6.9 直线与圆的位置关系（教学课件）--北师大版《数学 基础模块下册》《上好课》

6.9 直线与圆的位置关系 第六章 直线与圆的方程 北师大版 基础模块下册 学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离； 2.掌握判断直线与圆的三种位置关系的两种方法； 3. 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象的 数学素养. 教学引入 在平面内，直线与圆共有三种位置关系：相交、 相切、相离，如图所示： (1)当直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交； (2)当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切； (3)当直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离. y x O C . 相交 相离 相切 教学引入 思考： 直线与圆的位置关系是怎样的？相交、相切或相离？ 分析： 判断直线与圆的位置关系，只需确定直线与圆的公共点的个数，因此，利用直线的方程与圆的方程建立方程组，方程组解的个数决定了直线与圆的位置关系. 教学引入 将①代入②中，得，解得,方程组只有一组解，所以直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切. 导入新知 假设：直线的方程为， 圆的方程为, 对于方程组有以下结论： 1.判断直线与圆的位置关系(一) 导入新知 (1)方程组有两组解⇔直线与圆相交； (2)方程组只有一组解⇔直线与圆相切； (3)方程组没有解⇔直线与圆相离。 1.判断直线与圆的位置关系(一) 案例分析 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 教学引入 想一想： 直线与圆的位置关系，可通过直线与圆的公共点的个数来进行 判断，除此之外，是否还有其他方法？ 教学引入 分析： 观察下图，可以发现圆心到直线的距离和直线与圆的位置关系紧密相关，可以通过比较圆心到直线的距离与半径的大小，来判断直线与圆的位置关系。 导入新知 设圆的方程为，直线的方程为，圆心到直线的距离为，则，比较与的大小，如下图所示。 1.判断直线与圆的位置关系(二) 导入新知 1.判断直线与圆的位置关系(二) （1）d < r⇔直线与圆相交； （2）d =r⇔直线与圆相切； （3）d > r⇔直线与圆相离。 案例分析 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 请同学们结合本节课所学知识点回答下列生活场景对应的直线与圆的位置关系“是相离、相切还是相交”。 ①小区圆形喷泉(半径3米)，洒水范围边缘到小区道路(直线)的距离为4米；②自行车车轮(半径0.3米)，车轮边缘与地面(直线)的距离为0.3米；③圆形花坛(半径2米)，花坛边缘与人行道(直线)有2个交点. 答案：①相离，依据：距离4米＞半径3米;②相切，依据：距离0.3米＝半径0.3米; ③相交，依据：有2个交点（或距离＜半径）. 课堂小结 1.判断直线与圆的位置关系(一) 直线的方程为， 圆的方程为, 对于方程组： (1)方程组有两组解⇔直线与圆相交； (2)方程组只有一组解⇔直线与圆相切； (3)方程组没有解⇔直线与圆相离。 课堂小结 2.判断直线与圆的位置关系(二) 设圆的方程为，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，则，比较与的大小： （1）d < r⇔直线与圆相交； （2）d =r⇔直线与圆相切； （3）d > r⇔直线与圆相离。 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】已知直线和圆。求出它们的交点，并判断它们的位置关系。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 解方程组可得或 直线与圆有两个交点，分别为和。 所以直线和圆的位置关系是相交。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知直线，圆，问在什么范围内取值时，圆与直线相交、相切、相离？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 解方程组 由方程组解的个数来确定直线与圆的位置关系。 将①式代入②式中，整理得。 。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 当，即时，方程组有两组不相等的实数解，直线与圆有两个公共点，因此直线与圆相交； 当，即或时，方程组只有一组实数解，直线与圆只有一个公共点，因此直线与圆相切； 当，即或时，方程组没有实数解，直线与圆没有公共点，因此直线与圆相离。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】若直线与圆相切，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由，得圆心为，半径 直线与圆相切，故圆心到直线的距离为半径，即 解得，得到， 或， 因此直线与圆相切时，或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知直线与圆相切，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为直线与圆相切， 可转化为， 所以圆心坐标为，半径，直线与圆相切时，所以， 即，所以有， 解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知直线和圆，判断它们的位置关系。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 依题意得圆心坐标为，半径， 将直线的方程转化为一般式方程，得，圆心到直线距离 。 因为，所以，故直线与圆相交。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知直线：和圆：，问当为何值时，直线和圆相交、相切、相离？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 将圆的方程化为标准方程，得，圆心为，半径。圆心到直线的距离。 当，，即时，直线与圆相交； 当，，即或时，直线与圆相切； 当，，即或时，直线与圆相离。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】求经过点且与圆相切的直线方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题意得圆C的圆心坐标为，半径． 切线的斜率一定存在，设所求直线方程为，即， ∴圆心到直线的距离，得， ∴直线方程为或, 化为一般式得或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】判断直线与圆的位置关系. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 圆的圆心为， 半径为， 则圆心到直线的距离为： ， 所以直线与圆相离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的大小有关 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直线l：，即恒过， 而，故点在圆内，故直线与圆必然相交． 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的圆的标准方程是：（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直线，即，因为直线与圆相切，半径为，又点为圆心，则圆的方程为； 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相离 C．相切 D．相交但不过圆心 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离，且， 所以可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】圆形零件的标准方程为，直线与圆相交，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 圆的圆心为 ，半径． 因为直线与圆相交，所以圆心 到直线的距离， 即，解得． 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】若点在圆外，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 圆即， 则由可得：，且圆的圆心，半径， 点与圆心的距离为：， 因为点在圆外，所以，即，解得， 综上，. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $