精品解析：湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

黄梅一中高二年级12月考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线：的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线写成标准方程，即可根据准线方程的公式求解. 【详解】的标准方程为，故准线方程为， 故选：A 2. 已知直线，，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件，列出a满足的方程以及不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可知直线，， 故且， 解得， 故选：B 3. 已知曲线C：，则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程可得，结合选项和充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由，得， 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得， 结合选项可知，曲线C是焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是“”. 故选：A. 4. 直线与圆相交于两点A，B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定圆的圆心与半径，求圆心到直线的距离，利用直线与圆相交弦长公式求解的值即可. 【详解】圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交弦长. 故选：B. 5. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用点差法联立方程组，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】设，代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：(*)， 又的中点坐标为，所以，， 由(*)式可得， 又直线的斜率即直线的斜率，， 所以，而， 联立解得，，故椭圆的方程为：. 故选：A． 6. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设在第一象限，结合条件，由双曲线的定义得， 再结合条件及间的关系可得，即可求解. 【详解】如图，不妨设在第一象限，则①，又②， 由①②得到，又由题知， 所以，整理得到， 所以，则，即，所以双曲线渐近线为， 故选：D. 7. 已知抛物线，为坐标原点，过点的直线与交于不同的两点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设直线的方程为，，进而结合向量关系，韦达定理得，再根据计算面积即可. 【详解】由题知直线的斜率不为，故设方程为，， 联立方程得 ， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，，解得， 所以的面积为 故选：C 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，是椭圆上第一象限的一点，的重心和内心分别为M，N，且轴.又点是该椭圆上任一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】设的内切圆与分别切于点，利用切线长定理可得，结合椭圆的的定义可得，进而求得，结合已知可得，可求得，进而求得椭圆的方程，利用三角代换可求得的最大值. 【详解】设的内切圆与分别切于点，如图所示： 则． 又因为，联立，可得， 又因为 ， 所以，所以， 因为的重心是三边中线的交点，所以在上， 由重心性质可得，因为，所以，解得， 所以，所以椭圆的方程为， 因为在椭圆上，所以， 所以，其中， 当，取最大值，最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到，从而求得，进而求得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线：：，则（ ） A. 的长轴长为 B. 的渐近线方程为 C. 与的焦点坐标相同 D. 与的离心率互为倒数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可. 【详解】曲线：整理得， 则曲线是焦点在轴上的椭圆，其中， 所以，离心率为， 故曲线的长轴长，故A错误； 曲线：是焦点在轴上的双曲线，其中， 所以，离心率为，故与曲线的焦点位置不同，故C错误；：的渐近线方程为，故B正确； 又，所以与的离心率互为倒数，故D正确 故选：BD 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 若点为抛物线上一点，则周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据准线方程求得抛物线的标准方程，设出点A，B的坐标，结合中点坐标公式及抛物线的定义即可逐一判断. 【详解】对于A，因为抛物线的准线方程为，即，解得，故A正确； 对于B，所以抛物线，所以焦点为，设， 因为为线段的中点， 所以，即， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 由的坐标可知， 所以的周长为， 当且仅当P为与抛物线的交点时，等号成立，所以周长的最小值为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线其中一条渐近线方程为，且过点.点为该双曲线右支上一点，点分别为该双曲线左右顶点，点分别为该双曲线左右焦点.则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的面积为 B. 的内切圆与轴切于点，则 C. 记，的斜率分别为，，若点位于第一象限，则有 D. 过点分别作两条渐近线的垂线，垂足为，则两垂足距离最短为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据条件确定双曲线的方程，明确的坐标，结合双曲线的定义，余弦定理求焦点的面积，判断A的真假；利用双曲线的定义和三角形内切圆的性质，可判断B的真假；利用双曲线的标准方程，结合基本不等式，可判断C的真假；利用点到直线的距离公式，结合余弦定理可判断D的真假. 【详解】由，所以双曲线的方程为. 所以，所以顶点坐标为，，焦点，. 如图： 对A：当时， 由， 所以，故A错误； 对B：设的内切圆为圆，与，相切于，， 则，，. 又，故B正确； 对C：设，由题意，又因为为双曲线右支上的点，所以. 所以，，且， 所以.故C正确； 对D：因为，，且， 由余弦定理， . 因为，所以（当时取等号），即.故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦距及方程求得，然后代入焦点在y轴上的双曲线渐近线方程求解即可 【详解】由题意可知，又，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为. 故答案为： 13. 已知点，为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为__________ 【答案】## 【解析】 分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率. 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    利用椭圆定义可知，且； 又，利用余弦定理可知： ， 化简可得； 所以的面积为； 设的外接圆半径为，内切圆半径为； 由正弦定理可得，可得； 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得； 又的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，即， 所以，即可得，所以； 离心率. 故答案：. 14. 抛物线的顶点为坐标原点，抛物线上两点满足：，过点作的垂线，垂足为，若点是圆的一个动点，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的性质得出直线过定点，进而确定点的轨迹方程，再根据两圆的位置关系求出的最大值. 【详解】在抛物线中，若，即，根据抛物线的性质可知直线过定点. 下面证明：设，. 因为，则，时，. 直线的斜率. 直线方程为，即. 把代入得所以直线过定点，如下图： 因为，所以点是以为直径的圆上的动点. 的中点坐标为，. 则点的轨迹方程为（）. 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去原点），点在圆上，圆的圆心为，半径. 两圆的圆心距. 的最大值为圆心距加上两圆的半径，即. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用弦的中垂线必过圆心，去求解圆心坐标，然后可求圆的标准方程； (2)利用斜率是否存在来分析直线方程，再由圆心到直线的距离公式可求解切线方程. 【小问1详解】 经过点和的中垂线方程为：， 再与联立解得:, 此时可知该圆的圆心坐标为， 再由，可知该圆的半径为， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当过点的直线的斜率不存在时，即直线方程为， 此时圆心到直线的距离等于半径，即该直线与圆相切， 当过点的直线的斜率存在时，可设， 由直线与圆相切可知：，解得， 所以直线方程为， 综上可得：直线的方程为或. 16. 已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题求出，求出椭圆方程； （2）利用弦长公式求解. 【小问1详解】 由题意，且，，得， 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆左焦点为，直线的方程为，，， 联立直线方程与椭圆方程， 可得，解得：，. 所以 17. 已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线的定义求出的值，进而得到抛物线的方程； （2）先联立直线与抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出和，再根据数量积为列出方程，进而求出m的值. 【小问1详解】 点为抛物线上一点，且，根据抛物线的定义可得，解得，抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q， 设，联立得，得， ，解得. 由韦达定理，得，， 又，， 又两点P，Q在直线l：上， 故上式化为，化简得， 把韦达定理代入，得，解得或， 直线l不过原点，， 故m的值为. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． （1）求椭圆的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. ②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证. 【小问1详解】 依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为： 【小问2详解】 ①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是. ②证明：由①知. 所以 . 19. 已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为． ①求证：为定点； ②直线交直线于点，记，求证：为定值． 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标及渐近线确定双曲线参数，即可得方程； （2）①由题设有为，为，，，联立双曲线并应用韦达定理求得、，设，结合向量共线的坐标表示列方程求参数值，即可证；②设直线为，则，联立直线与双曲线并应用韦达定理，结合向量线性关系的坐标表示有，即可证. 【小问1详解】 由题设，，则双曲线方程为． 【小问2详解】 ①设，且， 的直线方程为，的直线方程为． 设，，联立直线与双曲线方程有， 化简得，由韦达定理知， 有，代入直线有．则 联立直线与双曲线方程，化简有， 由韦达定理知，有，代入直线有 设，，， 由得， 化简得，可得，则． ②设直线方程为，则有 联立方程组，化简得，则， 由知，由知， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄梅一中高二年级12月考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线：的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或2 3. 已知曲线C：，则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（ ） A B. C. D. 4. 直线与圆相交于两点A，B，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，为坐标原点，过点直线与交于不同的两点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，是椭圆上第一象限的一点，的重心和内心分别为M，N，且轴.又点是该椭圆上任一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线：：，则（ ） A. 的长轴长为 B. 的渐近线方程为 C. 与的焦点坐标相同 D. 与的离心率互为倒数 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 若点为抛物线上一点，则周长的最小值为 11. 已知双曲线的其中一条渐近线方程为，且过点.点为该双曲线右支上一点，点分别为该双曲线左右顶点，点分别为该双曲线左右焦点.则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的面积为 B. 的内切圆与轴切于点，则 C. 记，斜率分别为，，若点位于第一象限，则有 D. 过点分别作两条渐近线的垂线，垂足为，则两垂足距离最短为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为______. 13. 已知点，为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为__________ 14. 抛物线的顶点为坐标原点，抛物线上两点满足：，过点作的垂线，垂足为，若点是圆的一个动点，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； 16. 已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 17. 已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． （1）求椭圆的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 19. 已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为． ①求证：定点； ②直线交直线于点，记，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $