第二章 3.匀变速直线运动的位移与时间的关系-（配套教参）【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中物理必修第一册（人教版）

本讲义聚焦匀变速直线运动的位移与时间、速度与位移关系，从v-t图像面积表示位移切入，推导位移公式x=v₀t+½at²及速度-位移公式v²-v₀²=2ax，强调矢量性与适用条件，结合例题、易错辨析及逆向思维法，构建完整学习支架。 以情境问题驱动科学探究，通过v-t图像面积分析和极限思想推导公式培养科学思维，结合刹车、冰壶运动实例深化运动观念，分层练习与方法归纳助力课中教学增效，课后学生可自主查漏补缺，提升应用能力。

3.匀变速直线运动的位移与时间的关系 学习目标 1.理解v-t图像中图线与t轴所围“面积”即相应时间内的位移。 2.体验利用极限思想推导位移与时间关系式的方法。 3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，并会分析和计算有关问题。 4.理解匀变速直线运动的速度与位移关系，并会分析有关问题。 知识点一　匀变速直线运动的位移 　情境：如图为匀速直线运动的v-t图像。 问题：（1）图中阴影部分的面积与物体在0～t1时间内的位移在数值上是否相等？ 提示：相等 （2）做匀变速运动的物体，在时间t内的位移与时间的关系是否也可以用v-t图像中图线与时间轴所围的面积表示？ 提示：可以 1.位移在v-t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v-t图像中的图线和　时间轴　包围的“面积”。如图所示，物体在0～t时间内的位移大小等于　梯形　的面积。 2.位移与时间关系式 3.公式的适用条件：匀变速直线运动。 【易错辨析】 1.匀变速直线运动的位移与时间成正比。（　×　） 2.物体的初速度越大，位移越大。（　×　） 3.位移—时间公式：x＝v0t＋at2只适用于匀加速直线运动。（　×　） 1.公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向。通常有以下几种情况： 运动情况 取值 若物体做匀加速直线运动 a与v0同向，a取正值（v0方向为正方向） 若物体做匀减速直线运动 a与v0反向，a取负值（v0方向为正方向） 若位移的计算结果为正值 说明位移的方向与规定的正方向相同 若位移的计算结果为负值 说明位移的方向与规定的正方向相反 2.公式的两种特殊形式 （1）当a＝0时，x＝v0t（匀速直线运动）。 （2）当v0＝0时，x＝at2（由静止开始的匀加速直线运动）。 【例1】　（公式x＝v0t＋at2的理解）一物体的位移与时间的关系式为x＝（4t＋2t2）m，那么它的初速度和加速度分别是（　　） A.2 m/s，4 m/s2 B.4 m/s，2 m/s2 C.4 m/s，4 m/s2 D.4 m/s，1 m/s2 答案：C 解析：将公式x＝（4t＋2t2）m和位移公式x＝v0t＋at2进行类比，可知物体的初速度v0＝4 m/s，加速度为4 m/s2，故A、B、D错误，C正确。 【例2】　（公式x＝v0t＋at2的应用）物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2，求： （1）物体在2 s内的位移； 答案： 2 m　 解析：物体做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式得物体在2 s内的位移 x2＝a＝2 m。 （2）物体在第2 s内的位移； 答案： 1.5 m　 解析：第1 s末的速度（第2 s初的速度） v1＝v0＋at1＝1 m/s 故物体在第2 s内的位移 xⅡ＝v1t1＋a＝1×1 m＋×1×12 m＝1.5 m。 （3）物体在第二个2 s内的位移。 答案：6 m 解析：第2 s末的速度 v2＝v0＋at2＝0＋1×2 m/s＝2 m/s 也是物体在第二个2 s的初速度 故物体在第二个2 s内的位移 x2'＝v2t2'＋at2'2＝2×2 m＋×1×22 m＝6 m。 【例3】　（利用v-t图像求位移）A、B两车在平直公路上行驶，t＝0时刻两车处于同一位置，两车运动的v-t图像如图所示。则关于两车的运动情况，下列说法正确的是（　　） A.5 s内，A车的位移为100 m B.2 s时，A、B两车的加速度方向相同 C.2 s时，B车在A车的前方 D.0～2 s内，A车的平均速度大于B车的平均速度 答案：D 解析：v-t图线与时间轴所围图形的面积表示位移，则5 s内，A车的位移x＝（v0＋v5）t5＝150 m，A错误；v-t图像的斜率大小表示物体的加速度大小，正负表示方向，由题图可知，2 s时，A车的加速度为负，B车的加速度为正，两车加速度的方向相反，B错误；v-t图像中图线与坐标轴所围的面积表示物体运动的位移大小，由题图可知，0～2 s内，A车的位移大于B车的位移，故2 s时，A车在B车的前方，C错误；由＝可知，0～2 s内，A车的平均速度大于B车的平均速度，D正确。 方法归纳 由v-t图像的“面积”求位移 　　在v-t图像中，图线与时间轴所围成的“面积”表示位移： 1.“面积”有正负 （1）在时间轴上方“面积”为正值，表示位移沿正方向； （2）在时间轴下方“面积”为负值，表示位移沿负方向。 2.“面积”的绝对值表示位移的大小 （1）总位移等于时间轴上、下方“面积”的代数和； （2）总路程为时间轴上、下方“面积”的绝对值之和。 知识点二　速度与位移的关系 　情境：如图所示为某次交通事故现场，交警正在紧急处理中。 问题：（1）交警需要测量的物理量是什么？ 提示：需要测量刹车距离。 （2）怎样计算汽车行驶时的速度？ 提示：由刹车位移和加速度，结合匀变速直线运动速度和位移关系式计算初速度。 1.公式推导：已知匀变速直线运动的速度公式 v＝v0＋at　① 匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2　② 联立①②式消去t可得　v2－＝2ax　。 2.速度与位移的关系式：v2－＝　2ax　。 3.公式的适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。 【易错辨析】 1.公式v2－＝2ax适用于任何直线运动。（　×　） 2.对于匀减速直线运动，公式v2－＝2ax中的a必须取负值。（　×　） 1.公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向。 2.两种特殊形式 （1）当v0＝0时，v2＝2ax。（初速度为零的匀加速直线运动） （2）当v＝0时，－＝2ax。（末速度为零的匀减速直线运动） 【例4】　（速度与位移关系式的应用）（2025·贵州贵阳高一月考）一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，如图所示，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则BC∶AB等于（　　） A.3∶1　　　　 B.3∶2 C.2∶1 D.1∶1 答案：A 解析：小车做匀加速直线运动，设加速度大小为a，小车从A到B，由运动学公式得v2－0＝2axAB，小车从B到C，由运动学公式得（2v）2－v2＝2axBC，联立解得xBC∶xAB＝3∶1，A正确。 【例5】　（速度与位移关系式用于解决刹车问题）（2025·四川眉山高一期中）一小汽车在高速公路上以30 m/s的速度行驶时，司机突然发现前方100 m处有一障碍物。司机经过0.2 s的反应时间后开始刹车，刹车过程中小汽车的加速度大小为6 m/s2，则当车停下时，车离障碍物的距离是（　　） A.6 m B.19 m C.75 m D.81 m 答案：B 解析：司机从发现障碍物到停下来，位移为x1＝v0t＋＝（30×0.2＋）m＝81 m，故当车停下时，车离障碍物的距离是Δx＝100 m－x1＝100 m－81 m＝19 m，故选B。 逆向思维法 1.定义：把运动过程的“末态”作为“初态”的逆向研究问题的方法。 2.适用条件：一般用于末速度为零的匀减速直线运动。 3.常见实例：子弹射入木块问题、物体在斜面上上滑到最高点问题。 【典例1】　冰壶又称掷冰壶、冰上溜石，是以队为单位在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，属冬奥会比赛项目，并设有冰壶世锦赛。在某次比赛中，冰壶被投出后，做匀减速直线运动用时20 s停止，最后1 s内的位移大小为0.2 m，则下列说法正确的是（　　） A.冰壶的加速度大小是0.4 m/s2 B.冰壶的加速度大小是0.3 m/s2 C.冰壶第1 s内的位移大小是78 m D.冰壶的初速度大小是6 m/s 答案：A 解析：整个过程的逆过程是初速度为0的匀加速直线运动，最后1 s内的位移为0.2 m，设加速度的大小为a，根据位移—时间公式得x1＝a，代入数据解得a＝0.4 m/s2，故A正确，B错误；根据速度—时间公式得初速度为v0＝at＝0.4 m/s2×20 s＝8 m/s，则冰壶第1 s内的位移大小为x＝v0t－at2＝8 m/s×1 s－×0.4 m/s2×（1 s）2＝7.8 m，故C、D错误。 【典例2】　高速公路上，为防止汽车连续下坡或转弯时刹车失灵发生事故，道路旁常建有斜向上的“缓冲坡”。如图所示，一质量为m的货车冲上缓冲坡做匀减速直线运动，已知其初速度为v0，经过时间t速度减为零。求货车： （1）加速度大小a； 答案： 解析：货车减速到零的运动可看成反向匀加速直线运动，货车的加速度大小a＝。 （2）最大上行距离L； 答案：　 解析：货车减速到零的运动可看成反向匀加速直线运动，由＝2aL得，货车最大上行距离 L＝＝。 （3）冲上缓冲坡一半距离时的速度大小。 答案： 解析：货车减速到零的运动可看成反向匀加速直线运动，由速度位移公式得v2＝2a· 联立解得 v＝。 1.（位移与时间关系式的应用）一物体以2 m/s的初速度做匀加速直线运动，4 s内位移为16 m，则（　　） A.物体的加速度为2 m/s2 B.4 s内，物体的平均速度为6 m/s C.4 s末，物体的瞬时速度为6 m/s D.第2 s内，物体的位移为6 m 解析：C　物体做匀加速直线运动的位移与时间的关系式为x＝v0t＋at2，代入数据解得a＝1 m/s2，故A错误；4 s内，物体的平均速度为＝＝4 m/s，故B错误；由速度与时间公式可得，4 s末，物体的瞬时速度为v4＝v0＋at4＝6 m/s，故C正确；第2 s内，物体的位移为x2＝v0t2＋a－（v0t1＋a）＝3.5 m，故D错误。 2.（v2－＝2ax的应用）一个小球从斜面的顶端由静止开始沿斜面匀加速滑下，经过斜面中点时速度大小为3 m/s，则小球到达斜面底端时的速度大小为（　　） A.4 m/s B.5 m/s C.6 m/s D.3 m/s 解析：D　设斜面长为x，根据速度与位移的关系式v2－＝2ax知，小球经过斜面中点时有2a·＝－，小球到达底端时有2a·＝v2－，联立代入数据得v＝3 m/s，D正确。 3.（刹车问题）（2025·广东东莞高一期中）在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据。在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是16 m，假设汽车刹车时的速度大小为16 m/s，则汽车刹车时的加速度大小为（　　） A.7 m/s2 B.8 m/s2 C.16 m/s2 D.4 m/s2 解析：B　设汽车开始刹车时的速度方向为正方向，由0－＝2ax，得a＝＝－8 m/s2，所以加速度大小为8 m/s2。故选B。 4.（利用v-t图像求位移和路程）〔多选〕某物体做直线运动的v-t图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A.物体在前2 s内的位移大小为4 m B.物体在前3 s内通过的路程为5 m C.物体在前3 s内的平均速度大小为 m/s D.物体在前3 s内做非匀变速直线运动 解析：AB　v-t图像和时间轴所围成图形的面积表示位移，则前2 s内的位移x1＝×4×2 m＝4 m，A正确；物体在第3 s内位移大小x2＝×2×1 m＝1 m，物体在前3 s内通过的路程为s＝x1＋x2＝5 m，B正确；物体在前3 s内的位移x＝x1－x2＝3 m，前3 s内的平均速度＝＝1 m/s，C错误；v-t图像的斜率表示物体的加速度，图像在前3 s内是一条倾斜直线，斜率不变，加速度不变，物体做匀变速直线运动，D错误。 知识点一　匀变速直线运动的位移 1.〔多选〕一质点做匀变速直线运动，其位移表达式为x＝（10t＋t2）m，则（　　） A.质点的初速度为10 m/s B.质点的加速度大小为1 m/s2 C.质点的加速度大小为2 m/s2 D.在4 s末，质点距出发点24 m处 解析：AC　将x＝（10t＋t2）m与公式x＝v0t＋at2对比可知，质点的初速度为v0＝10 m/s，加速度大小为a＝2 m/s2，故A、C正确，B错误；t＝4 s时，x＝（10×4＋42）m＝56 m，故D错误。 2.（2025·江苏徐州高一期中）骑自行车的人以5 m/s的初速度沿足够长的斜坡向上做减速运动，加速度大小是0.4 m/s2，经过5 s，他在斜坡上通过的距离是（　　） A.30 m B.25 m C.20 m D.15 m 解析：C　自行车减速时间为t0＝＝12.5 s，所以5 s时，人没停止运动，由位移与时间关系式x＝v0t＋at2，可得x＝20 m，故选C。 3.一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1 s内的位移为2 m，则下列说法正确的是（　　） A.物体运动的加速度为2 m/s2 B.物体在前2 s内的位移为8 m C.物体在第2 s内的位移为4 m D.物体在第2 s内的平均速度为8 m/s 解析：B　根据x1＝a得，物体运动的加速度a＝＝4 m/s2，故A错误；物体在前2 s内的位移为x2＝a＝×4×22 m＝8 m，故B正确；物体在第2 s内的位移xⅡ＝x2－x1＝6 m，在第2 s内的平均速度＝＝6 m/s，故C、D错误。 4.一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图所示，汽车通过A、B两相邻的树用了3 s，通过B、C两相邻的树用了2 s，则下列说法正确的是（　　） A.此汽车运动的加速度大小为2 m/s2 B.此汽车经过A树时的速度大小为3.0 m/s C.此汽车经过B树时的速度大小为6.5 m/s D.此汽车经过B树时的速度大小为6.0 m/s 解析：C　设汽车经过A树时的速度为v1，加速度为a，对A、B间运动由位移与时间关系式有x＝v1t1＋a，对A、C间运动根据位移与时间关系式有2x＝v1（t1＋t2）＋a（t1＋t2）2，联立并代入数据解得a＝1 m/s2，v1＝3.5 m/s，故A、B错误；由速度与时间关系式v＝v0＋at得，通过B树时的速度为v2＝v1＋at1＝6.5 m/s，故C正确，D错误。 知识点二　速度与位移的关系式 5.列车在某一路段做匀加速直线运动，速度由10 m/s增加到20 m/s时的位移为x，接着列车再运动4x的位移时，列车的速度是（　　） A.30 m/s B.40 m/s C.50 m/s D.60 m/s 解析：B　设列车的加速度为a，根据－＝2ax，有x＝，当列车接着运动4x的位移时，设末速度为v2，根据－＝2a·4x，则4x＝，把v0＝10 m/s，v1＝20 m/s代入，联立解得v2＝40 m/s，故B正确，A、C、D错误。 6.〔多选〕（2025·浙江宁波高一期中）一辆汽车在平直公路上做刹车实验，t＝0时刻起开始刹车，刹车过程的位移大小x与速度大小v的关系为x＝（20－v2）m，下列分析正确的是（　　） A.刹车过程汽车的加速度大小为10 m/s2 B.刹车过程持续的时间为2.5 s C.t＝0时刻汽车的速度大小为20 m/s D.刹车后2.8 s的位移大小为20 m 解析：ACD　设刹车过程汽车的加速度大小为a，t＝0时刻的速度大小为v0，根据匀变速直线运动位移与速度关系有v2－＝－2ax，整理得x＝－，对照题给表达式可得a＝10 m/s2，v0＝20 m/s，故A、C正确；刹车过程持续的时间为t＝＝2 s，故B错误；由于2.8 s大于刹车时间，所以刹车后2.8 s的位移大小即为刹车距离s＝＝20 m，故D正确。 7.（2025·河南濮阳高一月考）如图所示，在冰壶比赛中，运动员先后将甲、乙两冰壶以相同的初速度v0从A点沿直线AO推出。若甲以加速度a1做匀减速运动后停在O点；乙先以加速度a2做匀减速运动，到达某位置时，运动员开始刷冰面减小动摩擦因数，之后乙以加速度a3继续做匀减速运动并停在O点，则下列速度v随运动时间t变化的图像可能正确的是（　　） 解析：A　v-t图像与t轴围成的面积表示位移，由题意知甲、乙的位移相等，即x甲＝x乙，v-t图像的斜率表示加速度，又因为a2＞a3，故选A。 8.如图所示，为智能电动独轮平衡车。一青年骑着平衡车在某条平直公路上以v0＝2 m/s的速度匀速行驶，突然发现前方有一障碍物，该青年以加速度a＝0.5 m/s2采取紧急制动，使平衡车做匀减速直线运动。该青年的反应时间Δt＝0.1 s（反应时间内平衡车做匀速直线运动），从发现障碍物开始计时经过时间t＝5 s 平衡车走过的位移大小是（　　） A.3.75 m B.3.95 m C.4.00 m D.4.20 m 解析：D　平衡车从减速开始到速度为零的时间为t1＝＝＝4 s。发现障碍物到平衡车停止的总时间为t总＝t1＋Δt＝4 s＋0.1 s＝4.1 s，故发现障碍物开始计时经过时间t＝5 s平衡车走过的位移大小即为前4.1 s内的平衡车的位移大小，反应时间内通过的位移x1＝v0Δt＝0.2 m，将减速过程用逆向思维看作初速度为0的匀加速过程，故减速过程通过的位移由＝2ax2，得x2＝4 m，故从发现障碍物开始计时经过时间t＝5 s平衡车走过的位移x＝x1＋x2＝4.2 m，故D正确。 9.（2025·云南玉溪高一月考）为确保行车安全，城市隧道内汽车速度应控制在40 km/h～60 km/h。某辆汽车（可视为质点）以v0＝20 m/s的速度在平直道路上匀速行驶，司机发现前方有隧道决定减速，汽车以大小为a1＝1 m/s2的加速度做匀减速直线运动，减速运动t1＝5 s时恰好进入隧道，汽车转为做匀速直线运动，出隧道口瞬间立即做匀加速运动，加速运动x2＝175 m时速度恢复至v0，汽车转为做匀速直线运动。已知汽车始终沿同一直线行驶。求： （1）汽车在隧道中运动的速度大小v1； （2）汽车开始减速时到隧道口的距离x1； （3）汽车加速时的加速度大小a2。 答案：（1）15 m/s　 （2）87.5 m　 （3）0.5 m/s2 解析：（1）汽车做匀减速直线运动有v1 ＝ v0－a1t1 解得v1 ＝ 15 m/s。 （2）根据x1＝v0t1－a1 解得x1 ＝ 87.5 m。 （3）汽车做匀加速直线运动，有－＝2a2x2 解得a2 ＝ 0.5 m/s2。 10.（2025·黑龙江哈尔滨高一期中）某冰壶项目运动员在一次训练中将冰壶以v0＝3 m/s的速度推出，冰壶先做匀减速直线运动一段距离后，其队友开始在冰壶滑行的前方利用冰壶刷持续摩擦冰面，使后一阶段匀减速直线的加速度变为前一阶段的一半，冰壶在后一阶段运动中的最后2 s内滑行0.2 m，已知两个阶段冰壶一共滑行30 m。求： （1）最后2 s内的加速度大小； （2）后一阶段运动的初速度v1的大小。 答案：（1）0.1 m/s2　（2） m/s 解析：（1）冰壶做匀减速直线运动，其末速度为零，采用逆向思维，可得 x1＝a1 解得a1＝0.1 m/s2。 （2）前一阶段的加速度大小为a＝2a1＝0.2 m/s2 由匀变速直线运动位移与速度关系，可得＋＝x 解得v1＝ m/s。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $