精品解析：天津市第三十二中学2025-2026学年高二上学期第二次月考检测（12月）数学试卷

2025-2026 学年度第一学期高二数学月考检测 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题5分） 1. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 2. 已知抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合抛物线方程可得，即可得抛物线的焦点坐标. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线为， 由题意可知：焦准距， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 3. 设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率可能为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线焦点位置确定的值，从而求双曲线离心率. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，则， 所以离心率； 当双曲线的焦点在轴上时，，即， 所以离心率， 综上，该双曲线的离心率可以为或． 故符合的选项有C. 故选：C． 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 38 B. 36 C. 40 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】由等差中项求得，由等差数列的前项和公式及等差中项求得结果. 【详解】由等差中项可知， ∴，∴， . 故选：B. 5. 抛物线 ：（）的焦点为，点在上， 且， 点到轴的距离为3，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线（）的焦点为，准线方程为. 因为点到轴的距离为3，所以点到准线的距离为. 由抛物线的定义可知，，解得， 所以，抛物线的方程为. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数求导法则计算． 【详解】由题意， 故选：A． 【点睛】本题考查复合函数的求导法则，掌握复合函数求导法则是解题基础． 7. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，，    故，即． 故选：B． 8. 如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义结合等边三角形求得，，再由余弦定理求得，即可求得双曲线方程. 【详解】根据双曲线的定义，有①，②， 由于为等边三角形，因此， 由①＋②，得，则，， 又因为，所以，即，解得， 则，所以双曲线的方程为． 故选：C. 9. 已知等差数列的前n项和为且满足则中最大的项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n项和可得，进而求出的最大值即可判断结果． 【详解】在等差数列中，由，，得， ，则，公差， 因此等差数列为递减数列，当时，；当时，，则最大值是， 则当时，且单调递增，当时，，所以最大． 故选：D 二.填空题：（每小题5分）. 10. 双曲线 的焦距为8，通径长为，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线的概念及性质列等式计算即可. 【详解】由题意知，，，又， 整理得，解得或（舍去）. 故答案为：. 11. 已知数列的前项和，则通项公式 _________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，由求得，当时，由求得，验证当时是否成立，即可得结果. 【详解】当时，， 当时，， 当时，成立， ∴. 故答案为：. 12. 已知数列，均为等差数列，其前n项和分别为， ，且则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列性质求解即可； 【详解】因为数列，均为等差数列，其前n项和分别为， ，且 所以. 故答案为： 13. 曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求得切线方程为，再作出对应的三角形，并计算面积. 【详解】由题，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 故得，即交点为； 得，即交点为； 得，即交点为； 如图，阴影部分即为围成的三角形，面积为. 故答案为： 14. P为抛物线上任意一点，点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】将点P到y轴的距离转化为到准线的距离，再转化为到焦点的距离，利用两点之间线段最短来求解. 【详解】由已知得点到抛物线准线的距离为，又抛物线焦点， 则. 故答案为：. 15. 已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，给出下列命题： ①若直线的斜率为，则； ②的最小值为； ③若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为； ④若点，则周长的最小值为． 其中真命题的序号为__________（把所有正确命题的序号都填在横线上）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】首先求出抛物线的解析式，设出的坐标，联立进行求解，当时，进而判断①错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断②；画出大致图像，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线的定义判断③；过作垂直于准线，垂足为，利用抛物线的性质判断④即可. 【详解】由圆和抛物线的对称性可知点在抛物线上， 所以解得，所以，， 设直线，于联立得， 设，，所以，， 所以， 当时，，①错误； ， 则， 当且仅当，时等号成立，②正确； 如图，过作准线的垂线，垂足为，交轴于， 取中点为，过作轴的垂线，垂足为， 则，为梯形的中位线， 由抛物线的定义可得， 所以， 所以以为直径的圆与轴相切， 所以点为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为， 又为中点，所以点纵坐标为， 又点在抛物线上，所以点横坐标为，③正确； 过过作垂直于准线，垂足为， 所以的周长为， 当且仅当点的坐标为时取等号，④错误； 故答案为：②③ 三.简答题（共5道大题） 16. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）求曲线在处的切线方程. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后由可求出的值，从而可求出函数的解析式， （2）利用导数的几何意义求解，先求导数，然后求的值，可得切线的斜率，再由点斜式可求出切线方程 【详解】解：（1）由，得， 因为，所以，得， 所以， （2）由，得， 则切线的斜率， 因为， 所以切点坐标为， 所以所求和切线方程为 17. 已知为等差数列的前项和，，. （1）求，； （2）设，求. 【答案】（1）； . （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的公式得到基本量，进而得到结果即可； （2）分两种情况时，时，分别求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，， ，得， 故，解得， 则，得，， ， . 【小问2详解】 时，，此时，， 当时， ， 又， 当时， ∴ 18. 已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点． （1）求双曲线的方程； （2）设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由渐近线可得，再把点代入方程即可解得； （2）点M到y轴的距离的即为点M的横坐标为，联立方程利用韦达定理可求，分析求解即可，但要注意讨论直线的斜率是否存在． 【小问1详解】 由题设可知，解得 则：． 【小问2详解】 设点M的横坐标为 当直线斜率不存在时，则直线： 易知点到轴的距离为﹔ 当直线斜率存在时，设：，，， 联立，整理得， ， 整理得 联立，整理得， 则，则，即 则，即 ∴此时点到轴的距离大于2； 综上所述，点到轴的最小距离为2． 19. 已知抛物线过点，且P到抛物线焦点的距离为2直线过点，且与抛物线相交于A，B两点. （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若点Q恰为线段AB的中点，求直线的方程； （Ⅲ）过点作直线MA，MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三点能否共线？若能，求出直线的斜率；若不能，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）能，. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，结合抛物线的性质，即可求出抛物线的方程为． （Ⅱ）设，，设而不求利用点差法求出直线AB的斜率，再利用点斜式即可求出直线的方程． （Ⅲ）设，，，，且.联立直线与抛物线方程，得到联立方程，再利用韦达定理以及M，A，C三点共线得出的数量关系，假设C，D，Q三点共线，构造关于 的等式，转化为的等式，进行求解即可得出结论． 【详解】（Ⅰ）由题意有，及， 解得.故抛物线的方程为. （Ⅱ）设，，则， ， 两式相减得，即. 于是，， （注：利用直线与抛物线方程联立，求得，同样得4分） 故直线l的方程为，即； （Ⅲ）设，，，，且. 由，得，则， ， 由M，A，C三点共线，可得，化简得，即. 同理可得， ， 假设C，D，Q三点共线，则有，化简得， 进一步可得，，即，解得. 因此，当直线l的斜率时，C，D，Q三点共线. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，以及利用点差法设而不求的思想求解与抛物线相交的直线的斜率，以及利用方程思想解决圆锥曲线的各类问题． 20. 已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. （1）求斜率k的取值范围； （2）若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线与双曲线的方程，结合题意列式计算即可； （2）设直线与轴交于点，进而根据韦达定理及的面积为列方程计算即可. 【小问1详解】 设，， 联立，得， 因为直线与双曲线左右两支各交于一点， 则，解得， 则求斜率k的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 设直线与轴交于点， 则 ， 解得或（舍去）， 则直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年度第一学期高二数学月考检测 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题5分） 1. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率可能为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 38 B. 36 C. 40 D. 34 5. 抛物线 ：（）的焦点为，点在上， 且， 点到轴的距离为3，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知等差数列的前n项和为且满足则中最大的项为（ ） A. B. C. D. 二.填空题：（每小题5分）. 10. 双曲线 的焦距为8，通径长为，则_________. 11. 已知数列的前项和，则通项公式 _________. 12. 已知数列，均为等差数列，其前n项和分别为， ，且则 _____. 13. 曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为_____. 14. P为抛物线上任意一点，点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为____________． 15. 已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，给出下列命题： ①若直线的斜率为，则； ②的最小值为； ③若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为； ④若点，则周长的最小值为． 其中真命题的序号为__________（把所有正确命题的序号都填在横线上）． 三.简答题（共5道大题） 16. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）求曲线在处的切线方程. 17. 已知为等差数列的前项和，，. （1）求，； （2）设，求. 18. 已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点． （1）求双曲线的方程； （2）设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 19. 已知抛物线过点，且P到抛物线焦点的距离为2直线过点，且与抛物线相交于A，B两点. （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若点Q恰为线段AB的中点，求直线的方程； （Ⅲ）过点作直线MA，MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三点能否共线？若能，求出直线的斜率；若不能，请说明理由. 20. 已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. （1）求斜率k的取值范围； （2）若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $