6.8 圆的方程（教学课件）--北师大版《数学 基础模块下册》《上好课》

6.8 圆的方程 第六章 直线与圆的方程 北师大版 基础模块下册 学习目标 1.理解并掌握圆的标准方程和一般方程的表达式； 2.理解将一般方程转化为标准方程的思路与方法； 3. 通过案例体会“几何定义→代数方程”的转化过程，提升数形结合的数学思维能力. 教学引入 在我们日常生活中，圆形的物体随处可见，如天上的太阳、汽车的轮胎、盘子等. 人们之所以制造出那么多的圆形物体，除了追求视觉上的美观外，更重要的是圆具有很多特别有用的性质. 教学引入 思考：我们知道点可以用坐标来表示，直线可以用二元一次方程来表示，那么圆的代数形式是什么？ 分析： 我们知道，当圆心和半径确定时，圆的大小和位置就确定了. 因此，圆心和半径是确定圆的最基本的要素. 教学引入 例如，圆心为，半径为3的圆，圆的大小和位置都被圆心和半径确定了. 设为圆上任意一点，根据圆的意义，圆上任意一点到圆心的距离为3，则，即，化简可得 . 教学引入 一般地，如图所示，设圆心为，半径为，点是圆上任意一点，则点满足.由两点间的距离公式得. 教学引入 两边平方可得 . 若点在圆上，则点的坐标满足上面的方程，反之若点的坐标满足上面的方程，则点到点的距离为，即点在以点为圆心，为半径的圆上. 这样圆和方程就形成了对应关系. 导入新知 一般地，我们把方程叫作以为圆心，以为半径的圆的方程，称为圆的标准方程. 特别地，当，时，即圆心为原点时，圆的方程为 1.圆的标准方程 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 教学引入 方程表示圆心为，半径为3的圆，将此方程展开、移项可得. 也就是说二元二次方程表示的是圆心为，半径为3的圆. 教学引入 想一想： 方程表示什么图形？ 方程表示什么图形呢？ 二元二次方程要满足什么条件，才能是一个圆的方程？ 教学引入 分析: 将方程配方，得，所以它表示以为圆心，半径为2的圆. 将方程配方，得，所以它不表示任何图形. 教学引入 形如的二元二次方程，通过配方法可变形为 ①当时: 该方程表示以为圆心，半径的圆； 教学引入 ②当时:该方程无意义，不表示任何图形； ③当时，该方程表示一个点. 导入新知 一般地，当时，我们把方程 称为圆的一般方程，圆心坐标为，半径. 2.圆的一般方程 案例分析 案例分析 学以致用 深入理解 在进行金属加工或木材加工时，经常需要在给定的材料上打孔，孔的位置和大小是要严格符合要求的. 这就要根据实际参数，确定孔所在的圆的方程. 那么圆的方程如何确定呢？ 深入理解 分析： 已知圆心和半径即可得到圆的标准方程，因此圆的标准方程有三个特定系数。 二元二次方程，在时，表示以为圆心，半径的圆，因此圆的一般方程中有三个特定系数。 深入理解 求解圆的方程时，通常采用待定系数法. (1)圆的标准方程由三个系数确定； (2)圆的一般方程也由三个系数确定. 可根据所提供的条件灵活地进行选择. 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 社区规划圆形健身区：中心（圆心）在社区广场坐标(4,5)，边缘到中心的距离（半径）为6米。 问题：①写出健身区的标准方程；②转化为一般方程；③判断社区便利店（坐标(10,5)）是否在健身区内，并说明理由。 答案：①标准方程：； ②一般方程：； ③便利店(10,5)代入标准方程：，等于半径平方， 证明便利店在健身区的边上。 课堂小结 1.圆的标准方程 ⇒圆心坐标为，半径为 2.圆的一般方程 ⇒ 圆心坐标为，半径. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】根据下列圆的方程，确定圆心坐标和半径. （1）； （2）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）圆心坐标为，半径. （2）圆心坐标为，半径. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】写出圆心为，半径的圆的方程，并作图. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 将，，代入圆的标准方程中，得 . 整理得圆的标准方程为，如图所示. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知圆的圆心坐标为，半径为3，求该圆的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径， ∵圆心坐标为，半径， ∴该圆的方程为，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】求圆心为点且过点的圆的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题意可知，圆心为点且过点， 所以圆的半径为， 故所求圆的方程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】求下列各圆的圆心坐标和半径. （1）；（2）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）方法一：由圆的一般方程可知，，，计算可得 ，，. 所以圆心为，半径为3. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 方法二：将圆的一般方程化成标准方程. 可化为. 所以圆心为，半径为3. （2）原方程可化简为，即. 所以圆心为，半径为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】求圆心与圆的圆心相同，半径为4的圆的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 将方程配方，得. 可知圆心坐标为，故所求圆的圆心坐标也为，半径为4. 因此，所求圆的方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知点，点，求以线段为直径的圆的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设所求圆的圆心坐标为，半径为. 依题意可知，圆心是线段的中点，半径。 因此，，所以圆心坐标为。 半径。 因此，所求圆的方程为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知圆心为直线和的交点，且圆经过点，求圆的方程。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设所求圆的圆心坐标为，半径为。 依题意，解方程组，得，得圆心坐标为。 半径。 因此所求圆的方程为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知点，，求以线段为直径的圆的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知点，， 由中点公式，得中点坐标， 圆的半径， 所以圆的方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】求以两条直线的交点为圆心，半径的圆的标准方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知两条直线， 联立直线方程得，解得， 所以交点坐标为，又因为圆的半径为5，交点为圆心， 所以圆的标准方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】圆的圆心坐标､半径分别是（ ） A． B． C． D．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，圆半径为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】以为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 以为圆心，2为半径的圆的标准方程是， 化简为. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】圆的方程  的圆心坐标是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由圆的方程得， 所以圆心坐标为. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】圆的圆心和半径分别是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 将圆的方程， 化为标准方程可得：， 圆的圆心和半径分别是. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $