专题08 期末真题百练通关（常考100题28题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期沪科版

专题08 期末真题百练通关（100题28题型） 题型1 二次函数的识别 题型15 利用相似三角形的性质进行证明和计算 题型2 根据二次函数的定义求参数 题型16 位似作图 题型3 比较函数值的大小 题型17 根据锐角三角函数的概念求线段的长度 题型4 已知自变量的取值范围求最值 题型18 解直角三角形 题型5 二次函数的图象平移 题型19 根据旋转的性质进行求解 题型6 二次函数与坐标轴的交点问题 题型20 旋转作图 题型7 二次函数图象与各项系数的关系 题型21 根据中心对称的性质进行求解 题型8 求反比例函数值 题型22 点与圆位置关系判断 题型9 判断反比例函数图象所在象限 题型23 垂径定理及其推论 题型10 反比例函数K的几何意义 题型24 画圆的尺规作图 题型11 多函数图像问题 题型25 圆心角、弧、弦与圆周角关系 题型12 成比例线段的判断 题型26 切线性质的应用 题型13 比例的基本性质 题型27 正多边形的有关计算 题型14 相似三角形的判定 题型28 弧长和扇形面积的计算 题型一 二次函数的识别（共3小题） 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握形如（a、b、c为常数，的函数）叫二次函数成为解题的关键． 根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．是二次函数，故本选项符合题意； C．，y是x的一次函数，故本选项不符合题意； D．不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数都是整式成为解题的关键． 直接根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不合题意； B、是二次函数，符合题意； C、，当时，是二次函数，不合题意； D、是一次函数，符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．一般地，形如（a，b，c为常数）的函数叫做二次函数． 根据定义逐一判定．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B．是二次函数，故符合题意； C．是正比例函数，故不符合题意； D．，当时是一次函数，故不符合题意． 故选：B． 题型二 根据二次函数的定义求参数（共3小题） 4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 5．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 6．（24-25九年级上·山东东营·期末）如果是二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解． 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得：或， 解得：， ， 故答案为：． 题型三 比较函数值的大小（共3小题） 7．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 8．（24-25九年级上·北京西城·期末）点，在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，根据二次函数的性质即可判断，的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：A． 9．（24-25九年级上·湖北武汉·期末），，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，结合即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 题型四 已知自变量的取值范围求最值（共3小题） 10．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A．当时，y有最小值 B．当时，y有最大值 C．当时，y有最小值 D．当时，y有最大值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数对称性，增减性，是解题的关键． 配方解析式化成顶点式，画出图象，由图象的对称性增减性顶点，确定函数的最大值或最小值，逐一判断即得． 【详解】 A. ∵当时，y有最小值，∴A选项不正确； B. ∵当时，y有最大值，∴B选项不正确； C. ∵当时，y有最小值，∴C选项正确； D. ∵当时，y有最大值，∴D选项不正确． 故选：C． 11．（24-25九年级上·辽宁营口·期末）已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分与时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分与两种情况讨论求解，有一定的难度． 【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，抛物线开口向上，在对称轴直线右侧y随x的增大而增大， 当时y有最大值5， ， 解得：， 当时，抛物线开口向下，时y有最大值5， ， 解得， 故答案为：1或． 12．（24-25九年级上·天津红桥·期末）当时，二次函数的最大值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据二次函数的图象和性质判断出对称轴为直线，然后再找最大值即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵，，， ∴当时，二次函数，此时最大， 故答案为：10． 题型五 二次函数的图象平移（共3小题） 13．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移． 根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为， 即， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是关键．根据抛物线图象的平移法则“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度可得：，再向下平移2个单位长度得到 故答案为： 15．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）将抛物线向右平移1个单位长度后拋物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，按照“左加右减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式，即可求出顶点坐标．解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度后得到解析式：，即， 故所得抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 题型六 二次函数与坐标轴的交点问题（共3小题） 16．（24-25九年级上·河南新乡·期末）若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（    ） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数和一次函数和x轴交点问题，根据题意分两种情况：①函数为二次函数，函数的图象与x轴只有一个交点，可得，从而解出a值；②函数为一次函数，此时，从而求解． 【详解】解：①函数为二次函数，， ∴， ∴， ②函数为一次函数， ∴， 解得，； ∴a的值为或； 故选：D． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求值是关键． 根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，． ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是． 故选：B． 18．（24-25九年级上·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，且． ① ； ②当时，函数值y的取值范围是，则m的取值范围 ． 【答案】 2 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． ①令，求出的值即可． ②由抛物线解析式可得，当时，取得最小值．当令，得，求出的值，再结合图象可得答案． 【详解】解：①令， 解得． 故答案为：2． ②∵， ∴当时，取得最小值． 令，得， 解得． ∵当时，函数值的取值范围是， ∴的取值范围是． 故答案为：． 题型七 二次函数图象与各项系数的关系（共3小题） 19．（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知，，， ∴， ∴，故①正确； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象知对称轴为直线，则 ∴ ∴故③正确； ∵对称轴为直线 ∴当和时，函数值相等 根据函数图象可得当时，， ∴当时， ∴即，故④错误； ∴当时，故⑤不正确． 故选：B． 20．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据图象当，，代入，即可判断④，根据对称性可得即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时，, 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； 当，，，故④正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即，故⑤不正确， 正确的有②③④， 故选：A． 21．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②当时，；③；④．其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； 先利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称性方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用一次函数图象不在二次函数图象的下方所对应的自变量的范围可对②进行判断；由于时，，则可对③进行判断；由于时，，则，然后把代入可对④进行判断； 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ，所以①错误； 抛物线与一次函数的图象相交于，两点， 点的横坐标为，点的横坐标为， 当时，， 所以②正确； 时，， ，所以③正确； 时，， ， ， ， 即，所以④错误； 故答案为：②③ 题型八 求反比例函数值（共3小题） 22．（24-25九年级上·重庆·期末）下列四点中，位于反比例函数的图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标一定满足反比例函数解析式． 将选项中的坐标分别代入解析式，逐项判断即可． 【详解】解：， ， A．, 不在反比例函数的图象上， 故该选项不符合题意； B．， 不在反比例函数的图象上， 故该选项不符合题意； C．， 在反比例函数的图象上， 故该选项符合题意； D．， 不在反比例函数的图象上， 故该选项不符合题意； 故选：C ． 23．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）点在反比例函数的图象上，则“▲”的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把代入函数解析式即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴“▲”的值为， 故选：． 24．（24-25九年级上·四川成都·期末）反比例函数图象上有两点，，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，把，代入，结合，从而可得答案． 【详解】解：将点，代入反比例函数得出：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型九 判断反比例函数图象所在象限（共3小题） 25．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）反比例函数的图象位于第 象限． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，属于基本题型，熟练掌握当时，反比例函数的图象在第一、三象限，当时，反比例函数的图象在第二、四象限是解题关键． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， 故答案为：二、四． 26．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例解析式可知图象在第一象限内，随的增大而减小，求出时函数值的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象在第一象限内，随的增大而减小， 时，，时，， 的取值范围是， 故答案为：． 27．（24-25·河南新乡·期末）已知反比例函数经过点，则该反比例函数的图象位于第 象限． 【答案】二、四 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质等知识点，根据反比例函数的性质确定函数图象所在的象限是解答本题的关键．直接将点代入求出k的值,然后根据k的正负即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，即， ∴该反比例函数的图象在第二、四象限． 故答案为：二、四． 题型十 反比例函数K的几何意义（共3小题） 28．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，一边在y轴上，点B坐标为，C点在反比例函数上，连接，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、菱形的性质、勾股定理，理解反比例函数比例系数k的几何意义是解答的关键．先根据菱形的性质得到，轴，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，进而，由勾股定理得，则，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，一边在y轴上， ∴， 又∵轴 ∴轴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， ∵即， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴． 故选：B． 29．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点在原点，斜边轴交轴于点，经过顶点的反比例函数解析式为，若，则经过顶点的反比例函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键．根据反比例函数中的几何意义，可得，再根据，可知，最后再根据反比例函数中的几何意义，即可得到答案． 【详解】解：设经过顶点的反比例函数解析式为 (k为常数，)． 斜边轴交轴于点， 点的纵坐标相等． ． ． ， ． ． ． 则经过顶点的反比例函数解析式为． 故答案为： ． 30．（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点， ，， ， 故答案为：． 题型十一 多函数图像问题（共3小题） 31．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 32．（2024·安徽合肥·二模）已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，由一次函数与反比例函数图象得出，，从而得出抛物线对称轴为直线，由反比例函数与一次函数的图象的交点的横坐标为得出，再求出对称轴为直线，结合抛物线对称轴的位置即可得出答案． 【详解】解：反比例函数图象在第二、四象限， ， 一次函数交于轴于正半轴， ， 反比例函数与一次函数的图象的交点的横坐标为， ， ， ， 解得：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 对称轴为直线， 对称轴在到之间， 函数的图象可能为 故选：A． 33．（24-25九年级上·山东青岛·期末）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质． 根据二次函数的图象开口向下可知，，则，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知和c的正负，即可得到答案． 【详解】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴， ∴． A、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴A不符合： B、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴B不符合： C、∵在反比例函数中，，在一次函数中， ，， ∴C符合： D、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴D不符合． 故选：C． 题型十二 成比例线段的判断（共3小题） 34．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各组线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段成比例的知识．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意； B、由于，所以成比例，符合题意； C、由于，所以不成比例，不符合题意； D、由于，所以不成比例，不符合题意． 故选：B． 35．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的性质求解即可．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义得，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入，，，得：， 解得：， 故选：D ． 36．（24-25九年级上·四川巴中·期末）下列四组线段中，不能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，用最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断即可，掌握比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵，， ∴，不能成比例，该选项符合题意； 故选：． 题型十三 比例的基本性质（共3小题） 37．（24-25九年级上·北京石景山·期末）若，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断． 【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：C． 38．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）若，则的值是（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是把比例式进行合理的变形；由得，再代入化简即可求解． 【详解】， ， ； 故选：C． 39．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 题型十四 相似三角形的判定（共3小题） 40．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件即可． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 41．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、，， ，故A不符合题意； B、，， ，故不符合题意； C、由图形可知，，， ，， ， ， ，故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 42．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定定理是解题的关键． 分别根据相似三角形的判定方法进行逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项不符合题意； D、无法得出相似，故该选项符合题意． 故选：D． 题型十五 利用相似三角形的性质进行证明和计算（共3小题） 43．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，等边中，D是边上一点，且，点D关于直线的对称点为E，连接，，在直线上取一点F，使得，直线与直线交于点G． (1)若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形性质得，则，再根据可得出的度数； （2）连接，延长交于点，根据对称性得，进而得，则，由此可证，进而可依据“”判定和全等，则，由此得，则，据此可得线段与的数量关系． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）解：线段与的数量关系是：， 证明如下： 连接，延长交于点，如图所示： ∵点关于直线的对称点为， ， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又∵， ∴， ∴ ， ． 44．（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，相交于点E，点F在上，且，． (1)求证：； (2)若，，的面积为4，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)25 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质． （1）由， ，即可得出； （2）证明，得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 45．（24-25九年级上·天津河西·期末）已知抛物线，（，为常数，），抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），且两点坐标分别为，，与轴相交于点，顶点为． (1)若，求顶点的坐标； (2)连接，若，求的值； (3)若点在抛物线上，点的横坐标为，满足，且，过点作轴，垂足为，当时，求此时和的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】题目主要考查二次函数的应用，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意，直接代入确定点，，然后确定抛物线的解析式化为顶点式即可； （2）根据题意确定点．得出，，再由题意建立方程求解即可； （3）由（2）知抛物线的解析式为．得出，确定顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点的坐标为． （2）由题知抛物线的解析式为， 令，得． ∴点． ∴． 由已知得， ∵， ∴． 解得． （3）由（2）知抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则， 由，可得：． ∴， ∴． ∴， ∴． 即． ∵， ∴解得①． ∵轴，且， ∴． ∴②． 联立①②解得，． 题型十六 位似作图（共3小题） 46．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知三顶点的坐标分别为，，． (1)画出； (2)以B为位似中心，将放大到原来的2倍，在网格图中画出放大后的图形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形性质，位似变换，解题的关键是根据两图形的位似比画出图形． （1）根据点A、B、C，在坐标系中找出连接即可； （2）根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：所画图形如下所示： ． 47．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出与关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． (3)的面积为_______． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)10 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A，B，C关于x轴的对称点，即可得出答案； （2）把A，B，C的坐标乘以得到其对应点，，，再连线即可得出答案； （3）利用割补法求解即可； 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求； （3）解：的面积为． 48．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为； (2)在（1）的条件下， ①写出点的对称点的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①点；②点 【分析】本题主要考查作图—位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）由图可得点的坐标，根据位似的性质得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图1，即为所求 图1 （2）解：①由图可得，点， ②由题意得，点． 题型十七 根据锐角三角函数的概念求线段的长度（共3小题） 49．（24-25九年级上·北京西城·期末）已知，，作射线，使得，作于点，则长的最大值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用分类思想解答，当在的下方时，先取的中点，连接，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，根据，确定当与重合时，取得最大值，此时取得最大值，最大值为，当在的下方时，过点作于点，取的中点，连接，得，根据，得， 解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正弦函数的应用，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，当在的下方时，取的中点，连接， ∵，， ∴， 过点N作于点Q， ∵，， ∴ ∴， 过点C作于点P， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴当P与N重合时，取得最大值，且， 此时取得最大值，最大值为， 当在的上方时，过点作于点，取的中点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，最大值为， 故选：B． 50．（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义．根据同角的余角相等求出，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵矩形中，， ， ， ， ， 故选：D． 51．（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，先由正方形的性质得到，，再导角证明，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型十八 解直角三角形（共3小题） 52．（24-25九年级上·重庆·期末）在某城市里，同一平面内的五处饭店间的道路分布如图所示，经测量，点均在点的正西方向且米，点在点的正北方向，且米，点在点的北偏西方向且米，点在点的东北方向．（参考数据：，） （）求道路的长度（结果保留根号）； （）若外卖员甲从点出发沿的路径去点，与此同时外卖员乙从点出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点？请通过计算说明． 【答案】（）米；（）乙先到达点，理由见解析 【分析】（）过点作于点，过点作，交的延长线于，得，，解得米，即得米，再解即可求解； （）解直角三角形分别求出的长度，进而求出甲和乙的路程即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）如图，过点作于点，过点作，交的延长线于，则四边形是矩形 ， ∴，， 在中，，米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴道路的长度为米； （）在中，，米 ， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴甲的路程米， 乙的路程米， ∵， ∴外卖员乙先到达点． 53．（24-25九年级上·重庆江北·期末）北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据：，，） (1)求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） (2)测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 【答案】(1)米 (2)小明先到达，先到达分钟． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、方位角、直角三角形的性质等知识点，将实际问题转化为三角函数问题是解题的关键． （1）由题意可得：，，即，如图：过D作，先说明，解直角三角形可得，再说明，可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先解直角三角形得到米，再说明，解直角三角形得到，，即；然后分别求得小明、小刚所用时间，然后作差比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，即， 如图：过D作， ∵， ∴，米，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴米 （2）解：由题意可得：， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明骑自行车以180米/分钟从D出发赶往B地， ∴小明用时：分钟；小刚共用时：分钟， ∵， ∴小明先到达，先到达分钟． 54．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（即），当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河水离地平面距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)米 【分析】本题考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图形的平移，解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，当时，（米），再与护栏高度进行比较，即可求解； （3）根据坡比得到（米），则点到原点的水平距离为（米），即，且，可求出直线的解析式为，联立方程得，由此求解即可． 【详解】（1）解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米， ∴抛物线的顶点坐标为， 以O为原点建立平面直角坐标系， ∴点， 设抛物线解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴水柱所在抛物线的解析式为； （2）解：水柱不能喷射到护栏上，理由如下： 当时，， ， 水柱不能喷射到护栏上； （3）解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中）， ，即， 则点与原点的水平距离为， 点的坐标为， 又点的坐标为， 设的解析式为， ，解得， ， ， 解得（不合题意，舍去），， 当时，， 即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上． 题型十九 根据旋转的性质进行求解（共3小题） 55．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将绕点顺时针旋转，得到（点与点为对应点），点刚好落在边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，，，，则可得，即可得答案． 【详解】解：由旋转得，，，， ． 故选：A． 56．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，平面直角坐标系中，中，顶点的坐标分别是，点的横坐标为．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后点的对应点的纵坐标为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探索、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键； 先画出第一次旋转的图形，然后利用全等三角形的证明与性质求出第一次旋转时A点的纵坐标，再通过循环求出的纵坐标． 【详解】解：如图，作点绕点顺时针旋转得到点， 过点作轴于点，过点作轴于点，连接， ∵点绕点顺时针旋转得到点 ∴， 又∵， ∴， 又∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点纵坐标为3， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴每四次一个循环， ∵， ∴与重合， 故的纵坐标为3． 故选：A． 57．（25-26九年级上·湖北·期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为 ，线段的最大值为 ． 【答案】 2.5 6.5 【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到，可得，，由为的中点，知，求出，即可得当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，当在延长线上时，取最大值． 【详解】解：连接，如图： 将绕顶点顺时针旋转得到， ，， 为的中点， ， ，为中点， ， 在中，， 当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时， 如图： 的最小值为， 同理，当在延长线上时，取最大值，此时， 的最大值为， 故答案为：2.5；6.5 题型二十 旋转作图（共3小题） 58．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】（）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查了作图－旋转变换，三角形面积，解题的关键是根据旋转变换的性质画出图形． 【详解】（1）解：如图，以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到； ∴即为所求； （2）解：的面积 ． 59．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出将绕点A逆时针旋转后得到的； (2)在图中画出与关于原点O对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形． （1）先根据旋转额性质确定点的位置，然后连线即可； （2）先根据中心对称的性质确定点的位置，然后连线即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 60．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，已知在平面直角坐标系中（提示：正方形网格中每个小正方形的边长都是1），其中点． (1)请按要求对作如下变换： ①将绕点O逆时针旋转得到，请画出； ②以点O为位似中心，相似比为2，将在y轴左侧放大得到，请画出． (2)的面积是 ． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)10 【分析】（1）①根据网格结构找出点绕点逆时针旋转的对应点的位置，然后再顺次连接即可；②连接并延长至，使，得到；同理得到，然后再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：①如图：即为所求； ①如图：即为所求． （2）解：的面积是． 题型二十一 根据中心对称的性质进行求解（共3小题） 61．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，经过正方形对称中心的直线分别交的延长线、、于点、、，已知，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，中心对称的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．由正方形的性质可得，，，，再证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， ， ， 点是正方形的对称中心， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 62．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 63．（24-25九年级上·山东济南·期末）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线与关于原点成中心对称， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 题型二十二 点与圆位置关系判断（共3小题） 64．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（　　） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线性质，理解点与圆的位置关系是解题关键． 连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，与圆的半径相等，即可得出结论． 【详解】解：连接， ，，点O为的中点， ， 的半径为5， 点在上． 故选：B． 65．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据直径求出圆的半径，比较点A到圆心的距离和半径的大小即可判断点A和圆的位置关系． 本题考查点和圆的位置关系，熟悉圆的相关基本概念是解题关键． 【详解】∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵点A到圆心O的距离为4， ∴点A在上． 故选：B． 66．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知的半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 ． 【答案】点在内 【分析】本题考查的是点圆的位置关系，设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外则；点P在圆上则；点P在圆内则．直接根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵， ∴点在内． 故答案为：点在内． 题型二十三 垂径定理及其推论（共3小题） 67．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，圆心O到的距离为，的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 由圆心O到的距离为，即，则，再利用勾股定理求出的长，进而求得弦的长． 【详解】解：由题意可得：∵，， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴． 故选：D． 68．（24-25九年级上·山东聊城·期末）下列命题中：①直径是弦；②经过三个点可以确定一个圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤弦的垂直平分线经过圆心；⑥相等的圆周角所对的弧相等．其中真命题有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了弦的定义，构成圆的条件，三角形外心性质以及垂径定理等．利用弦的定义，构成圆的条件，三角形外心性质以及垂径定理判断即可． 【详解】解：①直径是弦，说法正确，是真命题； ②经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原说法错误，不是真命题； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，不是真命题； ④平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，原说法错误，不是真命题； ⑤弦的垂直平分线经过圆心，说法正确，是真命题； ⑥在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原说法错误，不是真命题； 综上所述，真命题有①⑤，共2个， 故选：A． 69．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出的长是解此题的关键．根据垂径定理即可求得的长，然后利用勾股定理即可求得的长，即可得出答案． 【详解】解：， ， 在中，， ， 故答案为：2． 题型二十四 画圆的尺规作图（共3小题） 70．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，的直径，点为上一点，过点作弦． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由圆的性质可得点O为线段的中点，据此作线段的垂直平分线交于O，则点O即为所求； （2）过点O作于H，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则；根据线段的和差关系可得，则，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求； （2）解：如图所示，过点O作于H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 71．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)圆心的坐标为______； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点在内，理由见解析 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系． 【详解】（1）解：圆心D如图所示； 圆心D坐标为， 故答案为：． （2）解：由勾股定理得，的半径为． （3）解：点在内．理由如下： ， 而， 点在内． 72．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在数学中，常常通过构造基本图形帮助我们解决问题． 【基本图形】 （1）如图①，已知，求证． 【灵活应用】 （2）如图②，和中，，，，，求． 【深度思考】 （3）尺规作图：如图③，线段与直线相交于点．在直线上作一点，使得最小（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、复杂的尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由，，，进而得到，，即可得证； （2）作，交于点，先证，得到，进而求出和，再利用勾股定理求出即可得解； （3）过点作，当点在点左侧时，如图，连接、，构造，可得，进而转化为最小，三点共线时有最小值，再据此作图即可． 【详解】（1）证明： ， ，， ， ， ， ， ，， ； （2）解：作，交于点． ， ， ， ， ，， ． ，， ， ， ，， 在 中，， 即， ； （3）理论依据： 过点作，当点在点左侧时，如图，连接、， 、组成， 是定值，且有特殊值， 构造，连接，如图， ，， ， 要求最小值，即求最小值， 为定值， 求出最大值即可，取中点，当、、共线时，最大，则此时最小， 如图，延长交圆于点，连接并延长交于点即为所求， 尺规作图： 如图，点即为所求， 作法提示：①作交于点； ②以为直径作圆，圆心为，连接并延长交于点； ③连接并延长交直线于点，点即为所求． 题型二十五 圆心角、弧、弦与圆周角关系（共3小题） 73．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题关键．根据等弧可直接判断A选项结论；由同弧可得，进而得出，可判断B、C选项结论；根据已知条件无法证明D选项结论． 【详解】解：在中，， ，，A选项结论正确，不符合题意； ， ， ， ，，B、C选项结论正确，不符合题意； 无法证明，则D选项错误，符合题意； 故选：D 74．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，是半圆的直径，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角，圆的内接四边形对角互补． 根据题意得出，进而得出，最后根据圆的内接四边形对角互补，即可解答． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 75．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，勾股定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； （1）由题意得，进而问题可求证； （2）连接，垂径定理得到，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：， ， ∴， 即， ； （2）解：连接， ，， ． ． 题型二十六 切线性质的应用（共3小题） 76．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图，直线与相切于点，直线与相交于点．连接．若，则的度数为（    ）． A．36° B．72° C．90° D．36°或72° 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理以及三角形的相关性质．连接，先利用切线的性质得到，则根据三角形内角和得到，再根据圆周角定理得到，加上，所以，从而可求出的度数，然后利用三角形外角性质可计算出的度数． 【详解】如图，连接， 直线与相切于点， ， ， ， ，， ， 解得， ， ． 故选：． 77．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】证明，得出，证，从而求出，则可得出答案． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 78．（24-25九年级下·陕西·期末）如图，是的直径，点B在上，且，连接交于点E，交于点M，过点E作的切线，交于点F，当时． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线性质得到，结合得到，根据圆周角定理求出，进而证明，即可证明； （2）连接，证明，根据得到，证明，得到，求出，﹒再依次求出，，，即可求出的半径为﹒ 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵与相切于点E， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴﹒ ∴， ∴； （2）解：连接，如图． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由(1)知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 在中，， ∴在中，， 在中，， ∴的半径为﹒ 题型二十七 正多边形的有关计算（共3小题） 79．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若正六边形外接圆的半径为4，则它的边心距为（　 　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．解答时要注意以下问题：①熟悉正六边形和正三角形的性质；②作出半径和边心距，构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解答． 已知正六边形的边长，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和外接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵正六边形外接圆的半径为4， ∴此正六边形中，则 ． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ． 故选：D． 80．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知是正方形的外接圆，是上不与、重合的任意一点，则等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理，分类讨论是解答的关键．连接，，根据正方形外接圆的性质求得，分点P在劣弧和优弧上，利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是正方形的外接圆， ∴， 若点P在优弧上，则； 若点P在劣弧上，则； ∴或． 故答案为：或． 81．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 题型二十八 弧长和扇形面积的计算（共3小题） 82．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是 A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题综合运用了解直角三角形的知识、旋转的性质以及弧长公式，解本题的要点在于求出，再算出答案． 点A经过的路线即以C为圆心，以的长为半径的弧，利用解直角三角形的知识求得的长和的度数，从而求得，再根据弧长公式进行计算． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴点A经过的路线的长度是＝， 故选D． 83．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，线段的中垂线，解直角三角形等知识，根据中垂线的性质以及解直角三角形可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可，掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵是的中垂线， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 84．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，已知：的直径与弦的夹角，过点C作的切线交的延长线于点P． (1)求证：； (2)的直径是6，以点为圆心作圆，当半径为多长时，与相切？ (3)若，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，） 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定及性质，解直角三角形，扇形面积等，综合运用相关知识是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理即可求得，根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余，求得，得到，进而即可证明； （2）连接，由圆周角定理知，然后根据与相切得到即为的半径． （3）阴影部分的面积即为的面积减去扇形的面积． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接． ∵是的直径， ∴，即． ∵与相切， ∴即为的半径． ∵在，，， ∴， ∴当半径为3时，与相切； （3）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，设点D的坐标为：，则，可得，再根据，再建立方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵四边形为矩形，的中点为D， ∴设点D的坐标为：，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 2．如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B，C，D，由三角形外角的性质可判断A，从而可得答案． 【详解】解：A．根据三角形外角的性质知，故选项A不能判定的相似； B．∵，∴，且不是夹角，由已知条件无法判定两三角形相似故选项B不能判定与相似； C．∵，∴，又，∴，故选项C能判定与相似； D．∵，∴其中不是与的边，故选项D无法判定与的相似； 故选：C． 3．如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，，则，再证明，则，据此可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，与相交于点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 4．将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，若，，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转性质，由四边形是矩形，得，所以，由旋转的性质可知，，利用勾股定理求即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴在中，由勾股定理得，， 故选：． 5．如图，在中，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，连接，根据圆周角定理求出，则可证明是等边三角形，得出，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， 故选：A． 6．如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 7．如图，四边形内接于圆，为延长线上一点，图中与一定相等的角是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据同角的补角相等解答即可． 【详解】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， 则图中与一定相等的角是， 故答案为：． 8．已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象有三个不同的交点，且所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a的值 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题，涉及交点问题，因式分解法解一元二次方程，根的判别式等知识点． 两函数解析式，联立方程组可得出，从而求出一根为，然后根据交点个数确定方程有两个不相等的实数根，则，根据交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为)，整理得：，即：，一一代入求解即可． 【详解】解：联立，并整理得： ， ， 故其中一个根：， ∴a为正整数，方程有两个不同的实数根， ∴， 交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为)， 即(k为正整数)，整理得：， 即：， 而， 当，时，解得： (舍去)； 当，时，解得：； 当，时， (舍去)； 故； 故答案为：． 9．（25-26九年级上·广东清远·期中）如图，一张锐角三角形纸片，点D、E分别在边、上，，沿的平行线将剪成两部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 如图所示，由证明出，得到，即可作答． 【详解】解：∵， 则， ∵沿的平行线将剪成两部分， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为： 10．已知：正方形，，，经过点，，分别交，于点，，连接，，． （1）若，且，则 （2）若，且，则 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，解直角三角形和相似三角形的判定与性质等知识，熟练灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）先证明，，，从而证明，运用相似三角形的性质可得结论； （2）过点作于点则，证明，可得出，求出，利用勾股定理可得出． 【详解】解：（1）∵，, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即； 在正方形中，，， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴； （2）过点作于点，则，如图， 则，， ， 又， ， ， ∵，， 又， ∴， ， ，即， ， ∵， ， ， ． 故答案为：（1）；（2）． 11．如图，在平面直角坐标系 中，直线与双曲线 交于， 两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点的坐标为． (1)求双曲线和直线的表达式； (2)请直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围； (3)将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式． 【答案】(1)双曲线表达式为，直线的表达式为 (2)的取值范围或 (3)平移后的直线为或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）联立得，从而求得点，然后根据图象即可求解； （）设平移后的直线为，令，整理得，然后根据平移后的直线与双曲线只有一个交点，则有，再求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线 交于点， ∴，， 解得：，， ∴双曲线表达式为，直线的表达式为； （2）解：由（）得双曲线 表达式为，直线的表达式为， 联立得， 解得或， ∴， ∴反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围或； （3）解：平移后的直线为， 令，整理得：， ∵平移后的直线与双曲线只有一个交点， ∴，解得：， ∴平移后的直线为或． 12．如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，射线平分，点E在边上，且满足． (1)图中是否存在与相似的三角形，若存在请找出并证明，若不存在，请说明理由； (2)若，求的值． 【答案】(1)与相似，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，证明三角形相似是解题的关键． （1）证明，得出，从而得出，结合，即可证明； （2）根据勾股定理并结合已知可得出，则为等腰直角三角形，得出，从而得出，，由（1）知，从而得，证明，得出，从而得，由（1）知，则，得出，即可求解． 【详解】（1）解：与相似， 证明：， ， ， ， 又， ； （2）证明：，， ， 为等腰直角三角形， ， ，， 由（1）知， ， ， ， ，即， ，即， 由（1）知， ，即， ， ． 13．如图，四边形内接于平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用圆周角与弧的对应关系转化角的等量关系，通过构造辅助线（延长线段）创造全等或相似的条件． （1）利用平分得到角相等，结合圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），即可得证． （2）由可得，通过圆内接四边形的对角互补性质得到，结合第一问结论及角平分线性质证明，再通过角的等量转化证明． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ． （2）证明： ， ， 四边形内接于， ， 点在的延长线上， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 14．如图，是的弦，平分，过点B作的切线交的延长线于点C，连接，延长交于点E，交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、含30度角直角三角形的性质以及勾股定理等知识， （1）连接，欲证明是的切线，只要证明，由即可解决问题； （2）先证明，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ． 15．（1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，2为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为________． （2）铁一中陆港中学为了丰富校园文体活动，学校组织定向越野赛，起跑点设在操场主席台前点处，终点为行健活动中心门口点处，图②四边形是越野赛的必经区域．其中，段为600米，段为480米，，，，且．为了保证运动员的安全，以点为圆心，100米为半径的圆形区域设为比赛禁区，严禁运动员进入．在禁区的边界设有一个可移动监测点，一旦运动员跨入比赛禁区，便会触发警报．教师队伍计划在此区域开展接力赛，蒋老师需提前确定两个接力点和点，其中点在比赛区域内且满足，，点在边界上，接力赛的路线是，请计算的最小值和此时的长度． 【答案】（1）8     （2）的最小值为米，的长度为616米 【分析】本题考查最短路径问题，相似三角形的判定及性质，轴对称的性质，矩形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等、掌握最短路径中的将军饮马问题，瓜豆原理是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，，，作点关于的对称点，连接，则，连接，，，则，即，根据勾股定理求得，即可解答； （2）连接，过点A作，交于点，在上取点，使得米，根据两边对应成比例且夹角相等证得，从而由相似三角形的对应边成比例求得米，即点在以点为圆心，半径为50米的圆上运动，作点关于的对称点，连接，，则，因此有，连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点，通过解直角三角形在中，求得米，米，米，米，米，米，因此在矩形中，米，米，进而求得米，米，根据勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ，，． 如图，作点关于的对称点，连接，连接，，， 则， 则， ， ∵在中，，， ． ， 的最小值为8． 故答案为：8． （2）如图，连接，过点作，交于点，在上取点，使得米， ． ，即． ，， ． ． ． （米）． ∴点在以点为圆心，半径为50米的圆上运动， 作点关于的对称点，连接，，则， ． ． 连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点， ，， ． ∴在中，（米）， （米）． ∵点与关于对称， ． ，， ∴四边形，四边形，四边形都是矩形． 米． ∵在中，， 又， ． ． ∴在中，（米）， （米）, ． （米）． ， ． ． 在中，（米）， （米）． ∴在矩形中，米，米． ∵点与关于对称， 米． （米）． ∴在中，（米）． （米）． 即的最小值为米，此时与的交点即为点． ． ，解得（米）． （米）． 16．综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标； (2)如图，N是下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点的坐标为：． (2)关系式为：，当时，的最大值为； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）根据待定系数法求得函数解析式，然后再求出顶点坐标即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值； （3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧）， ，， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线：， 把代入函数解析式得到， 故顶点的坐标为：． （2）解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交直线于点， 点的横坐标为， ， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：存在， 当点在点左侧时，是钝角，为锐角，此时得； 当点在点，点之间时，点与点关于直线对称， 点的坐标为， 当点在点右侧时， 如图，过点作直线，根据两直线平行内错角相等可知直线与抛物线在第一象限的交点为，此时有， 令，则， 解得或， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点在点右侧， 点的横坐标大于， 舍去， ， 综上，点的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 期末真题百练通关（100题28题型） 题型1 二次函数的识别 题型15 利用相似三角形的性质进行证明和计算 题型2 根据二次函数的定义求参数 题型16 位似作图 题型3 比较函数值的大小 题型17 根据锐角三角函数的概念求线段的长度 题型4 已知自变量的取值范围求最值 题型18 解直角三角形 题型5 二次函数的图象平移 题型19 根据旋转的性质进行求解 题型6 二次函数与坐标轴的交点问题 题型20 旋转作图 题型7 二次函数图象与各项系数的关系 题型21 根据中心对称的性质进行求解 题型8 求反比例函数值 题型22 点与圆位置关系判断 题型9 判断反比例函数图象所在象限 题型23 垂径定理及其推论 题型10 反比例函数K的几何意义 题型24 画圆的尺规作图 题型11 多函数图像问题 题型25 圆心角、弧、弦与圆周角关系 题型12 成比例线段的判断 题型26 切线性质的应用 题型13 比例的基本性质 题型27 正多边形的有关计算 题型14 相似三角形的判定 题型28 弧长和扇形面积的计算 题型一 二次函数的识别（共3小题） 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 题型二 根据二次函数的定义求参数（共3小题） 4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 5．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 6．（24-25九年级上·山东东营·期末）如果是二次函数，则的值为 ． 题型三 比较函数值的大小（共3小题） 7．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·北京西城·期末）点，在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 9．（24-25九年级上·湖北武汉·期末），，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型四 已知自变量的取值范围求最值（共3小题） 10．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A．当时，y有最小值 B．当时，y有最大值 C．当时，y有最小值 D．当时，y有最大值 11．（24-25九年级上·辽宁营口·期末）已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·天津红桥·期末）当时，二次函数的最大值为 ． 题型五 二次函数的图象平移（共3小题） 13．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为 ． 14．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是 ． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）将抛物线向右平移1个单位长度后拋物线的顶点坐标是 ． 题型六 二次函数与坐标轴的交点问题（共3小题） 16．（24-25九年级上·河南新乡·期末）若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（    ） A． B． C．0 D．或 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，且． ① ； ②当时，函数值y的取值范围是，则m的取值范围 ． 题型七 二次函数图象与各项系数的关系（共3小题） 19．（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 21．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②当时，；③；④．其中正确的是 ．（只填写序号） 题型八 求反比例函数值（共3小题） 22．（24-25九年级上·重庆·期末）下列四点中，位于反比例函数的图象上的点是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）点在反比例函数的图象上，则“▲”的值为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·四川成都·期末）反比例函数图象上有两点，，若，则等于 ． 题型九 判断反比例函数图象所在象限（共3小题） 25．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）反比例函数的图象位于第 象限． 26．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． 27．（24-25·河南新乡·期末）已知反比例函数经过点，则该反比例函数的图象位于第 象限． 题型十 反比例函数K的几何意义（共3小题） 28．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，一边在y轴上，点B坐标为，C点在反比例函数上，连接，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 29．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点在原点，斜边轴交轴于点，经过顶点的反比例函数解析式为，若，则经过顶点的反比例函数解析式为 ． 30．（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 题型十一 多函数图像问题（共3小题） 31．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A．B． C． D． 32．（2024·安徽合肥·二模）已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（　　） A．B． C． D． 33．（24-25九年级上·山东青岛·期末）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A．B．C．D． 题型十二 成比例线段的判断（共3小题） 34．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各组线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 36．（24-25九年级上·四川巴中·期末）下列四组线段中，不能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型十三 比例的基本性质（共3小题） 37．（24-25九年级上·北京石景山·期末）若，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）若，则的值是（    ） A．－1 B． C． D．1 39．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为 ． 题型十四 相似三角形的判定（共3小题） 40．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A．B．C．D． 42．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 题型十五 利用相似三角形的性质进行证明和计算（共3小题） 43．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，等边中，D是边上一点，且，点D关于直线的对称点为E，连接，，在直线上取一点F，使得，直线与直线交于点G． (1)若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 44．（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，相交于点E，点F在上，且，． (1)求证：； (2)若，，的面积为4，求的面积． 45．（24-25九年级上·天津河西·期末）已知抛物线，（，为常数，），抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），且两点坐标分别为，，与轴相交于点，顶点为． (1)若，求顶点的坐标； (2)连接，若，求的值； (3)若点在抛物线上，点的横坐标为，满足，且，过点作轴，垂足为，当时，求此时和的值． 题型十六 位似作图（共3小题） 46．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知三顶点的坐标分别为，，． (1)画出； (2)以B为位似中心，将放大到原来的2倍，在网格图中画出放大后的图形； 47．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出与关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． (3)的面积为_______． 48．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为； (2)在（1）的条件下， ①写出点的对称点的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 题型十七 根据锐角三角函数的概念求线段的长度（共3小题） 49．（24-25九年级上·北京西城·期末）已知，，作射线，使得，作于点，则长的最大值是（   ） A． B． C．2 D． 50．（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 51．（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 题型十八 解直角三角形（共3小题） 52．（24-25九年级上·重庆·期末）在某城市里，同一平面内的五处饭店间的道路分布如图所示，经测量，点均在点的正西方向且米，点在点的正北方向，且米，点在点的北偏西方向且米，点在点的东北方向．（参考数据：，） （）求道路的长度（结果保留根号）； （）若外卖员甲从点出发沿的路径去点，与此同时外卖员乙从点出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点？请通过计算说明． 53．（24-25九年级上·重庆江北·期末）北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据：，，） (1)求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） (2)测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 54．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（即），当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河水离地平面距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 题型十九 根据旋转的性质进行求解（共3小题） 55．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将绕点顺时针旋转，得到（点与点为对应点），点刚好落在边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 56．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，平面直角坐标系中，中，顶点的坐标分别是，点的横坐标为．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后点的对应点的纵坐标为（   ） A．3 B． C．2 D． 57．（25-26九年级上·湖北·期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为 ，线段的最大值为 ． 题型二十 旋转作图（共3小题） 58．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； (2)求的面积． 59．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出将绕点A逆时针旋转后得到的； (2)在图中画出与关于原点O对称的． 60．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，已知在平面直角坐标系中（提示：正方形网格中每个小正方形的边长都是1），其中点． (1)请按要求对作如下变换： ①将绕点O逆时针旋转得到，请画出； ②以点O为位似中心，相似比为2，将在y轴左侧放大得到，请画出． (2)的面积是 ． 题型二十一 根据中心对称的性质进行求解（共3小题） 61．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，经过正方形对称中心的直线分别交的延长线、、于点、、，已知，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 62．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 63．（24-25九年级上·山东济南·期末）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 题型二十二 点与圆位置关系判断（共3小题） 64．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（　　） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 65．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 66．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知的半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 ． 题型二十三 垂径定理及其推论（共3小题） 67．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，圆心O到的距离为，的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 68．（24-25九年级上·山东聊城·期末）下列命题中：①直径是弦；②经过三个点可以确定一个圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤弦的垂直平分线经过圆心；⑥相等的圆周角所对的弧相等．其中真命题有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 69．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 题型二十四 画圆的尺规作图（共3小题） 70．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，的直径，点为上一点，过点作弦． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，且，求的长． 71．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)圆心的坐标为______； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 72．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在数学中，常常通过构造基本图形帮助我们解决问题． 【基本图形】 （1）如图①，已知，求证． 【灵活应用】 （2）如图②，和中，，，，，求． 【深度思考】 （3）尺规作图：如图③，线段与直线相交于点．在直线上作一点，使得最小（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 题型二十五 圆心角、弧、弦与圆周角关系（共3小题） 73．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 74．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，是半圆的直径，，则的度数为 ． 75．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 题型二十六 切线性质的应用（共3小题） 76．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图，直线与相切于点，直线与相交于点．连接．若，则的度数为（    ）． A．36° B．72° C．90° D．36°或72° 77．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，则的长为 ． 78．（24-25九年级下·陕西·期末）如图，是的直径，点B在上，且，连接交于点E，交于点M，过点E作的切线，交于点F，当时． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型二十七 正多边形的有关计算（共3小题） 79．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若正六边形外接圆的半径为4，则它的边心距为（　 　） A．2 B． C．4 D． 80．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知是正方形的外接圆，是上不与、重合的任意一点，则等于 ． 81．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 题型二十八 弧长和扇形面积的计算（共3小题） 82．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是 A．4 B． C． D． 83．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ． 84．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，已知：的直径与弦的夹角，过点C作的切线交的延长线于点P． (1)求证：； (2)的直径是6，以点为圆心作圆，当半径为多长时，与相切？ (3)若，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，） 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．2 2．如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 4．将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，若，，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 7．如图，四边形内接于圆，为延长线上一点，图中与一定相等的角是 ． 8．已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象有三个不同的交点，且所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a的值 ． 9．（25-26九年级上·广东清远·期中）如图，一张锐角三角形纸片，点D、E分别在边、上，，沿的平行线将剪成两部分，则的值为 ． 10．已知：正方形，，，经过点，，分别交，于点，，连接，，． （1）若，且，则 （2）若，且，则 11．如图，在平面直角坐标系 中，直线与双曲线 交于， 两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点的坐标为． (1)求双曲线和直线的表达式； (2)请直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围； (3)将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式． 12．如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，射线平分，点E在边上，且满足． (1)图中是否存在与相似的三角形，若存在请找出并证明，若不存在，请说明理由； (2)若，求的值． 13．如图，四边形内接于平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 14．如图，是的弦，平分，过点B作的切线交的延长线于点C，连接，延长交于点E，交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 15．（1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，2为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为________． （2）铁一中陆港中学为了丰富校园文体活动，学校组织定向越野赛，起跑点设在操场主席台前点处，终点为行健活动中心门口点处，图②四边形是越野赛的必经区域．其中，段为600米，段为480米，，，，且．为了保证运动员的安全，以点为圆心，100米为半径的圆形区域设为比赛禁区，严禁运动员进入．在禁区的边界设有一个可移动监测点，一旦运动员跨入比赛禁区，便会触发警报．教师队伍计划在此区域开展接力赛，蒋老师需提前确定两个接力点和点，其中点在比赛区域内且满足，，点在边界上，接力赛的路线是，请计算的最小值和此时的长度． 16．综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标； (2)如图，N是下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $