标为或． 题型八 二次函数中的探究性问题（共3小题） 22．（24-25九年级上·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”． (1)直线上的“好点”坐标为______； (2)若“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式； (3)若“好点二次函数的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最大值与最小值的差为d，求d关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值等知识，分类讨论是解题关键． （1）根据好点的定义得到，解方程即可求出答案； （2）根据“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”解得或，即可得到这个“好点二次函数”的表达式； （3）先求出“好点二次函数”，再根据的取值范围，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ∴直线上的“好点”坐标为， 故答案为： （2）解：当时，， ∴“好点二次函数”的图象与y轴的交点是, ∵“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”， ∴， ∴“好点二次函数”为， ∵是“好点二次函数”，顶点为， ∴， 解得或， ∴这个“好点二次函数”的表达式为或； （3）∵“好点二次函数”的图象过点， ∴， 解得，， ∴或 ∵的顶点是在第三象限，不合题意，舍去， ∴， ∵“好点二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值， 此时 当，即时，函数的最小值为2， 当时，即时， 当时，函数取得最大值为， ∴， 当时，即时， 当时，函数取得最大值为， ∴ 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值， ∴ 综上所述， 23．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如， (1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标_______． (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，求的取值范围． (3)设关于x的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，且，求m，的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）联立和得：，则①，将代入得：②，得到，再分类求解即可． （3）求出点B、C的坐标分别为：、，由，即可求解． 【详解】（1）解：令得：或1， 故“平衡点”坐标为或， 故答案为：或； （2）解：联立和得：， 则①， 将代入得：②， 联立①②并解得：，， 则， 该函数的对称轴为直线， 当时，，当时，，当时，， 当时，则函数在时取得最小值，在时，取得最大值1， 即， 则； 当时， 抛物线在时取得最大值1，在或m处取得最小值， 即，即， 当时，和关于对称，故也成立， 即， 即； （3）解：令，则，则， 即，则，即点； 令， 解得：或， 即点B、C的坐标分别为：、， ∵，则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 故． 24．（24-25九年级上·云南昆明·期末）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（c为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数解析式； (2)在（1）的条件下，①求出该图象上的“三倍点”坐标；②当时，求出该函数的最小值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②当时，，当时， (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由 决定．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式； （2）①设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入抛物线解析式，即可确定“三倍点”坐标；②由（1）可知，分为当即时，当即时，分别求解即可． （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， ∴抛物线解析式为， （2）解：①设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入， 得， 整理得， 解得， ∴“三倍点”坐标为； ②由（1）可知， 抛物线对称轴为直线， 当即时， ， 当即时， ， 综上，当时，， 当时，； （3）解：由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则，解得； 把代入得，代入得， ∴，解得； 把代入得，代入得， ∴，解得， 综上，的取值范围为：． 题型九 反比例函数与几何综合（共3小题） 25．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知：双曲线． (1)若直线与双曲线交于点，求和的值； (2)在（1）的条件下，直线分别交轴、轴于点、，若的顶点在双曲线上，点在平面内，且的面积是某个定值，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标； (3)若点，点在双曲线的第二象限，连接并延长交双曲线于点，连接交双曲线于点（点在点的左侧），连接交轴于点，若点的横坐标为，求的长． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或或； (3)的长为2． 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意平移直线与，有一个交点，利用根的判别式求得点的坐标为；再根据题意将直线向下平移个单位，得到直线解析式为，联立得，据此求解即可； （3）先求得点的坐标为，先后利用待定系数法求得直线、直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， ∴交点为， 将代入得，； （2）解：由（1）得双曲线的解析式为， 对于直线， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵的面积是某个定值，符合条件的点有且只有三个， ∴双曲线上只有三个不同的点到的距离相等， ∴平移直线与双曲线只有一个交点时， 设平移后直线的解析式为， 联立得， 整理得， ， 解得（舍去）， ∴， ∴，， 此时点的坐标为； ∴平移后直线的解析式为，令，则， ∴直线是由直线向上平移个单位， 则直线向下平移个单位， 其解析式为， 联立得， 整理得， ， ∴， 则或， 此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； （3）解：∵点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为，即的长为2． 26．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，轴上的点，作直线． (1)求反比例函数的解析式； (2)直线与轴交于点，连接，． ①在直线上找点，使得，求出所有点的坐标； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)①，；②， 【分析】（1）由点和点都在反比例函数的图象上可得，求出m的值，即可得的值，进而可得反比例函数的解析式． （2）①先求出直线的解析式为，进而可得，由可知满足条件的M点有两个，如图 和．当时，可得，进而可得，则，可求得．由，可得，进而可得． ②设，，分两种情况：当四边形是平行四边形时，和当四边形是平行四边形时．根据平行四边形对边平行且相等，列方程求出m、n的值即可得解． 【详解】（1）解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴，， ∴反比例函数的解析式为． （2）①把，代入中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． ∵， ∴满足条件的M点有两个，如图 和． ∵， ， 即， 由，，可知，A点是线段的中点， ∴， ∵， ∴当时，，此时， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 综上，点的坐标为，． ②设，． 如图，当四边形是平行四边形时， ∵，， ∴， 解得， ∴，． 当四边形是平行四边形时， ∴，， ∴， 解得， ∴，． 综上，P点的坐标为，． 27．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、或 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论； （2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解； （3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的坐标为也在上， ， 的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上， 代入可得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，可得，解得 ， ， 的坐标为，的坐标为， ； （3）解：①若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图， 设点， ，， 是直角三角形， ， 即， 解得， 点的坐标为． ③当时，如图， 当点在轴上时，设点， ，， 是直角三角形， ， ， 解得， 点的坐标为． ④若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为． 综上可得点的坐标为、、或． 题型十 相似三角形综合（共3小题） 28．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上内容以及熟练进行中间比转化证明比例式是解题关键． （1）由菱形性质知，由知，，由菱形对角相等可得，从而． （2）由，可得，则，，由，可得，，因为，则，再证明，，从而． （3）由菱形性质证明，再证明，列出比例式，由（2）中知，故，化为乘积式即． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 由菱形对角相等可得， ； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故； （3）证明：由菱形性质知， ， ， ， ． ， ， ， 由（2）中知， ， ． 29．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 【答案】(1)①，理由见解析② (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①证明，即可解答； ②延长交于点G，证明，得到，设，则，根据勾股定理可得，，再证明，得到，证明，得到，即可求解； （2）当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：①，理由如下：             如图1，由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；                                     ②如图2，延长交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：x， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：如图3，由折叠可得： 当中边上的高最小时，的面积最小， 即当E，C，三点共线时，的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 即面积的最小值为， 故答案为：． 30．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得出结论； （2）先证明，得出，再证明出，由三角形相似的判定定理证明，再由相似三角形的性质得出结论； （3）先求出，再由勾股定理求出，设设，则，再由勾股定理得出°，求出，从而得到是等边三角形，然后求出． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 所以四边形是菱形． （2）证明：因为四边形是菱形， 所以， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：， ， 由（2）知，， ， 由（2）知， ， ， 在中，， 设，则， 在中，， 即，解得，即， ， ， ∴， ∴， 是等边三角形， 又四边形是菱形， ， ， 即的长为12． 题型十一 解直角三角形综合（共3小题） 31．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决 （1）若四边形是菱形，边长为2，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，连接，则与的数量关系为 ，长度的最小值为 ． 【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决： （2）如图2，若四边形是正方形，边长为2，点O为中点，点P是射线上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接求： ①与的数量关系； ②求长度的最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的基础上，当P是对角线的延长线上一动点时，以为直角边在边的右侧作等腰，，连接，若，，求的面积． 【答案】（1），1；（2）①，②长度的最小值为1；（3） 【分析】（1）连接，由菱形性质推出和是等边三角形，又是等边三角形，可证明，即得，，延长交于，则在射线上运动，当，即与重合时，取最小值，可得，即可求出的最小值为1； （2）①连接，根据正方形性质可知是的中点，知是等腰直角三角形，有，，而是等腰直角三角形，可知，，即可推出，利用相似三角形性质可得结果；②延长交于，由在射线上运动，当，即与重合时，取最小值，可求出，故可求出最小值； （3）连接交于点，过点作交于点，根据正方形性质，可得的长，证明，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，    四边形是菱形， ， ， 和是等边三角形， ，， ， ， ，， 四边形是菱形，， ， ， 如图，延长交于，则在射线上运动，当，即与重合时，取最小值，    ，， ， ， 的最小值为1， 故答案为：，1； （2）①如图，连接，    四边形为正方形，为的中点， 是等腰三角形， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ，， ； ②延长交于，如图，    ， 在射线上运动，当，即与重合时，取最小值， 四边形为正方形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的最小值为1； （3）如图，连接交于点，过点作交于点，    四边形为正方形，， ，，， ，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ，， 在中，有勾股定理得：， ， 解得：，（舍去）， ， ． 32．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是、上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则=______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上， 且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中， E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 【答案】初探猜想：，理由见解析；类比探究：；知识迁移：；拓展应用： 【分析】初探猜想：可证得，再由全等三角形的性质可得； 类比探究：作，交于Z，作，交于X，可证得，从而，进而得出结果； 知识迁移：作，交的延长线于点V，作直线点W，由（2）知：，进一步得出结果； 拓展应用：以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，先根据勾股定理求出的长，再证和全等，得出，求的最小值转化为求的最小值，当A、G、N在一条直线上时最小，即为的长，在等腰直角中求出的长即可． 【详解】解：初探猜想：，理由如下： 如图1，设交于点O，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 类比探究：在矩形中，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，如图2，    作，交于Z，作，交于X， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 知识迁移：如图3，    作，交的延长线于点V，作直线于点W， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴由（2）知：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，即最小，此时最小值是的长，其长度为． 33．（24-25九年级上·陕西西安·期末）（1）如图①，中，，．点P为上动点，则长度的最小值为___________． （2）如图②，中，，，，点P为平面内一点，，于点．求长度最小值． （3）如图③，光明公司在一块四边形荒地进行观赏种植实验，经过测量发现，四边形中，米，米，．种植方案是：将四边形分成一些区域种植不同的观赏作物，其中点在上，，于点P，交于点．现决定先对区域进行种植实验，请你确定的面积是否有最小值，若有最小值，求出的面积最小值；若没有最小值，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积有最小值，平方米 【分析】（1）当时，的长最小，此时，根据直角三角形斜边中线的性质即可解答； （2）如图②，以C为圆心，以1为半径画圆，则点P在上运动，过点C作于D，交于M，先根据面积法可得，由垂线段最短可得，即可解答； （3）如图③，作辅助线构建矩形和相似三角形，证明，则，根据直角三角形斜边中线的性质得：，则点P在以O为圆心，以25为半径的圆上运动，结合（2）中的结论即可解答． 【详解】解：（1），， ， ∵点P为上动点， ∴当时，的长最小，此时， ； 即长度的最小值是； 故答案为：； （2）如图②，以C为圆心，以1为半径画圆，则点P在上运动，过点C作于D，交于M， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 长度的最小值是； （3）的面积有最小值， 如图③，延长，交于点N，连接，取的中点为O，过点O作于H，交于M，连接，过点P作于T， ，， 四边形是平行四边形， ， 是矩形， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 是的中点， ， 点P在以O为圆心，以25为半径的圆上运动， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是的中位线， ， ， 由（2）同理得：的最小值为， 的面积有最小值，最小值（平方米）． 题型十二 旋转与几何综合（共3小题） 34．（25-26九年级上·河南安阳·期末）综合与实践 在数学活动课上，某兴趣小组用两张完全相同的长方形纸片（长）展开探究活动． (1)他们先将两张完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点与点重合，边与边共线，边与边在同一直线上．请写出图中一个的角___________； (2)如图2，他们继续将长方形绕点顺时针旋转后，边与边交于点，连接，若． ①求证：是等腰三角形； ②求的长； (3)从图2开始，他们将长方形绕点顺时针旋转一周，，当边所在的直线恰好经过线段的中点时，连接，直接写出的长． 【答案】(1)（表示形式不唯一） (2)①证明见解析；② (3)或 【分析】本题考查“等腰三角形的判定”“全等三角形的性质与判定”“直角三角形边和角的性质”，通过两个完全相同的长方形，找到对应的角度和线段关系，从而利用30°角和中点得到所需角和线段的关系是解题关键． （1）根据完全相同的两个长方形，判断出图形中唯一的等腰直角三角形，即可得到45°角； （2）①利用角度关系，分别求出和的值，从而推出两角相等，利用等角对等边证明等腰三角形； ②利用①中得到的关系，推出，利用30°角所对直角边等于斜边一半得到的长，再利用勾股定理即可求解； （3）利用中点的条件，通过作垂线构造全等三角形，从而求出的值，再通过线段的和差计算即可求出，注意分类讨论不同位置下的情况，以免漏解． 【详解】（1）解：由题意，可知长方形与完全相同， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故可填：或，由于点A与点E重合，故也可填或，两者仅角的表示形式不同； （2）①证明：由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∵ 又， ∴， ∴，是等腰三角形； ②解：由①，得，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： 第一种：经过线段的中点，如图所示，过点B作于点M， 由题意，可知长方形与完全相同， ∴，，， ∴， ∵点O是中点， ∴， 又， ∴， ∴，， 又，即， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 第二种：的延长线经过线段的中点，如图所示，过点B作于点N， 同第一种情况，同理可得， ∴， ∴， 同第一种情况，同理可得， ∴， 综上，的长为或． 35．（25-26九年级上·江苏南通·期末）（1）如图①，在等边三角形中，点B，C在直线上，E为边上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是 ，线段与直线所夹锐角的度数是 ． （2）如图②，在等边三角形中，点B，C在直线上．若E为延长线上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，在正方形中，点B，C在直线上，E为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，若正方形的边长为2，则当时，求线段的长． 【答案】（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）1或3 【分析】（1）过点作交于点．证明，可得结论； （2）连接，由旋转可得为等边三角形，可知．由为等边三角形，可知，，进而可得，可证得，可得，进而可得，即可得结论； （3）分三种情况：①当点在线段上时，②当点在线段延长线上的右侧时，③当点在线段延长线上的左侧时，分别进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点作交于点． 根据旋转可得， ∵是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：，． （2），线段与直线所夹锐角的度数为仍成立． 理由：如图，连接，由旋转可知：， ∴为等边三角形， ， 为等边三角形， ，则， ， ， ， ， 即线段与直线所夹锐角的度数为； （3）由旋转可知：， ∵四边形是正方形， ∴， ①当点在线段上时，如图，过点作交于点，作交于点． 则， ∴， ∴， 即 ∴， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为，则， ， 在中，， 即， 解得（舍去）， ∴． ∵点在线段上， ， ∴（不合题意，舍去）； ②如图，当点在线段延长线上的右侧时，如图，过点作交于点，延长交于点． 则四边形是矩形， ∴， 设， 同①可证， ∴， 即， ∴， ∴， ∴在中，， 解得（舍去）， ∴． ③如图，当点在线段延长线上的左侧时，如图，过点作交的延长线于点，作交于点．设正方形的边长为， 同①可得， ∴在中，， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，线段的长为 1 或 3 ． 36．（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上． (1)如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形，A，B，C的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交x轴于点D，与y轴交于点E． ①如图②，当时，点的坐标为 ，点E的坐标为 ； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）根据题意和正方形的性质求解即可； （2）①过点作轴于点，由旋转可得：，，得到，，再根据勾股定理求出，，即可求解； ②由旋转的性质得：，证明，得到，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，进而得到，当点与重合时，， 结合，可得，结合旋转角为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上， ，， 故答案为：，； （2）解：①过点作轴于点， 由旋转可得：，， ，， ，，即， ， ，， 故答案为：，； ②根据题意，由旋转的性质得：， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 当点与重合时，， 又 ， , 旋转角为， ， ． 题型十三 圆的几何压轴（共3小题） 37．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）连接，由为的直径，弦，得，再根据角的关系即可的结论；； （2）根据题意证得，再证得即可得到结论； （3）连结，由及角的关系得，设根据列方程，再根据即可求出的长． 【详解】（1）解：连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ （2）， ， （3）连接， ， ， ， ∴，设， 解得：      38．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)的半径为_________；与相交于点M，求阴影部分的面积； (3)F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边，交于点G，H，连接，．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说得是否正确，并说明理由； (4)在（3）的条件下，设（），，直接写出y与x之间满足的函数关系． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)2，阴影部分的面积为； (3)他说得正确，理由见解析； (4)与之间满足的函数关系为． 【分析】（1）由切线的性质得到．再证明，得到，即．则可证得结论； （2）证明，得到，即可得的半径，再根据阴影部分的面积，列式计算即可； （3）由切线长定理得到，．再证明，，得到，，则．证明，则，即可判断他说得是否正确； （4）由等腰直角三角形的性质可得，，，则，根据勾股定理，即可得y与x之间满足的函数关系． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切，切点为D， ∴． 在与中， ∴， ∴，即． 又∵是半径， ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为2， 故答案为：2； ∴阴影部分的面积为． ∴阴影部分的面积为． （3）解：他说得正确，理由如下： 如图，连接， ∵都与相切， ∴，． 又∵，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，即的度数不变． （4）解：∵，， ∴， ∵与相切，切点为D， ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴， 设（），， 由（3）知，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴与之间满足的函数关系为． 39．（25-26九年级上·浙江金华·期中）（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到； （2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数； （3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值； （4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，求的取值范围？ 【答案】初步应用：；问题解决：；问题拓展： 【分析】初步应用：由，构造以为圆心的辅助圆，结合圆周角定理和角的倍数关系求解即可． 问题解决：利用对称性质确定点的轨迹是圆，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值公式（）求解即可． 问题拓展：由翻折性质确定点的轨迹是圆，结合平行四边形性质、勾股定理关系求解取值范围即可． 【详解】解： 初步应用：以为圆心，为半径作， ， 点、、在上， ，， ， ， ， ， ； 问题解决：连接、、， 点关于直线的对称点是， ， ，， ，即， 点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，，， ， ∵， 的最小值为； 问题拓展： 四边形是平行四边形， ，， 是中点， ， ∵将沿所在直线翻折得到， 以为圆心，为半径作辅助圆，如下图： ∵， ∴点，D在上， ∴当点、M、C在一条直线上时，线段取得最小值， 过点M作，交的延长线于点E， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴线段的最小值． 过点A作，交的延长线于点F，如下图： 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， m的取值范围为． 故答案为∶ ． 1.二次函数图象如图，下列结论：①若，且，则；②；③；④当时，．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数解析式的系数的几何意义，是解题的关键．根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据拋物线对称轴方程得到，则可对②进行判断；利用时，函数有最大值对④进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点与之间，则时，，于是可对③进行判断；由得到，则可判断和所对应的函数值相等，则，于是可对①进行判断． 【详解】解：∵抛物线对称轴为，即， ∴，所以②正确； ∵时，函数值最大， ∴，即，所以④正确； ∵抛物线与轴的一个交点在点与之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在点与之间， ∴时，， ∴，所以③错误； 当，则， ∴和所对应的函数值相等， ∵， ∴， ∴，所以①错误； 故正确的结论有②④， 故选：B． 2.如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，以下结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据当时，，即可判断①；根据对称轴在直线的左侧，结合函数图象即可判断②；根据抛物线顶点纵坐标大于2，可以判断③和⑤；图象过，故，当时，，得出，代入求出结果即可判断⑤． 【详解】解：由图象知，当时，， 将代入抛物线解析式， 故①正确； ， 且同号， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴故②正确； 顶点纵坐标大于2， ， ， ， ，故③正确； 顶点纵坐标大于2， ∴直线与抛物线有两个交点， 则一元二次方程有两个不等的实数根， 故⑤错误； 图象过，代入抛物线解析式得： ， 即， 当时，， 即， ∴， ，故④正确． 综上所述，①②③④正确． 故选：D． 3.如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线l上，点C，E重合．现将沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数图像的识别，平移的性质，当时，，当时，设平移后分别交于G、J，可证明是等边三角形，得到，过点G作于H，利用勾股定理求出的长，根据可求出对应的函数解析式；同理可求出当时对应的函数解析式，当时，，据此可得答案． 【详解】解：当时，两个三角形没有重叠的部分（只有点E是重叠点），则， 当时，设平移后分别交于G、J， ∵和都是等边三角形， ∴， 由平移的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， 如图所示，过点G作于H， ∴， ∴， ∴，这是开口向上的抛物线； 当时，设平移后分别交于G、J， 同理可证明是等边三角形， ∴同理可得，这是开口向上的抛物线； 当时，两个三角形没有重叠的部分（只有点F是重叠点），则， ∴符合题意的函数图像是A选项中的函数图像， 故选：A． 4.如图，函数G的图象是由的图象和它关于成中心对称的图象组成．下列说法：①函数G的图象关于轴对称；②当时，函数G随的增大而增大；③直线与G图象有三个交点，则；④已知不重合的两点，在函数G的图象上，且，，若当时，函数G的最大值和最小值均为定值．则的取值范围为．其中正确的命题有（   ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，中心对称的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 求出图象的顶点坐标为，图象的顶点坐标为，即知①错误； 同时，当时，由图形可知，函数G随的增大而增大，故②正确； 直线和直线与函数G的图象都只有两个交点，且在两直线之间与这两直线平行的直线均与函数G的图象有三个交点，故可知③正确； 分别求出直线和直线与函数G的图象的交点坐标（除两个顶点外），再分别讨论，；，；这三种情况下，函数G的最大值和最小值是否为定值即可． 【详解】解：， 图象的顶点坐标为， 图象和图象关于成中心对称， 图象的顶点坐标为，函数关系式为， 函数G的图象不是关于轴对称， 故①错误； 同时，当时，由图形可知，函数G随的增大而增大， 故②正确； 图象的顶点坐标为，图象的顶点坐标为， 直线和直线与函数G的图象都只有两个交点，且在两直线之间与这两直线平行的直线均与函数G的图象有三个交点， ， 故③正确； ，， ，关于对称， 当时，， 当时，， 当时，函数G的最大值和最小值均为定值， 结合图形可知，当，时，函数G的最大值和最小值不为定值，不符合题意； 当，时，函数G的最大值和最小值不为定值，不符合题意； ，此时，函数G的最大值和最小值均为定值， 故④正确； 故正确的命题有②③④． 故选：B． 5.如图，在钝角三角形中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，平分交于点M，取的中点D，的中点N，连接，，．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质和应用，全等三角形的判定和性质的应用，中位线的性质以及相似三角形的判定和性质的应用；首先根据是中点，是中点，可得是的中位线，判断出 ；然后判断出 ，即可判断出；根据，可得；然后根据 ，可得，所以，据此判断即可．首先连接、，判断出，，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．判断出 ， ，，根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，然后根据，判断出，再根据，判断出，，即可判断出． 【详解】解：是中点，是中点， 是的中位线， ，且 ； 三角形是等腰直角三角形，平分交于点， 是的中点， ， 又 ， ， ∴①正确； ， ， ， ， ， ②正确； 如图，连接、， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且 ； 三角形是等腰直角三角形，是的中点， ， 又 ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 在和中， ，，， ， ， ③正确； 如图，连接，，， 三角形是等腰直角三角形，平分， 是的中点，， ，，， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且 ； 三角形是等腰直角三角形，是的中点， ，，， 又 ， ， ， ， 在和中，，， ， ， ， ， 即， 又， ， ， ， ∴④正确． 故选：D． 6.如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 7.如图，已知正方形的边长为4，E是线段上的一点，过点C作的垂线交于点F，以点F为圆心，长为半径的圆交于点P，点M在上，点N在上，则周长的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，运用正方形的对称性是解答本题的关键．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，周长最小，然后由三角形相似和勾股定理求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接， 连接，与、分别交于点、． 由对称知识可知，，，周长， 此时，周长最小 由对称性可知，，，， ， 为等腰直角三角形，， 周长最小值，当最短时，周长最小． 连接． ，且， ， ， ，， ∴， 在与中，，， ， ， ， ， 取中点． 点在以为直径的圆上运动，当、、三点在同一直线上时，最短． 此时，，， ∴， 此时，周长最小值． 故选：A． 8.如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含30度直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作与点Q，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如下图，过点H作与点Q， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 9.如图，四边形为正方形，，于是绕点逆时针旋转60°得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等知识．连接，延长交于点G，根据四边形为正方形，求出，．根据旋转性质证明是等边三角形，得到，证明是的垂直平分线，得到，，再求出，，即可求出． 【详解】解：如图，连接，延长交于点G． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵绕点逆时针旋转60°得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴点D、F都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 10.如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（     ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，二次函数的性质，抛物线与轴的交点，点与圆的位置关系，关键是明白当过圆心时，长最大，由三角形中位线定理即可求解． 连接，由抛物线关于轴对称，得到，因此是的中位线，得到，当过圆心时，长最大，长最大，求出的坐标是，得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接， 抛物线关于轴对称， ， ， 是的中位线， ， 当长最大时，长最大， 当过圆心时，长最大， 当时， ， 的坐标是， ， 的坐标是， ， ， 的半径是， ， ， ， 的最大值是 故选：B． 11.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若对于，都有，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征． 由函数解析式可得其对称轴为直线，且开口向上，从而得出对称轴右侧，y随x的增大而增大，根据对于，得出，由，当时，，即，从而可求出，对于，都有，可得出，两边平方并整理求出，最后取其公共解即可． 【详解】解：该函数解析式为， 其图象开口向上，对称轴为直线， 在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵，， ∴点B在点A右侧， ∵，，都有， ∴当时，，即，解得， 对于，都有， ∴，两边平方得：， ∴， ∴，即，综上所述： 故答案为． 12.如图，在矩形中，，连接，在边上取一点，过点作，交于点，连接，在上取一点，使得，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，构造，利用相似三角形的性质可得，根据，可得，利用勾股定理可得，根据二次函数的性质可知当时，有最小值，最小值是，从而可知的最小值为． 【详解】解：如下图所示，延长交于点，过点作于点， 在矩形中，， ，， 设，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 当时，有最小值， 最小值是， 的最小值为． 故答案为：． 13.如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，过点作于点． （1） ； （2）连接，若交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，求角的正弦值，矩形的性质，勾股定理，作出辅助线构造相似三角形是解题关键． （1）连接，先根据矩形的性质及勾股定理求出的长，再求出，利用等面积法求出的长，最后根据正弦的定义求解即可； （2）延长交于点，根据勾股定理求出，即可得，再证明，可得的长，进而得出的长，然后证明，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接． ∵四边形为矩形，， ∴，． ∵是的中点， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵在矩形中，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长交于点． 在中，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点．A，B是半径为2的上的两动点，且，M为弦的中点，点．当A，B两点在圆上运动时，面积的最大值是 ． 【答案】16 【分析】如图所示，过点E作于Q，连接、，由垂径定理得到，，勾股定理求出，得到点M在以点E为圆心，为半径的圆上运动，当点M，E，Q三点共线时，点M到的距离最大，然后利用等面积法求出，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于Q，连接、， ∵A，B是半径为2的上的两动点， ∴ ∵，M为弦的中点， ∴， ∴ ∴点M在以点E为圆心，为半径的圆上运动 ∴当点M，E，Q三点共线时，点M到的距离最大 ∵直线与x轴、y轴分别交于D，C两点 ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴面积的最大值是16． 故答案为：16． 15．如图①，D是等边三角形内部的一点，连接，，．将绕着点C顺时针旋转一定的角度得到，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，，求的度数； (3)【探究】如图②，E为正方形内部的一点，连接、、，将绕着点C顺时针旋转一定的角度得到．若，，，求的长为 【答案】(1)见解析 (2) (3)6 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，掌握手拉手模型是解题的关键．手拉手模型：形状一样且共顶角顶点的两个等腰三角形构成手拉手模型． （1）由旋转的性质可知，，，则可知是等边三角形； （2）根据是等边三角形可知，，从而得到，即，继而得出； （3）连接．可根据旋转角度求出和，继而得到，再用勾股定理求出，旋转可知，从而得解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴． 由旋转的性质可知，，， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图②中，连接． ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：6． 16.【问题探究】 （1）如图1，已知的半径是3，点是上的一个动点，点是平面内一点，连接，，则线段的最大值为___________； 【问题延伸】（2）如图2，在中，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点，连接，求线段的最小值； 小亮同学思考如下：由知，则点在以为直径的圆上，如图2，以为直径作，连接交于点，则当三点共线（即点与点重合）时，取得最小值，即为． 请你根据小亮同学的思路，写出解题过程； 【拓展提升】 （3）如图3，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆（左侧）两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点，沿修建小路，并在的中点处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，求仿古长廊长度的最小值．（小路、长廊宽度及凉亭大小忽略不计） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质等，通过作辅助线判断出点F的运动轨迹是解题的关键． （1）点A位于直线与的左侧交点时，取最大值； （2）根据可得点F在以为直径的半圆上，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值； （3）连接，，取中点为M，中点为N，连接，，，证明，推出点F在以为直径的左侧半圆上，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值． 【详解】解：（1） 如图，当点A位于直线与的左侧交点时，取最大值， 最大值为：， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上， 如图，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点， 则的长度即为的最小值． ∵，中点为E， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即CF的最小值为． （3）∵，，， ∴， ∴， ∴． 如图，连接，，取中点为M，中点为N，连接，，， ∵点E在以为直径的半圆上， ∴， ∵中点为M，中点为F，中点为N， ∴为的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的左侧半圆上， 取中点为O，作于点K，得矩形，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值． ∵，中点为O，，中点为N， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 17.【问题探究】 （1）已知正方形，点E在边上，点H在射线上，连接 ①如图1，当点H在边上时，过点H作交于点O，交边于点G，则线段______；（填“”“”或“”） ②如图2，平移图1中的线段，使点G与点D重合，点H在的延长线上，连接，取的中点P，连接，点N在上，且，连接求证：； 【问题解决】 （2）如图3，某市区有一块正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点E、F分别是正方形的边、的中点，沿、修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观G处，为人行步道，同时修建一条穿过G点的特色步道（点M、N分别在边AD、BC上），且，将点E规划为一个入口，需要确定点E到点M的长度与整条步道MN长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请你帮助工作人员求出的值廊道宽度忽略不计） 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】（1）①证明四边形是平行四边形得到，再证明，得到，则可得到；②证明得到，证明是的中位线，得到，由勾股定理得，据此可证明结论； （2）运用正方形的性质证明，得证明得出，在中，求得，作于点交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，于点，则，证明四边形是矩形，再分别证明和，运用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①解：如图1，过点C作，交于点F， ∵四边形是正方形 ，，， ， ∵ 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； ②证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ∴ ， ，， ， 点P为的中点， 是的中位线， ， 在中，由勾股定理得 ，即 （2）解：设的长为单位“1”． 点分别是正方形的边的中点， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ， 如图，作于点交的延长线于点，则， 又， ∴四边形是矩形， ， ，， ∴四边形是正方形， ， 在Rt中，由勾股定理得：， 如图，作于点，于点， 则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 18.在边长为的正方形中，作射线，点是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形，点，，，按顺时针排列，连接交射线于点，连接． (1)当点在线段上（不与点和点重合）时，如图， ①请判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长； (2)当时，求的长． 【答案】(1)①，理由见解析 ② (2) 【分析】根据正方形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证，可知； ②连接交于点，可证，根据相似三角形的性质可知，利用直角三角形中边、角之间的关系求出的长度； 过点作交的延长线于点，设，根据等腰直角三角形的性质可知，，利用勾股定理可得关于的方程，解方程即可求出的长度． 【详解】（1）①解：，   理由如下： 四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ； ②解：如下图所示，连接交于点， 四边形是正方形， ， ， ， 又 ， ， ， 正方形的边长， ， ． 在中，， ，， 在中，， ， ； （2）解：， 点在对角线的延长线上， 如下图所示，过点作交的延长线于点， 设， ， ，， 在中， ， ， 解得：，(不合题意，舍去)， ． 19.如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作轴，交直线于点N，求四边形的最大面积，并求出点M的坐标； (3)是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的最大面积为，此时 (3)存在，F点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，中点坐标，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 利用两点式求函数的解析式即可； 求出直线的解析式为，设，，则四边形的面积的面积的面积，然后利用二次函数的性质，求得答案； 设，，根据对角线分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴不妨设， 将点代入，得， 解得， ； （2）解：设直线的解析式为，代入，， ， ∴， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， ∵，， ∴， 四边形的面积的面积的面积， ∵， 当时，四边形的最大面积为，此时； （3）解：存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴、的中点为， 不妨设， 设，， 当为平行四边形的对角线时，如下图所示： 连接, ∵四边形是平行四边形， ∴、的中点为， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述：F点坐标为或或． 20.若抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点，则称与互为“孪生抛物线”． (1)抛物线与互为“孪生抛物线”吗？ (2)求出抛物线的所有“孪生抛物线”（要求顶点坐标在坐标轴上）； (3)已知抛物线，互为“孪生抛物线”． ①求常数的值； ②点，分别是抛物线与上的动点（位于两顶点之间），且直线平行轴，求线段长的最大值． 【答案】(1)是 (2)、或 (3)①；②的长度最大值为 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数表达式的转换和图像与性质的掌握是解题的关键． （1）根据函数表达式，进行运算，看两抛物线是否满足“孪生抛物线”即可： （2）根据“孪生抛物线”的性质，对顶点位置在轴上或轴上进行分类讨论，计算得出满足条件的抛物线即可； （3）① 根据“孪生抛物线”的性质，即表达式中的值互为相反数，得出的取值；②用未知数表示两点的坐标，判断出纵坐标的大小，计算长度，得出长度表达式后进行求值． 【详解】（1）解：抛物线，即顶点坐标为， 当时，， 即点经过抛物线； 抛物线，即顶点坐标为， 当时，， 即点经过抛物线； 故抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点， 所以抛物线与互为“孪生抛物线”． （2）解：抛物线，即顶点坐标为， 当其“孪生抛物线”顶点在轴上时，假设其表达式为， 易知，其经过点， 故当时，，解得，或， 故函数表达式为或； 当其“孪生抛物线”顶点在轴上时，假设其表达式为， 易知，其经过点， 故当时，，解得， 故函数表达式为； 综上，函数抛物线的“孪生抛物线”为、或． （3）解：①由于“孪生抛物线”的表达式中的值互为相反数， 故，解得． ②由于，代入抛物线表达式得，， 由于平行于轴，故点、的横坐标相同， 假设其横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 点、位于两顶点之间，易判断点在高处， 故线段的长度为， 抛物线的顶点横坐标为， 抛物线的顶点横坐标为， 故的取值范围为， 而在取值范围内， 故． 21.如图1是放在水平桌面上的高脚杯的轴截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． (1)如图2，以C为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，从点B处插入一根吸管（吸管粗细忽略不计），吸管恰好位于截面内，吸管的一端与杯子交于点M，连接，已知的面积是面积的2倍，求点M的坐标； (3)如图3，现将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当倾斜角为时停止，此时液面为，求此时高脚杯内液体的最大深度． 【答案】(1) (2) (3)最大深度 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）运用待定系数法可得直线的解析式为，利用面积法可得，再由，建立方程求解即可求得答案； （3）在抛物线上取一点G，使，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方的抛物线任取一点M，过M作轴交于H，交于N，过M作交于K，可得，利用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）∵以C为原点建立平面直角坐标系，抛物线的顶点在原点，开口向上，液面，最大深度（液面到最低点的距离）为，如图2， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入，得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵点M是抛物线上一点，如图2，设交y轴于点L， ∴设， 则， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 则， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∵点M在第二象限， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； （3）在抛物线上取一点G，使，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方的抛物线任取一点M，过M作轴交于H，交于N，过M作交于K，如图4， 由（1）知：抛物线解析式为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴直线解析式为， ∵轴，， ∴设，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值， ∴将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图3所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $