专题02简单事件的概率（期末知识清单，含10大常考1易错题型清单）九年级数学上学期浙教版

该初中数学“简单事件的概率”知识清单系统梳理了确定事件与随机事件、可能性大小、概率意义、利用频率估计概率四大核心内容，构建了从概念辨析到概率计算再到实际应用的递进式学习支架。 清单以10类分层题型（含例题与变式）和1类易错点专项突破为特色，如“事件分类题型”通过多地月考真题变式巩固概念，“利用频率估计概率”结合实验数据培养数据意识，易错点“频率与概率关系”专项辨析提升推理能力，助力学生自主高效复习，也为教师精准教学提供清晰框架。

专题02 简单事件的概率（4知识&10题型&1易错） 【清单01】 确定事件与随机事件 （1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 【清单02】可能性的大小： 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 【清单03】概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 【清单04】 利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【题型一】事件的分类 【例1】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）下列事件中属于必然事件的是（    ） A．三角形内角和为 B．抛掷一枚硬币，正面朝上 C．某运动员跳高的最好成绩是 D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．李老师在黑板上任意画两条直线，它们平行 B．李老师花10元买5注双色球彩票，刚好中奖 C．李老师开车经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．李老师在黑板上任意画一个三角形，其内角和为 【变式1-2】（25-26九年级上·江西南昌·月考）下列事件是随机事件的是（    ） A．光发生反射时，反射角大于入射角 B．太阳每天从东边升起，从西边落下 C．小亮同学默写《酬乐天扬州初逢席上见赠》一次就能全部写对 D．把生鸡蛋放到显微镜下，放大后就能看到叶绿体 【变式1-3】（25-26九年级上·云南曲靖·月考）下列事件中，不可能事件是（    ） A．任意画一个圆，它是轴对称图形 B．从只有黑球的袋子中摸出白球 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．买一张电影票，座位号是奇数 【变式1-4】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列事件是不确定事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，硬币终将落下 B．打开电视，正在播放新闻 C．太阳从东边升起 D．从只装有3个白球的袋子中摸出一个球是白球 【题型二】事件可能性的大小 【例2】（25-26九年级上·浙江·期中）一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（ ） A．摸出红球 B．摸出黑球 C．摸出白球 D．摸出绿球 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下 【变式2-2】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）一副扑克牌（包含大小王，共54张）从中随机抽取1张，下列事件发生的概率最大的是（   ） A．抽到的牌的数字为5 B．抽到的牌的花色为黑桃 C．抽到的牌是大王或小王 D．抽到的牌是J或Q或K 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）一个不透明的袋子中装有20个红球，4个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（   ） A．摸出黑球的可能性最小 B．不可能摸出白球 C．一定能摸出红球 D．摸出红球的可能性最大 【题型三】用概率公式计算概率 【例3】（25-26九年级上·广东佛山·月考）班级学习小组正研究一个问题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，当为何值时才符合题意．黄老师把4个数字：，．分别写在四个小球上，这四个小球除了数字外没有其他差异．请问小组代表从这四个球随机选一球，能够选对结果的概率是（   ） A．1 B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·广西崇左·月考）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）从，0，1，2四个数中随机抽取一个数，取到负数的概率为 ． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北唐山·月考）将一枚质地均匀硬币掷三次，落地后出现两个正面和一个反面朝上的概率是 ． 【题型四】已知概率求数量 【例4】（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）在一黑色不透明的袋子里装有大小颜色相同的小球若干，在袋中随机摸出5个小球做上记号后放回袋子中，摇匀后再随机摸出5个球，其中有1个是带记号的小球，则可以估计这个袋子中一共大约有 个球． 【变式4-1】（25-26九年级上·全国·期末）一个不透明袋子中，装有40个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数是 ． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是 ． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明布袋里共装有3个球，其中1个红球，2个白球．它们的形状大小完全相同，只有颜色不同．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球． (1)请用树状图或列表的方法，求摸出的2个球都是白球的概率． (2)若往布袋里再放入一些红球，使每一次摸到白球的概率为，则应该再放入______个红球． 【题型五】几何概率 【例5】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，现有甲、乙、丙、丁四个转盘，若转动一次，最终指针指向红色区域的可能性最大的是________，试说明理由． 【题型六】列举法求概率 【例6】（25-26九年级上·全国·期中）经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（2012·浙江杭州·二模）一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为 ． 【题型七】列表法或树状图求概率 【例7】（25-26九年级上·广东佛山·月考）随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，小赵和小亮分别从“”，“豆包”，“”，“腾讯元宝”中随机选择一个软件验证数学问题，则两人选择软件相同的概率为 ． 【变式7-1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）某校为了落实“五育并举”的教育举措，课后开设了围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽签的方式选择．抽签规则：将五个兴趣小组的名称分别写在五张完全相同且不透明的卡片正面，并把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下名称后放回，小阳再随机抽取一张，记下名称． (1)小明选择围棋兴趣小组的概率是 ； (2)围棋、航模、书法的活动教室都在三楼，阅读、画画的活动教室在二楼，请用画树状图或列表法求出小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的概率． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）为了弘扬社会主义核心价值观，某学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙两名同学分别从中任意选择1部电影观看． (1)乙同学选择电影C的概率为_______； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同电影的概率． 【变式7-3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》(A)、《算学启蒙》(B)、 《测圆海镜》(C)和《四元玉鉴》(D)是我国古代数学的重要文献． (1)从这四本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为_____； (2)某中学拟从这四部数学名著中选择 2 部作为校本课程“数学文化”的学习内容， 请用画树状图法或列表法， 求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率． 【变式7-4】（24-25九年级上·广东江门·期中）江门有着丰富的旅游资源．小星计划假期来江门新会游玩，他打算从3个自然景点（A．小鸟天堂；B．陈皮村；C．圭峰山国家森林公园）中随机选取一个，再从2个人文景点（D．梁启超故居；E．宋元崖门炮台）中随机选取一个． (1)小星从3个自然景点中选中小鸟天堂的概率是 ； (2)用画树状图或列表的方法求小星恰好选中陈皮村和梁启超故居的概率． 【题型八】求频率 【例8】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的________． (2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． (3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 【变式8-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除颜色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中搅匀． (1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸球试验中，摸出白球的频率是_____； (2)求摸到黑球的概率； (3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑球和白球的数量，使摸到白球的概率为． 【变式8-2】（24-25七年级下·陕西·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示： 抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000 优秀数量m 94 194 288 380 475 b 优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)计算：______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01） 【题型九】由频率估算概率 【例9】（25-26九年级上·江西新余·月考）某植物科学研究院为研究一类新品种脐橙树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 50 200 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 185 369 690 1374 3234 6454 9220 12894 成活率 估计这一类新品种脐橙树成活的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为 ．（精确到0.01） 【变式9-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到） (2)若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数． 【变式9-3】（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【题型十】概率的应用 【例10】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）数学活动课上，小辰和小浩玩抽卡片游戏．如图，现有5张正面印有榆林旅游风景区（2张级，3张级）的卡片，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同，小辰将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小辰从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着“波浪谷景区”的概率是_____； (2)若规定：小辰从中随机抽取1张卡片，不放回，小浩再从中随机抽取1张，若2张卡片的正面图案都是3A级景区，则小辰赢，否则小浩赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？ 【变式10-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 【变式10-2】（25-26九年级上·江西南昌·月考）学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个质地均匀、可以自由转动的转盘做游戏．A盘被分成面积相等的4个扇形，B盘被分成面积相等的3个扇形．游戏规则如下：分别任意旋转两个转盘，用A盘转出的数字与B盘转出的数字相加，若和是3的倍数，则小红赢得游戏；若和是4的倍数，则小明赢得游戏． (1)任意旋转B盘，转出的数字是偶数的概率是_____． (2)请利用画树状图或列表的方法说明这个游戏对双方是否公平． 【变式10-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别标有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率． (2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形则小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由（纸牌用A、B、C、D表示） 【变式10-3】（25-26九年级上·河南安阳·期末）“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”……河南众多旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．正面印有河南5A级景区的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀．    (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“殷墟”的概率是___________； (2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同时，甲胜出，否则乙胜出．你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【题型一】搞错频率与概率关系导致出错 【例1】（25-26九年级上·广东佛山·月考）关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【变式1-1】（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【变式1-2】（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 【变式1-3】（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简单事件的概率（4知识&10题型&1易错） 【清单01】 确定事件与随机事件 （1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 【清单02】可能性的大小： 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 【清单03】概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 【清单04】 利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【题型一】事件的分类 【例1】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）下列事件中属于必然事件的是（    ） A．三角形内角和为 B．抛掷一枚硬币，正面朝上 C．某运动员跳高的最好成绩是 D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品 【答案】A 【分析】此题主要考查了随机事件，必然事件、不可能事件的概念等知识点，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据随机事件，必然事件、不可能事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．由三角形内角和定理可知：三角形内角和为，故A选项是必然事件，符合题意； B．抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意； C． 某运动员跳高的最好成绩是是不可能事件，不符合题意； D． 从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品属于随机事件，不符合题意． 故选A． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．李老师在黑板上任意画两条直线，它们平行 B．李老师花10元买5注双色球彩票，刚好中奖 C．李老师开车经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．李老师在黑板上任意画一个三角形，其内角和为 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，选项A中两条直线可能相交或平行；选项B中彩票中奖是随机事件；选项C中遇到绿灯是随机事件；选项D中三角形内角和恒为，是必然事件，即可得到答案． 【详解】解：对于A，两条直线可能相交或平行，是随机事件，故不符合题意； 对于B，买彩票中奖，是随机事件，故不符合题意； 对于C，经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故不符合题意； 对于D，任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，故符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江西南昌·月考）下列事件是随机事件的是（    ） A．光发生反射时，反射角大于入射角 B．太阳每天从东边升起，从西边落下 C．小亮同学默写《酬乐天扬州初逢席上见赠》一次就能全部写对 D．把生鸡蛋放到显微镜下，放大后就能看到叶绿体 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件和随机事件，解决本题的关键是弄清楚以上事件的定义；必然事件：每次随机试验中一定会出现的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，据此逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、光发生反射时，反射角大于入射角是不可能事件； B、太阳每天从东边升起，从西边落下是必然事件； C、小亮同学默写《酬乐天扬州初逢席上见赠》一次就能全部写对是随机事件； D、把生鸡蛋放到显微镜下，放大后就能看到叶绿体是不可能事件． 故选：C． 【变式1-3】（25-26九年级上·云南曲靖·月考）下列事件中，不可能事件是（    ） A．任意画一个圆，它是轴对称图形 B．从只有黑球的袋子中摸出白球 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．买一张电影票，座位号是奇数 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件． 选项A中圆总是轴对称图形，是必然事件；选项C和D都是随机事件，有可能发生；选项B中袋子里只有黑球，摸出白球不可能发生，是不可能事件． 【详解】解：A．任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，不符合题意； B．从只有黑球的袋子中摸出白球，是不可能事件，符合题意； C．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； D．买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，不符合题意； 故选：B． 【变式1-4】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列事件是不确定事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，硬币终将落下 B．打开电视，正在播放新闻 C．太阳从东边升起 D．从只装有3个白球的袋子中摸出一个球是白球 【答案】B 【分析】本题主要考查事件的分类，熟练掌握事件的分类是解题的关键；因此此题可根据不确定事件即随机事件，指可能发生也可能不发生的事件，然后问题可求解． 【详解】解：A项硬币受重力作用必然落下，是确定性事件； C项地球自转方向固定使太阳必然从东边升起，是确定性事件； D项袋中全为白球，摸出白球必然发生，是确定性事件； B项打开电视时，播放内容不确定，可能播放新闻也可能播放其他，为不确定事件； 故选：B． 【题型二】事件可能性的大小 【例2】（25-26九年级上·浙江·期中）一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（ ） A．摸出红球 B．摸出黑球 C．摸出白球 D．摸出绿球 【答案】A 【分析】本题考查概率的定义，熟练掌握概率的定义是解题的关键． 可能性大小取决于球的数量，数量越多，可能性越大． 【详解】解：总球数为个，红球4个，黑球3个，白球2个，绿球1个， 则红球数量最多，摸出红球的可能性最大， 故选：A． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，事件分为不可能事件、随机事件、必然事件，不可能事件可能性为0，必然事件可能性为1，随机事件可能性介于0和1之间，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 水中捞月是不可能事件，可能性为0； B. 守株待兔是随机事件，可能性大于0但小于1； C. 旭日东升是必然事件，可能性为1； D. 夕阳西下是必然事件，可能性为1﹒ 故选：A 【变式2-2】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）一副扑克牌（包含大小王，共54张）从中随机抽取1张，下列事件发生的概率最大的是（   ） A．抽到的牌的数字为5 B．抽到的牌的花色为黑桃 C．抽到的牌是大王或小王 D．抽到的牌是J或Q或K 【答案】B 【分析】本题考查求概率，分别求出各选项中的概率进行判断即可． 【详解】解：抽到的牌的数字为5的概率为；抽到的牌的花色为黑桃的概率为；抽到的牌是大王或小王的概率为，抽到的牌是J或Q或K的概率为， ∵； 故概率最大的是选项B． 故选B． 【点睛】概率比较直接基于有利事件数与总事件数的比值，简单直观． 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）一个不透明的袋子中装有20个红球，4个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（   ） A．摸出黑球的可能性最小 B．不可能摸出白球 C．一定能摸出红球 D．摸出红球的可能性最大 【答案】D 【分析】本题考查了可能性大小的比较，根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵不透明的袋子中装有20个红球，4个黑球，1个白球，共有25个球， ∴摸出黑球的概率是，摸出白球的概率是，摸出红球的概率是， ∵， ∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大． 故选：D． 【题型三】用概率公式计算概率 【例3】（25-26九年级上·广东佛山·月考）班级学习小组正研究一个问题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，当为何值时才符合题意．黄老师把4个数字：，．分别写在四个小球上，这四个小球除了数字外没有其他差异．请问小组代表从这四个球随机选一球，能够选对结果的概率是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求概率，一元二次方程根的判别式． 方程有两个不相等的实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于零，通过求解不等式得到k的取值范围，再验证给定的k值哪些符合条件． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且判别式， 解得且， 不满足；满足；不满足；满足； ∴正确的k值有2个， 故随机选一球选对的概率为． 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·广西崇左·月考）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．投掷一次共有6种等可能的结果，其中，朝上面的数字大于4的结果有2种，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：∵投掷一次共有6种等可能的结果，其中，朝上面的数字大于4的结果有2种， ∴投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是． 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）从，0，1，2四个数中随机抽取一个数，取到负数的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式． 从四个数中随机抽取一个数，总可能结果为4，取到负数的结果为1，因此概率为． 【详解】解：总可能结果数为4，取到负数的结果为1， 故取到负数的概率． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北唐山·月考）将一枚质地均匀硬币掷三次，落地后出现两个正面和一个反面朝上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了树状图法求概率；画树状图，共有8种等可能的结果，其中落地后出现两个正面和一个反面朝上的结果有3种，再由概率公式求解即可. 【详解】解：画树状图如下: 共有8种等可能的结果，其中落地后出现两个正面和一个反面朝上的结果有3种， ∴落地后出现两个正面一个反面朝上的概率是. 故答案为：. 【题型四】已知概率求数量 【例4】（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）在一黑色不透明的袋子里装有大小颜色相同的小球若干，在袋中随机摸出5个小球做上记号后放回袋子中，摇匀后再随机摸出5个球，其中有1个是带记号的小球，则可以估计这个袋子中一共大约有 个球． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出带记号的小球在总数中所占比例与试验比例相等是解决问题的关键．设袋子中共有小球x个，利用带记号的小球在总数中所占比例得出与试验比例相等求出即可． 【详解】解：∵摇匀后再随机摸出5个球，其中有1个是带记号的小球， ∴从袋子中任意摸出1个球，是带记号的小球的概率约为， 则可以估计这个袋子中一共大约个球． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·全国·期末）一个不透明袋子中，装有40个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了根据概率求数量． 先求出总数，再乘以白球概率即可． 【详解】解：从袋中随机摸出一个球是红球的概率为， 从袋中随机摸出一个球是白球的概率为， 总数为， 袋中白球的个数是． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了概率的计算公式，根据概率公式构建方程求解即可． 【详解】解：设袋中白球的个数为x，则总球数为，根据题意得方程： ， 解得： 故袋中白球的个数是2， 故答案为：2． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明布袋里共装有3个球，其中1个红球，2个白球．它们的形状大小完全相同，只有颜色不同．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球． (1)请用树状图或列表的方法，求摸出的2个球都是白球的概率． (2)若往布袋里再放入一些红球，使每一次摸到白球的概率为，则应该再放入______个红球． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了概率的计算，已知概率求数量，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可； （2）先求出放入红球后，布袋里的球的数量，再减去原来的球的数量即可得出答案． 【详解】（1）解：设1个红球为，2个白球分别为， 列表如下： 由表格可得，共有9种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白球的情况有4种， 摸出的2个球都是白球的概率． 答：摸出的2个球都是白球的概率为； （2）解：∵每一次摸到白球的概率为， ∴放入红球后，布袋里的球的数量为（个）， ∴应该再放入红球的数量为（个）， 故答案为：7． 【题型五】几何概率 【例5】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的意义，概率公式是解题的关键．用空白区域的面积除以总面积即可． 解：由题意可知，空白区域的面积和阴影部分的面积相同， ∴小明掷在空白区域的概率是． 故选：A． 【变式5-1】（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，现有甲、乙、丙、丁四个转盘，若转动一次，最终指针指向红色区域的可能性最大的是________，试说明理由． 【答案】丁，见解析 【分析】本题考查了求事件的概率，熟练掌握求简单事件的概率是解题的关键．分别求出甲、乙、丙、丁四个转盘各转动一次，指针指向红色区域的概率，比较计算结果的大小即可． 【详解】解：根据题意，，，，， ， 转动一次，最终指针指向红色区域的可能性最大的是丁． 故答案为: 丁． 【题型六】列举法求概率 【例6】（25-26九年级上·全国·期中）经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，熟练列出所有可能结果是解题的关键． 计算两辆车所有可能的方向组合和驶向相同方向的组合，然后求概率即可． 【详解】解：每辆车有3种方向选择：直行、左转、右转，且选择独立， 则可能的情况组合为： （直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）， 总可能结果数为9种，其中两辆车驶向相同方向的情况有3种：都直行、都左转、都右转， 因此驶向相同方向的概率是， 故选：A． 【变式6-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了通过列举法求概率，列举出点数之和小于6的情况数与总情况数是解题的关键． 先确定总情况数，再列举出点数之和小于6的情况数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解∵总共有种等可能结果，点数之和小于6的情况有：①和为2：，共1种；  ②和为3：共2种；③和为4：共3种；④和为5：共4种；   ∴掷得面朝上的点数之和小于6的情况数共有种情况．   ∴ 掷得面朝上的点数之和小于6的概率是． 故选D． 【变式6-2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 【变式6-3】（2012·浙江杭州·二模）一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，正确列举出所有情况是解题的关键． 先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由于A的位置已经确定，B、C、D随机而坐的情况共有6种（如图所示）：6种情况出现的可能性相同．其中A与B不相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是： ． 故答案为：． 【题型七】列表法或树状图求概率 【例7】（25-26九年级上·广东佛山·月考）随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，小赵和小亮分别从“”，“豆包”，“”，“腾讯元宝”中随机选择一个软件验证数学问题，则两人选择软件相同的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率. 画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：记“”，“豆包”，“”，“腾讯元宝”分别为A，B，C，D，画树状图如下：    共有16种等可能的结果，其中两人选择软件相同的结果有4种， 故两人选择软件相同的概率是． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）某校为了落实“五育并举”的教育举措，课后开设了围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽签的方式选择．抽签规则：将五个兴趣小组的名称分别写在五张完全相同且不透明的卡片正面，并把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下名称后放回，小阳再随机抽取一张，记下名称． (1)小明选择围棋兴趣小组的概率是 ； (2)围棋、航模、书法的活动教室都在三楼，阅读、画画的活动教室在二楼，请用画树状图或列表法求出小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵开设了围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组， ∴小明选择围棋兴趣小组的概率是， 故答案为：； （2）解：把围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组分别记为A、B、C、D、E， 画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的结果有12种， ∴小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的概率为． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）为了弘扬社会主义核心价值观，某学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙两名同学分别从中任意选择1部电影观看． (1)乙同学选择电影C的概率为_______； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同电影的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】（1）解：现有共3部电影， 乙同学选择C部电影的概率是． 故答案为：； （2）解：用树状图或利用表格列出所有等可能的结果： 甲同学选择电影 乙同学选择电影 A B C A B C 那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择相同电影的结果有3种， （甲、乙2位同学选择相同电影）． 【变式7-3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》(A)、《算学启蒙》(B)、 《测圆海镜》(C)和《四元玉鉴》(D)是我国古代数学的重要文献． (1)从这四本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为_____； (2)某中学拟从这四部数学名著中选择 2 部作为校本课程“数学文化”的学习内容， 请用画树状图法或列表法， 求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）用简单概率公式进行求解即可； （2）用树状图表示出所有等可能的情况和恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：抽到《四元玉鉴》的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 等可能的结果有12种，其中抽到组合的结果有2种， ∴恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率为． 【变式7-4】（24-25九年级上·广东江门·期中）江门有着丰富的旅游资源．小星计划假期来江门新会游玩，他打算从3个自然景点（A．小鸟天堂；B．陈皮村；C．圭峰山国家森林公园）中随机选取一个，再从2个人文景点（D．梁启超故居；E．宋元崖门炮台）中随机选取一个． (1)小星从3个自然景点中选中小鸟天堂的概率是 ； (2)用画树状图或列表的方法求小星恰好选中陈皮村和梁启超故居的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了简单概率的计算，画树状图后列表求概率，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）根据题意画出树状图或列表，得到所有等可能事件的结果数和符合题意的事件的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从3个自然景点中随机选取一个，每个景点被选中的概率相等， 因此选中小鸟天堂的概率为， 故答案为：． （2）解：根据题意，画树状图如下， 由树状图可得，共有6种等可能的结果，其中小星恰好选中陈皮村和梁启超故居的结果有1种， 所以小星恰好选中陈皮村和梁启超故居的概率为． 【题型八】求频率 【例8】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的________． (2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． (3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 【答案】(1)0.58 (2)0.6 (3) 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式． （1）用摸到白球的次数除以摸球的次数即可； （2）根据表格数据，用频率估计概率； （3）利用概率公式求解． 【详解】（1）解：表中， 故答案为：0.58； （2）解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6， 所以摸到白球的概率的估计值是0.6， 故答案为：0.6； （3）解：（2）中情况下，白球的个数为：（个）， 添加4个黑球后，摸到白球的概率为：， 即此时摸到白球的概率是． 【变式8-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除颜色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中搅匀． (1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸球试验中，摸出白球的频率是_____； (2)求摸到黑球的概率； (3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑球和白球的数量，使摸到白球的概率为． 【答案】(1) (2) (3)往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为 【分析】此题考查概率公式，解答的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）利用频率计算公式直接求出答案； （2）利用概率计算公式直接求出答案； （3）通过计算可得盒子中白球的数量变为8，由此得出往盒子中放入3个白球，取出3个黑球即可． 【详解】（1）解：试验20次，摸出白球6次，则摸出白球的频率， 故答案为：． （2）解：袋子中有黑球15个，总球数为个， 则摸到黑球的概率为． 答：摸到黑球的概率为． （3）解：盒子中白球的数量变为（个）， （个）． 答：往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为． 【变式8-2】（24-25七年级下·陕西·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示： 抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000 优秀数量m 94 194 288 380 475 b 优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)计算：______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01） 【答案】(1)0.94，950 (2)0.95 【分析】本题主要考查了频率、概率的计算及用频率估计概率的应用，熟练掌握频率公式和用频率估计概率的思想是解题的关键． （1）根据频率公式求，根据优秀数量抽取作业数量×优秀频率求即可； （2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）解：随着增大，优秀频率稳定在附近， ∴估计该市学生作业优秀的概率大约是． 【题型九】由频率估算概率 【例9】（25-26九年级上·江西新余·月考）某植物科学研究院为研究一类新品种脐橙树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 50 200 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 185 369 690 1374 3234 6454 9220 12894 成活率 估计这一类新品种脐橙树成活的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟知在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值是解题的关键． 根据用频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，再结合表格数据即可得出答案． 【详解】解：由表格数据可知，随着移植总数的增加，成活率逐渐稳定在左右， 因此估计这一类新品种脐橙树成活的概率为． 故选：D． 【变式9-1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为 ．（精确到0.01） 【答案】0.95 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据表格数据，利用频率估算概率即可． 【详解】从频数表可知，发芽频率分别为0.953，0.948，0.952，0.951，0.950，这些值稳定在0.95附近，根据频率的稳定性，大量重复试验时频率接近概率，故该稻种的发芽概率约为0.95． 故答案为：0.95． 【变式9-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到） (2)若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数． 【答案】(1) (2)白球的个数为个 【分析】本题主要考查频率估算概率，掌握以上知识是做题的关键． （1）根据表格信息即可求解； （2）根据该盒子里摸到白球的概率为，令其乘以即可． 【详解】（1）解：根据表格信息得到当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：． （2）解：由表格数据可知，摸到白球的频率稳定在左右， 估计该盒子里摸到白球的概率为， 盒子里白球约有（个）． 【变式9-3】（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】(1)0.5 (2)290 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； （2）解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． 【题型十】概率的应用 【例10】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）数学活动课上，小辰和小浩玩抽卡片游戏．如图，现有5张正面印有榆林旅游风景区（2张级，3张级）的卡片，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同，小辰将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小辰从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着“波浪谷景区”的概率是_____； (2)若规定：小辰从中随机抽取1张卡片，不放回，小浩再从中随机抽取1张，若2张卡片的正面图案都是3A级景区，则小辰赢，否则小浩赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)这个游戏不公平 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键， （1）利用概率的计算即可得到答案； （2）根据题意列出表格得到所有等可能情况，分别计算出小辰赢或小浩赢的概率，然后比较即可得到答案． 【详解】（1）解：抽到正面印着“波浪谷景区”的概率是； 故答案为：； （2）解：如图，列表如下： （A，B） （A，C） （A，D） （） （B，A） （B，C） （B，D） （B，E） （C，A） （C，B） （C，D） （C，E） （D，A） （D，B） （D，C） （D，E） （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） 由列表可知，共有20种等可能的结果， 其中2张卡片正面图案是级景区的有6种： 小辰赢的概率， 则小浩赢的概率， ， 这个游戏不公平． 【变式10-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查用列表法 / 树状图法求概率及游戏公平性判断，解题关键是通过列举法得出所有可能的点坐标，再结合点与圆的位置关系计算双方获胜的概率来判断公平性． （1）通过列表/树状图列举两次抽卡的所有组合，得到种可能的点坐标； （2）先根据点到原点的距离判断点与圆的位置，统计圆内、圆上、圆外的结果数，计算两人获胜概率，比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】（1）列表如下： 第一次 第二次 （2）不公平． 理由：如图，落在圆上或圆外． 这个游戏不公平． 【变式10-2】（25-26九年级上·江西南昌·月考）学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个质地均匀、可以自由转动的转盘做游戏．A盘被分成面积相等的4个扇形，B盘被分成面积相等的3个扇形．游戏规则如下：分别任意旋转两个转盘，用A盘转出的数字与B盘转出的数字相加，若和是3的倍数，则小红赢得游戏；若和是4的倍数，则小明赢得游戏． (1)任意旋转B盘，转出的数字是偶数的概率是_____． (2)请利用画树状图或列表的方法说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)不公平 【分析】本题考查了概率的计算，游戏公平性问题，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）根据概率公式，即可求解； （2）根据列表得出所有等可能的情况数，分别计算小红和小明赢得游戏的概率，比较其大小，可知游戏是否公平． 【详解】（1）解：任意旋转B盘，转出的数字有3种等可能的结果，其中转出的数字是偶数有1种情况， ∴转出的数字是偶数的概率是； 故答案为：； （2）解：列表如下： B盘A盘 5 6 7 1 6 7 8 2 7 8 9 3 8 9 10 4 9 10 11 由表可知共12种等可能的结果，和是3的倍数的情况有4种，和是4的倍数的情况有3种， ∴小红赢得游戏的概率为，小明赢得游戏的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 【变式10-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别标有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率． (2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形则小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由（纸牌用A、B、C、D表示） 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由和表格见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，中心对称图形和轴对称图形的识别，熟知相关知识是解题的关键． （1）A、B、C三张牌的牌面图形都是中心对称图形，D的牌面图形不是中心对称图形，据此结合概率计算公式求解即可； （2）A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形，据此列出表格得到所有等可能性的结果数，再分别找到摸出的两张牌的牌面图形是轴对称图形和两张牌的牌面图形都是中心对称图形的结果数，最后分别计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有四张纸牌，其中牌面图形是中心对称图形的有三张（A、B、C三张牌的牌面图形都是中心对称图形，D的牌面图形不是中心对称图形），且每张牌被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为； （2）解：这个游戏公平，理由如下： A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的结果数有6种，摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， ∴小明和小亮获胜的概率相同， ∴这个游戏公平． 【变式10-3】（25-26九年级上·河南安阳·期末）“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”……河南众多旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．正面印有河南5A级景区的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀．    (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“殷墟”的概率是___________； (2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同时，甲胜出，否则乙胜出．你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查“古典概型求单次抽取的概率”“列表法或画树状图法求概率”，理解抽取后再放回洗匀，属于放回型，正确列出表格或画出树状图是解题关键． （1）单次抽取，共有4种等可能的结果，根据公式求解即可； （2）放回型两次抽取，列出表格或树状图，分别求出甲胜和乙胜的概率，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，可知共有4种等可能的结果，故随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“殷墟”的概率为； （2）解：分别以卡片A，B，C，D代指卡片“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中抽取的卡片正面相同的情况有4种， ∴甲胜出的概率为， ∴乙胜出的概率为， ∵甲胜出的概率与乙胜出的概率不相等， ∴游戏不公平． 【题型一】搞错频率与概率关系导致出错 【例1】（25-26九年级上·广东佛山·月考）关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系． 概率是理论值，频率是实验值，当实验次数较多时，频率会稳定在概率附近． 根据频率与概率的关系逐一判断即可． 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了概率的概念，频率的定义理解，掌握概率和频率的相关知识是解题的关键．根据事件发生的可能性的大小，以及频率的概念逐项分析即可． 【详解】解：A. 小明做了4次抛瓶盖的试验，虽然有3次盖口向上，单盖口向上的概率是，故该选项不正确，不符合题意； B. 抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率相近，但不一定相同，故该选项不正确，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，不一定会有5次正面朝上，故该选项不正确，不符合题意； D. 在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $