专题08 期末复习之一元一次方程的应用（考情分析+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学讲义围绕“一元一次方程的应用”，通过表格梳理7大考点的复习目标与考察形式，构建“基础必考题-中档高频题-压轴创新题”的递进知识体系，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与跨学科情境融合，以方案选择问题为例引导学生通过方程求临界值比较优劣，培养运算能力与推理意识，跨学科题型结合物理运动、环保垃圾分类等情境提升应用意识，同步练习覆盖不同难度，助力教师精准复习教学。

专题08 一元一次方程的应用 期末考点 复习目标 考察形式 1.和差倍分问题 1.掌握“和、差、倍、分”核心关系； 2.学会设标准量建立方程； 3.能处理数位、年龄问题的特殊逻辑 1.基础必考题，多为选择/填空（1题）或解答题第一问； 2.难度低，侧重数量关系转化 2.行程问题（相遇/追及） 1.理解路程公式； 2.能通过线段图梳理相遇/追及等量关系； 3.掌握单位统一方法 1.高频中档题，多为解答题(1题)； 2.偶尔结合数轴动点出创新题 3.工程问题 1.明确工作总量公式； 2.掌握合作问题的效率叠加逻辑； 3.能处理“部分完成”“剩余工作量”场景 1.基础-中档题，选择/填空/解答均有涉及； 2.无复杂计算，侧重总量设“1”的技巧 4.打折销售与利润问题 1.掌握核心公式：(表示利润，表示售价，表示进价)、、； 2.能梳理进价、标价、售价的关系； 3.结合实际判断解的合理性 1.必考中档题，多为解答题； 2.情境贴近生活，偶见跨商场方案对比创新题 5.分段计费问题 1.识别分段节点，明确各段计费标准； 2.掌握“总费用=各段费用和”的建模方法； 3.能根据费用反求用量 1.高频创新题，选择/填空/解答均有； 2.难度中等，侧重分类讨论思想 6.方案选择与优化问题 1.能根据实际需求列出不同方案的表达式； 2.通过方程求临界值，比较方案优劣； 3.考虑整数解、实际限制条件 1.压轴题常客，多为解答题最后1-2题； 2.难度较高，体现建模与决策素养 7.跨学科简单应用 1.提取物理、环保等跨学科中的数量关系； 2.转化专业情境为数学方程模型； 3.验证解的学科合理性 1.新型创新题，近3年各省真题高频出现； 2.难度中等，侧重情境转化能力 【易错题型】 【题型1】等量关系找错 1.易错点总结 混淆“比多倍”与“是的倍”(前者为，后者为)； 行程问题中忽略“同时出发”“相向而行”等隐含条件，导致路程关系错误； 分段计费问题漏算“起步价包含范围”“封顶费用”等关键信息。 2.纠错技巧 圈画题目关键词(“比”“是”“共”“剩余”“至少”“不超过”)，标注数量关系； 用线段图(行程/和差倍分)、表格(分段计费/销售)梳理已知量与未知量； 列方程后验证：解代入原题，检查是否符合实际情境(如人数、工作量为正整数)。 【例题1】.（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）我国城市中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的3倍多52座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍．若城市总数为664座，求严重缺水城市有多少座？ 【变式题1-1】.（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·月考）小刚和小强从A，B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后两人相遇，相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚到达B地，两人的行进速度分别是多少？相遇后经过多少时间小强到达A地？ 【变式题1-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）小新一家坐网约车，耗时，并支付车费48.2元，该网约车的部分收费标准如下表．求小新一家此次的坐车路程（距离超过，计算结果保留一位小数）． 起步价 里程费 时长费 远途费 收费标准 9元 1.6元/km 0.4元/min 0.6元/km 说明 里程及以内 里程超过后，超过部分收取 时长超过后，超过部分收取 里程超过后，超过部分收取 【变式题1-3】.（25-26七年级上·山西大同·月考）山西是我国矿产资源极为丰富的省份之一，素有“煤铝铁之乡”的美誉．某炼钢厂使用甲、乙两种铁矿石提炼钢铁．已知每吨甲种铁矿石提炼出铁的质量比每吨乙种铁矿石提炼出铁的质量多，从甲种铁矿石中提炼出铁的质量与从乙种铁矿石中提炼出铁的质量相同，求甲、乙两种铁矿石每吨各能提炼出铁多少吨． 【题型2】和差倍分问题 1.期末考点总结 核心考察标准量(单位1)的设定与“和、差、倍、分”关系转化； 数字问题需掌握“”(若设十位数字为，个位数字为，则两位数表示为)； 年龄问题关键：年龄差始终不变，时间推移同步加减。 2.解题攻略 设标准量为(如“比多3倍”设为，则对应量为)； 数字问题：设个位/十位数字为，根据“数字位置交换后新数与原数的关系”列方程； 年龄问题：设当前年龄为，根据“几年前/后年龄关系”列等式(如“5年后甲年龄是乙的2倍”：，其中为甲当前年龄，为乙当前年龄)。 【例题2】.（25-26七年级上·四川凉山·月考）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)在（2）的条件下，若生产一个螺钉的费用为元，生产一个螺母的费用为元，若车间工人正好使得每天加工零件能配套，求这一天生产所有零件的费用一共多少元？ 【变式题2-1】.（25-26七年级上·广西崇左·月考）列方程解应用题： (1)某校三年共购计算机台，去年购买的数量是前年的倍，今年购买的数量又是去年的倍．前年这所学校购买了多少台计算机？ (2)有一列数，，，，，，，其中第个数是，如果这列数中某三个相邻数的和是，那么这三个数各是多少？ (3)某工厂的产值连续增长，年是年的倍，年是年的倍，这三年的总产值为万元，年的产值是多少万元？ (4)某洗衣机厂今年计划生产型、型、型洗衣机共台，其中型、型、型洗衣机的数量之比为．洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？ 【变式题2-2】.（25-26七年级上·江苏常州·月考）元旦将至，学校组织学生进行元旦文艺汇演的节目排练，其中大合唱《大中华》节目中，七年级人数占该节目人数的一半，如果再增加6名七年级学生，那么七年级人数就占该节目总人数的，求大合唱《大中华》节目中原来七年级的表演人数． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·周测）《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何．”其译文如下：现有甲、乙两人，身上各有多少钱，不清楚。如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，那么甲一共是48钱；如果乙的钱数加上甲的钱数的，那么乙一共也是48钱．问甲、乙两人原来各有多少钱． 【题型3】行程问题 1.期末考点总结 核心公式：(表示路程，表示速度，表示时间)； 相遇问题：总路程(相向而行)； 追及问题：路程差初始距离(同向而行，快者追慢者)。 2.解题攻略 画线段图标注起点、方向、相遇/追及点，明确各段路程关系； 统一单位(如转化为，需除以60)； 设运动时间为，根据“相遇时路程和=总距离”“追及时路程差=初始距离”列方程。 【例题3】.（25-26七年级上·山东枣庄·月考）两地相距，一列快车以的速度从地匀速驶往地，到达地后立刻原路原速返回地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截至到它们都到达终点时： (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ 【变式题3-1】.（25-26七年级上·广东东莞·期中）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)根据车票中的信息填空：两车行驶方向______，出发时刻______（填“相同”或“不同”）； (2)已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点， ①设A，B两地之间的距离为s，则动车行驶完全程所用的时间可表示为______；高铁行驶完全程所用的时间可表示为______； ②求A，B两地之间的距离． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江苏淮安·月考）根据背景素材，探索解决问题 背景素材 七 （2）班打算出去研学． （一）买票：一共有 46个学生和3名老师买乘车票． （二）落座：若租2辆车则有9人无座，若租3辆车则有11 个空位． （三）抵达：客车从起点驶向终点的速度为，另一辆同时由终点驶向起点的车速度为，它们在距离中点20千米的地方相遇． 车票价格 个人票：学生票10元，成人20元 打折票：每张票减3元 团体票：超过5人以上每人14元 注：只能按其中一种方式购票，不能混合购票 【问题解决】 (1)求买票最优惠时采取的购票方案及价格是多少？ (2)客车上的座位数量是多少？（用方程解决问题） (3)客车一共行驶的路程是 ． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·浙江温州·期中）小阳计划用无人机跟拍自己骑行，完成一段视频拍摄． 素材一 自行车始终以的速度匀速运动． 无人机具有以下三种运动模式，各模式下均为匀速运动（忽略加减速过程）： 跟随模式：无人机位于目标后方60米处，以的速度同步跟随． 动能模式：无人机以的速度向前运动． 升降模式：无人机以的速度垂直上升或下降． 素材二 如图，以O为原点，自行车前进方向为正方向，1米为单位长度建立数轴．无人机在数轴上表示的点的位置开始执行拍摄流程． 无人机拍摄流程： ①无人机由“跟随模式”切换至“动能模式”，超越自行车到达点O； ②在O点垂直上升100米到达悬停点，悬停并垂直向下拍摄，可拍摄到地面一个半径为R的圆形区域．无人机到达悬停点时，自行车刚好进入拍摄区域； ③当自行车刚好离开拍摄区域时，无人机立即垂直下降100米； ④无人机降落后，立即切换至“动能模式”追赶自行车，最终恢复到“跟随模式”． (1)开始执行拍摄流程时，自行车在数轴上表示的数为______，经过t秒，自行车在数轴上表示的数为______（用含t的代数式表示）． (2)流程①和②中，无人机从数轴上的位置运动至悬停点用时多少秒？圆形拍摄区域的半径R为多少米？ (3)流程③和④中，在无人机开始下降时计时，经过多少秒无人机能重新追上自行车并恢复到“跟随模式”？ 【题型4】工程问题 1.期末考点总结 核心公式：(表示总工作量，表示工作效率，表示工作时间)； 隐含条件：无具体工作量时，总工作量视为； 合作问题：总效率；分工问题：。 2.解题攻略 设工作时间为(或效率为)，表示出各主体的工作量； 合作场景：；部分完成场景：(、分别为甲、乙工作时间)； 验证解的合理性：工作时间、效率均为正数，且符合实际工作周期。 【例题4】.（25-26七年级上·山东枣庄·月考）（1）一个两位数的十位数字和个位数字之和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数．求这个两位数． （2）加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10天就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务? 【变式题4-1】.（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ (3)原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 【变式题4-2】.（25-26七年级上·广西崇左·月考）某市为了缓解交通压力决定建高架桥，甲、乙两个公司都希望承接这项工程．已知甲公司每个月可建160米高架桥，乙公司每个月可建240米高架桥，而且完成这项工程甲公司比乙公司要多用20个月．该城市政府需付给甲公司建筑费每月240万元，乙公司建筑费每月360万元． (1)求该城市要建多长的高架桥？ (2)该城市政府设计方案时，考虑可由每个公司单独做，也可以由两个公司合作建成，在建设过程中，政府需要派5名工程师到建筑工地里进行指导，建筑公司负担每人每月3000元的生活补贴费．你帮助该城市政府选择一种既省时又省钱的建设方案，并说明理由．（用方程解决问题） 【变式题4-3】.（24-25七年级上·全国·课后作业）某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 【题型5】打折销售与利润问题 1.期末考点总结 核心公式：(为利润，为售价，为进价)、、； 关键：区分“进价(成本)”“标价(原价)”“售价(成交价)”三者关系。 2.解题攻略 设标价为(或进价为)，根据“折扣后售价-进价=利润”列方程(如“标价元，打8折销售盈利20%”：)； 注意“打8折”即，“利润率20%”即； 结果验证：售价需大于进价(盈利)或等于进价(保本)，符合商业逻辑。 【例题5】.（25-26七年级上·山东枣庄·月考）小王看到的两个超市的促销信息如图所示． (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 【变式题5-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）我校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个元，请认真阅读结账时老板与小明的对话． 老板 如果你再多买一个，就可以打八五折，花费比现在还省元 小明 那就多买一个吧，谢谢！ (1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计元，那么小明购买钢笔多少支？ 【变式题5-2】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）（1）国家补贴政策持续推进，消费者家电换新需求得到充分激活．某商场购进甲、乙两款电视机，已知甲款电视机购进60台，比乙款电视机的少10台，求该商场购进乙款电视机多少台？ （2）十一期间，该商场推出“国家补贴+商场直降”双重优惠活动，国家补贴政策是购买甲、乙两款电视机均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买电视机的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买电视机原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知甲款电视机原价（高于4000元）比乙款电视机原价（低于4000元）的2倍少100元．若按此销售规则购买一台甲款电视机比购买一台乙款电视机多花1420元，求商场双重优惠下甲款电视机和乙款电视机每台各是多少元？ （3）在（1）和（2）的条件下，该商场购进的甲款电视机和乙款电视机全部销售一空，求该商场这批电视机的销售额（用科学记数法表示）． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·浙江杭州·月考）新华书店准备购进甲、乙两类中学生书刊．乙类书刊的进价比甲类书刊的进价的多3元/本，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/本） m 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价； (2)新华书店第一次购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润售价进价）为5750元，求购进甲、乙两类书刊的数量； (3)新华书店第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比第一次优惠了，新华书店准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊售价不变，全部售完后总利润比第一次还多赚10元，求甲书刊打了几折． 【题型6】分段计费问题 1.期末考点总结 考察分类讨论思想，核心是“分段节点”(如打车3km为分界，水电100度为分界)； 总费用第一段费用第二段费用(超分段部分按新标准计费)。 2.解题攻略 第一步：确定分段节点和各段计费标准(如打车：3km内10元，超3km后每km2元)； 设用量为，分情况讨论：①；②； 列方程后需验证解是否在对应区间内(如求打车费用16元对应的里程：设里程为，则，解得，需确认，符合第二段计费)。 【例题6】.（25-26七年级上·四川成都·月考）2024年，成都全市新增注册登记新能源汽车10万辆以上，新增充电桩不低于4万个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费3元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费2元． (1)若小石在该充电桩充电小时，需支付费用多少元？ (2)若小石在该充电桩充电x（）小时，需支付费用________元（用含有x的代数式表示）． (3)小石每周在该充电桩充电一次，某月，小石第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用27元，则小石第一周和第二周各充电多少小时？ 【变式题6-1】.（24-25七年级下·福建泉州·期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，属于共享经济理念的出行服务．某地滴滴快车计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：一．车费=里程费+时长费+远途费，其中里程费按行车的实际里程计算； 二．时长费按行车的实际时间计算； 三．远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收元． (1)已知小张从学校乘坐滴滴快车回家，乘车时长为10分钟，没有产生远途费的情况下支付了元车费．试求小张家到学校的里程． (2)星期六早上，小张和聪聪两人从该地出发，各自乘坐滴滴快车去省城参加无人机航展大赛，行车时间分别为分钟、分钟．已知聪聪比小张的行车里程多8公里，两人所付车费、计费项目都相同．设，试求出的值． 【变式题6-2】.（2024六年级上·上海·专题练习）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见表）． 月使用费元 主叫限定时间分 主叫超时费（元分） 被叫 方式一 58 150 免费 方式二 88 350 免费 设一个月内使用移动电话主叫的时间为分为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题： (1)用含有的式子填写下表： 方式一计费元 58         　　 108 　　        方式二计费元 88 88 88 　　        温馨提示： 若选用方式一，每月固定交费58元，当主动打出电话月累计时间不超过150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收元． (2)当为何值时，两种计费方式的费用相等？ (3)请根据（1）和（2）的计算及生活经验，直接写出不同时间段，选用哪种计费方式省钱？ 【变式题6-3】.（25-26七年级上·四川成都·月考）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 【题型7】浓度问题(稀释/加浓) 1.期末考点总结 核心公式：(为溶质质量，为溶液质量，为浓度)； 关键：稀释(加溶剂)或加浓(加溶质)时，溶质质量不变。 2.解题攻略 设加水量(或加溶质质量)为； 稀释问题：原溶质质量稀释后溶质质量()； 单位统一：确保溶液、溶质质量单位一致(如均用g，避免g与kg混用)。 【例题7】.（25-26六年级上·重庆·开学考试）有浓度为的溶液若干，加上一定数量的水后稀释为的溶液，如果再加入同样多的水后，浓度将变为多少？ 【变式题7-1】.（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（浓度问题）甲容器中有纯酒精升，乙容器中有水升．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器使酒精和水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器．这样，甲容器中纯酒精含量为，乙容器中纯酒精含量为．那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？ 【变式题7-2】.（2024·四川攀枝花·中考真题）秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液．市场上销售的某品牌的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片的相关信息： 产品名称 产品规格 有效成份 用途 二氧化氯消毒片 每片质量1克 二氧化氯含量 消毒杀菌 已知：溶液浓度．请解答下列问题： (1)消毒人员欲配制3千克浓度为的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求a的值． (2)教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为的二氧化氯溶液，可稀释成多少千克浓度为的消毒溶液？稀释过程中需加水多少千克？ 【变式题7-3】.（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）甲、乙两只装满酒精溶液的容器，甲容器装有浓度为的酒精溶液600千克，乙容器装有浓度为的酒精溶液400千克，现在从两个容器中倒出等量的溶液互换．要使这两个容器最终溶液的浓度一样，那么互换的溶液为多少千克？ 【题型8】方案选择与优化问题 1.期末考点总结 考察数学建模与决策能力，核心是通过方程求“临界值”(两方案效果相同时的变量值)； 需结合实际限制(如数量为整数、预算上限)选择最优方案。 2.解题攻略 设变量(如购买数量、使用时间)，分别列出方案A、方案B的费用(或效果)表达式(如方案A：，方案B：，其中为常数)； 列方程：令，求解临界值； 分类讨论：①时，选择更优方案；②时，选择另一方案；③时，两方案均可； 验证：需考虑的整数解、实际可行性(如购买数量不能为负数)。 【例题8】.（22-23七年级上·广东江门·期末）“双十一”期间，某国产运动商店施行全场优惠销售，打着“优惠多少，客户自己选”的口号，吸引消费者．部分活动列表如下： 商品 全场球鞋元双 全场棉袜元双 方案一 买一双球鞋送两双袜子 方案二 球鞋、袜子均九折出售 小明现准备给自己的队员购买双球鞋以及双棉袜（）． (1)若小明选择方案一购买，需支付多少钱？若选择方案二呢？（结果用含的式子表示） (2)若小明按两种方案购买，支付金额相同，求小明购买的棉袜数量． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·广西崇左·月考）某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元． (1)这个公司要加工多少件新产品？ (2)在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）杨先生准备购买一套小户型商品房，他在了解A、B两楼盘的过程中，均有钟意的商品房．从A楼盘获取的信息：①购房单价为2万元/；②购房优惠方案为：可免费赠送书房面积（注：赠送面积不需要付钱）；③杨先生钟意的A楼盘商品房平面图如图所示： 商品房原价 优惠百分比 不超过120万元的部分      超过120万元但不超过200万元的部分      超过200万元的部分      （B楼盘购房优惠方案） 从B楼盘获取的信息： ①购房单价为2万元/； ②购房优惠方案如表； ③杨先生在B楼盘钟意的一套商品房，享受优惠后的价格为159万元． (1)根据A楼盘商品房平面图，过道的长度为　 　 m（用含有x的式子表示）； (2)若A楼盘杨先生钟意的商品房总面积为，请求出书房宽x的值，并计算若杨先生购买该商品房，应付多少钱？ (3)在（2）的基础上杨先生打算从A、B楼盘里选择每平方米实付单价最低的商品房（每平方米实付单价，单位：万元），请你帮杨先生算一算，他应该选择哪个楼盘所钟意的商品房？（结果保留3位小数） 【变式题8-3】.（2025七年级上·广东广州·专题练习）小吴所在社区采购了两类膳食物资，第一类：杂粮礼盒每份售价为24元；当采购量小于或等于40份时，无优惠．当采购量大于40份时，超过40份的部分每份售价降低3元．第二类：蛋白补给包每份售价为56元：当采购量小于60份时，无优惠．当采购量大于或等于60份时，每份（含小于60份的部分）售价均降低7元． (1)购买30份杂粮礼盒的费用为______元，购买70份蛋白补给包的费用为______元； (2)小吴所在社区积极响应国家号召，对参与测量并购买两类膳食物资的居民在此前优惠方案的基础上，提供额外价格减免活动，具体如下： 类别 类型 售价减免（元） 杂粮礼盒每份 蛋白补给包每份售价减免（元） 1 体重过低 2 7 2 体重正常 1 6 3 超重 3 7 4 肥胖 4 9 体重÷身高的平方（单位：） 已知小吴的身高为，体重为，回答下列问题： ①通过计算值判断小吴所属类别是_____（请填序号1、2、3、4）； ②若小吴计划购买杂粮礼盒和蛋白补给包总共100份，当小吴购买杂粮礼盒x份时，总费用为多少元？ ③小吴实际购买的情况是：他第一次购买了10份杂粮礼盒和20份蛋白补给包，他第二次用了3718元购买了两类膳食物资共100份．若小吴将两次分开购买的两类膳食物资合起来一次性购买，则这样购买的总价比两次分开购买的总价少多少元？ 【题型9】跨学科情景应用 1.期末考点总结 考察情境转化能力，核心是提取跨学科中的数量关系(如物理中“匀速运动”、“杠杆平衡”，环保中“分类垃圾总量=各类型垃圾量之和”)； 不涉及复杂专业知识，仅需转化为一元一次方程模型。 2.解题攻略 忽略专业术语干扰，聚焦“数量关系”； 设未知量，根据跨学科核心公式列方程(如物理“匀速运动”：，已知，，求，列方程)； 验证解的学科合理性(如速度为正数、垃圾量非负)。 【例题9】.（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水______，水温为_______℃； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【变式题9-1】.（2024七年级上·全国·专题练习）【跨学科试题·物理】在物理学中，华氏温度与摄氏温度之间存在着如下的关系：． (1)一个人的体温有可能达到吗，试说明理由？ (2)如果某地早晨的温度为，那么此地早晨的华氏温度是多少？ 【变式题9-2】.（24-25七年级下·山西晋城·期中）生活中常见的消毒酒精有两种，一种是浓度为的酒精消毒液，另一种是浓度为的酒精消毒液．某校一化学兴趣小组欲将浓度为的酒精溶液稀释成的酒精溶液，需要加水多少克？    【变式题9-3】.（25-26七年级上·浙江金华·自主招生）列式解答下列问题． (1)三个书架共存书5100本．已知甲书架的存书相当于乙书架存书的，丙书架的存书相当于甲书架的．三个书架各存书多少本？（用方程解答） (2)一辆列车通过400米长的隧道用16秒，通过240米长的桥梁用12秒，那么这辆列车的车身长是多少米？ (3)一个装满水的圆柱形容器，高15厘米，底面积是200平方厘米，把一个底面积是180平方厘米，高是2厘米的圆锥形石块浸没水中再取出，再浸没一个底面积为20平方厘米、高5厘米的圆柱形铁块，最终容器中的水高多少厘米？ (4)2025年，小智家搬入了新建的“智慧社区”，总共有1000户．他们小区启用了智能垃圾分类箱．小智家5月份产生垃圾共240千克，通过正确分类：可回收物占25%，厨余垃圾占40%，其他垃圾占35%． 智慧社区针对垃圾分类出台了一套智能系统机制： 环保机制：垃圾正确分类可使垃圾总量减少30%； 奖励机制：每正确投放1千克可回收物，奖励0.5元环保金． ①请问，小智家在正确分类后，垃圾总量可以减少多少千克？ ②小智家6月份可回收物增加了40%，环保金会增加多少元？ ③假设智慧社区每户人家每月产生240千克垃圾，若每吨垃圾的减少可以少砍伐2棵树，那么一年下来，智慧社区通过垃圾分类可以保护多少棵树？ 【题型10】数轴动点结合方程 1.期末考点总结 考察数形结合思想，核心是用含时间的式子表示动点位置(数轴上：左减右加)； 结合线段和差、距离公式(为数轴上两点表示的数)列方程。 2.解题攻略 设动点运动时间为(单位：秒)，用初始位置表示秒后位置(如点A初始在数轴上表示2，向右运动速度3单位/秒，则秒后位置为)； 根据“动点相遇”“线段相等”“距离为定值”等条件列方程(如两点距离为5：)； 求解后验证：动点位置是否符合数轴范围，运动时间。 【例题10】.（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，数轴的原点为，点、、是数轴上的三点，点对应的数是，，，动点、同时分别从、出发，分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为秒（）． (1)点A表示的数为_________，点C表示的数为_________； (2)求t为何值时，点P与点Q能够重合？ (3)是否存在某一时刻t，使点O平分线段且点与点在原点的两侧？若存在，请求出满足条件的t值．若不存在，请说明理由． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·江苏盐城·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为10．点表示的数为，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． 【解决问题】 (1)填空：两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)若点从点开始运动时，另一点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．求当为何值时，？ 【变式题10-2】.（24-25七年级上·广东湛江·期中）【阅读理解】 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点M，N在数轴上分别对应的数为m，n，则M，N两点间的距离表示为． 的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离：就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和、下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1 如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1 ∴a到1和2的距离之和最小值是1 【问题解决】 根据以上知识解题： (1)类比得出的最小值是_____． (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是_____． (3)如图：数轴上A、B、C三点分别表示的数为、4、7，点P表示的数为x，若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点P到点B、点C的距离之和为10． (4)已知，求的最大值和最小值． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点A、B分别同时以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，A、B之间的距离为5？ (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为______． 同步练习 一、解答题 1．（25-26七年级上·山西运城·月考）问题解决 2025年全国“敬老月”活动于10月10日至31日开展，此次活动的主题为“弘扬孝亲敬老美德共建老年友好社会”．某校学生为敬老院的老人们表演了《花样跳绳》节目．已知甲种跳绳每根20元，乙种跳绳每根15元，用390元购买这两种跳绳，一共买了22根，求两种跳绳各买了几根． 2．（25-26七年级上·山西朔州·月考）综合与实践 数学兴趣小组用一根质地均匀的木杆和一些相同质量的重物（每个重物的质量均为）进行如下实验： ①在木杆中点（支点）处拴绳，将木杆吊起，两端各挂一个重物，观察是否平衡； ②木杆右端仍挂一个重物，在木杆左端逐次加挂重物，每次将左端重物整体右移至使木杆平衡，记录支点到两端挂重物处的距离． 【初步探究】 如图，在木杆右端挂一重物，支点左端挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点在木杆中点处，左端挂重物处到支点的距离为，探究记录如下： 支点左边 支点右边 木杆状态 重物质量（g） 到支点的距离（） 重物质量（g） 到支点的距离（） 5 30 5 30 平衡 10 15 5 30 平衡 15 10 5 30 平衡 20 a 5 30 平衡 b 6 5 30 平衡 (1)请你通过实验发现的规律补全实验记录：______，______； (2)把n作为已知数，列出关于x的一元一次方程：______． (3)【深入探究】 小明把相同质量的重物全部换成了每个质量为的重物再次进行实验，此时支点右端悬挂一个重物且与支点的距离为，左端悬挂4个重物，并移动至左右平衡，求此时左端重物到支点的距离． 3．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“革命圣地西柏坡一日游”活动，收费标准如下： 人数 大于0且小于或等于100 大于100且小于或等于200 大于200 收费标准/（元/人） 60 55 50 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数小于100，乙校报名参加的学生人数大于100．经核算，两校分别组团共需花费13650元，两校联合组团只需花费12000元． (1)甲、乙两校报名参加活动的学生共有多少人？ (2)甲、乙两校报名参加活动的学生各有多少人？ 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）随着信息技术的发展，慕课已成为技术赋能教育的典范，它让优质资源跨越地域的局限，承载“知识无边界”的理想．北京作为政治文化的中心，在教育模式创新方面的引领作用尤为明显．去年北京地区慕课已占全国慕课的四分之一，今年全国慕课增加了门，北京地区的慕课增长了，北京慕课占全国慕课的．求去年北京地区的慕课为多少门？ 6．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）为节约用水，政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过立方米 超过立方米且不超过立方米的部分 a 超过30立方米的部分 (1)若小明家今年2月份用水量是立方米，则小明2月份应交的水费______元（用含a的代数式表示）． (2)在（1）的条件下，若小明今年2月份缴费元，请列方程求出上表中a值． (3)在（2）的条件下，若小明家3月份用水量增大，他家3月份的用水量是b立方米，共缴费元，请求出的值． 7．（25-26七年级上·山西朔州·月考）为活化千年石窟遗产、传播北魏文化，文化局准备以“数字石窟·文化周”形式举办科技沉浸式活动．主办方计划定制一批“云冈飞天”文创盲盒，本地两家数字文创工作室的收费方案如下： 甲工作室：收建模授权费元，每个盲盒再收制作费元； 乙工作室：若定制数量不超过个，每个盲盒收制作费元；若定制数量超过个，前个每个收元，超过部分每个收7元． 若主办方准备定制x个文创盲盒，请根据以上信息，解答下列问题： (1)用含x的代数式表示： ①甲工作室收费为______元． ②当时，乙工作室收费为______元；当时，乙工作室收费为______元． (2)①当定制数量为多少时，选择甲、乙两工作室的费用相等？ ②主办方预算费用元，若选择甲工作室，则能定制多少个文创盲盒？ 8．（25-26七年级上·山西太原·月考）元旦将至，志达中学为丰富校园文化生活，策划了“迎元旦·传统文化体验周”活动．其中，制作手工扇子作为节日礼物赠送师长和亲友，深受同学们欢迎．学校委派张老师和李老师一同前往下元商贸城采购制作材料，确保活动顺利开展． 问题解决： (1)两位老师约定上午从学校出发，但张老师因整理学生报名表稍作耽搁，李老师骑自行车于准时出发．分钟后，张老师骑电动车沿相同路线前往，又经过分钟两人同时到达批发市场．已知电动车的平均速度比自行车的平均速度每小时快千米，请问志达中学到下元商贸城的距离是______千米． (2)采购结束后，两位老师同时从批发市场出发返回学校，交通工具与平均速度保持不变．返程途中，张老师出发分钟后忽然想起还有一批元旦装饰用的流苏穗尚未购买，于是立即调头原路折返下元商贸城，并在商贸城停留分钟进行补购． ①请通过计算说明：张老师能否在李老师到校之前返回学校？ ②在张老师折返回到下元商贸城之前，出发几分钟时两人之间相距千米？ 9．（25-26七年级上·重庆·月考）忠县作为“中国柑橘城”，柑橘产业已经非常成熟，形成了多个特色品种，其中最出名的当属“爱媛果冻橙”和“沃柑”．某超市用元从农户处购进“果冻橙”和“沃柑”两个品种的柑橘共斤．进价和售价如下表所示： 果冻橙 沃柑 进价（元/斤） 售价（元/斤） (1)求该超市购进“果冻橙”和“沃柑”各多少斤？ (2)由于水果运输过程中会有一定的损坏，“果冻橙”的损坏率为，“沃柑”的损坏率为，损坏的柑橘不能进行销售，若这批柑橘全部售出的总利润为元，求的值； (3)该超市第二次进货时，农户给出了如下优惠方案： “果冻橙”优惠方案 一次性购买数量 不超过斤的部分 超过斤的部分 折扣数 九折 八折 “沃柑”优惠方案 购买总金额 不超过元 超过元但不超过元 超过元 返现金金额 0元 直接返现金元 先返购买总金额的，再返现金200元 已知超市购进“果冻橙”共支付了元，购进“沃柑”共支付了元，运输中仍按照（2）中的损坏率考量，将第二次购进的两种柑橘全部卖完，一共可获得利润多少元？ 10．（25-26七年级上·全国·期末）将一个数轴弯折成如图所示的样子，我们称这样的数轴为“过山车数轴”，在这个数轴上每个点对应的数就是把数轴拉直后对应的数． 规定：|（线段的长度）为A，B两点在拉直后的数轴上的距离．点A表示的数是，点B表示的数是3，则． (1)若T为“过山车数轴”上一点且，则点T表示的数为 (2)定义：在“过山车数轴”的上坡阶段（从E到D或从C到D），点运动的速度是点在水平路线上运动速度的一半；在下坡阶段（从D到C或从D到E），点运动的速度是点在水平路线上运动速度的2倍．动点P从点A出发以每秒4个单位的速度向右运动，经过点E，点D，点C，到点B后立即以原速度沿反方向运动，回到点A时停止．在点P出发的同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，经过点C，点D，点E后继续运动．点P停止运动时，点Q也停止运动．设点P运动的时间为t秒，问： ①点P在第几秒时回到点A． ②t取何值时，点P和点Q重合？ ③直接写出t取何值时，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元一次方程的应用 期末考点 复习目标 考察形式 1.和差倍分问题 1.掌握“和、差、倍、分”核心关系； 2.学会设标准量建立方程； 3.能处理数位、年龄问题的特殊逻辑 1.基础必考题，多为选择/填空（1题）或解答题第一问； 2.难度低，侧重数量关系转化 2.行程问题（相遇/追及） 1.理解路程公式； 2.能通过线段图梳理相遇/追及等量关系； 3.掌握单位统一方法 1.高频中档题，多为解答题(1题)； 2.偶尔结合数轴动点出创新题 3.工程问题 1.明确工作总量公式； 2.掌握合作问题的效率叠加逻辑； 3.能处理“部分完成”“剩余工作量”场景 1.基础-中档题，选择/填空/解答均有涉及； 2.无复杂计算，侧重总量设“1”的技巧 4.打折销售与利润问题 1.掌握核心公式：(表示利润，表示售价，表示进价)、、； 2.能梳理进价、标价、售价的关系； 3.结合实际判断解的合理性 1.必考中档题，多为解答题； 2.情境贴近生活，偶见跨商场方案对比创新题 5.分段计费问题 1.识别分段节点，明确各段计费标准； 2.掌握“总费用=各段费用和”的建模方法； 3.能根据费用反求用量 1.高频创新题，选择/填空/解答均有； 2.难度中等，侧重分类讨论思想 6.方案选择与优化问题 1.能根据实际需求列出不同方案的表达式； 2.通过方程求临界值，比较方案优劣； 3.考虑整数解、实际限制条件 1.压轴题常客，多为解答题最后1-2题； 2.难度较高，体现建模与决策素养 7.跨学科简单应用 1.提取物理、环保等跨学科中的数量关系； 2.转化专业情境为数学方程模型； 3.验证解的学科合理性 1.新型创新题，近3年各省真题高频出现； 2.难度中等，侧重情境转化能力 【易错题型】 【题型1】等量关系找错 1.易错点总结 混淆“比多倍”与“是的倍”(前者为，后者为)； 行程问题中忽略“同时出发”“相向而行”等隐含条件，导致路程关系错误； 分段计费问题漏算“起步价包含范围”“封顶费用”等关键信息。 2.纠错技巧 圈画题目关键词(“比”“是”“共”“剩余”“至少”“不超过”)，标注数量关系； 用线段图(行程/和差倍分)、表格(分段计费/销售)梳理已知量与未知量； 列方程后验证：解代入原题，检查是否符合实际情境(如人数、工作量为正整数)。 【例题1】.（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）我国城市中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的3倍多52座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍．若城市总数为664座，求严重缺水城市有多少座？ 【答案】102座城市 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据等量关系为：暂不缺水城市+一般缺水城市+严重缺水城市，据此列出方程，解可得答案． 【详解】解；设严重缺水城市有x座， 依题意得：， 解得：， 答：严重缺水城市有102座． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·月考）小刚和小强从A，B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后两人相遇，相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚到达B地，两人的行进速度分别是多少？相遇后经过多少时间小强到达A地？ 【答案】 小刚的速度为，小强的速度为，相遇后经过小强到达A地． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系列出方程，根据“相遇后小刚到达地”可知，小强相遇前走的路程等于小刚相遇后走的路程，可设小刚的速度为，根据“相遇时小刚比小强多行进”和相遇时间可以表示出小强走的路程，再结合小刚的速度与相遇后行进时间表示出小刚相遇后走的路程，根据二者相等建立方程求解；再利用路程÷速度时间即可求出相遇后小强到达A地的时间． 【详解】解：设小刚的速度为，则相遇时小刚走了，小强走了， 由题意得，， 解得， 则小刚的速度为，小强的速度为， 相遇后小强到达A地的时间为． 答：小刚的速度为，小强的速度为，相遇后经过小强到达A地． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）小新一家坐网约车，耗时，并支付车费48.2元，该网约车的部分收费标准如下表．求小新一家此次的坐车路程（距离超过，计算结果保留一位小数）． 起步价 里程费 时长费 远途费 收费标准 9元 1.6元/km 0.4元/min 0.6元/km 说明 里程及以内 里程超过后，超过部分收取 时长超过后，超过部分收取 里程超过后，超过部分收取 【答案】小新一家此次的坐车路程约为 【分析】本题需根据网约车不同阶段的收费标准，先判断路程是否超过 ，再通过建立一元一次方程求解坐车路程． 【详解】解：设小新一家此次的坐车路程为． 根据题意，得， 解得． 故答案为：小新一家此次的坐车路程约为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的分段计费应用，解题关键是根据不同收费阶段的标准，准确分析费用组成，建立方程求解． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·山西大同·月考）山西是我国矿产资源极为丰富的省份之一，素有“煤铝铁之乡”的美誉．某炼钢厂使用甲、乙两种铁矿石提炼钢铁．已知每吨甲种铁矿石提炼出铁的质量比每吨乙种铁矿石提炼出铁的质量多，从甲种铁矿石中提炼出铁的质量与从乙种铁矿石中提炼出铁的质量相同，求甲、乙两种铁矿石每吨各能提炼出铁多少吨． 【答案】每吨甲种铁矿石能提炼出铁，每吨乙种铁矿石能提炼出铁 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是弄清题意，找到题目中的相等关系； 根据从甲种铁矿石中提炼出铁的质量与从乙种铁矿石中提炼出铁的质量相同来列方程即可． 【详解】解：设每吨甲种铁矿石能提炼出铁，则每吨乙种铁矿石能提炼出铁． 根据从甲种铁矿石中提炼出铁的质量与从乙种铁矿石中提炼出铁的质量相同， 列得方程． 去括号，得． 移项及合并同类项，得． 系数化为1，得． ． 答：每吨甲种铁矿石能提炼出铁，每吨乙种铁矿石能提炼出铁． 【题型2】和差倍分问题 1.期末考点总结 核心考察标准量(单位1)的设定与“和、差、倍、分”关系转化； 数字问题需掌握“”(若设十位数字为，个位数字为，则两位数表示为)； 年龄问题关键：年龄差始终不变，时间推移同步加减。 2.解题攻略 设标准量为(如“比多3倍”设为，则对应量为)； 数字问题：设个位/十位数字为，根据“数字位置交换后新数与原数的关系”列方程； 年龄问题：设当前年龄为，根据“几年前/后年龄关系”列等式(如“5年后甲年龄是乙的2倍”：，其中为甲当前年龄，为乙当前年龄)。 【例题2】.（25-26七年级上·四川凉山·月考）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)在（2）的条件下，若生产一个螺钉的费用为元，生产一个螺母的费用为元，若车间工人正好使得每天加工零件能配套，求这一天生产所有零件的费用一共多少元？ 【答案】(1)49件 (2)应安排生产螺钉的工人名，生产螺母的工人名． (3)8400元 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． （1）工作岗位有名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件，列方程即可； （2）设生产螺钉的工人有人，则生产螺母的工人为人，根据题意列方程即可； （3）根据（2）中结果计算即可． 【详解】（1）解：设工作岗位有名工人， 根据题意列式，， 解得， 礼品（件， 某班同学一共带去了件礼品； （2）解：设生产螺钉的工人有人，则生产螺母的工人为人， 根据题意列式，， 解得， （人， 答：应安排生产螺钉的工人名，生产螺母的工人名． （3）元． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·广西崇左·月考）列方程解应用题： (1)某校三年共购计算机台，去年购买的数量是前年的倍，今年购买的数量又是去年的倍．前年这所学校购买了多少台计算机？ (2)有一列数，，，，，，，其中第个数是，如果这列数中某三个相邻数的和是，那么这三个数各是多少？ (3)某工厂的产值连续增长，年是年的倍，年是年的倍，这三年的总产值为万元，年的产值是多少万元？ (4)某洗衣机厂今年计划生产型、型、型洗衣机共台，其中型、型、型洗衣机的数量之比为．洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？ 【答案】(1)前年这所学校购买了台计算机； (2)这三个数是，，； (3)年的产值是万元； (4)型、型、型洗衣机的数量分别是台，台，台． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设前年这所学校购买了台计算机，则去年购买的数量为台，今年购买的数量是台，根据题意得，然后解方程即可； （）设所求的三个数中的第个数是，则后两个数分别是，，由三个数的和是，得，然后解方程即可； （）设年的产值为万元，则年的产值为万元，年的产值为万元，根据题意得，然后解方程即可； （）设型洗衣机的数量为台，则型、型洗衣机分别为台，台，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设前年这所学校购买了台计算机，则去年购买的数量为台，今年购买的数量是台， 根据题意，得，解得：， 答：前年这所学校购买了台计算机； （2）解：设所求的三个数中的第个数是，则后两个数分别是，， 由三个数的和是，得， 解得：， 所以，， 答：这三个数是，，； （3）解：设年的产值为万元，则年的产值为万元，年的产值为万元， 根据题意，得，解得， 答：年的产值是万元； （4）解：设型洗衣机的数量为台，则型、型洗衣机分别为台，台， 根据题意，得，解得， 所以，， 答：型、型、型洗衣机的数量分别是台，台，台． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·江苏常州·月考）元旦将至，学校组织学生进行元旦文艺汇演的节目排练，其中大合唱《大中华》节目中，七年级人数占该节目人数的一半，如果再增加6名七年级学生，那么七年级人数就占该节目总人数的，求大合唱《大中华》节目中原来七年级的表演人数． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设原来节目总人数为t人，则七年级人数为人；增加6名七年级学生后，七年级人数为人，总人数为人，根据七年级人数占总人数列出方程求解． 【详解】解：设大合唱节目原来总人数为t人，则原来七年级人数为人， 增加6名七年级学生后，七年级人数为人，总人数为人， 由题意，， 解得， 所以原来总人数人，七年级人数为人． 答：原来七年级的表演人数为6人． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·周测）《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何．”其译文如下：现有甲、乙两人，身上各有多少钱，不清楚。如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，那么甲一共是48钱；如果乙的钱数加上甲的钱数的，那么乙一共也是48钱．问甲、乙两人原来各有多少钱． 【答案】甲原来有36钱，乙原来有24钱 【分析】本题可通过设甲原有钱数为未知数，根据乙的钱数的两种不同表示方法列出一元一次方程来求解。解题思路是先设甲的钱数，再根据题目条件表示出乙的钱数，最后利用乙的钱数不变建立等式． 【详解】解：设甲原来有钱，则乙原来有钱． 根据题意，得， 解得，则． 故甲原来有36钱，乙原来有24钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，掌握设甲的钱数为未知数，根据乙的钱数的不同表示方法列出方程求解是解题的关键． 【题型3】行程问题 1.期末考点总结 核心公式：(表示路程，表示速度，表示时间)； 相遇问题：总路程(相向而行)； 追及问题：路程差初始距离(同向而行，快者追慢者)。 2.解题攻略 画线段图标注起点、方向、相遇/追及点，明确各段路程关系； 统一单位(如转化为，需除以60)； 设运动时间为，根据“相遇时路程和=总距离”“追及时路程差=初始距离”列方程。 【例题3】.（25-26七年级上·山东枣庄·月考）两地相距，一列快车以的速度从地匀速驶往地，到达地后立刻原路原速返回地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截至到它们都到达终点时： (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）设经过两车第一次相遇，根据题意列出方程即可求解； （）设经过两车第二次相遇，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设经过两车第一次相遇， 由题意得，， 解得， 答：经过两车第一次相遇； （2）解：设经过两车第二次相遇， 第二次相遇时，快车已从A地到达B地后折返，而慢车仍在从B地驶往A地的途中， 此时，快车行驶的总路程比慢车行驶的总路程多一个全程的距离，即快车路程慢车路程， 由题意得，， 解得， 答：经过两车第二次相遇． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·广东东莞·期中）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)根据车票中的信息填空：两车行驶方向______，出发时刻______（填“相同”或“不同”）； (2)已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点， ①设A，B两地之间的距离为s，则动车行驶完全程所用的时间可表示为______；高铁行驶完全程所用的时间可表示为______； ②求A，B两地之间的距离． 【答案】(1)相同，不同 (2)①；；② 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据车票上的信息即可得到答案； （2）①根据时间等于路程除以速度即可得到答案；②根据两车同时到达终点列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，两车都是从A地开往B地的列车，动车的发车时间为，高铁的发车时间为， ∴两车的行驶方向相同，发车时间不同； （2）解：①由题意得，动车行驶完全程所用的时间为，高铁行驶完全程所用的时间为； ②由题意得，， 解得， 答：A，B两地之间的距离为； 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江苏淮安·月考）根据背景素材，探索解决问题 背景素材 七 （2）班打算出去研学． （一）买票：一共有 46个学生和3名老师买乘车票． （二）落座：若租2辆车则有9人无座，若租3辆车则有11 个空位． （三）抵达：客车从起点驶向终点的速度为，另一辆同时由终点驶向起点的车速度为，它们在距离中点20千米的地方相遇． 车票价格 个人票：学生票10元，成人20元 打折票：每张票减3元 团体票：超过5人以上每人14元 注：只能按其中一种方式购票，不能混合购票 【问题解决】 (1)求买票最优惠时采取的购票方案及价格是多少？ (2)客车上的座位数量是多少？（用方程解决问题） (3)客车一共行驶的路程是 ． 【答案】(1)最优惠的购票方案是全部买打折票，价格为373元 (2)20 (3)320千米 【分析】本题主要考查方案优化问题一元一次方程的应用等知识，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别计算不同购票方案的价格，然后比较得出最优惠的方案即可； （2）设每辆车有x个座位，根据人数不变列一元一次方程求解即可； （3）根据时间=路程差÷速度差，可得行驶时间，根据路程=速度和时间，可得客车一共行驶的路程． 【详解】（1）解：方案一：全部买个人票 学生票总价为元； 老师票总价为元； 所以，全部买个人票的总价为元； 方案二：全部买打折票 因为学生打折后票价为元， 所以学生打折票总价为元； 因为成人打折后票价为元， 所以老师打折票总价为元， 因此，全部买打折票的总价为元， 方案三：全部买团体票 总价为元； ∵， ∴最优惠的购票方案是全部买打折票，价格为373元； （2）解：设每辆车有x个座位，根据题意得： ， 解得：， 答：客车上的座位数量为20个； （3）解：两车的速度差为； 路程差为千米， 行驶时间为 所以，客车一共行驶的路程为（千米）． 答：客车一共行驶的路程为320千米， 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·浙江温州·期中）小阳计划用无人机跟拍自己骑行，完成一段视频拍摄． 素材一 自行车始终以的速度匀速运动． 无人机具有以下三种运动模式，各模式下均为匀速运动（忽略加减速过程）： 跟随模式：无人机位于目标后方60米处，以的速度同步跟随． 动能模式：无人机以的速度向前运动． 升降模式：无人机以的速度垂直上升或下降． 素材二 如图，以O为原点，自行车前进方向为正方向，1米为单位长度建立数轴．无人机在数轴上表示的点的位置开始执行拍摄流程． 无人机拍摄流程： ①无人机由“跟随模式”切换至“动能模式”，超越自行车到达点O； ②在O点垂直上升100米到达悬停点，悬停并垂直向下拍摄，可拍摄到地面一个半径为R的圆形区域．无人机到达悬停点时，自行车刚好进入拍摄区域； ③当自行车刚好离开拍摄区域时，无人机立即垂直下降100米； ④无人机降落后，立即切换至“动能模式”追赶自行车，最终恢复到“跟随模式”． (1)开始执行拍摄流程时，自行车在数轴上表示的数为______，经过t秒，自行车在数轴上表示的数为______（用含t的代数式表示）． (2)流程①和②中，无人机从数轴上的位置运动至悬停点用时多少秒？圆形拍摄区域的半径R为多少米？ (3)流程③和④中，在无人机开始下降时计时，经过多少秒无人机能重新追上自行车并恢复到“跟随模式”？ 【答案】(1)， (2)无人机到达悬停点用时40 秒，圆形拍摄区域的半径米 (3)经过28秒无人机能重新追上自行车并恢复到“跟随模式” 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据题意无人机的位置与题目设定的要求求出即可； （2）分别根据路程与速度求出相应的时间，利用无人机计算出时间，得出自行车运动的路程，根据题意得出区域半径； （3）设出追赶的时间，下降的高度与速度都已知，结合跟随模式的要求列出方程，求出时间，两个时间的和即为所求． 【详解】（1）自行车的初始位置与t秒后的位置： 无人机初始在数轴处，“跟随模式”下无人机位于自行车后方60米， 因此自行车初始位置为：； 秒后的位置：自行车速度为，沿正方向匀速运动，故位置为初始位置加移动距离：， 故答案为：，； （2）无人机到悬停点的用时与拍摄半径R无人机到悬停点的总用时： 流程①从到O点：距离300米，动能模式速度，用时秒； 流程②点垂直上升100米：升降模式速度，用时秒； 总用时：秒； 当无人机到达悬停点用时40秒，此时自行车的位置为：，故米； （3）∵无人机开始下降时自行车位置为40， 无人机下降100米用时秒，此过程中自行车移动距离为米，故自行车位置变为：， 经过x秒恢复到跟随模式无人机在自行车后方60米，无人机位置（动能模式）：，自行车位置：， 得到， ， ， 总用时为下降的20秒+追赶的8秒秒． 【题型4】工程问题 1.期末考点总结 核心公式：(表示总工作量，表示工作效率，表示工作时间)； 隐含条件：无具体工作量时，总工作量视为； 合作问题：总效率；分工问题：。 2.解题攻略 设工作时间为(或效率为)，表示出各主体的工作量； 合作场景：；部分完成场景：(、分别为甲、乙工作时间)； 验证解的合理性：工作时间、效率均为正数，且符合实际工作周期。 【例题4】.（25-26七年级上·山东枣庄·月考）（1）一个两位数的十位数字和个位数字之和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数．求这个两位数． （2）加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10天就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务? 【答案】（1）这个两位数为16；（2）乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找出等量关系列方程是解题关键， （1）设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数列方程解决即可； （2）设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了天，根据要求二人在12天内完成任务列方程解决即可． 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为， 由题意列方程得，， 解得：， ∴， ∴这个两位数为16； （2）解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了天， 根据题意可得： 解得：． 答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务． 【变式题4-1】.（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ (3)原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 【答案】(1)18天 (2)10天 (3)4.32万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）由乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多，可求出乙队单独完成这项工程所需的天数； （2）设完成这项工程需要x天，根据甲工程队完成的工程量乙工程队完成的工程量总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元，根据乙队单独施工一天需工程款0.2万元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得：（天），所以乙队单独完成这项工程需要18天． （2）解：设完成这项工程需要x天， 依题意，得：， 解得：， 答：完成这项工程需要10天． （3）解：设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为天， 依题意，得：，解得， 所以， 设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意，得：， 解得：， ∴完成这项工程共需支付工程款（万元）． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·广西崇左·月考）某市为了缓解交通压力决定建高架桥，甲、乙两个公司都希望承接这项工程．已知甲公司每个月可建160米高架桥，乙公司每个月可建240米高架桥，而且完成这项工程甲公司比乙公司要多用20个月．该城市政府需付给甲公司建筑费每月240万元，乙公司建筑费每月360万元． (1)求该城市要建多长的高架桥？ (2)该城市政府设计方案时，考虑可由每个公司单独做，也可以由两个公司合作建成，在建设过程中，政府需要派5名工程师到建筑工地里进行指导，建筑公司负担每人每月3000元的生活补贴费．你帮助该城市政府选择一种既省时又省钱的建设方案，并说明理由．（用方程解决问题） 【答案】(1)该城市要建9600米的高架桥． (2)该公司选择既省时又省钱的建设方案，应选择时间最短，费用最低的由甲乙两公司合作完成． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设该城市要建x米的高架桥，根据题意列方程求解即可； （2）设甲乙合作需要y个月完成这项工程，求出合作需要的时间，再分别求出甲乙合作完成、甲单独完成、乙单独完成的费用，比较后作答即可． 【详解】（1）解：设该城市要建x米的高架桥， 由题意得， 解得：， 答：该城市要建9600米的高架桥； （2）解：设甲乙合作需要y个月完成这项工程，由题意得， ， 解得， 所以甲乙合作需要24个月； ①甲乙合作完成费用：万元， ②甲单独完成费用：万元， ③乙单独完成费用：万元， ， 综上所述，该公司选择既省时又省钱的建设方案，应选择时间最短，费用最低的由甲乙两公司合作完成． 【变式题4-3】.（24-25七年级上·全国·课后作业）某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 【答案】(1)可以提前2天完成任务 (2)选择方案③，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． （1）设可以提前天完成任务，那么第一车间的工作时间是天，第二车间的工作时间是天，再根据两个车间的工作效率分别是和，可得方程； （2）分别计算出三种方案的费用，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设两车间一起加工了天 由题意得：。解得 总用时为天，故可提前天 答：可以提前天完成任务． （2）解：方案①：（万元）； 方案②：（万元），但不能在规定时间内完成； 方案③：（天），（万元）； ∵， ∴选择方案③． 【题型5】打折销售与利润问题 1.期末考点总结 核心公式：(为利润，为售价，为进价)、、； 关键：区分“进价(成本)”“标价(原价)”“售价(成交价)”三者关系。 2.解题攻略 设标价为(或进价为)，根据“折扣后售价-进价=利润”列方程(如“标价元，打8折销售盈利20%”：)； 注意“打8折”即，“利润率20%”即； 结果验证：售价需大于进价(盈利)或等于进价(保本)，符合商业逻辑。 【例题5】.（25-26七年级上·山东枣庄·月考）小王看到的两个超市的促销信息如图所示． (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 【答案】(1)甲超市实付款为264元，乙超市实付款为270元 (2)625 (3)节省元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意找到等量关系是解题关键． （1）按照图片中的方案计算即可； （2）设标价总额为x元时，两家超市实付款一样．根据乙超市的优惠方案，分段讨论x的范围，解方程计算出x； 根据图中方案列方程，解出x即可； （3）按照乙的方案计算出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：甲超市：（元）， 乙超市：（元）， 答：甲超市实付款为264元，乙超市实付款为270元． （2）解：设标价总额为x元时，两家超市实付款一样， 当时，甲超市打折，乙超市没有优惠，故实付款不可能一样； 当时，甲超市打折，乙超市打折，故实付款不可能一样； 当时，根据题意列方程得，， 化简得，， 解得，， 答：当标价总额是625元时，甲、乙超市实付款一样． （3）解：分两次购物需付款：（元）， 若只去一次，则标价总额为：（元），需付款：（元）， 可以节省：（元）． 答：可以节省元． 【变式题5-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）我校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个元，请认真阅读结账时老板与小明的对话． 老板 如果你再多买一个，就可以打八五折，花费比现在还省元 小明 那就多买一个吧，谢谢！ (1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计元，那么小明购买钢笔多少支？ 【答案】(1)小明原计划购买文具袋个 (2)小明购买钢笔支 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设小明原计划购买文具袋x个，则原计划的费用为元，实际费用为元，根据实际比原计划节省元建立方程求解即可； （2）设小明购买钢笔m支，则购买签字笔支，根据打八折后的总费用为元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设小明原计划购买文具袋x个， 由题意得，， 解得， 答：小明原计划购买文具袋个； （2）解：设小明购买钢笔m支，则购买签字笔支， 由题意得，， 解得， 答：小明购买钢笔支； 【变式题5-2】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）（1）国家补贴政策持续推进，消费者家电换新需求得到充分激活．某商场购进甲、乙两款电视机，已知甲款电视机购进60台，比乙款电视机的少10台，求该商场购进乙款电视机多少台？ （2）十一期间，该商场推出“国家补贴+商场直降”双重优惠活动，国家补贴政策是购买甲、乙两款电视机均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买电视机的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买电视机原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知甲款电视机原价（高于4000元）比乙款电视机原价（低于4000元）的2倍少100元．若按此销售规则购买一台甲款电视机比购买一台乙款电视机多花1420元，求商场双重优惠下甲款电视机和乙款电视机每台各是多少元？ （3）在（1）和（2）的条件下，该商场购进的甲款电视机和乙款电视机全部销售一空，求该商场这批电视机的销售额（用科学记数法表示）． 【答案】（1）105台；（2）甲款电视机每台3420元，乙款电视机每台2000元；（3）元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用及科学记数法，掌握科学记数法的形式为（其中且为整数）和找出等量关系列方程是解题关键， （1）设该商场购进乙款电视机x台，根据甲款电视机购进60台，比乙款电视机的少10台，列方程解决即可； （2）设乙款电视机原价为y元，则甲款电视机原价为元，根据按此销售规则购买一台甲款电视机比购买一台乙款电视机多花1420元，列方程解决即可； （3）先计算出甲款电视机和乙款电视机的总销售额，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：（1）设该商场购进乙款电视机x台，由题意得： ， 解得， 答：该商场购进乙款电视机105台； （2）设乙款电视机原价为y元，则甲款电视机原价为元，由题意得： ， 解得， ∴商场双重优惠下甲款电视机每台（元）； 乙款电视机每台（元）； 答：商场双重优惠下甲款电视机每台3420元，乙款电视机每台2000元； （3）该商场这批电视机的销售额为（元）， 答：该商场这批电视机的销售额为元． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·浙江杭州·月考）新华书店准备购进甲、乙两类中学生书刊．乙类书刊的进价比甲类书刊的进价的多3元/本，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/本） m 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价； (2)新华书店第一次购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润售价进价）为5750元，求购进甲、乙两类书刊的数量； (3)新华书店第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比第一次优惠了，新华书店准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊售价不变，全部售完后总利润比第一次还多赚10元，求甲书刊打了几折． 【答案】(1)甲类书刊的进价是10元/本，乙类书刊的进价是8元/本 (2)甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本 (3)甲书刊打了9折 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题干文字和表格中给出的关于乙类书刊进价的两个关系式，建立关于的等量关系，解方程即可求解； （2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本，由全部售完后总利润利润售价进价为元可列方程，解方程结可求解； （3）设甲书刊打了折，分别表示出本书的进价和售价，根据本书的利润列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲类书刊的进价是10元/本，乙类书刊的进价是8元/本； （2）解：设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本， 由题意得， 解得， 则乙类书刊购进（本）， 答：甲类书刊购进本，乙类书刊购进本． （3）解：设甲书刊打了折，则 本书的进价为（元）， 本书的售价为（元）， 根据题意，得， 解得， 答：甲书刊打了折． 【题型6】分段计费问题 1.期末考点总结 考察分类讨论思想，核心是“分段节点”(如打车3km为分界，水电100度为分界)； 总费用第一段费用第二段费用(超分段部分按新标准计费)。 2.解题攻略 第一步：确定分段节点和各段计费标准(如打车：3km内10元，超3km后每km2元)； 设用量为，分情况讨论：①；②； 列方程后需验证解是否在对应区间内(如求打车费用16元对应的里程：设里程为，则，解得，需确认，符合第二段计费)。 【例题6】.（25-26七年级上·四川成都·月考）2024年，成都全市新增注册登记新能源汽车10万辆以上，新增充电桩不低于4万个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费3元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费2元． (1)若小石在该充电桩充电小时，需支付费用多少元？ (2)若小石在该充电桩充电x（）小时，需支付费用________元（用含有x的代数式表示）． (3)小石每周在该充电桩充电一次，某月，小石第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用27元，则小石第一周和第二周各充电多少小时？ 【答案】(1)元 (2) (3)小石第一周充电7小时，第二周充电3小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）用充电时长乘以每小时的费用即可得到答案； （2）求出充电不超过4小时的费用和超过4小时的部分的费用，二者求和即可得到答案； （3）设小石第一周充电x小时，则第二周充电小时，根据第一周充电时长超过6小时，可知第二周充电时长小于4小时，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：元， 答：小石在该充电桩充电小时，需支付费用元； （2）解：由题意得，小石在该充电桩充电x（）小时，需支付费用元； （3）解：设小石第一周充电x小时，则第二周充电小时， 由题意得，， 解得， ∴， 答：小石第一周充电7小时，第二周充电3小时． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·福建泉州·期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，属于共享经济理念的出行服务．某地滴滴快车计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：一．车费=里程费+时长费+远途费，其中里程费按行车的实际里程计算； 二．时长费按行车的实际时间计算； 三．远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收元． (1)已知小张从学校乘坐滴滴快车回家，乘车时长为10分钟，没有产生远途费的情况下支付了元车费．试求小张家到学校的里程． (2)星期六早上，小张和聪聪两人从该地出发，各自乘坐滴滴快车去省城参加无人机航展大赛，行车时间分别为分钟、分钟．已知聪聪比小张的行车里程多8公里，两人所付车费、计费项目都相同．设，试求出的值． 【答案】(1)3公里 (2)52分钟 【分析】（1）设小张的乘车里程为公里，根据题意得，，解方程即可． （2）根据聪聪比小张的行车里程多8公里，大于7公里了，判定二人都有远途费，设小张行车里程为公里，则聪聪行车里程为公里，根据两人所付车费、计费项目都相同．建立等式解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握分层计价问题的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设小张的乘车里程为公里，根据题意得， ， ， 解得， 答：小张家到学校的里程为3公里． （2）解：聪聪比小张的行车里程多8公里，两人计费项目也相同 两人均是远途乘车，都产生远途费， 设小张行车里程为公里，则聪聪行车里程为公里， 依题意得 ， ， ， 答：的值为52分钟． 【变式题6-2】.（2024六年级上·上海·专题练习）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见表）． 月使用费元 主叫限定时间分 主叫超时费（元分） 被叫 方式一 58 150 免费 方式二 88 350 免费 设一个月内使用移动电话主叫的时间为分为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题： (1)用含有的式子填写下表： 方式一计费元 58         　　 108 　　        方式二计费元 88 88 88 　　        温馨提示： 若选用方式一，每月固定交费58元，当主动打出电话月累计时间不超过150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收元． (2)当为何值时，两种计费方式的费用相等？ (3)请根据（1）和（2）的计算及生活经验，直接写出不同时间段，选用哪种计费方式省钱？ 【答案】(1)；； (2)270 (3)当时，选择方式一省钱；当时，两种方式收费一样多；当时，选择方式二省钱． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键． （1）根据两种方式的收费标准进行计算即可； （2）根据表格，令两种计费相等求出的值即可； （3）由（2）计算过程即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，方式一计费：； 当时，方式一收费：； 方式二计费：当时收费：． 故答案为：；；； （2）解：①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：，不合题意，舍去， 则． 故当为270时，两种计费方式的费用相等； （3）解：当时，选择方式一省钱； 当时，两种方式收费一样多； 当时，选择方式二省钱． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·四川成都·月考）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 【答案】(1) 267，1698 (2) (3) 甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解数量关系正确列式计算即可求解． （1）根据题意，结合表格分别按照不同阶梯的计费方式，列式求解即可； （2）根据阶梯收费方式列出数量关系即可； （3）根据题意，当甲户用气量为时，得到，结合（2）的计算即可求出甲户的情况；根据乙户的人口得到阶梯收费的计算方法，当乙用户用气量达到时，得到，由此得到乙户在第二阶梯，根据其收费方式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴按第一阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， ∵， ∴按第二阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， 故答案为： （2）解：一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元， ∴按照第三阶梯收费， ∴ ， ∴该年此户需缴纳燃气费用为元； （3）解：甲户家庭人口为3人， ∴收费方式将按照表格提供的阶段收费方法计算， 当甲户用气量为时，， ∴甲户用气量达到第三阶梯， ∴结合（2）得，， 解得，， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为， 乙户家庭人口为5人， ∴收费方式为：超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、， ∴该户第一阶梯为：，元， 第二阶梯为：，元， 第三阶梯为：以上的部分，元， ∴当乙户用气量达到时，， ∴乙户用气量达到第二阶梯， ∴设乙户用气量为， ∴， 解得，， ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 【题型7】浓度问题(稀释/加浓) 1.期末考点总结 核心公式：(为溶质质量，为溶液质量，为浓度)； 关键：稀释(加溶剂)或加浓(加溶质)时，溶质质量不变。 2.解题攻略 设加水量(或加溶质质量)为； 稀释问题：原溶质质量稀释后溶质质量()； 单位统一：确保溶液、溶质质量单位一致(如均用g，避免g与kg混用)。 【例题7】.（25-26六年级上·重庆·开学考试）有浓度为的溶液若干，加上一定数量的水后稀释为的溶液，如果再加入同样多的水后，浓度将变为多少？ 【答案】 【分析】本题目考查用方程解决实际问题，题干里的加水前后溶液所含的物质的质量不变，是解决此题的关键，此题目属于中等难度的题目．假设有克含量为的溶液，题干所蕴含的等量关系：加水前后溶液所含的物质的质量不变，设加了克的水后稀释成的溶液，将未知数代入等量关系式进行解答即可得到加入的水，再进一步求出再加入同样多的水的溶液的浓度． 【详解】解：设有克的溶液，加了克的水后稀释成的溶液． 由题意可列： 解得： （克） 答：再加入同样多的水后，浓度将变为． 【变式题7-1】.（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（浓度问题）甲容器中有纯酒精升，乙容器中有水升．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器使酒精和水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器．这样，甲容器中纯酒精含量为，乙容器中纯酒精含量为．那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？ 【答案】8 【分析】先根据乙容器最终酒精浓度求出第一次甲倒入乙的纯酒精量，再设第二次乙倒入甲的混合液体积为未知数，依据甲容器最终酒精浓度列方程求解． 本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握浓度公式（ ），通过分析溶液混合前后纯酒精和溶液体积的变化列方程解题是关键． 【详解】解：第一次甲倒入乙纯酒精有∶升． 设第二次从乙容器倒入甲容器升混合液． 即第二次从乙倒入甲容器混合液8升． 【变式题7-2】.（2024·四川攀枝花·中考真题）秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液．市场上销售的某品牌的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片的相关信息： 产品名称 产品规格 有效成份 用途 二氧化氯消毒片 每片质量1克 二氧化氯含量 消毒杀菌 已知：溶液浓度．请解答下列问题： (1)消毒人员欲配制3千克浓度为的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求a的值． (2)教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为的二氧化氯溶液，可稀释成多少千克浓度为的消毒溶液？稀释过程中需加水多少千克？ 【答案】(1) (2)可稀释成千克浓度为的消毒溶液，稀释过程中需加水千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据溶液浓度，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设可稀释成x千克浓度为的消毒溶液，根据溶质的质量不变，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 答：a的值为； （2）解：设可稀释成千克浓度为的消毒溶液， 由题意得：， 解得：， ∴加水（千克）， 答：可稀释成千克浓度为的消毒溶液，稀释过程中需加水千克． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）甲、乙两只装满酒精溶液的容器，甲容器装有浓度为的酒精溶液600千克，乙容器装有浓度为的酒精溶液400千克，现在从两个容器中倒出等量的溶液互换．要使这两个容器最终溶液的浓度一样，那么互换的溶液为多少千克？ 【答案】互换的溶液为240千克． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据两个容器最终溶液的浓度一样列出方程是解题的关键． 设互换的溶液为x千克，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设互换的溶液为x千克， ， 解得：． 答：互换的溶液为240千克． 【题型8】方案选择与优化问题 1.期末考点总结 考察数学建模与决策能力，核心是通过方程求“临界值”(两方案效果相同时的变量值)； 需结合实际限制(如数量为整数、预算上限)选择最优方案。 2.解题攻略 设变量(如购买数量、使用时间)，分别列出方案A、方案B的费用(或效果)表达式(如方案A：，方案B：，其中为常数)； 列方程：令，求解临界值； 分类讨论：①时，选择更优方案；②时，选择另一方案；③时，两方案均可； 验证：需考虑的整数解、实际可行性(如购买数量不能为负数)。 【例题8】.（22-23七年级上·广东江门·期末）“双十一”期间，某国产运动商店施行全场优惠销售，打着“优惠多少，客户自己选”的口号，吸引消费者．部分活动列表如下： 商品 全场球鞋元双 全场棉袜元双 方案一 买一双球鞋送两双袜子 方案二 球鞋、袜子均九折出售 小明现准备给自己的队员购买双球鞋以及双棉袜（）． (1)若小明选择方案一购买，需支付多少钱？若选择方案二呢？（结果用含的式子表示） (2)若小明按两种方案购买，支付金额相同，求小明购买的棉袜数量． 【答案】(1)方案一：元，方案二：元 (2)棉袜数量为双． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意分别列出代数式即可； （）根据题意列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：方案一：购买双球鞋，送双袜子，需支付袜子数量为双， ∴支付金额为（元）； 方案二：球鞋和袜子均九折，支付金额为（元）； （2）解：由支付金额相等，则 解得：， 答：棉袜数量为双． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·广西崇左·月考）某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元． (1)这个公司要加工多少件新产品？ (2)在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案． 【答案】(1)这个公司要加工960件新产品． (2)由两厂共同加工时，既省钱，又省时间． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解答本题的关键． （1）设这个公司要加工x件新产品，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）根据题意分别求出3种方案需要的费用，然后比较求解即可． 【详解】（1）设这个公司要加工x件新产品， 由题意得：， 解得： (件)， 答：这个公司要加工960件新产品； （2）①由红星厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ②由巨星厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ③由两厂共同加工：需要耗时为天，需要费用为：元． 因为， 所以，由两厂共同加工时，既省钱，又省时间． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）杨先生准备购买一套小户型商品房，他在了解A、B两楼盘的过程中，均有钟意的商品房．从A楼盘获取的信息：①购房单价为2万元/；②购房优惠方案为：可免费赠送书房面积（注：赠送面积不需要付钱）；③杨先生钟意的A楼盘商品房平面图如图所示： 商品房原价 优惠百分比 不超过120万元的部分      超过120万元但不超过200万元的部分      超过200万元的部分      （B楼盘购房优惠方案） 从B楼盘获取的信息： ①购房单价为2万元/； ②购房优惠方案如表； ③杨先生在B楼盘钟意的一套商品房，享受优惠后的价格为159万元． (1)根据A楼盘商品房平面图，过道的长度为　 　 m（用含有x的式子表示）； (2)若A楼盘杨先生钟意的商品房总面积为，请求出书房宽x的值，并计算若杨先生购买该商品房，应付多少钱？ (3)在（2）的基础上杨先生打算从A、B楼盘里选择每平方米实付单价最低的商品房（每平方米实付单价，单位：万元），请你帮杨先生算一算，他应该选择哪个楼盘所钟意的商品房？（结果保留3位小数） 【答案】(1) (2)书房宽为米，杨先生购买该商品房，应付134万元 (3)他应该选择B楼盘所钟意的商品房 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式等知识，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键． （1）根据商品房平面示意图求解即可； （2）根据商品房的面积和为列出关于x的方程，然后求解即可； （3）先求出B楼盘钟意的一套商品的原价，从而求出该商品房的面积，然后分别算出A、B楼盘每平方米实付单价，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，过道长为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得， ∴杨先生购买该商品房，应付（万元）， 答：书房宽为米，杨先生购买该商品房，应付134万元； （3）解：∵，， ∴杨先生在B楼盘钟意的一套商品房原价超过120万元，不足200万元， 设杨先生在B楼盘钟意的一套商品房原价为m万元， 则， 解得， ∴杨先生在B楼盘钟意的一套商品面积为， ∴B楼盘里每平方米实付单价为万元， 又A楼盘里每平方米实付单价为万元， ∵， ∴他应该选择B楼盘所钟意的商品房． 【变式题8-3】.（2025七年级上·广东广州·专题练习）小吴所在社区采购了两类膳食物资，第一类：杂粮礼盒每份售价为24元；当采购量小于或等于40份时，无优惠．当采购量大于40份时，超过40份的部分每份售价降低3元．第二类：蛋白补给包每份售价为56元：当采购量小于60份时，无优惠．当采购量大于或等于60份时，每份（含小于60份的部分）售价均降低7元． (1)购买30份杂粮礼盒的费用为______元，购买70份蛋白补给包的费用为______元； (2)小吴所在社区积极响应国家号召，对参与测量并购买两类膳食物资的居民在此前优惠方案的基础上，提供额外价格减免活动，具体如下： 类别 类型 售价减免（元） 杂粮礼盒每份 蛋白补给包每份售价减免（元） 1 体重过低 2 7 2 体重正常 1 6 3 超重 3 7 4 肥胖 4 9 体重÷身高的平方（单位：） 已知小吴的身高为，体重为，回答下列问题： ①通过计算值判断小吴所属类别是_____（请填序号1、2、3、4）； ②若小吴计划购买杂粮礼盒和蛋白补给包总共100份，当小吴购买杂粮礼盒x份时，总费用为多少元？ ③小吴实际购买的情况是：他第一次购买了10份杂粮礼盒和20份蛋白补给包，他第二次用了3718元购买了两类膳食物资共100份．若小吴将两次分开购买的两类膳食物资合起来一次性购买，则这样购买的总价比两次分开购买的总价少多少元？ 【答案】(1)720；3430 (2)①3；②当时，总费用为元；当时，总费用为元；③576元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、列代数式、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）通过计算求出小吴的值，判断小吴所属类别；再分2种情况讨论：第一种情况：当时；第二种情况：当时，根据题意列出代数式即可解答； （3）设小吴第二次购买杂粮礼盒x份，结合（2）中的结论列出方程，求出的值，计算出一次性购买的总价以及两次分开购买的总价，即可得出答案． 【详解】（1）解：购买30份杂粮礼盒的费用为（元）， 购买70份蛋白补给包的费用为（元） 故答案为：720；3430； （2）①， ∴由值可知小吴所属类别是3； 故答案为：3； ②当小吴购买杂粮礼盒x份时，则购买蛋白补给包份， 第一种情况：当时，， 此时总费用为： 元； 第二种情况：当时，， 此时总费用为 元， ∴综上所述，当时，总费用为元；当时，总费用为元； ③小吴第一次购买的总价为（元）， 设小吴第二次购买杂粮礼盒x份， 当时， ， 解得（不符合题意，舍去）； 当时， ， 解得， 此时购买蛋白补给包（份）； ∴一次性购买的总价为 （元）， 则一次性购买的总价比两次分开购买的总价少（元）； 答：这样购买的总价比两次分开购买的总价少576元． 【题型9】跨学科情景应用 1.期末考点总结 考察情境转化能力，核心是提取跨学科中的数量关系(如物理中“匀速运动”、“杠杆平衡”，环保中“分类垃圾总量=各类型垃圾量之和”)； 不涉及复杂专业知识，仅需转化为一元一次方程模型。 2.解题攻略 忽略专业术语干扰，聚焦“数量关系”； 设未知量，根据跨学科核心公式列方程(如物理“匀速运动”：，已知，，求，列方程)； 验证解的学科合理性(如速度为正数、垃圾量非负)。 【例题9】.（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水______，水温为_______℃； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【答案】(1)250； (2)该学生接温水的时间为，接开水的时间为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用： （1）分别求出温水和开水的体积，再根据温水的体积温水升高的温度开水的体积开水降低的温度列方程即可求解； （2）设该同学接温水的体积为，则接开水的体积为，根据开水放出的热量等于温水吸收的热量，列出方程，求出温水和开水的体积，然后求出接温水的时间和接开水的时间即可． 【详解】（1）解：温水的体积为，开水的体积， 则接完后杯中共有水， 设接完后杯中水温为，则， 解得：， 即：接完后杯中水温为； （2）解：设该同学接温水的体积为，则接开水的体积为，根据题意得： ， 解得， 则接温水的时间为， 接开水的时间为：， 答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 【变式题9-1】.（2024七年级上·全国·专题练习）【跨学科试题·物理】在物理学中，华氏温度与摄氏温度之间存在着如下的关系：． (1)一个人的体温有可能达到吗，试说明理由？ (2)如果某地早晨的温度为，那么此地早晨的华氏温度是多少？ 【答案】(1)能，理由见解析 (2) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，代数式的求值，关键是正确理解题意，掌握人的体温范围． （1）把代入，计算出c的值即可得到答案； （2）从题干中挖掘出已知条件：，然后将其代入求值即可． 【详解】（1）解:设对应．有， 解得 即约等于． 答：一个人的体温是有可能达到的． （2）解：设对应．有． 即等于． 答：此地早晨的华氏温度是． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·山西晋城·期中）生活中常见的消毒酒精有两种，一种是浓度为的酒精消毒液，另一种是浓度为的酒精消毒液．某校一化学兴趣小组欲将浓度为的酒精溶液稀释成的酒精溶液，需要加水多少克？    【答案】需要加水32克 【分析】本题考查溶一元一次方程的应用． 准确找出等量关系，列出方程是解题的关键； 根据稀释前后纯酒精质量不变的这一关键等量关系，设未知数列出方程并求解即可． 【详解】解：设需要加水克，根据题意，得 ，     解得，     经检验，符合题意．     答：需要加水32克． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·浙江金华·自主招生）列式解答下列问题． (1)三个书架共存书5100本．已知甲书架的存书相当于乙书架存书的，丙书架的存书相当于甲书架的．三个书架各存书多少本？（用方程解答） (2)一辆列车通过400米长的隧道用16秒，通过240米长的桥梁用12秒，那么这辆列车的车身长是多少米？ (3)一个装满水的圆柱形容器，高15厘米，底面积是200平方厘米，把一个底面积是180平方厘米，高是2厘米的圆锥形石块浸没水中再取出，再浸没一个底面积为20平方厘米、高5厘米的圆柱形铁块，最终容器中的水高多少厘米？ (4)2025年，小智家搬入了新建的“智慧社区”，总共有1000户．他们小区启用了智能垃圾分类箱．小智家5月份产生垃圾共240千克，通过正确分类：可回收物占25%，厨余垃圾占40%，其他垃圾占35%． 智慧社区针对垃圾分类出台了一套智能系统机制： 环保机制：垃圾正确分类可使垃圾总量减少30%； 奖励机制：每正确投放1千克可回收物，奖励0.5元环保金． ①请问，小智家在正确分类后，垃圾总量可以减少多少千克？ ②小智家6月份可回收物增加了40%，环保金会增加多少元？ ③假设智慧社区每户人家每月产生240千克垃圾，若每吨垃圾的减少可以少砍伐2棵树，那么一年下来，智慧社区通过垃圾分类可以保护多少棵树？ 【答案】(1)甲：2000本，乙：1500本，丙：1600本 (2)240米 (3)14.9厘米 (4)①72千克；②12元；③1728棵 【分析】本题考查一元一次方程的应用，实际问题的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设乙书架存书x本，利用甲，乙，丙的关系表示出甲，丙的存书量，即可列方程解答； （2）设这辆列车的车身长是y米，根据列车两次行驶的速度相同，即可列方程解答； （3）先计算圆锥石块排开的水体积（即圆锥体积），得出取出后水位下降高度；再计算圆柱铁块排开的水体积（即圆柱体积），得出浸没后水位上升高度，最终水高为原高减去下降高度加上升高度． （4）①直接计算垃圾总量的；②先求6月可回收物量（原可回收物的），再乘以每千克奖励金额；③先求每户每月减少的垃圾量（转换为吨），再计算每户每年保护树木量，最后乘以总户数和年数． 【详解】（1）解：设乙书架存书x本，依题意，得 解得， ∴（本），（本）． 答：甲书架存书2000本，乙书架存书1500本，丙书架存书1600本． （2）设这辆列车的车身长是y米，依题意，得 ， 解得． 答：这辆列车的车身长是240米． （3）圆锥形石块体积为（立方厘米）， 取出后水位下降高度为（厘米）， 此时水高为（厘米）， 圆柱形铁块体积为（立方厘米）， 浸没后水位上升高度为（厘米）， ∴最终水位为（厘米）． （4）①（千克）， 答：垃圾总量可以减少72千克． ②（千克）， （元）． 答：环保金会增加12元． ③（千克）， 72千克吨，（棵）， （棵）． 答：那么一年下来，智慧社区通过垃圾分类可以保护1728棵树. 【题型10】数轴动点结合方程(几何背景) 1.期末考点总结 考察数形结合思想，核心是用含时间的式子表示动点位置(数轴上：左减右加)； 结合线段和差、距离公式(为数轴上两点表示的数)列方程。 2.解题攻略 设动点运动时间为(单位：秒)，用初始位置表示秒后位置(如点A初始在数轴上表示2，向右运动速度3单位/秒，则秒后位置为)； 根据“动点相遇”“线段相等”“距离为定值”等条件列方程(如两点距离为5：)； 求解后验证：动点位置是否符合数轴范围，运动时间。 【例题10】.（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，数轴的原点为，点、、是数轴上的三点，点对应的数是，，，动点、同时分别从、出发，分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为秒（）． (1)点A表示的数为_________，点C表示的数为_________； (2)求t为何值时，点P与点Q能够重合？ (3)是否存在某一时刻t，使点O平分线段且点与点在原点的两侧？若存在，请求出满足条件的t值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，6； (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴等知识，难度一般，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）由点对应的数及线段、的长，可找出点、对应的数； （2）根据点、的出发点、速度及方向，由追击的等量关系列出含t的方程，解方程即可； （3）由题意得，据此列一元一次方程，解此方程即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数是，，， ∴点A表示的数为 ，点C表示的数为， 故答案为：，6； （2）解：若点与点能够重合，则， 即，解得4 答：当时，点与点能够重合． （3）解：存在，理由如下： 若点为中点，且点与点在原点的异侧，即 ，解得 答：当时，点O平分线段且点P与点Q在原点的异侧． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·江苏盐城·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为10．点表示的数为，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． 【解决问题】 (1)填空：两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)若点从点开始运动时，另一点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．求当为何值时，？ 【答案】(1)14，3 (2)不发生变化， (3)或 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示与两点距离、绝对值方程及整式加减的应用，熟练掌握数轴上有理数的表示与两点距离、绝对值方程及整式加减的应用是解题的关键； （1）根据数轴上两点距离及中点可进行求解； （2）由题意得：秒后，点表示的数为，则有的中点M所表示的数为，的中点N所表示的数为，然后问题可求解； （3）由题意得：秒后，点表示的数为，点表示的数为，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：两点间的距离，线段的中点表示的数为； 故答案为14，3； （2）解：不发生变化，理由如下： 由题意得：秒后，点表示的数为， ∴的中点M所表示的数为，的中点N所表示的数为， ∴； （3）解：由题意得：秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 综上所述：当或时，． 【变式题10-2】.（24-25七年级上·广东湛江·期中）【阅读理解】 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点M，N在数轴上分别对应的数为m，n，则M，N两点间的距离表示为． 的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离：就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和、下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1 如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1 ∴a到1和2的距离之和最小值是1 【问题解决】 根据以上知识解题： (1)类比得出的最小值是_____． (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是_____． (3)如图：数轴上A、B、C三点分别表示的数为、4、7，点P表示的数为x，若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点P到点B、点C的距离之和为10． (4)已知，求的最大值和最小值． 【答案】(1)3 (2)； (3)经过秒或秒时，动点P到点B、点C的距离之和为10 (4)的最大值为10，最小值为 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解绝对值方程和数轴两点间的距离，理解题意是解决本题的关键． （1）根据绝对值的几何意义和题意即可得到答案； （2）由题意可得，当在和之间（包括端点）时，距离之和恒为，进而即可求解； （3）设运动的时间为t秒，则点P表示为，进而表示出和，再根据“点P到点B、点C的距离之和为10”分情况求解即可； （4）由题意可得，的最小值为（），的最小值为（），再根据进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，的几何意义是x这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和， 如图，x在3的左边，从图中很明显可以看出x到3和6的距离之和大于3， 如图，x在3和6之间（包括在3，6上），可以看出x到3和6的距离之和等于3， 如图，x在6的右边，从图中很明显可以看出x到3和6的距离之和大于3， ∴x到3和6的距离之和最小值是3， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴表示到和的距离之和为4， ∵到之间的距离为， ∴当在和之间（包括端点）时，距离之和恒为， ∴的最小值是，最大值是， 故答案为：，； （3）解：设运动的时间为t秒， ∵点P表示的数为x，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴t秒后点P表示为， ∴，， 分情况讨论： 当在左侧时（）：，， ∴和为， 解得（符合条件）； 当在B、C之间时（）：（不等于10，排除）； 当P在右侧时（）：，， ∴和为， 解得（符合条件）． 综上所述，经过秒或秒时，动点P到点B、点C的距离之和为10； （4）解：由题意可得，的最小值为（），的最小值为（）， ∵， ∴，， ∴最大值为：当取最大，取最小时， ； 最小值：当取最小，取最大时， ． 综上所述，的最大值为10，最小值为． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点A、B分别同时以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，A、B之间的距离为5？ (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为______． 【答案】(1)，，16 (2)当t为15或25时，A、B之间的距离为5 (3)1 【分析】（1）分别利用偶次方和绝对值的非负性质，求出a和b，再由与的数量关系求出c； （2）分别用含t的代数式表示出点A和B对应的数，再由A、B之间的距离列绝对值方程并求解即可； （3）分别求出点Q在、、、上的速度，并将对应的数用含t的代数式表示出来，并标明t的取值范围；根据P、Q两点相遇时，点P和Q表示的数相同，建立方程并求解，求出此时点M表示的数即可． 【详解】（1）解 ， ，， ，， ，即， ． 答：，，． （2）解：经过t秒后，点A对应的数为，点B对应的数为， ， 当时，得，即或， 解得或． 答：当t为15或25时，A、B之间的距离为5． （3）解：点P在数轴上对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒8个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒2个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为； ①当点M在上时，得，解得（不符合题意，舍去）； ②当点M在上时，得，解（不符合题意，舍去）； ③当点M在上时，得，解得； ④当点M在上时，得，解得（不符合题意，舍去）； 当时，P、Q两点在点M处相遇，此时点M表示的数为． 答：点M表示的数为． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用及绝对值和偶次方的非负性质．利用绝对值和偶次方的非负性质求出a和b，用含t的代数式正确表示点A和B对应的数是本题的关键． 同步练习 1．（25-26七年级上·山西运城·月考）问题解决 2025年全国“敬老月”活动于10月10日至31日开展，此次活动的主题为“弘扬孝亲敬老美德共建老年友好社会”．某校学生为敬老院的老人们表演了《花样跳绳》节目．已知甲种跳绳每根20元，乙种跳绳每根15元，用390元购买这两种跳绳，一共买了22根，求两种跳绳各买了几根． 【答案】甲种跳绳买了12根，乙种跳绳买了10根 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲种跳绳买了根，则乙种跳绳买了根，根据用390元购买这两种跳绳，可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设甲种跳绳买了根，则乙种跳绳买了根， 那么可列方程， 解得， （根）． 答：甲种跳绳买了12根，乙种跳绳买了10根． 2．（25-26七年级上·山西朔州·月考）综合与实践 数学兴趣小组用一根质地均匀的木杆和一些相同质量的重物（每个重物的质量均为）进行如下实验： ①在木杆中点（支点）处拴绳，将木杆吊起，两端各挂一个重物，观察是否平衡； ②木杆右端仍挂一个重物，在木杆左端逐次加挂重物，每次将左端重物整体右移至使木杆平衡，记录支点到两端挂重物处的距离． 【初步探究】 如图，在木杆右端挂一重物，支点左端挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点在木杆中点处，左端挂重物处到支点的距离为，探究记录如下： 支点左边 支点右边 木杆状态 重物质量（g） 到支点的距离（） 重物质量（g） 到支点的距离（） 5 30 5 30 平衡 10 15 5 30 平衡 15 10 5 30 平衡 20 a 5 30 平衡 b 6 5 30 平衡 (1)请你通过实验发现的规律补全实验记录：______，______； (2)把n作为已知数，列出关于x的一元一次方程：______． (3)【深入探究】 小明把相同质量的重物全部换成了每个质量为的重物再次进行实验，此时支点右端悬挂一个重物且与支点的距离为，左端悬挂4个重物，并移动至左右平衡，求此时左端重物到支点的距离． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）观察表中数据，即可得出规律求解； （2）根据得出的规律列方程求解即可． 此题是一道探究型的活动题，对于此类题目，一定要根据操作步骤，动手认真实验并记录数据，然后根据所得实验结果，找出规律或得出结论，从而使问题得以解答．本题还考查了根据题意列方程的相关知识，列方程的关键是找到等量关系． 【详解】（1）解：观察表格得，左边重物质量与物体到支点距离的乘积等于右边重物质量与物体到支点距离的乘积， 则， 解得， ， 解得， 故答案为：，； （2）解：由题意， 整理得， 故答案为：； （3）解：设此时左端重物到支点的距离为， ， 解得， 则此时左端重物到支点的距离为． 3．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 【答案】(1)0.6小时 (2)不会影响按时发卷 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以求出乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间，然后再与比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：设甲乙两台印刷机同时印刷，共需要x小时才能印完， ， 解得，， 即甲乙两台印刷机同时印刷，共需要小时才能印完； （2）解：乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间为：， ∵， ∴乙机单独完成剩下的印刷任务，不会影响按时发卷考试． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“革命圣地西柏坡一日游”活动，收费标准如下： 人数 大于0且小于或等于100 大于100且小于或等于200 大于200 收费标准/（元/人） 60 55 50 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数小于100，乙校报名参加的学生人数大于100．经核算，两校分别组团共需花费13650元，两校联合组团只需花费12000元． (1)甲、乙两校报名参加活动的学生共有多少人？ (2)甲、乙两校报名参加活动的学生各有多少人？ 【答案】(1)240人 (2)甲校90人，乙校150人 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系． （1）通过联合组团花费12000元，推断总人数超过200人，计算得总人数为240人． （2）设甲校报名参加活动的学生有人，则乙校报名参加活动的学生有人，分及两种情况考虑，根据两校分别组团共需花费 13650 元，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，可得出值（即甲校报名参加活动的学生人数），再将其代入中，即可求出乙校报名参加活动的学生人数． 【详解】（1）解：设两校学生总人数为人． 若大于200，则收费50元/人，，解得：． 若大于100且小于或等于200，则，解得：，不合题意． 若大于0且小于或等于100，则，解得：，不合题意． 故两校学生总人数为240人． （2）解：设甲校报名参加活动的学生有人，则乙校报名参加活动的学生有人， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， ∴． 答：甲校报名参加活动的学生有90人，乙校报名参加活动的学生有150人． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）随着信息技术的发展，慕课已成为技术赋能教育的典范，它让优质资源跨越地域的局限，承载“知识无边界”的理想．北京作为政治文化的中心，在教育模式创新方面的引领作用尤为明显．去年北京地区慕课已占全国慕课的四分之一，今年全国慕课增加了门，北京地区的慕课增长了，北京慕课占全国慕课的．求去年北京地区的慕课为多少门？ 【答案】去年北京地区的慕课为19000门 【分析】本题是百分数与一元一次方程结合的应用题，解题的核心在于找准不同阶段数量的关联，体现了数学中“用字母表示数”和“建模思想”在解题中的应用． 设去年北京地区的慕课为门，由已知条件得到去年全国慕课的数量，依据今年全国慕课和北京地区的慕课数量建立等量关系，求解即可． 【详解】解：设去年北京地区的慕课为门，则去年全国慕课门， 今年全国慕课门，今年北京地区的慕课门， 根据题意，得，解得， 去年北京地区的慕课为门． 6．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）为节约用水，政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过立方米 超过立方米且不超过立方米的部分 a 超过30立方米的部分 (1)若小明家今年2月份用水量是立方米，则小明2月份应交的水费______元（用含a的代数式表示）． (2)在（1）的条件下，若小明今年2月份缴费元，请列方程求出上表中a值． (3)在（2）的条件下，若小明家3月份用水量增大，他家3月份的用水量是b立方米，共缴费元，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是解题的关键． （1）因为立方米超过立方米但不超过立方米，按两部分计算出水费值即可； （2）由缴费元，可列方程，解出该方程即可； （3）由（2）中的结果计算立方米的水费，以此判断缴费元属于第几个阶梯，再列方程求解． 【详解】（1）解：∵立方米超过立方米但不超过立方米， 故水费为元． （2）由（1）中可得方程， 解得． （3）当用水量为30立方米时，可得对应水费为（元）， ∵， 故实际用水量超过立方米，处于第三级阶梯， 可得方程， 解得． 7．（25-26七年级上·山西朔州·月考）为活化千年石窟遗产、传播北魏文化，文化局准备以“数字石窟·文化周”形式举办科技沉浸式活动．主办方计划定制一批“云冈飞天”文创盲盒，本地两家数字文创工作室的收费方案如下： 甲工作室：收建模授权费元，每个盲盒再收制作费元； 乙工作室：若定制数量不超过个，每个盲盒收制作费元；若定制数量超过个，前个每个收元，超过部分每个收7元． 若主办方准备定制x个文创盲盒，请根据以上信息，解答下列问题： (1)用含x的代数式表示： ①甲工作室收费为______元． ②当时，乙工作室收费为______元；当时，乙工作室收费为______元． (2)①当定制数量为多少时，选择甲、乙两工作室的费用相等？ ②主办方预算费用元，若选择甲工作室，则能定制多少个文创盲盒？ 【答案】(1)①；②； (2)①个或个；②2500个 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）①根据甲工作室的收费方案列出代数式即可；②根据乙工作室的收费方案列出代数式即可； （2）①分和两种情况讨论，分别列出方程即可求解；②根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设定制数量为x个文创盲盒， ①甲工作室收费为元； 故答案为：； ②乙工作室收费分两种情况： 当时，收费为元． 当时，收费为（元）． 故答案为：；； （2）解：①当时， 列方程为， 解得； 当时， 设方程为， 解得； 答：当定制数量为个或个时，选择甲、乙两工作室的费用相等． ②甲工作室收费为元， 列方程， 解得， 答：能定制2500个文创盲盒． 8．（25-26七年级上·山西太原·月考）元旦将至，志达中学为丰富校园文化生活，策划了“迎元旦·传统文化体验周”活动．其中，制作手工扇子作为节日礼物赠送师长和亲友，深受同学们欢迎．学校委派张老师和李老师一同前往下元商贸城采购制作材料，确保活动顺利开展． 问题解决： (1)两位老师约定上午从学校出发，但张老师因整理学生报名表稍作耽搁，李老师骑自行车于准时出发．分钟后，张老师骑电动车沿相同路线前往，又经过分钟两人同时到达批发市场．已知电动车的平均速度比自行车的平均速度每小时快千米，请问志达中学到下元商贸城的距离是______千米． (2)采购结束后，两位老师同时从批发市场出发返回学校，交通工具与平均速度保持不变．返程途中，张老师出发分钟后忽然想起还有一批元旦装饰用的流苏穗尚未购买，于是立即调头原路折返下元商贸城，并在商贸城停留分钟进行补购． ①请通过计算说明：张老师能否在李老师到校之前返回学校？ ②在张老师折返回到下元商贸城之前，出发几分钟时两人之间相距千米？ 【答案】(1)； (2)①张老师能在李老师到校之前返回学校；②两人一起返程分钟或分钟或分钟时两人之间相距千米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（行程问题），熟练掌握行程问题中“路程=速度×时间”的关系、分情况讨论的思想是解题的关键。 （1）设自行车速度为未知数，根据“张老师行驶时间（分钟）电动车速度李老师行驶时间（分钟）自行车速度”列方程求解，再计算距离。 （2）①分别计算李老师到校时间、张老师往返停留的总时间，比较两者大小。 ②分“张老师未调头时”和“张老师调头后”两种情况，根据路程差为千米列方程求解。 【详解】（1）解：设自行车速度为千米/小时，则电动车速度为千米/小时。 ， ， ， ， ∴志达中学到下元商贸城的距离是：（千米）， 故答案为：； （2）解：①李老师到校时间：（分钟）， 张老师总时间：（分钟） ， ∴张老师能在李老师到校之前返回学校； ②电动车速度：千米/小时千米/分钟；自行车速度：千米/小时千米/分钟． 情况：张老师折回批发市场前， ， ， ， 情况：张老师折回批发市场后与李老师相遇前， ， 解得， 情况：张老师折回批发市场后与李老师相遇后， 根据题意：， 解得； 综上所述，两人一起返程分钟或分钟或分钟时两人之间相距千米． 9．（25-26七年级上·重庆·月考）忠县作为“中国柑橘城”，柑橘产业已经非常成熟，形成了多个特色品种，其中最出名的当属“爱媛果冻橙”和“沃柑”．某超市用元从农户处购进“果冻橙”和“沃柑”两个品种的柑橘共斤．进价和售价如下表所示： 果冻橙 沃柑 进价（元/斤） 售价（元/斤） (1)求该超市购进“果冻橙”和“沃柑”各多少斤？ (2)由于水果运输过程中会有一定的损坏，“果冻橙”的损坏率为，“沃柑”的损坏率为，损坏的柑橘不能进行销售，若这批柑橘全部售出的总利润为元，求的值； (3)该超市第二次进货时，农户给出了如下优惠方案： “果冻橙”优惠方案 一次性购买数量 不超过斤的部分 超过斤的部分 折扣数 九折 八折 “沃柑”优惠方案 购买总金额 不超过元 超过元但不超过元 超过元 返现金金额 0元 直接返现金元 先返购买总金额的，再返现金200元 已知超市购进“果冻橙”共支付了元，购进“沃柑”共支付了元，运输中仍按照（2）中的损坏率考量，将第二次购进的两种柑橘全部卖完，一共可获得利润多少元？ 【答案】(1)果冻橙斤，沃柑斤 (2) (3)元 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设购进果冻橙斤，沃柑斤，根据题意列式求解即可． （2）根据题意可得售出的收入为，进而根据题意列式求解即可． （3）设果冻橙购买斤，则超过斤的部分为斤，根据题意列方程求解即可得果冻橙购买斤数；设沃柑购买总金额为元，根据题意列方程求解购进沃柑的斤数，进而列式求得获得总利润． 【详解】（1）解：设购进果冻橙斤，沃柑件斤， 依题意可得， 解得：， 即， ∴果冻橙斤，沃柑斤． （2）解：根据题意可得：售出的收入为， 故可列方程， 解得：， ∴的值为． （3）解：设果冻橙购买斤，则超过斤的部分为斤， ∴， 解得：； 设沃柑购买总金额为元， 根据题意可得：， 解得： ∴购进沃柑的斤数为：， ∴两种柑橘全部卖完，一共可获得利润为：（元）． 10．（25-26七年级上·全国·期末）将一个数轴弯折成如图所示的样子，我们称这样的数轴为“过山车数轴”，在这个数轴上每个点对应的数就是把数轴拉直后对应的数． 规定：|（线段的长度）为A，B两点在拉直后的数轴上的距离．点A表示的数是，点B表示的数是3，则． (1)若T为“过山车数轴”上一点且，则点T表示的数为 (2)定义：在“过山车数轴”的上坡阶段（从E到D或从C到D），点运动的速度是点在水平路线上运动速度的一半；在下坡阶段（从D到C或从D到E），点运动的速度是点在水平路线上运动速度的2倍．动点P从点A出发以每秒4个单位的速度向右运动，经过点E，点D，点C，到点B后立即以原速度沿反方向运动，回到点A时停止．在点P出发的同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，经过点C，点D，点E后继续运动．点P停止运动时，点Q也停止运动．设点P运动的时间为t秒，问： ①点P在第几秒时回到点A． ②t取何值时，点P和点Q重合？ ③直接写出t取何值时，． 【答案】(1)或4 (2)①；②或；③或或或 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决数轴动点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）分点在点左侧和点右侧，进而得解； （2）①先算从点到点的时间，再从点到点的时间，即可得解； ②分两种情况：在上有一次相遇，追及时还有一次相遇，进而建立方程求解即可； ③当与重合时或符合题意，再分两种情况：时及时，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设点表示的数为， ∵点表示的数是，点表示的数是，则．且， ∴或 当时，，解得： 当时，，解得： ∴点表示的数为或， 故答案为：或． （2）①从运动到，需要时间秒， 从运动到，需要时间秒， 共用时秒； 故答案为：； ②由题可知，当从运动到需要花费时间秒此时已经到达点开始返回， 那么当时，一定在上有一次相遇， 设相遇时间为， 则， 解得； 当时，在点处，在处，那么追及时必然还有一次相遇，从运动到需要秒，而此时已经过了点， 设第二次相遇时间为， 则， 解得； ∴当或时，点和点重合 ③要使得，即与重合或为“中点”时， 当与重合时或； 当时，， 解得； 当时， 若点在点时，此时用时， 此时在，此时， 在段时，， 解得； 综上所述，当或或或时，． 学科网（北京）股份有限公司 $