5.6 二次函数的图象与一元二次方程 同步练习 2025-2026学年青岛版九年级数学下册

5.6二次函数的图象与一元二次方程 知识点一：二次函数的图象与x轴的交点 1．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的对称轴在轴的右侧 B．图象与轴的交点坐标为 C．图象与轴的交点坐标为和 D．的最小值为－9 2．抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（   ） A． B． C． D．4 3．若函数的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是　　 A．且 B． C． D． 4．若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A． B．抛物线开口向上 C．当时，的取值范围为 D．关于的方程的一个解小于 知识点二：二次函数与一元二次方程的根 1．小兰画了一个函数的图象如图，则关于的方程的解是 (　　) A．无解 B． C． D． 2．小兰画了一个函数的图象如图，则关于的方程的解是（   ） A．无解 B． C． D．或 3．已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（  ） A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 5．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 知识点三：二次函数与一元二次方程的近似解 1．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：那么方程的一个近似根是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 2． 对于二次函数y=x2+2x﹣5，当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x2+2x﹣5=0的一个正根的近似值是　 ．（精确到0.1）． 能力提升 一、单选题 1．二次函数的图象如图所示，若有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（  ）    A． B． C． D． 2．若二次函数y=ax2+m的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+m=0的实数根为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（2，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是（　　）    A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2 4．将二次函数． 的图象在x轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p0）有整数根，则p的值有 个． 6．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(3，0)，对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是 ． 三、解答题 7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； (2)当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0? (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． 5.6二次函数的图象与一元二次方程 答案 知识点一：二次函数的图象与x轴的交点 1．D 【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】∵ ∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，故选项A错误； 令x=0，则y=-8，所以图象与轴的交点坐标为，故选项B错误； 令y=0，则，解得x1=2，x2=-4，图象与轴的交点坐标为和，故选项C错误； ∵，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 2．A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识；根据题意得，利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：令， 由于抛物线与轴只有一个公共点， 所以方程有两个相等的实数根， 即， 解得：； 故选：A． 3．A 【详解】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点． 解：∵函数的图象与坐标轴有三个交点， ∴，且， 解得，b<1且b≠0. 故选A. 4．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数与方程的关系是解题的关键．由二次函数与方程的关系可知，是方程的两个根，利用根与系数的关系即可判断A、B；利用抛物线的对称性及增减性可判断C；利用抛物线与直线交点的情况即可判断D． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴，是方程的两个根， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴抛物线开口向上，故B选项说法正确，不符合题意； ∵的对称轴为直线， 当时，， ∴时，， ∴当或时，，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增小， ∵时，，时，， 故直线与抛物线的交点在轴的上方， ∴关于的方程的一个解小于，故D选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 知识点二：二次函数与一元二次方程的根 1．D 【分析】关于x的方程x2+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x轴交点的横坐标． 【详解】如图， ∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（-1，0），（4，0）， ∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4． 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 2．D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与一元二次方程的关系，二次函数图象与直线交点的横坐标即为一元二次方程的解．由图象可知，抛物线与轴的交点坐标分别为，，与轴的交点为，从而得到抛物线的对称轴，进而利用抛物线的对称性得到关于对称轴的对称点的坐标，进而得解． 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴的交点坐标分别为，，与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， 关于的方程的解是或． 故选：D． 3．B 【分析】先求出二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线x= ∵图象与轴的一个交点为， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（2,0） ∴关于的一元二次方程的两实数根是， 故选B 【点睛】此题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键． 4．A 【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为4，判断方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况即是判断函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝4交点的情况． 【详解】∵函数的顶点的纵坐标为4， ∴直线y＝4与抛物线只有一个交点， ∴方程ax2+bx+c﹣4＝0有两个相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握一元二次方程与二次函数间的关系是解题的关键. 5． 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 知识点三：二次函数与一元二次方程的近似解 1．C 【分析】由表格可得抛物线与轴的一个交点在和之间且距离较近，进而求解． 【详解】解：由表格可得时，，时，， ∴的一个解在1.1与1.2之间， ， ∴的一个近似解是1.2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程的关系等知识点，解题的关键是一元二次方程的解为其对应二次函数图像与x轴交点的横坐标． 2．1.4 【详解】由题意得1.4＜x＜1.45时，-0.24＜y＜0.0025，二次函数y= x2＋2x－5与x轴必有一个交点在1.4到1.45之间，所以方程x2＋2x－5＝0必有一个实数根在1.4到1.45之间.这个根的近似值为1.4. 故答案为1.4. 能力提升 1．D 【分析】根据题意画出图象，即可得出答案． 【详解】根据题意得：的图象如右图，        ∵有两个不相等的实数根， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．A 【分析】利用抛物线的对称性得到二次函数y=ax2+m的图象经过点（-2，0），根据抛物线与x轴的交点问题得到关于x的一元二次方程ax2+m=0的解为x1=-2，x2=2，然后把关于x的方程a（x-2）2+m=0看作关于（x-2）的一元二次方程，从而得到x-2=-2或x-2=2，最后解一次方程即可． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+m的图象经过点（-2，0）， 而二次函数y=ax2+m的图象的对称轴为y轴， ∴二次函数y=ax2+m的图象经过点（2，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2+m=0的解为x1=-2，x2=2， 把关于x的方程a（x-2）2+m=0看作关于（x-2）的一元二次方程， ∴x-2=-2或x-2=2， ∴x1=0，x2=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 3．D 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【详解】观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞2时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方， ∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞2． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的综合应用，注意掌握图象与不等式的关系是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 4．C 【分析】本题考查二次函数图象及性质，一次函数和二次函数交点问题等．根据题意先将二次函数顶点坐标和与轴交点求出，再根据情况分类讨论继而得到本题答案． 【详解】解：二次函数表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，解得：， ∴抛物线与x轴的交点为， ∴翻折部分的抛物线表达式为，顶点坐标， 如图所示： ， ①当直线过点B时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ∴，解得， ②当直线与抛物线相切时， 直线与该新图象恰好有三个公共点，即有相等的实数解， 即：，， 解得：， ∴的值为或， 故选：C． 5．3 【分析】根据题意可知一元二次方程的根应为整数ax2+bx+c＝p（p＞0），通过抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0）．可以画出大致图象判断出直线y＝p（0＜p≤﹣9a），观察图象当0＜y≤﹣9a时，抛物线始终与x轴相交于（﹣4，0）于（2，0）．故自变量x的取值范围为﹣4＜x＜2．所以x可以取得整数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，共5个．由于x＝﹣3与x＝1，x＝﹣2与x＝0关于对称轴直线x＝﹣1对称，所以于x＝﹣3与x＝1对应一条平行于x轴的直线，x＝﹣2与x＝1对应一条平行于x轴的直线，x＝﹣1时对应一条平行于x轴且过抛物线顶点的直线，从而确定y＝p时，p的值应有3个． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1 ∴﹣＝﹣1，解得b＝2a． 又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0）． 把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝4a+4a+c 解得，c＝﹣8a． ∴y＝ax2+2ax﹣8a（a＜0） 对称轴h＝﹣1，最大值k＝＝﹣9a 如图所示， 顶点坐标为（﹣1，﹣9a） 令ax2+2ax﹣8a＝0 即x2+2x﹣8＝0 解得x＝﹣4或x＝2 ∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（﹣4，0）与（2，0） ∴ax2+bx+c＝p 即常函数直线y＝p，由p＞0 ∴0＜y≤﹣9a 由图象得当0＜y≤﹣9a时，﹣4＜x＜2，其中x为整数时，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1 ∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）的整数解有5个． 又∵x＝﹣3与x＝1，x＝﹣2与x＝0关于直线x＝﹣1轴对称 当x＝﹣1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点． 所以p值可以有3个． 故答案为：3． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，掌握知识点是解题关键． 6．﹣1＜x＜3 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的开口方向即可求得当y＜0时的x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， 由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 7．(1)x1＝1，x2＝3；(2)当1＜x＜3时，y＞0；当x＜1或x＞3时，y＜0； (3)当x＞2时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）根据图象与x轴交点的坐标即可得到方程ax2+bx+c=0的两个根； （2）根据图象与x轴交点的坐标即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集； （3）由于抛物线是轴对称的图形，根据图象与x轴交点的坐标即可得到对称轴方程，由此再确定y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． 【详解】解：（1）图中可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3； （2）不等式ax2+bx+c＞0时，通过图中可以看出：当1＜x＜3时，y的值＞0， 当x＜1或x＞3时，y＜0． （3）图中可以看出对称轴为x=2， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小； 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $