专题4.6 等比数列的前n项和（8类必考点）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦高中数学“等比数列的前n项和”核心知识点，系统梳理公式推导（含q=1与q≠1两种情况）、与指数函数关系、Sn与an联系及四大性质（片段和、奇偶项和等），通过知识梳理与8个分层考点例题搭建学习支架，衔接等比数列定义与通项公式，为数列综合应用奠基。 该资料亮点在于考点分类系统，覆盖公式应用、性质探究到实际建模，例题精选高考模拟与各地考题。通过浮雕像个数、存款利息等情境培养数学眼光，在性质推导中发展逻辑推理思维，以模型应用提升数学语言表达能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题4.6 等比数列的前n项和 【知识梳理】 1 【考点1：求等比数列的前n项和】 2 【考点2：等比数列前n项和的基本量计算】 3 【考点3：等比数列片段和性质及应用】 4 【考点4：等比数列奇、偶项和的性质及应用】 4 【考点5：等比数列前n项和的其他性质】 4 【考点6： 前n项和特点】 6 【考点7：前n项和与通项关系】 6 【考点8：等比数列的前n项和的应用】 8 【知识梳理】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列的首项为，公比为q，则等比数列的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记A=，则=+A是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 【考点1：求等比数列的前n项和】 1．（2025·辽宁·模拟预测）等比数列满足，，记的前项和为，则（   ） A．510 B． C．或264 D．510或 2．（山东省新高考联合质量测评2026届高三上学期12月联考数学试题）设等比数列的前项和为，公比，若，则 ． 3．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知数列的前项和为，满足，则 . 4．（2025·四川凉山·一模）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 5．（25-26高三上·宁夏银川·月考）设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【考点2：等比数列前n项和的基本量计算】 1．（2025·湖北·模拟预测）正项等比数列的前n项和为，，则（   ） A．6 B．9 C．8 D．11 2．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知等比数列的公比为，前项和为．若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高三上·四川绵阳·月考）记等差数列的公差为，且；记等比数列的公比为，为其前n项和，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北·月考）已知等比数列的各项均为正数，且前3项和为84，，则 ． 5．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设等比数列的前n项和为，若，，则的公比为 . 【考点3：等比数列片段和性质及应用】 1．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·二模）在等比数列中，，，则 ． 3．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 4．（25-26高三上·江苏盐城·期中）设等比数列的前项和为，若公比，则 . 5．（25-26高三上·重庆·月考）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【考点4：等比数列奇、偶项和的性质及应用】 1．（24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 5．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【考点5：等比数列前n项和的其他性质】 1．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25高二下·吉林松原·期中）设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 3．（多选）（24-25高三下·江苏徐州·月考）已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（   ） A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列 B．若数列为等差数列，，则的最大值在或7时取得 C．若数列为等比数列，则恒成立 D．若数列为等比数列，则数列也为等比数列 4．（2025·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 5．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，求证：． 【考点6： 前n项和特点】 1．（24-25高二下·四川南充·期中）已知等比数列的前项和（是常数），则的值为 ． 2．（24-25高二下·广东佛山·月考）已知等比数列的前项和（是常数），则 . 3．（25-26高二上·河北邢台·月考）已知等比数列的前项和为，若，则 . 4．（多选）（25-26高三上·广东广州·月考）已知是等比数列的前n项和，若存在，，，使得，则（    ） A． B．是数列的公比 C．数列可能为等比数列 D．数列不可能为常数列 5．（多选）（2025·广东广州·模拟预测）已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等比数列 【考点7：前n项和与通项关系】 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则数列严格增 B．若，则数列严格增 C．若数列严格增，则 D．若数列严格增，则 3．（多选）（24-25高二下·陕西·月考）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·陕西·期中）已知等比数列的前项和. (1)求实数的值； (2)若，求. 5．（2025·新疆喀什·三模）记数列的前n项和为，已知 (1)证明:数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【考点8：等比数列的前n项和的应用】 1．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 3．（24-25高一下·上海·月考）近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（    ） A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元） 参考数据：，， A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6 5．（25-26高三上·上海·期中）2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.6 等比数列的前n项和 【知识梳理】 1 【考点1：求等比数列的前n项和】 2 【考点2：等比数列前n项和的基本量计算】 5 【考点3：等比数列片段和性质及应用】 8 【考点4：等比数列奇、偶项和的性质及应用】 9 【考点5：等比数列前n项和的其他性质】 11 【考点6： 前n项和特点】 14 【考点7：前n项和与通项关系】 18 【考点8：等比数列的前n项和的应用】 21 【知识梳理】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列的首项为，公比为q，则等比数列的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记A=，则=+A是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 【考点1：求等比数列的前n项和】 1．（2025·辽宁·模拟预测）等比数列满足，，记的前项和为，则（   ） A．510 B． C．或264 D．510或 【答案】D 【分析】由对数的计算解得，由等比数列的项的关系解得，讨论的值，由等比数列前项和公式求得 【详解】等比数列满足，即， ∴， 即，∴， 当时，. 当时，. 所以或. 故选：D. 2．（山东省新高考联合质量测评2026届高三上学期12月联考数学试题）设等比数列的前项和为，公比，若，则 ． 【答案】 【分析】由，求得的值，从而可得公比，利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】因为数列是等比数列，所以，， 所以是方程的两根，所以或， 所以公比或，所以或， 又，所以，所以 所以. 故答案为：. 3．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知数列的前项和为，满足，则 . 【答案】121 【分析】根据数列的前项和为与的关系，利用相减法得递推关系式，根据递推关系式求解，从而得的值. 【详解】因为， 则当时，， 相减得，即，所以， 又当时，，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以. 故答案为：121. 4．（2025·四川凉山·一模）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量运算求得，即可求解； （2）利用等比数列及求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意得， 解得，所以． （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以． 从而， 所以． 5．（25-26高三上·宁夏银川·月考）设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，计算出等差数列的基本量，即可求得的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用分组求和法，求得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 由题可知，，解得. 的通项公式为. （2）因为，且当时，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以； 又， 所以. 所以. 【考点2：等比数列前n项和的基本量计算】 1．（2025·湖北·模拟预测）正项等比数列的前n项和为，，则（   ） A．6 B．9 C．8 D．11 【答案】B 【分析】由等比数列求和公式求得，进而可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 则 即，解得：， 又， 解得， 则， 故选：B 2．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知等比数列的公比为，前项和为．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列求和公式求得，进而逐项判断即可. 【详解】因为，， 所以．由题意，得， 解得，则或． 因为，所以． 当时，，解得， ， 满足，， 所以，； 当时，，解得， ， 满足，， 所以，． 故A，B，D错误，C正确． 故选：C． 3．（多选）（25-26高三上·四川绵阳·月考）记等差数列的公差为，且；记等比数列的公比为，为其前n项和，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由等差数列项的关系列出方程，解得首项和公差，判断A、B选项；先验证及是否成立，然后由等比数列前项和公式列出方程组，然后整理得到关于的方程，然后解得，判断C选项；由及计算得到，判断D选项. 【详解】等差数列的公差为，由题意可得解得故A，B正确； 等比数列的公比为，若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，得，整理得， 解得或（舍去），则，故C错误； 因为，所以，故D正确． 故选：ABD． 4．（25-26高三上·湖北·月考）已知等比数列的各项均为正数，且前3项和为84，，则 ． 【答案】/1.5 【分析】根据等比数列的性质，讨论是否符合，从而利用前项和公式与通项公式列方程求解的值，从而得的值. 【详解】设等比数列的公比为，由于，所以， 若，则，与题意矛盾，所以， 则，解得， 所以． 故答案为：. 5．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设等比数列的前n项和为，若，，则的公比为 . 【答案】/0.5 【分析】根据数列的前n项和的概念，拆分前8项和为“奇数项和”与“偶数项和”，再结合等比数列的定义即可求解. 【详解】等比数列的前8项和， 即：； 因为，，代入上式得：， 所以. 又因为，，，， 因此，，即，. 故答案为： 【考点3：等比数列片段和性质及应用】 1．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件结合等比数列的性质得，，成等比数列，由此能求出． 【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列. 因为，所以，所以，故. 故选：C 2．（2025·四川成都·二模）在等比数列中，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据等比数列性质利用整体的比值求出公比满足，即可计算出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，即得； 因此. 故答案为： 3．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 【答案】9 【分析】根据等比数列的片段和的性质及等比中项求解即可. 【详解】由已知，显然公比， 所以成等比数列， 所以，即，解得或者， 因为，所以舍去， 故答案为：9 4．（25-26高三上·江苏盐城·期中）设等比数列的前项和为，若公比，则 . 【答案】64 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】由等比数列的性质得. 故答案为：64. 5．（25-26高三上·重庆·月考）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列的片段和的性质可得也成等比数列，借助于等比中项列式求解即得. 【详解】等比数列中，， 因也成等比数列，则， 即，解得：. 故答案为: . 【考点4：等比数列奇、偶项和的性质及应用】 1．（24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】 2 9 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 5．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 【考点5：等比数列前n项和的其他性质】 1．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用，，成等比数列，借助，可以把看成一个关于的二次函数，从而可求最小值. 【详解】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 2．（24-25高二下·吉林松原·期中）设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【分析】分析得到，当时，，当时，，从而得到有最大值，最大值为，，，得到D正确，ABC错误. 【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，BC错误； D选项，当时，，当时，， 故，， 所以，D正确. 故选：D 3．（多选）（24-25高三下·江苏徐州·月考）已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（   ） A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列 B．若数列为等差数列，，则的最大值在或7时取得 C．若数列为等比数列，则恒成立 D．若数列为等比数列，则数列也为等比数列 【答案】ABC 【分析】A通过举反例可判断选项正误； B由题可得，据此可判断选项正误； C由题得表达式，分类讨论公比为1，不为1两种情况，可判断选项正误； D验证是否为常数可判断选项正误. 【详解】A选项，假设数列首项，公差为0，则，但不为递增数列，故A错误； B选项，设首项为，公差为，因，则. 则，，即当时，；时，；时，， 则的最大值在或7时取得，故B正确； C选项，设数列首项为，公比为，且，则. 当，则；时，；时，. 综上，时，，故C正确； D选项，，因不一定为常数，则数列不一定是等比数列，故D错误. 故选： 4．（2025·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【答案】①②③ 【分析】根据题意，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为，，， 所以，所以，故①正确. ，故②正确； 又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误； 故答案为：①②③ 5．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用放缩法证明即可. 【详解】，， 当时，不等式显然成立. 当时， ． 【考点6： 前n项和特点】 1．（24-25高二下·四川南充·期中）已知等比数列的前项和（是常数），则的值为 ． 【答案】 【分析】根据求出数列的通项公式，结合等比数列的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为等比数列的前项和， 当时，， 当时，， 满足，即，解得，故， 故对任意的，，即数列为等比数列，故. 故答案为：． 2．（24-25高二下·广东佛山·月考）已知等比数列的前项和（是常数），则 . 【答案】 【分析】由求出数列的通项公式，根据该数列为等比数列求出的值，即可得出的值. 【详解】因为等比数列的前项和（是常数）， 当时，， 当且时，， 因为数列是等比数列，则也满足， 即，解得，故， 且对任意的，，即数列为等比数列，故， 故答案为：. 3．（25-26高二上·河北邢台·月考）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可. 【详解】设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为，所以. 故答案为： 4．（多选）（25-26高三上·广东广州·月考）已知是等比数列的前n项和，若存在，，，使得，则（    ） A． B．是数列的公比 C．数列可能为等比数列 D．数列不可能为常数列 【答案】ABD 【分析】设出等比数列的公比为，分和两种情形，分别表示出，并与比较对照，分别用和表示出，然后逐一分析判断各选项即可. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，此时是关于的一次函数，数列为常数列， 而不是关于的一次函数，所以，数列不可能为常数列，故D正确； 因为，所以，又， 所以，故B正确； ，故A正确； 因为，也均不为0，所以不可能为一常数， 即数列不可能为等比数列，故C错误. 故选：ABD 5．（多选）（2025·广东广州·模拟预测）已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等比数列 【答案】ABD 【分析】利用前项和和通项公式可知判断B，求解建立方程求出判断A，利用指数运算和等差数列求和公式求得判断C，再利用等比数列定义判断D即可. 【详解】对于B，当时，． 又为等比数列，则，故B正确， 对于A，则，所以，解得，故A正确， 对于C，而 ，故C错误， 对于D，又， 且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故D正确. 故选：ABD 【考点7：前n项和与通项关系】 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 2．（24-25高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则数列严格增 B．若，则数列严格增 C．若数列严格增，则 D．若数列严格增，则 【答案】D 【分析】A项、B项、C项可通过举反例判断，由数列是单调递增可证得，，进而可判断D项. 【详解】设等比数列,, 对于A，由，得，则，即， 所以当时，满足，但不是单调递增，故A错误； 对于B，由，得，则， 所以当时，满足，满足，但不是单调递增，故B错误； 对于C，当时，由，，此时满足数列单调递增,但， 故C错误； 对于D，由数列是单调递增，则，所以,故， 即，所以，且， 又因为所以即，故D正确. 故选:D 3．（多选）（24-25高二下·陕西·月考）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A令即可；利用降标作差求出，即可求出数列的通项公式，即可判断BC选项；D将通项公式代入即可. 【详解】当时，，解得，A正确. 当时，，所以，即， 则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确； 由上知，B错误； ，D正确. 故选：ACD 4．（25-26高二下·陕西·期中）已知等比数列的前项和. (1)求实数的值； (2)若，求. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据给定的前n项和，求出数列的通项，即可计算作答； （2）由（1）可知，，求解即可. 【详解】（1）当时，， 数列是等比数列，满足， ，解得. （2）由（1）可知，， ， ，解得. 5．（2025·新疆喀什·三模）记数列的前n项和为，已知 (1)证明:数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用和等比数列的定义即可求证； （2）由（1）通过等比数列求通项公式即可求解. 【详解】（1）因为 ， 所以当时， ; 当时， ， 所以 ， 即 ， 又 ， 所以 ， 所以数列是首项为，公比为 的等比数列； （2）由（1）得， 所以. 【考点8：等比数列的前n项和的应用】 1．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】由题意，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比． 则该热气球在前3分钟里上升的总高度． 故选：C． 2．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以． 故选：B 3．（24-25高一下·上海·月考）近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（    ） A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟 【答案】C 【分析】设第秒种的细菌的个数为，且，求得通项公式，据题意可得，求解即可. 【详解】设第秒种的细菌的个数为，且， 又每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以， 则经过秒钟共杀死个新冠病毒， 依题意，需使，即，所以， 因是增函数，且，故. 即细菌将新冠病毒全部杀死至少需要9秒钟. 故选：C 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元） 参考数据：，， A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6 【答案】C 【分析】本题是复利计息问题，逐年分析寻找规律，然后根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由题意，2025年存的2000元共存了10年，本息和为万元， 2026年存的2000元共存了9年，本息和为万元， 2034年存的2000元共存了1年，本息和为万元， 所以到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为万元， 故选：C. 5．（25-26高三上·上海·期中）2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 【答案】(1)2026年9月 (2)2026年的11月 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可； （2）设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为，由已知条件，，当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列，而从2025年7月起第个月废水存量为：，再结合等比数列的前项和公式求解． 【详解】（1）设从2025年7月起第个月处理后的废水排放量为， 则数列是首项为4，公差为1的等差数列， 所以， 令，整理得， 解得或， 又因为是正整数，则， 当时，处理后的废水排放量大于新产生的6吨废水，所以不会有废水存积. 故该厂在2026年9月底第一次将废水池中的废水排放完毕； （2）设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为吨， 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列， 则数列的前项和， 而从2025年7月起第个月废水存量为：， 当时，， 当时，， 所以2026年的11月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $