专题3.6-3.7 直线与圆的位置关系、切线长定理（知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦直线与圆的位置关系、切线的性质与判定、切线长定理、三角形内切圆与内心等核心知识点，从基础概念（位置关系判断、切线条件）到综合应用（切线长计算、内切圆与外接圆综合），构建由浅入深的学习支架。 资料以19个考点分层讲练为特色，搭配典例与变式，结合中考真题及基础夯实、培优拔高分层练习。通过切线证明（考点9）培养推理能力（数学思维），内切圆半径计算（考点12）强化数学语言表达，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

专题3.6-3.7 直线与圆的位置关系、切线长定理 【知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01:直线与圆的位置关系 2 知识点梳理02:切线的性质与判定定理 2 知识点梳理03:切线长定理 2 知识点梳理04:三角形的内切圆和内心 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断直线和圆的位置关系 3 考点2：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4 考点3：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 4 考点4：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 5 考点5：求直线平移到与圆相切时运动的距离 6 考点6：切线的应用 6 考点7：有关切线的概念辨析 7 考点8：判断或补全使直线为切线的条件 7 考点9：证明某直线是圆的切线 8 考点10：切线的性质定理 9 考点11：切线的性质和判定的综合应用 10 考点12：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 11 考点13：三角形内心有关应用 12 考点14：一般三角形周长、面积与内切园半径的关系 12 考点15：三角形内切圆与外接圆综合 12 考点16：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 13 考点17：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 14 考点18：应用切线长定理求解 15 考点19：应用切线长定理求证 16 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 20 知识点梳理01:直线与圆的位置关系 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 直线与相交 知识点梳理02:切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 知识点梳理03:切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点梳理04:三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D C 考点1：判断直线和圆的位置关系 【典例精讲】（23-24九年级下·山东济宁·期中）在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 【变式训练】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如当时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有4个到直线l的距离等于1的点，即，由此可知： （1）当时， ． （2）当时，d的取值范围是 ． 考点2：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【典例精讲】（2025·广东东莞·模拟预测）已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系． 考点3：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏·自主招生）如图，已知直线l与相离，过点O作于点A，交于M，，．P为上一点，当P在上运动时，作于点B，则最大值为 ． 【变式训练】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，取的中点，连接，交于点． (1)与的位置关系是_____________； (2)当点在线段上运动时，求证：； (3)若，直接写出点到直线的距离的最小值． 考点4：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，，，点O以的速度在的边上沿的方向运动．以O为圆心作半径为的圆，求运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔． 【变式训练】（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    考点5：求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·月考）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【变式训练】（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，圆心在x轴上的与同时与纵轴相切．，直线l：交x轴于点B．记B点的横坐标为，与的组合图形记为曲线M．若直线l：与曲线M至少有4个不同的公共点，则的取值范围为 ． 考点6：切线的应用 【典例精讲】（2025·江苏淮安·一模）如图，一块四边形铁片中，，，在此四边形中裁剪出一个面积最大的圆形铁片，则该圆形铁片的半径为 ． 【变式训练】（2025·广东汕头·一模）如图，已知直线，点A是上的定点，于点B，C，D分别是，上的动点，且，连接交于点E，于点F，则当最大时，的值为 ． 考点7：有关切线的概念辨析 【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是锐角三角形，请用尺规作图法作，使它与相切于点E．（保留痕迹，不写作法） 【变式训练】（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 考点8：判断或补全使直线为切线的条件 【典例精讲】（23-24九年级下·河北衡水·月考）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（2023·浙江·模拟预测）如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 考点9：证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（2025·广东广州·模拟预测）如图1所示，已知矩形中，，，点E是边上一动点，连接，以为直径作，交于点F，过点F作于点H，直线交于点G． (1)如图2所示，当点E为的中点时，求证：为的切线； (2)当，求的长； (3)在点E的运动过程中，当时，能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，说明理由． 【变式训练】（2025·广西·一模）如图，是的弦，直径，垂足为点为弧上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 考点10：切线的性质定理 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西·期末）如图，是的直径，点B在上，且，连接交于点E，交于点M，过点E作的切线，交于点F，当时． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式训练】（2025·浙江丽水·二模）如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接． (1)求证：平分； (2)若的直径为10，，求的长． 考点11：切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）（1）如图，已知是上的四个点，交于点，连接．求证：平分； （2）如图，与相切于点与相切于点．求的半径． 【变式训练】（2025·山东泰安·一模）如图，在中，为直径，且弦，垂足为点E，点P为延长线上的一点，且与切于点C．连接并延长，交于点F，连接和． (1)求证：直线为的切线； (2)探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，，求的值及线段的长． 考点12：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）下列结论中：①的内切圆半径为r，的周长为L，则的面积是；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为；③圆内接平行四边形是矩形；④无论p取何值，方程总有两个不等的实数根．其中正确的结论有（填序号） ． 【变式训练】（2025·山西阳泉·二模）有一张如图所示的四边形纸片，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 ． 考点13：三角形内心有关应用 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）下列结论正确的是 ①方程无实数根；②三角形的内心到三角形三边距离相等； ③；④“如果，那么”的逆命题一定是真命题； ⑤若二次三项式是完全平方式，则． 【变式训练】（2023·河北邢台·二模）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（     ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 考点14：一般三角形周长、面积与内切园半径的关系 【典例精讲】（2025·安徽·模拟预测）在边长为4的正方形内有一个等腰，连接，若，则内切圆的半径为（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练】（2025·广东佛山·一模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 考点15：三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（23-24九年级下·上海·期中）已知A，B，C，D四点共圆，线段过圆心O，长为2，连接，线段，若为圆O内接正三角形的一边时， 【变式训练】（2025·江苏连云港·一模）如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为 ． 考点16：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2025·甘肃酒泉·一模）如图所示，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为 ． 【变式训练】（2024·浙江·模拟预测）如图①，在中，为边上的高，以上一点为圆心的过，两点，且分别与交于点，延长交于点，连结． (1)求与之间满足的数量关系． (2)① 求证： ②已知，求的半径． (3)如图2，连结，当与的面积之比为2时，求的值． 考点17：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2024·天津·模拟预测）已知四边形内接于，过C、D分别作的切线，，若，为的一条直径，设与交于P点 (1)判断线段、、的数量关系，并证明 (2)若也是的一条直径，连接、，设，求的值 【变式训练】（2025·安徽·模拟预测）如图，长方形中，，E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，连接交于点． (1)当时，求证：； (2)在（1）的条件下，求的长； (3)若，求的值． 考点18：应用切线长定理求解 【典例精讲】（25-26九年级下·全国·期末）某户外实践活动小组欲测量球罐外斜梯的长度，一人站在球罐最高点C处（此时点B、O、C、D四个点在同一直线上），看到斜梯末端F处恰好被斜梯顶端E遮挡(此时与相切)，已知过切点B恰有一水平横梁交于斜梯末端F处，如图所示． (1)连接，求证：； (2)若眼睛D与点C的距离为1.5米，，求斜梯的长． 【变式训练】（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ． 考点19：应用切线长定理求证 【典例精讲】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，．点D在边上，直线交于点E，直线交于点F． (1)当线段的长为何值时，四边形为菱形？ (2)若直线，为的外接圆的两条切线，求线段的长． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）如图，正方形的边长为6，点E是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为 ． 1．（2024·天津·中考真题）锐角三角形的内心为I，，则的周长为 ． 2．（2024·广西柳州·中考真题）如图，在中，，是的内切圆，则的半径为 ． 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，点C为圆上一点，且，过点C作的切线，交的延长线于点D．则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·全国·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点，经过，两点，交对角线于点，连接交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 基础夯实 1．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 2．（24-25九年级下·四川巴中·月考）下列命题是真命题的是（　　） A．五边形的外角和为 B．方程没有实数根 C．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 3．（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 4．（24-25九年级上·广东·期末）如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ． 5．（24-25九年级下·河北石家庄·月考）如图，的半径为5，圆心到一条直线的距离为2，则这条直线可能是 6．（24-25九年级下·江苏南京·月考）已知的半径为2，点O到直线l的距离为3，则l与的位置关系是 ． 7．（2025·北京石景山·模拟预测）有下面三个语句： ①是的半径；②；③直线切于点． 以其中两个语句为条件，另一个语句为结论，写出一个真命题： ． 8．（2023·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 9．（24-25九年级下·上海·月考）已知：如图，圆O半径长为25，弦长为48，点C是弧的中点． (1)求弦长； (2)圆O的一个同心圆与弦所在的直线相切，求这个同心圆半径r的大小． 10．（2025·陕西西安·一模）如图，，是的切线，，为切点，延长，与，延长线交于点，点． (1)求证：； (2)过点作交于点．若，．求的长． 培优拔高 11．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 12．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（24-25九年级下·全国·期末）如图所示，已知，切于A，B两点，C是上一动点，过点C作的切线交于点M，交于点N，连接，，已知，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·江苏苏州·二模）如图，过外一点引的两条切线、，切点分别是、，交于点，点是优弧上不与点、点重合的一个动点，连接、，若，则的度数为 ． 15．（24-25九年级下·全国·期末）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．有下面四个结论：①；②；③；④若，，则．正确结论的序号有 ． 16．（24-25九年级下·全国·期末）如图，，分别与圆O相切于点B，F，射线与的延长线相交于点C，与圆O相交于点E，连接和，若，，则圆O的半径为 ． 17．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为 ． 18．（2025·四川雅安·二模）如图，是的直径，内接于，以点为端点作射线交的延长线于点，且．过点作于点，，，且． (1)求证：是的切线； (2)求的半径的长． (3)求的值． 19．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图1，为圆的直径，是圆上异于的任一点，连接，过点作射线为射线上一点，连接． (1)若点在直线同侧，且，求的长度； (2)若在点运动过程中，始终有，连接． ①如图2，当与圆相切时，求的长度； ②求长度的取值范围． 20．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6-3.7 直线与圆的位置关系、切线长定理 【知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01:直线与圆的位置关系 2 知识点梳理02:切线的性质与判定定理 2 知识点梳理03:切线长定理 3 知识点梳理04:三角形的内切圆和内心 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断直线和圆的位置关系 3 考点2：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 5 考点3：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 6 考点4：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 12 考点5：求直线平移到与圆相切时运动的距离 13 考点6：切线的应用 15 考点7：有关切线的概念辨析 18 考点8：判断或补全使直线为切线的条件 19 考点9：证明某直线是圆的切线 21 考点10：切线的性质定理 27 考点11：切线的性质和判定的综合应用 30 考点12：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 34 考点13：三角形内心有关应用 37 考点14：一般三角形周长、面积与内切园半径的关系 38 考点15：三角形内切圆与外接圆综合 41 考点16：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 44 考点17：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 47 考点18：应用切线长定理求解 52 考点19：应用切线长定理求证 54 中考真题 实战演练 57 难度分层 拔尖冲刺 61 基础夯实 61 培优拔高 69 知识点梳理01:直线与圆的位置关系 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 直线与相交 知识点梳理02:切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 知识点梳理03:切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点梳理04:三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D C 考点1：判断直线和圆的位置关系 【典例精讲】（23-24九年级下·山东济宁·期中）在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 【答案】C 【思路点拨】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟练掌握点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系是解题的关键，过点作于，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可求出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对选项A、B进行判断，根据直线与圆的位置关系对C、D进行判断即可得到答案． 【规范解答】解：过点作于，如图， ∵ ∴， 在中，， ∵， ∴点在外，则A不符合题意； ∵， ∴点在外，则B不符合题意； ∴，， ∴直线与相切， 则C符合题意；D不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如当时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有4个到直线l的距离等于1的点，即，由此可知： （1）当时， ． （2）当时，d的取值范围是 ． 【答案】 1 【思路点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，解题关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系． （1）根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案． （2）根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数，分析即可得到答案． 【规范解答】解：（1）当时， ∵，即， ∴直线与圆相离， 又 则， （2）将时的直线向下平移， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，， 故答案为：1，． 考点2：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【典例精讲】（2025·广东东莞·模拟预测）已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．据此作答即可． 【规范解答】解：∵点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点， ∴的半径． ∴的半径可能为． 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系． 【答案】当时，与射线没有公共点；当或时，与射线只有一个公共点；当时，与射线有两个公共点 【思路点拨】此题考查了直线与圆的交点个数问题．作于点N，求出，分情况讨论求解即可． 【规范解答】解：作于点N，如图， ∵， ∴， ∴当时，与射线OA只有一个公共点； 当时，与射线OA没有公共点； 当时，与射线OA有两个公共点； 当时，与射线OA只有一个公共点． ∴当时，与射线OA没有公共点；当或时，与射线OA只有一个公共点；当时，与射线OA有两个公共点． 考点3：已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏·自主招生）如图，已知直线l与相离，过点O作于点A，交于M，，．P为上一点，当P在上运动时，作于点B，则最大值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查圆的有关性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平方式的非负性等知识，利用平方式的非负性求解是解答的关键． 分两种情况：当P点在过点O且平行于直线l的直线上方时，当P点不在过点O且平行于直线l的直线上方时，过点P作于N，连接，通过证明所构造的四边形是矩形，设，结合矩形的性质利用勾股定理可得关于的式子，再分别计算可求解． 【规范解答】解：当P点在过点O且平行于直线l的直线上方时， 过点O作于N，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， 则， ∴， ∴当最大值时，值最大， 令， 则， ∵，∴， ∴当，即时，y有最大值， ∴， 故当时，最大，最大值为：； 当P点不在过点O且平行于直线l的直线上方时， 过点P作于N，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ， ∴， ∵，， ∵时，随x的增大而增大，也随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为． ∵ ∴的最大值为． 故答案为：． 【变式训练】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，取的中点，连接，交于点． (1)与的位置关系是_____________； (2)当点在线段上运动时，求证：； (3)若，直接写出点到直线的距离的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【思路点拨】（1）由等腰直角三角形性质、结合旋转性质得到相关角度、线段关系，再由两个三角形全等的判定与性质即可得证； （2）延长到点，使，连接，如图所示，先由全等三角形的判定定理得到，进而由全等性质及平行性质得到边与角的关系，从而由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等三角形性质及两角互余即可得证； （3）取的中点，过点作垂足为，作垂足为，如图所示，先判断，进而得到四边形为矩形，在和中，解直角三角形求出，结合点在以为直径的上，当点在线段上时，点到直线的距离最小，求出即可得到答案． 【规范解答】（1）解：在中，，， ， 将绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ，则， ， 故答案为：； （2）证明：延长到点，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：取的中点，过点作垂足为，作垂足为，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴ 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵长度不变， ∴点在以为直径的上，当点在线段上时，点到直线的距离最小，此时， ∴点到直线的距离的最小值为． 考点4：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，，，点O以的速度在的边上沿的方向运动．以O为圆心作半径为的圆，求运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔． 【答案】 【思路点拨】要求第一次相切和第三次相切的时间间隔，题目已知速度，那么就要求第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差，根据公式：时间路程速度即可求解． 【规范解答】解：第一次相切如图①， ∵，， ∴， 即第一次相切圆心运动的距离为． 第二次相切如图②， ，， 第三次相切如图③， ∵，， ∴， 第三次相切圆心运动的距离为， ∴第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差为：， ∴， 【变式训练】（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【答案】/ 【思路点拨】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【规范解答】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：．    考点5：求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·月考）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【思路点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【规范解答】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 【变式训练】（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，圆心在x轴上的与同时与纵轴相切．，直线l：交x轴于点B．记B点的横坐标为，与的组合图形记为曲线M．若直线l：与曲线M至少有4个不同的公共点，则的取值范围为 ． 【答案】且 【思路点拨】根据直线l：与曲线M至少有4个不同的公共点，利用一次函数平移，数形结合的思想找到临界点，解直角三角形，求出直线与坐标轴的交点，即可解答． 【规范解答】解：如图，设直线与y轴交于点H， 当时，则，当时，则， ， ， ， ， ， 如图，当直线与切与点时，连接， 此时，直线l：与曲线M有3个不同的公共点，且， ， ，则此时点B与点C重合， ； 当直线经过原点O时，此时，，直线l：与曲线M有3个不同的公共点， 如图，当直线与切与点时，连接， 同理，此时，点B与点A重合，直线l：与曲线M有3个不同的公共点，且，， ， 综上，直线l：与曲线M至少有4个不同的公共点，且， 故答案为：且． 考点6：切线的应用 【典例精讲】（2025·江苏淮安·一模）如图，一块四边形铁片中，，，在此四边形中裁剪出一个面积最大的圆形铁片，则该圆形铁片的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内切圆，掌握相似三角形的性质、切线的性质是解题的关键．延长、交于点E，根据相似三角形的性质求出，进而求出，根据勾股定理求出，再根据切线的性质、三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：如图，延长、交于点E， ， ， ，即， 解得：， ， 由勾股定理得：， 当裁剪的圆为的内切圆时，面积最大，设该圆形铁片的半径为x， 由题意得：， 解得：， ，，， 半径为符合题意， 故答案为： 【变式训练】（2025·广东汕头·一模）如图，已知直线，点A是上的定点，于点B，C，D分别是，上的动点，且，连接交于点E，于点F，则当最大时，的值为 ． 【答案】 【思路点拨】证明，得出，根据，得出，说明点F在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点F在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，求解，再进一步求解即可求出结果． 【规范解答】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B， ∴点B为定点，的长度为定值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， ∴当与相切时最大， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点7：有关切线的概念辨析 【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是锐角三角形，请用尺规作图法作，使它与相切于点E．（保留痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了尺规作图、切线的判定等知识，过点B作于E，然后以B为圆心，为半径作即可， 【规范解答】解∶如图， 即为所求， 【变式训练】（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【规范解答】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 考点8：判断或补全使直线为切线的条件 【典例精讲】（23-24九年级下·河北衡水·月考）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【规范解答】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练】（2023·浙江·模拟预测）如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； 【思路点拨】本题考查作垂直平分线，作垂线： （1）根据格点作垂直平分线找到中点，连接即可得到答案； （2）根据边的垂直平分线结合（1）得到圆心，根据切线垂直即可得到答案； 【规范解答】（1）解：如图所示，根据正方形对角线互相垂直平分得到与交点，连接即为所求， ； （2）解：如图所示，点是，边垂直平分线的交点，连接根据格点垂直即为所求， ． 考点9：证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（2025·广东广州·模拟预测）如图1所示，已知矩形中，，，点E是边上一动点，连接，以为直径作，交于点F，过点F作于点H，直线交于点G． (1)如图2所示，当点E为的中点时，求证：为的切线； (2)当，求的长； (3)在点E的运动过程中，当时，能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或． (3)能， 【思路点拨】（1）连接，证明为的中位线，得出．证出，即可得出为的切线； （2）作于点M，连接，先证明∽，得出，求出或； ①当时，证明，得出比例式，求出，根据勾股定理求出，即可得出； ②当时，同①得出，得出，求出，得出，由勾股定理求出，即可得出； （3）连接，由圆周角定理得出，设，则，，，由已知条件得出点G在点F上方，连接，设交于点K，得出和都是等腰直角三角形，得出，，，，，证明∽，得出，得出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）证明：如图2，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：如图3，作于点M，连接， ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或． ①当时，，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时，，， ∴同理可得，，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的长为：或． （3）解：连接，如图所示，则， 设，则，，， 若是等腰直角三角形，则， 又∵， ∴点G在点F上方， 连接，设交于点K， ∴， ∵是直径， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，， 在等腰直角中，根据勾股定理得：，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴． 【变式训练】（2025·广西·一模）如图，是的弦，直径，垂足为点为弧上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的半径为 【思路点拨】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据已知条件证明，得到，即可得证； （2）作于点，则，得到，设，，则，利用勾股定理计算即可． 【规范解答】（1）证明：连接，则， ， ， ， ，，且， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：作于点，则， ， ， ， 设，，则， 在中，，即：， ， ， 的半径为5． 考点10：切线的性质定理 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西·期末）如图，是的直径，点B在上，且，连接交于点E，交于点M，过点E作的切线，交于点F，当时． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，根据切线性质得到，结合得到，根据圆周角定理求出，进而证明，即可证明； （2）连接，证明，根据得到，证明，得到，求出，﹒再依次求出，，，即可求出的半径为﹒ 【规范解答】（1）证明：连接，如图． ∵与相切于点E， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴﹒ ∴， ∴； （2）解：连接，如图． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由(1)知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 在中，， ∴在中，， 在中，， ∴的半径为﹒ 【变式训练】（2025·浙江丽水·二模）如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接． (1)求证：平分； (2)若的直径为10，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【思路点拨】（1）连接，则和，根据题意得，即有，可得，则有即可判定角平分线； （2）过点O 作于点E，连接，则，判定四边形为矩形，有，结合圆的性质和等腰三角形的性质求得，利用勾股定理求得即可． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， 则，， ∵过点P作的切线，切点为M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平分； （2）解：过点O 作于点E，连接，如图， 则， ∵过点P作的切线，切点为M， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵的直径为10， ∴， ∴， ∴． 考点11：切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）（1）如图，已知是上的四个点，交于点，连接．求证：平分； （2）如图，与相切于点与相切于点．求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）． 【思路点拨】（1）等弦对等弧，进而证明角相等，可证平分； （2）通过切线的性质得到，再结合，可证明四边形为正方形，即可求出的半径． 【规范解答】解：（1）证明：， ， ， 平分． （2）与相切于点与相切于点， ． 四边形为正方形， ，即的半径为4． 【变式训练】（2025·山东泰安·一模）如图，在中，为直径，且弦，垂足为点E，点P为延长线上的一点，且与切于点C．连接并延长，交于点F，连接和． (1)求证：直线为的切线； (2)探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，，求的值及线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)， 【思路点拨】（1）连接，根据垂径定理可知是的垂直平分线，得，则，再利用可证明，从而证明结论； （2）利用，得，从而得出答案； （3）设，则，，由垂径定理可知是的中位线，得，，在中，由勾股定理得：，从而得出，从而解决问题． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点12：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）下列结论中：①的内切圆半径为r，的周长为L，则的面积是；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为；③圆内接平行四边形是矩形；④无论p取何值，方程总有两个不等的实数根．其中正确的结论有（填序号） ． 【答案】①③④ 【思路点拨】本题考查了三角形内切圆的性质，概率的基本计算，圆内接四边形与平行四边的性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上性质和计算公式是解决本题的关键． 根据三角形内切圆的性质，将三角形分割为多个小三角形来推导面积公式，由此可判断①；通过列举所有可能结果，根据概率公式求解，由此可判断②；根据圆内接四边形的性质由此可判断③；先将方程化简，再根据一元二次方程根的判别式判断④． 【规范解答】解：设的内切圆的圆心为O，连接，如图， 由三角形面积公式可知，（a为底，h为高）， 对于，为底，高为，即内切圆的半径r， ∴， 同理可得，， ∵， 整理可得， ∵的周长为L， ∴，故①正确； 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现的可能结果为： （正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种情况， 而两枚硬币全部正面向上的情况只有1种， ∴由概率公式可得：两枚硬币全部正面向上的概率为，故②错误； 圆内接平行四边形，如图， 在平行四边形中，，， ∵平行四边形为圆内接四边形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴圆内接平行四边形是矩形，故③正确； 将方程化简：， 整理可得， ∴判别式， ∵无论p取何值，， ∴，即， ∴当时，方程总有两个不等的实数根，故④正确； ∴正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【变式训练】（2025·山西阳泉·二模）有一张如图所示的四边形纸片，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，作的角平分线，交于，过E作于点F， 作于点G，根据角平分线性质，证明点E到四边形各边的距离相等，进而确定出圆最大半径时的位置，再利用相似三角形的性质求出半径即可． 【规范解答】解：如图，连接，作的角平分线，交于，过E作于点F， 作于点G， 则由角平分线性质知，， 又∵， ∴， ∴， ∴同理，由角平分线性质知，点E到四边形各边的距离相等， ∴当以点为圆心，以为半径作圆时，可知与四边形各边相切，此时圆的半径最大，其面积也最大，设圆的半径为r，如下图： ， ∵为直角，，， ∴四边形为正方形， ∴， 由为直角，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 考点13：三角形内心有关应用 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）下列结论正确的是 ①方程无实数根；②三角形的内心到三角形三边距离相等； ③；④“如果，那么”的逆命题一定是真命题； ⑤若二次三项式是完全平方式，则． 【答案】②③⑤ 【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式、完全平方式、三角形的内心、无理数的估算，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：①由可得，，，，故，故方程有实数根，错误； ②三角形的内心到三角形三边距离相等，正确； ③∵， ∴，即， ∴，正确； ④逆命题为：如果，那么，此命题为假命题，例如：，，此时，，，故原说错误； ⑤∵二次三项式是完全平方式， ∴，正确； 综上所述，正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 【变式训练】（2023·河北邢台·二模）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（     ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 【答案】B 【思路点拨】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心的性质．根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等． 【规范解答】解：如图：过点作，，，    由题意得：，， 为角平分线的交点， ， 点到三边的距离相等． 点是的内心． 故选：B． 考点14：一般三角形周长、面积与内切园半径的关系 【典例精讲】（2025·安徽·模拟预测）在边长为4的正方形内有一个等腰，连接，若，则内切圆的半径为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查正方形的性质、三角形的内切圆，根据正方形的性质及已知条件判断E为正方形的中心，为等腰直角三角形，根据等面积法即可求出内切圆的半径． 【规范解答】解：如图： ∵正方形的对角线互相垂直且平分，，为等腰三角形， ∴E即为正方形的中心， ∴为等腰直角三角形， 其中， 设的内切圆半径为r，周长为C， 则利用等面积法可得， 则， 故选：D． 【变式训练】（2025·广东佛山·一模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，，，延长交于点，连接，由折叠的性质可知，，，证明，然后证明，则，从而求出，则，连接，，，然后通过，得，求出的值即可． 【规范解答】解：连接，，，延长交于点，连接，如图， 由题意得：， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵分别与相切，切点分别为， ∴的半径，，，， 连接，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故答案为：． 考点15：三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（23-24九年级下·上海·期中）已知A，B，C，D四点共圆，线段过圆心O，长为2，连接，线段，若为圆O内接正三角形的一边时， 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆的内接三角形，圆周角定理，等边三角形的性质，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，设圆O内接正三角形为，设交于点F，连接，先证明，得到，由直角三角形的性质求出，再根据垂径定理求出，，利用勾股定理求出，进而求出，最后由勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，设圆O内接正三角形为，设交于点F，连接， 则， ∵线段过圆心O，长为2，即是的直径， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（2025·江苏连云港·一模）如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，设交于点，由矩形的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则，因为点是的内心，所以，可证明，则，进而证明，得，推导出，再证明，得，则，作的内切圆与分别相切于点，则圆心为点，连接，可证明，且点为切点，推导出，再证明，则，所以，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：如图，连接，设交于点， ∵四边形是矩形， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∵点是的内心， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ∴， ∴， ， ， 如上图，作的内切圆与分别相切于点，则圆心为点，连接， ∵与相切，且于点， ∴，且点为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ∴解得：或（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：． 考点16：圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2025·甘肃酒泉·一模）如图所示，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了切线长定理的应用．能够将的周长转换为切线、的长是解答此题的关键． 由于、，、都是的切线，可由切线长定理将的周长转换为、的长． 【规范解答】解：、切于、， ， 同理，可得：，， 的周长． 即的周长是：． 故答案为：． 【变式训练】（2024·浙江·模拟预测）如图①，在中，为边上的高，以上一点为圆心的过，两点，且分别与交于点，延长交于点，连结． (1)求与之间满足的数量关系． (2)① 求证： ②已知，求的半径． (3)如图2，连结，当与的面积之比为2时，求的值． 【答案】(1) (2)详见解析； 的半径为5 (3) 【思路点拨】本题重点考查圆的性质（圆周角定理、弦径关系）、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质，找出相等的角并利用圆周角定理建立等式，结合相似三角形面积比求解线段比是解题的关键． （1）根据，，设 得到结论； （2）①根据得，根据得得到结论； ②连结中，根据，求得半径； （3）根据，与的面积之比为2时，可知，进而得，设，得，则，即，求出，即得到答案． 【规范解答】（1）如图①，为边上的高， ． 为的直径， ， 设，则， ． （2）①由(1)得 ， ，即 ． ② ． ， 如图②，连结中，， 的半径为5． （3） ， ， 当与的面积之比为2时，可知， ， 设，得， 则． ． ． 考点17：圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2024·天津·模拟预测）已知四边形内接于，过C、D分别作的切线，，若，为的一条直径，设与交于P点 (1)判断线段、、的数量关系，并证明 (2)若也是的一条直径，连接、，设，求的值 【答案】(1)线段、、的数量关系为，见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理； （1）过C点作且使，连接，，构造出了，可寻找条件证明，得出从而将转化为，再利用圆内接四边形对角互补得出A、D、E三点共线，从而得出即为线段，最后证明是等腰直角三角形，得出，得出； （2）过P作交延长线于E，于F于G，解题思路是构建一个含有的，在这个直角三角形中利用来求解，所以解题的关键就变成表示出，的长度，设，利用正方形的性质，矩形的性质，勾股定理可分别求出，的长度，从而求出. 【规范解答】（1）解：线段、、的数量关系为，证明如下： 如图1所示，过C点作且使，连接， ∵，为的切线切点为C、D， ∴，，， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵为的一条直径，O为圆心， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴在与中， ∴， ∴，，， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 即 ∴A、D、E三点共线， ∵， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，D点为边上一点， ∴， 即 ∵， ∴. 故答案为：线段、、的数量关系为. （2）解：如图2所示，过P作交延长线于E，于F，于G， 若也是的一条直径，由（1）得四边形为正方形，四边形也为正方形，且，设，则， ∵四边形为正方形，四边形也为正方形， ∴四边形为矩形， ∴， 在中 ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中 ∴. 故答案为：. 【变式训练】（2025·安徽·模拟预测）如图，长方形中，，E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，连接交于点． (1)当时，求证：； (2)在（1）的条件下，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、四点共圆、垂径定理等知识点： （1）根据同角的余角相等证明，再结合已知条件即可证明； （2）延长交于点H，利用平行线分线段成比例定理和勾股定理可求，由即可得到答案； （3）根据可知四点共圆，且是直径，再根据垂径定理可求，从而可求，根据同角的余角相等可得，从而． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴在和中，， ∴ ； （2）解：如图，延长交于点H： 由（1）知 ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ， 四点共圆，且是直径， 又， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 考点18：应用切线长定理求解 【典例精讲】（25-26九年级下·全国·期末）某户外实践活动小组欲测量球罐外斜梯的长度，一人站在球罐最高点C处（此时点B、O、C、D四个点在同一直线上），看到斜梯末端F处恰好被斜梯顶端E遮挡(此时与相切)，已知过切点B恰有一水平横梁交于斜梯末端F处，如图所示． (1)连接，求证：； (2)若眼睛D与点C的距离为1.5米，，求斜梯的长． 【答案】(1)见解析 (2)18米 【思路点拨】本题考查了切线的性质、切线长定理、解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，再根据四边形内角和定理和平角的定义得到，，等量代换即可证明； （2）设的半径为r米，在中利用正弦的定义列出方程，求出的值，进而得到米，在中利用正弦的定义得到，设米，利用勾股定理列出方程，求出的值，得到米，最后利用切线长定理即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵，均与相切， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 又∵， ∴； （2）解：设的半径为r米， 则米， 在中，， ∴， 解得， ∴米， ∴（米）， 在中，， 设米，则米， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， ∵，均与相切， ∴米， 答：斜梯的长为18米． 【变式训练】（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ． 【答案】9 【思路点拨】连接，作于点H，根据题目所给条件可得：，，再由勾股定理求得的长，证明四边形是矩形；在中，根据勾股定理列式求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，作于点H，则， 分别与扇形相切于点A，E，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 解得：． 故答案为：9． 考点19：应用切线长定理求证 【典例精讲】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，．点D在边上，直线交于点E，直线交于点F． (1)当线段的长为何值时，四边形为菱形？ (2)若直线，为的外接圆的两条切线，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）首先证明出，证明出，得到，设，，表示出，然后得到当时，四边形为菱形，进而求解即可； （2）如图所示，过点P作于点G，由切线长定理得到，，由三线合一得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，四边形为菱形． 证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴设，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴当时，四边形为菱形； （2）解：如图所示，过点P作于点G ∵直线，为的外接圆的两条切线 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）如图，正方形的边长为6，点E是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正方形的性质以及折叠的性质，切线长定理，解直角三角形等知识．连接，如图，由正方形的性质得，再由折叠的性质得，接着根据切线长定理得到平分，则，所以，则利用可计算出，然后在中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出． 【规范解答】解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵沿折叠至， ∴， ∵，与以正方形的中心为圆心的相切， ∴平分， ∴， ∴， 而， ∴， 在中，． 故答案为：． 1．（2024·天津·中考真题）锐角三角形的内心为I，，则的周长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理，含有角的直角三角形的性质、勾股定理．求出，再求出，解求出及，再根据切线的性质即可求出的周长． 【规范解答】解：如图， 设的内切圆与三边切于、、， 由切线长定理可知． 连接、、，则． ∵， ． 由题可知、、分别是三角形三个角的角平分线， ， ， ， ∴的周长为 ． 故答案为：． 2．（2024·广西柳州·中考真题）如图，在中，，是的内切圆，则的半径为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，掌握利用勾股定理求出斜边，结合直角三角形内切圆半径公式求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出斜边长度，再根据直角三角形内切圆半径公式计算半径． 【规范解答】解：在中，， 由勾股定理得． 直角三角形内切圆半径公式为， 所以， 故答案为：2． 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，点C为圆上一点，且，过点C作的切线，交的延长线于点D．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆心角与弧的关系，切线的性质．先求得，由切线的性质求得，据此求解即可． 【规范解答】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024·广东·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．根据切线的性质得到，根据直角三角形中两锐角互余求出，根据同圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可． 【规范解答】解：∵是的切线，为切点， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴． 故选：A． 5．（2024·全国·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点，经过，两点，交对角线于点，连接交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为 【思路点拨】本题考查菱形的性质，圆的切线判定和三角函数，熟练运用垂径定理是解题关键． （1）连接，由垂径定理可得，故，再由和菱形的性质可推出，进而可证是的切线． （2）由的半径与菱形的边长之比为，可设参数表示、，再由菱形的性质和垂径定理可推出，在中求出，进而求出． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵，， ∴，∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵，∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：∵的半径与菱形的边长之比为，， ∴， 设，∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，∴，即， ∵， ∴． ∴． 答：的值为． 基础夯实 1．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 【答案】C 【思路点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【规范解答】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 2．（24-25九年级下·四川巴中·月考）下列命题是真命题的是（　　） A．五边形的外角和为 B．方程没有实数根 C．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 【答案】D 【思路点拨】本题考查了真假命题的判断，根据多边形的外角和，一元二次方程根的判别式的意义，三角形重心的定义，角平分线的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：A. 五边形的外角和为，故原命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意； B. 方程，有两个不等实数根，故原命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意； C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故原命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意； D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，是真命题，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【思路点拨】本题可根据切线长定理，将的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将的周长转化为与相关的表达式来求解． 【规范解答】解：∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 又∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 同理，∵，是的切线，切点分别为，， ∴． ． ∴． 又∵， ∴． ∵的周长为，即， ∴，可得， 解得． 故选：C 4．（24-25九年级上·广东·期末）如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ． 【答案】10 【思路点拨】本题主要考查了切线长定理．直接利用切线长定理得出，进而求出的长． 【规范解答】解：∵切于点A，B，切于点E， ， 的周长是20， ， ， ， ， 故答案为：10． 5．（24-25九年级下·河北石家庄·月考）如图，的半径为5，圆心到一条直线的距离为2，则这条直线可能是 【答案】直线 【思路点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线到圆心的距离小于半径，得出这一条直线与相交，再运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【规范解答】解：∵的半径为5，圆心到一条直线的距离为2，且， ∴这一条直线与相交， 观察图中，唯有直线满足题意， 故答案为：直线 6．（24-25九年级下·江苏南京·月考）已知的半径为2，点O到直线l的距离为3，则l与的位置关系是 ． 【答案】相离 【思路点拨】本题考查直线与圆位置关系．根据题意比较点O到直线l的距离和半径长度，即可得到本题答案． 【规范解答】解：∵的半径为2，点O到直线l的距离为3， ∴， ∴l与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 7．（2025·北京石景山·模拟预测）有下面三个语句： ①是的半径；②；③直线切于点． 以其中两个语句为条件，另一个语句为结论，写出一个真命题： ． 【答案】由①③得②，或由②③得① 【思路点拨】本题考查了切线的判定定理和性质定理，命题，掌握知识点是解题的关键． 根据切线的判定定理和切线的性质定理，逐项分析判断即可． 【规范解答】解：∵是的半径，直线切于点， ∴； 即由①③得② ∵，直线切于点， ∴是的半径； 即由②③得①． 故答案为：由①③得②，或由②③得①． 8．（2023·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)15 【思路点拨】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理和含直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定和性质，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，求出，得出，根据切线的判定得出即可； （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理即可求出． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∵为的斜边上的中线， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：∵为的斜边上的中线， ． 9．（24-25九年级下·上海·月考）已知：如图，圆O半径长为25，弦长为48，点C是弧的中点． (1)求弦长； (2)圆O的一个同心圆与弦所在的直线相切，求这个同心圆半径r的大小． 【答案】(1)的长为30 (2)这个同心圆半径r的大小为20 【思路点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理以及垂径定理，构造出是解本题的关键． （1）连接交于H，由垂径定理知，在中，易求长，进而易得的长．再利用勾股定理，即可得出的长； （2）过O作于G，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图，连接交于H， ∵C是弧的中点， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴的长为30． （2）过O作于G， ∵， ∴， ∵， ∴， 答：这个同心圆半径r的大小为20． 10．（2025·陕西西安·一模）如图，，是的切线，，为切点，延长，与，延长线交于点，点． (1)求证：； (2)过点作交于点．若，．求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的切线长定理，圆的切线的性质，等腰直角三角形的判定与三边关系，二次根式，熟练掌握这些性质、判定与定理是解题的关键． （1）由圆的切线长定理得，结合切线的性质，和，即可判定，即可得； （2）判定是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形三边关系得出，由，得出，则可得，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，是的切线，，为切点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 培优拔高 11．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【思路点拨】连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【规范解答】解：如图，连接， 是⊙O的切线， ， 四边形为菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得，． 故选：D． 12．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 13．（24-25九年级下·全国·期末）如图所示，已知，切于A，B两点，C是上一动点，过点C作的切线交于点M，交于点N，连接，，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． 根据三角形内角和定理求出的度数，根据补角的概念求出，根据切线长定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 14．（2025·江苏苏州·二模）如图，过外一点引的两条切线、，切点分别是、，交于点，点是优弧上不与点、点重合的一个动点，连接、，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了切线长定理，圆周角定理，直角三角形的性质，由切线长定理得，，，所以，则，然后通过圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接，， ∵、是的切线， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·全国·期末）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．有下面四个结论：①；②；③；④若，，则．正确结论的序号有 ． 【答案】①③ 【思路点拨】①利用“等腰三角形对顶角”等量代换进行验证； ②结合“切线性质圆周角定理”进行验证； ③用“切线性质等腰三角形+互余关系”推导垂直； ④通过“设参数 相似列方程”验证结果． 【规范解答】解：如图，连接． ① ， ， ， ． 故①正确； ② 与半圆相切于点， ∴，， 若，则在中，， 即，题目无此条件． 故②错误； ③ ， ， 与半圆相切于点， ， ， ， , ， ． 故③正确； ④ ， 设， 则，，， 在中，， ， 解得，（舍去）， ，，， ， ， ， ， 故④错误． 综上，正确的结论为①③． 故答案为：①③． 16．（24-25九年级下·全国·期末）如图，，分别与圆O相切于点B，F，射线与的延长线相交于点C，与圆O相交于点E，连接和，若，，则圆O的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了切线长定理及切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等，掌握以上知识点是解题的关键．连接，由切线长定理及切线的性质得，，，进而由可设，，即得，，再证明，可得，即得到，利用勾股定理求出即可求解． 【规范解答】如图，连接， ∵，分别与圆O相切于点B、F，、是半径， ∴，，， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴圆O的半径为． 故答案为：． 17．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，坐标与图形等知识，连接，，过点P作于点A，由点P的坐标可得出，，再结合切线的性质和圆的半径相同可得出，再由勾股定理得出，进而可求出，即可求出点N的坐标． 【规范解答】解：如图，连接，，过点P作于点A， ∵与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q， ∴轴， ∵点P的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2025·四川雅安·二模）如图，是的直径，内接于，以点为端点作射线交的延长线于点，且．过点作于点，，，且． (1)求证：是的切线； (2)求的半径的长． (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而可得，从而利用同角的余角相等可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，进而求出的长，即可解答． （3）在中，利用勾股定理求出的长，再证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，进而利用线段的和差关系，利用勾股定理求出，即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：在中， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图1，为圆的直径，是圆上异于的任一点，连接，过点作射线为射线上一点，连接． (1)若点在直线同侧，且，求的长度； (2)若在点运动过程中，始终有，连接． ①如图2，当与圆相切时，求的长度； ②求长度的取值范围． 【答案】(1)6 (2) ， 【思路点拨】本题考查了圆的综合题，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，点和圆的位置关系，解题的关键是根据题意得出点是在定圆上运动，从而根据点和圆的位置关系确定的取值范围． （1）只需证四边形是平行四边形即可； （2）连接，根据角所对的直角边等于斜边的一半，先求出，再根据勾股定理求出，最后在中求出即可;根据点运动过程中，始终有，确定点在圆上运动，然后确定定圆圆心的位置并求出半径，然后根据点到圆的最近距离及最远距离确定的取值范围． 【规范解答】（1）解：是的直径， ，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）连接， 与圆相切， ， ， 在中，， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ，， ， ， 在中，； ， ，即， 在点运动过程中，始终有， 点在一个定圆上运动， 又是的一条弦，当点与点重合时，弦的最大， 此时是定圆的直径，设定圆的圆心为， 当时，，，即， 的直径为，半径为，如图所示， 连接，， 的最短距离为，最大距离为， ． 20．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】（1）（2）（3）①6②的值为或 【思路点拨】（1）由题可知，再利用中建立勾股方程求解即可； （2）由相切可知，再由，代入求解即可； （3）①由与直线相切可得四边形是正方形，所以，再利用切线长定理，，从而的周长； ②证出，进而得到，代入，解得，则可得出答案． 【规范解答】解：（1）连接， 四边形是矩形， ，，， 过点， ， ， ， 在中，， 即， 解得； （2）过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， ， ，， ， ， 即， 解得； （3）①如图，过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， 四边形是正方形， ， 与圆相切，与圆相切，与圆相切， 由切线长定理可得，，， 的周长 ； ②在和中， ， 同理可证， ， ， ， ， 整理得， 解得或（舍）， 当时，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得，； 综上，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $