6.9 直线与圆的位置关系（教学设计）--北师大版《数学 基础模块下册》《上好课》

北师大版《数学基础模块下册》 第六章 直线与圆的方程 6.9 直线与圆的位置关系 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “直线与圆的位置关系”是“直线和圆的方程”章节的核心应用模块。教材通过举例直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），再从“代数运算”（联立方程的判别式）和“几何直观”（圆心到直线的距离与半径的关系）两个维度构建判断方法。这种设计既贴合中职学生“从生活现象到数学抽象”的认知规律，又深化了“数形结合”“分类讨论”的数学思想，为专业领域提供了实用的数学工具，是理论联系专业实践的重要载体。 五、学情分析 学生已掌握“圆的方程”“点到直线的距离公式”等基础知识，具备理解“直线与圆位置关系”的认知前提。但中职学生对“几何法”易停留在“结论记忆”层面，对“代数法”的运算细节（如消元后的方程整理、判别式计算）易出错；同时，学生可能在将实际问题转化为“直线与圆位置关系”模型方面的能力不足，容易出现“混淆距离公式分子符号”、“忽略相切时判别式等于0的临界条件”等问题。因此，教学中需借助专业场景引导学生从“方法套用”过渡到“逻辑理解”，同步强化运算规范性。 六、教学目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离； 2.掌握判断直线与圆的三种位置关系的两种方法； 3. 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象的数学素养. 七、教学重点 判断直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。 八、教学难点 两种判断直线与圆的位置关系方法的选择与灵活切换。 九、教学方法 讲授法：对直线与圆的位置关系进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究直线与圆的位置关系，培养学生的类比推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 在平面内，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离，如图所示： （1）当直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交； （2）当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切； （3）当直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离. 思考：直线与圆的位置关系是怎样的？相交、相切或相离？ 分析： 判断直线与圆的位置关系，只需确定直线与圆的公共点的个数，因此，利用直线的方程与圆的方程建立方程组，方程组解的个数决定了直线与圆的位置关系， 将①代入②中，得，解得方程组只有一组解， 所以直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切. 通过生活举例分析和讲解引出新知识点—判断直线与圆的位置关系(一)。 导入新知 判断直线与圆的位置关系(一) 设直线的方程为，圆的方程为。 对于方程组有以下结论： （1）方程组有两组解直线与圆相交； （2）方程组只有一组解直线与圆相切； （3）方程组没有解直线与圆相离。 总结判断直线与圆的位置关系的方法一。 案例分析 【例题】已知直线和圆。求出它们的交点，并判断它们的位置关系。 【解析】解方程组可得或 直线与圆有两个交点，分别为和。 所以直线和圆的位置关系是相交。 【例题】已知直线，圆，问在什么范围内取值时，圆与直线相交、相切、相离？ 【解析】解方程组 由方程组解的个数来确定直线与圆的位置关系。 将①式代入②式中，整理得。 。 当，即时，方程组有两组不相等的实数解，直线与圆 有两个公共点，因此直线与圆相交； 当，即或时，方程组只有一组实数解，直线与圆只 有一个公共点，因此直线与圆相切； 当，即或时，方程组没有实数解，直线与圆没有公 共点，因此直线与圆相离。 通过案例来帮助学生更好地理解判断直线与圆的位置关系的方法一。 学以致用 【练习】若直线与圆相切，求的值. 【解析】由，得圆心为，半径 直线与圆相切，故圆心到直线的距离为半径，即 解得，得到， 或， 因此直线与圆相切时，或. 【练习】已知直线与圆相切，求实数的值. 【解析】因为直线与圆相切， 可转化为， 所以圆心坐标为，半径， 直线与圆相切时， 所以， 即， 所以有， 解得. 通过及时练习进一步加强学生对判断直线与圆的位置关系的方法一的记忆。 教学引入 想一想： 直线与圆的位置关系，可通过直线与圆的公共点的个数来进行判断，除此之外，是否还有其他方法？ 分析： 观察下图，可以发现圆心到直线的距离和直线与圆的位置关系紧密相关，可以通过比较圆心到直线的距离与半径的大小，来判断直线与圆的位置关系。 通过举例引出新知识点—判断直线与圆的位置关系(二)。 导入新知 判断直线与圆的位置关系(二) 设圆的方程为，直线的方程为，圆心到直线的距离为，则，比较与的大小，如图所示。 （1）直线与圆相交； （2）直线与圆相切； （3）直线与圆相离。 总结判断直线与圆的位置关系的方法二。 案例分析 【例题】已知直线和圆，判断它们的位置关系。 【解析】依题意得圆心坐标为，半径， 将直线的方程转化为一般式方程，得，圆心到直线距离 。 因为，所以，故直线与圆相交。 【例题】已知直线：和圆：，问当为何值时，直线和圆相交、相切、相离？ 【解析】将圆的方程化为标准方程，得，圆心为，半径。圆心到直线的距离。 当，，即时，直线与圆相交； 当，，即或时，直线与圆相切； 当，，即或时，直线与圆相离。 通过案例分析来帮助学生理解判断直线与圆的位置关系的方法二。. 学以致用 【练习】求经过点且与圆相切的直线方程. 【解析】由题意得圆C的圆心坐标为，半径． 切线的斜率一定存在，设所求直线方程为，即， ∴圆心到直线的距离，得， ∴直线方程为或, 化为一般式得或. 【练习】判断直线与圆的位置关系. 【解析】圆的圆心为， 半径为， 则圆心到直线的距离为： ， 所以直线与圆相离. 通过及时练习来加深学生对判断直线与圆的位置关系的方法二的记忆。 课堂练习 【练习1】直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的大小有关 【解析】直线l：，即恒过， 而，故点在圆内，故直线与圆必然相交． 故选：A. 【练习2】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的圆的标准方程是：（ ） A． B． C． D． 【解析】直线，即，因为直线与圆相切， 半径为，又点为圆心， 则圆的方程为； 故选：B. 【练习3】直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相离 C．相切 D．相交但不过圆心 【解析】圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离，且， 所以可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 故选：D. 【练习4】圆形零件的标准方程为，直线与圆相交，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】圆的圆心为 ，半径． 因为直线与圆相交，所以圆心 到直线的距离， 即，解得． 故选：D. 【练习5】若点在圆外，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【解析】圆即， 则由可得：， 且圆的圆心，半径， 点与圆心的距离为：， 因为点在圆外，所以， 即，解得， 综上，. 故选：B. 请同学们结合本节课所学知识点回答下列生活场景对应的直线与圆的位置关系“是相离、相切还是相交”。 ①小区圆形喷泉（半径3米），洒水范围边缘到小区道路（直线）的距离为4米；②自行车车轮（半径0.3米），车轮边缘与地面（直线）的距离为0.3米；③圆形花坛（半径2米），花坛边缘与人行道（直线）有2个交点 答案： ①相离，依据：距离4米＞半径3米 ②相切，依据：距离0.3米＝半径0.3米 ③相交，依据：有2个交点（或距离＜半径） 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺。 知识梳理 1.判断直线与圆的位置关系(一) 设直线的方程为，圆的方程为。 对于方程组： （1）方程组有两组解直线与圆相交； （2）方程组只有一组解直线与圆相切； （3）方程组没有解直线与圆相离。 2.判断直线与圆的位置关系(二) 设圆的方程为，直线的方程为，圆心到直线的距离为，则，比较与的大小： （1）直线与圆相交； （2）直线与圆相切； （3）直线与圆相离。 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 1.判断直线与圆的位置关系(一) 设直线的方程为，圆的方程为。 对于方程组： （1）方程组有两组解直线与圆相交； （2）方程组只有一组解直线与圆相切； （3）方程组没有解直线与圆相离。 2.判断直线与圆的位置关系(二) 设圆的方程为，直线的方程为，圆心到直线的距离为，则，比较与的大小： （1）直线与圆相交； （2）直线与圆相切； （3）直线与圆相离。 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在“直线与圆的位置关系”的教学中，通过生活场景引入来分析直线与圆的三种位置关系，多数学生能掌握距离法的基本应用，对“位置关系的代数判定逻辑”有了初步认知。但教学仍存在不足：一是部分学生在方法选择上不够灵活，仍会用联立方程法解决可直接用距离法判定的简单问题。后续教学中，需补充“判定方法的对比训练”，明确距离公式（简便）与联立方程（复杂场景）的适用场景，提升知识的实用性，兼顾不同层次学生的学习需求。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $