第六章 2.向心力 第2课时 向心力的分析和向心力公式的应用-（配套教参）【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中物理必修第二册（人教版）

第2课时　向心力的分析和向心力公式的应用 1.知道向心力是一种效果力，会分析向心力的来源，并能进行计算。 2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力分析方法。 知识点一　向心力的来源分析和计算 　情境：如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。 问题：（1）物体受几个力的作用？做匀速圆周运动需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？ （2）结合实验探究得到的结论Fn＝mω2r，当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受到的摩擦力大小怎样变化？ 提示：（1）物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用；静摩擦力提供向心力；物体所受摩擦力方向沿半径指向圆心。 （2）当物体转动的角速度变大后，由Fn＝mω2r知，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。 1.向心力的大小：Fn＝mω2r＝　m　＝　mr　。 2.向心力的来源分析 在匀速圆周运动中，由　合力　提供向心力。在非匀速圆周运动中，物体合力不是始终指向圆心，合力指向　圆心　的分力提供向心力。 1.匀速圆周运动的解题策略 在解决匀速圆周运动相关问题的过程中，要注意以下几个方面： （1）知道物体做圆周运动的轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节。 （2）分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的，确定F合＝F向。 （3）根据线速度、角速度的特点，选择合适的向心力表达式。 （4）根据F向＝m＝mω2r＝mωv建立方程，求解有关问题。 2.几种常见的匀速圆周运动实例分析 实例 示意图 向心力 用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F向＝FT 物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff 实例 示意图 向心力 小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合 木块随圆桶绕轴线做圆周运动 圆桶侧壁对木块的弹力提供向心力，F向＝FN 实例 示意图 向心力 飞机在水平面内做匀速圆周运动 重力和空气的作用力的合力提供向心力，F向＝F合 【例1】　（向心力来源分析）如图所示，一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，一个小孩坐在距圆心为r处的P点不动（P未画出），关于小孩的受力，以下说法正确的是（　C　） A.小孩在P点不动，因此不受摩擦力的作用 B.小孩随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力的合力充当向心力 C.小孩随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力 D.若使圆盘以较小的转速转动，小孩在P点受到的摩擦力不变 解析：由于小孩随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能提供向心力，因此小孩会受到静摩擦力的作用，且静摩擦力提供向心力，故A、B错误，C正确；静摩擦力提供小孩做圆周运动的向心力，方向始终改变，故D错误。 【例2】　（向心力公式的应用）甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为2∶1，在相等时间内甲转过60°，乙转过45°。它们所受的合外力之比为（　C　） A.1∶1 B.4∶3 C.16∶9 D.9∶16 解析：相同时间内甲转过60°角，乙转过45°角，根据角速度定义式ω＝可知ω1∶ω2＝4∶3；由题意有r1∶r2＝2∶1，m1∶m2＝1∶2；根据公式F合＝Fn＝mω2r，可知F1∶F2＝（m1r1）∶（m2r2）＝16∶9，故C正确。 【例3】　（水平面内的圆周运动）〔多选〕如图所示，一轻绳穿过水平桌面上的小圆孔，上端拴物体M，下端拴物体N（物体M、N可视为质点）。若物体M在桌面上做半径为r的匀速圆周运动时，角速度为ω，线速度大小为v，物体N处于静止状态，不计摩擦，则（　AC　） A.M所需向心力大小等于N所受重力的大小 B.M所需向心力大小大于N所受重力的大小 C.v2与r成正比 D.ω2与r成正比 解析：物体N静止不动，绳子拉力与物体N的重力相等，物体M做匀速圆周运动，绳子拉力完全提供向心力，即T＝mNg＝F向，因此M所需向心力大小等于N所受重力的大小，故A正确，B错误；根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F向＝mNg＝m，则v2与r成正比，故C正确；根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F向＝mNg＝mω2r，则ω2与r成反比，故D错误。 知识点二　变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点 情境：荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示，小朋友正在由上向下运动。 问题：（1）此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？ （2）绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？ 提示：（1）变速圆周运动。 （2）小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点。 1.变速圆周运动的向心力 做变速圆周运动的物体所受的合力一般不等于　向心力　，根据合力F产生的效果，可以把F分解为两个相互垂直的分力： （1）跟圆周　相切　的分力Ft，此分力只改变物体速度的　大小　； （2）指向　圆心　的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，只改变速度的　方向　。 2.一般曲线运动的处理方法 （1）把曲线分割为许多　很短　的小段，质点在每小段的运动都可看作　圆周　运动的一部分。 （2）分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用　圆周　运动的分析方法来处理。 【易错辨析】 　（1）做变速圆周运动的物体的向心力不指向圆心。（　×　） （2）做变速圆周运动的物体的合外力沿切线方向的分力只改变速度的大小。（　√　） （3）做变速圆周运动的物体的合外力指向圆心的分力提供向心力。（　√　） （4）一般曲线运动不能用圆周运动的分析方法。（　×　） 1.变速圆周运动 （1）受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向的两个作用效果。 （2）某一点的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r＝mr求解。 2.一般的曲线运动 曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力的关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理。 （1）合力方向与速度方向夹角为锐角时，合力为动力，速率越来越大。 （2）合力方向与速度方向夹角为钝角时，合力为阻力，速率越来越小。 【例4】　（一般曲线运动的受力特点）“歼-20”是我国自主研发的一款新型隐形战机，图中虚曲线是某次“歼-20”离开跑道加速起飞的轨迹，虚直线是曲线上过飞机所在位置的切线，则空气对飞机作用力的方向可能是（　C　） A.沿F1方向 B.沿F2方向 C.沿F3方向 D.沿F4方向 解析：飞机向上加速，空气作用力与重力的合力应指向曲线的凹侧，同时由于飞机加速起飞，故空气对飞机的作用力与速度的夹角应为锐角，故只有选项C符合题意。 【例5】　（变速圆周运动的理解）如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则（　D　） A.物体的合力为零 B.物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O C.物体的合力就是向心力 D.物体的合力方向始终不与其运动方向垂直（最低点除外） 解析：物体做加速曲线运动，所受合力不为零，故A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心O（最低点除外），合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向的夹角始终为锐角，合力与速度不垂直，故B、C错误，D正确。 【例6】　（变速圆周运动的分析）荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动，如图所示，某同学正在荡秋千，A和B分别为运动过程中的最低点和最高点，若忽略空气阻力，则下列说法正确的是（　D　） A.在B位置时，该同学受到的合力为零 B.在A位置时，该同学对秋千板的压力大于秋千板对该同学的支持力 C.在由A到B的过程中，该同学受到的向心力逐渐增大 D.在由A到B的过程中，该同学受到的向心力逐渐减小 解析：在B位置时，该同学的速度为零，向心力为零，即合力沿绳子方向的分力为零，但合力沿圆弧在B点的切线方向的分力不为零，A错误；根据牛顿第三定律可知，在A位置时，该同学对秋千板的压力大小等于秋千板对该同学的支持力的大小，B错误；在由A到B过程中，该同学的速度逐渐减小，由Fn＝m分析知，该同学受到的向心力逐渐减小，C错误，D正确。 圆周运动中的动力学问题分析方法 　分析圆周运动中的动力学问题的基本步骤： （1）明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 （2）确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 （3）找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。 （4）利用牛顿第二定律列方程。 （5）解方程求出待求物理量。 【典例1】　〔多选〕如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳上的最大拉力为2mg，当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球受到3个力的作用，则ω可能为（　BC　） A. B. C. D. 解析：因为圆环光滑，所以小球受到重力mg、环对球的弹力FN、绳子的拉力FT，因此绳处于伸直状态，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动FNsin 30°－FTsin 30°－mg＝0，FNcos 30°＋FTcos 30°＝mω2r，根据几何关系r＝Rsin 60°，因此当角速度越大时，所需要的向心力越大，绳子拉力越大，当FT＝0时角速度最小，解得ωmin＝，当绳子拉力达到FT＝2mg时，此时角速度最大，解得ωmax＝，故选B、C。 【典例2】　长为L的细线，拴一质量为m的小球（小球可视为质点），一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图所示。已知重力加速度为g，当摆线与竖直方向的夹角是α时，求： （1）细线对小球的拉力的大小； 答案：（1）　 解析：以小球为研究对象，小球受重力mg和细线的拉力FT，如图所示。因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O'，且是沿水平方向。 （1）由平行四边形定则知，细线对小球的拉力大小为FT＝。 （2）小球运动的线速度的大小； 答案：（2） 解析：（2）小球受到的合力大小为F合＝mgtan α 由牛顿第二定律得mgtan α＝m 由几何关系得r＝Lsin α 所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为v＝。 （3）小球运动的角速度及周期。 答案：（3）　2π 解析：（3）小球运动的角速度ω＝＝＝ 小球运动的周期T＝＝2π。 1.（一般的曲线运动）一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。图A、B、C、D中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为可能正确的是（　　） 解析：C　汽车在行驶中速度越来越小，所以汽车在轨迹的切线方向做减速运动，切线方向受力如图中的Ft所示。同时汽车做曲线运动，则汽车所受合力方向指向曲线凹侧 ，必有沿半径指向圆心的分力提供向心力，向心力如图中的Fn所示。汽车所受合力F为Ft、Fn的合力，故C正确。 2.（向心力的来源 ）如图所示，内壁光滑的锥形圆筒固定在水平地面上，小球沿内壁在某一水平面内做匀速圆周运动，该小球的向心力（　　） A.由重力和支持力的合力提供 B.由重力、支持力和摩擦力的合力提供 C.只由重力提供 D.只由支持力提供 解析：A　圆筒内壁光滑，小球做匀速圆周运动，合力完全提供向心力，因此小球所受重力和支持力的合力来提供向心力。故选A。 3.（圆周运动的动力学分析）如图所示，质量相等的两小球A、B用长度相等的两根细线连接着，在光滑的水平面上以相同的角速度绕O点做匀速圆周运动，两细线上的拉力FAB∶FOB为（　　） A.2∶1 B.2∶3 C.5∶3 D.3∶2 解析：B　设A、B的质量均为m，角速度均为ω，两根细线的长度均为L，对A、B根据牛顿第二定律分别有FAB＝mω2·2L，FOB－FAB＝mω2L，联立以上两式解得两细线上的拉力FAB∶FOB＝2∶3，故选B。 4.（圆周运动的动力学分析）如图所示，在光滑水平面上固定一由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑轨道，两者在点B处平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一质量为m的小球以大小为v0的速度从A点沿该点的切线方向进入圆弧轨道。求： （1）小球从A点运动到B点的时间； （2）小球在A、C两点所受轨道的弹力大小之比。 答案：（1）　 （2）1∶2 解析：（1）由于水平面和轨道都光滑，所以小球沿轨道运动时的速度大小不变，则小球从A点运动到B点的时间为t＝·＝。 （2）在A、C两点均由轨道的弹力提供向心力，由牛顿第二定律可得FA＝m，FC＝m 小球在A、C两点所受轨道的弹力大小之比为＝。 课堂小结 知识点一　向心力的大小和来源分析 1.（2025·北京昌平高一期末）如图所示，在杂技表演中，杂技演员表演了“球内飞车”的杂技。一个由钢骨架和铁丝网构成的球壳固定在水平地面上，杂技演员骑摩托车在球壳内飞速旋转，惊险而刺激。甲演员在图中“赤道”平面做匀速圆周运动，提供向心力的是（　　） A.重力 B.支持力 C.摩擦力 D.重力与支持力的合力 解析：B　甲演员在图中“赤道”平面做匀速圆周运动，提供向心力的是轨道对摩托车的支持力，故B正确。 2.（2025·宿迁市高一期末）如图所示，一个内壁光滑圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，小球A紧贴内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（　　） A.小球受到重力、弹力和向心力 B.小球受到的弹力大于小球的重力 C.小球受到的合力等于零 D.小球受到的弹力小于小球的向心力 解析：B　小球受重力、弹力两力的作用，受力如图所示，两力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，由图可知，小球受到的弹力大于小球的重力，小球受到的弹力大于小球的向心力。故选B。 3.（2025·河南省郑州市高一期中）A、B两物体都做匀速圆周运动，＝，＝，经过1秒钟，A转过圆心角，B转过了圆心角，则A物体的向心力与B物体的向心力之比为（　　） A.1∶4 B.4∶9 C.9∶16 D.16∶9 解析：B　根据角速度的定义式ω＝可知，＝，根据向心力公式F＝mω2r，可得A物体的向心力与B物体的向心力之比为＝··＝××＝，故A、C、D错误，B正确。 4.（2025·广东东莞高一下期末）如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的转速减小以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是（　　） A.物体所受弹力增大，摩擦力增大 B.物体所受弹力不变，摩擦力减小 C.物体所受弹力减小，摩擦力不变 D.物体所受弹力增大，摩擦力不变 解析：C　物体所受弹力提供向心力，当圆筒的转速减小以后，物体所需向心力减小，则弹力减小，但在竖直方向上物体所受合力为零，所受摩擦力与重力大小始终相等，所以摩擦力不变。故选C。 5.如图所示，质量为m的鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对鹰作用力的大小等于（重力加速度为g）（　　） A.m B.m C.m D.mg 解析：A　对鹰的受力情况进行分析，如图所示。鹰受到重力mg、空气对鹰的作用力F，两力的合力提供向心力Fn，方向沿水平方向指向圆心，故F＝，又Fn＝m，联立解得F＝m，故B、C、D错误，A正确。 知识点二　变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点 6.（2025·浙江省温州市高一期中）如图所示，轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在天花板上的O点。小球在竖直平面内摆动的过程中，以下说法正确的是（　　） A.小球在摆动过程中受到的合力都指向圆心O点 B.在最高点A、B，因小球的速度为零，所以小球受到的合力为零 C.小球在最低点C时所受的合力，即为向心力 D.小球在摆动过程中绳子的拉力使其线速度大小发生变化 解析：C　小球摆动过程中，合力沿绳子方向的分力提供向心力，指向圆心O点，故A错误；在最高点A、B，小球的速度为零，小球所受合力的大小不为零，方向与轨迹的方向相切，故B错误；小球在最低点受重力和拉力，两个力的合力竖直向上，指向圆心，合力等于向心力，故C正确；小球在摆动的过程中，由于绳子的拉力与速度方向垂直，拉力不会使小球速率发生变化，故D错误。 7.（2025·河北省张家口高一期末）如图所示，一半径为R的半球形金属壳开口向上，固定在水平面上，质量为m的物块沿金属壳内壁滑下，滑到最低点时速度大小为v，方向如图所示，若物块与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物块在最低点时（重力加速度为g），下列说法正确的是（　　） A.向心力为m B.向心力为mg＋m C.滑动摩擦力为μm D.滑动摩擦力为μmg＋m 解析：A　依题意，根据向心力公式得Fn＝m，故A正确，B错误；根据合力提供向心力得FN－mg＝m，则有FN＝mg＋m，所以滑动摩擦力为Ff＝μ，故C、D错误。 8.〔多选〕如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，O、C的距离为，把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的（　　） A.线速度突然增大为原来的2倍 B.角速度突然增大为原来的2倍 C.向心力突然增大为原来的2倍 D.向心力突然增大为原来的4倍 解析：BC　悬线碰到钉子前后，悬线的拉力始终与小球的运动方向垂直，小球的线速度大小不变，故A错误；悬线碰到钉子后，小球的运动半径减小为原来的一半，线速度大小不变，由ω＝知角速度变为原来的2倍，由Fn＝m可知向心力变为原来的2倍，故B、C正确，D错误。 9.如图所示，在光滑杆上穿着两个小球质量分别为m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为（　　） A.1∶1 B.1∶4 C.2∶1 D.1∶2 解析：D　两球受到绳子的拉力提供向心力，所以向心力相等，角速度又相等，则有m1ω2r1＝m2ω2r2，又有m1＝2m2，由以上两式可得r1∶r2＝1∶2，故D正确。 10.如图所示，光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔，用一细绳穿过小孔连接质量分别为m1、m2的小球A和B，让B球悬挂，A球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心做匀速圆周运动，角速度为ω，半径为r，（重力加速度为g）则关于r和ω关系的图像正确的是（　　） 　 解析：B　根据m2g＝m1rω2，得r＝·，可知r与成正比，与ω2成反比，故A错误，B正确。因为＝ω2，所以与ω2成正比，故C、D错误。 11.（2025·广东省云浮高一统考期末）如图所示，马戏团正在上演飞车节目，杂技演员驾驶摩托车（整体可视为质点）在一个可视为球体的固定铁笼内绕铁笼的竖直直径在水平面内做匀速圆周运动，此时摩托车所在位置与铁笼中心O点的连线与水平方向的夹角θ＝30°。已知铁笼的半径R＝5.4 m，杂技演员与摩托车整体的质量m＝150 kg，不计铁笼与摩托车间的摩擦，重力加速度大小g＝10 m/s2。 （1）请作出演员驾驶摩托车（整体可视为质点）的受力分析图； （2）求：摩托车对铁笼的压力大小； （3）求：摩托车此时行驶的速度大小。 答案：（1）见解析　 （2）3 000 N　 （3）9 m/s 解析：（1）演员驾驶摩托车的受力分析如图。 （2）由受力分析可得FNsin θ＝mg 则铁笼对摩托车的支持力为FN＝＝ N＝3 000 N 根据牛顿第三定律可知摩托车对铁笼的压力大小为FN'＝FN＝3 000 N。 （3）由牛顿第二定律可得FNcos θ＝m 则摩托车此时行驶的速度大小v＝9 m/s。 12.（2025·上海金山高一期末）如图a所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够大的拉力），A、B、C在同一直线上。t＝0时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在0≤t≤10 s时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图b所示，则： （1）两钉子间的距离为绳长的几分之几？ （2）t＝10.5 s时细绳的拉力大小？ （3）t＝12.5 s时细绳的拉力大小？ 答案：（1）　 （2）6 N　 （3）7.5 N 解析：（1）设细绳长为L，由图b可知，在0～6 s时间内细绳拉力大小不变，可知F1＝m 6～10 s时间内细绳拉力大小不变，则有F2＝m 因为F2＝F1 可得L'＝L Δx＝L－L'＝L－L＝L 即两钉子间的距离为绳长的。 （2）由图b可知，小球在第一个半圈经历时间为6 s，则有＝6 s 小球在第二个半圈经历时间为t'＝＝t＝5 s 在t＝10.5 s时，小球在转第二个半圈，则有细绳的拉力大小为6 N。 （3）小球转第三个半圈的时间t″＝＝t＝4 s 在t＝12.5 s时，小球转动的半径为r＝L 解得细绳的拉力大小为F＝m＝m＝＝F1＝×5 N＝7.5 N。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $