6.6 两条直线垂直的条件 6.7 点到直线的距离公式（教学设计）--北师大版《数学 基础模块下册》《上好课》

北师大版《数学基础模块下册》 第六章 直线与圆的方程 6.6 两条直线垂直的条件 6.7 点到直线的距离公式 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节“两条直线垂直的条件、点到直线的距离公式”是直线与圆的方程章节的核心拓展内容，核心知识点包括两条直线垂直的斜率条件、点到直线距离公式的推导与应用。教材以直线位置关系引出两条直线垂直的条件，再到距离公式的推导。该逻辑既承接了直线方程、直线平行/相交的前置知识，又为后续圆的切线、圆与直线的位置关系奠定了“几何关系代数量化”的基础。学生学习时，需精准区分普通直线与特殊直线的垂直条件，掌握距离公式的代入规则，同时通过实例体会“垂直是特殊位置关系、距离是最短路径的量化”，培养逻辑推理与运算求解的核心素养。 五、学情分析 多数学生已掌握直线平行、相交的判定方法，但在“垂直条件的分类应用”与“距离公式的准确代入”上存在短板：一方面，学生对“斜率不存在的直线（垂直轴）的垂直条件”认知模糊，易错误套用“斜率乘积为-1”的规则；另一方面，部分学生在使用距离公式时，常因“未将直线方程化为一般式”导致系数代入错误。此外，中职学生对抽象运算兴趣较低，需通过具象案例强化知识的实用价值，同时弥补其“分类处理特殊直线、规范代入公式”的思维薄弱点。 六、教学目标 1.理解并掌握两条直线垂直的斜率条件; 2.理解点到直线距离公式的结构，能准确计算点到直线的距离; 3.通过分析生活中”垂直定位、最短路径”等场景，提升将几何位置关系转化为代数运算的建模能力，深化数 形结合与方程思想。 七、教学重点 1.两条直线垂直的斜率条件。 2.点到直线距离公式. 八、教学难点 将直线方程化为一般式再求解点到直线距离。 九、教学方法 讲授法：对两条直线垂直的条件、点到直线的距离公式进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究两条直线垂直的条件、点到直线的距离公式，培养学生的类比推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 知识回顾 同学们，在上一节课堂中，我们学习了判断两条直线是否相交的条件，让我们做一个简单的回顾： 一般地，已知两条相交直线(：)和(：)，若方程组有唯一解，则直线与相交，交点的坐标就是方程组的解。 通过知识回顾还引出两条直线垂直的条件。 教学引入 两条直线垂直是直线相交的一种特殊情况．相互垂直的两条直线，斜率之间有什么关系呢？ 想一想：直线和直线是否垂直？ 分析： 直线的斜率为，对应倾斜角为；直线的斜率为，对应倾斜角为．两条直线的位置如图所示． 与所成角，所以直线与垂直． 一般地，如果两条直线的斜率都存在，如图所示，设直线的方程为，直线的方程为，直线与直线的斜率分别为和，倾斜角分别为，．若，可以得到，，因为为直角三角形，所以 ， ． 故． 其他情况可仿照证明，且以上过程可以逆推，即若，则。 直线和直线的斜率乘积为，满足，所以它们是垂直的。 通过生活举例分析和讲解引出新知识点—两条直线垂直的条件。 导入新知 一般地，当直线与垂直且斜率都存在时，它们的斜率有这样的关系：。反之，如果，那么直线与垂直，即 。 特别地，观察下图，可以看出斜率为0的直线与斜率不存在的直线互相垂直，即当，中有一个不存在时，不妨设不存在，则垂直于x轴，与垂直，则平行于x轴，从而。 总结判断两条直线垂直的条件。 案例分析 【例题】判断下列各组直线是否垂直： （1），。 （2），。 （3），。 【解析】（1）直线的斜率，直线的斜率。 因为，所以与垂直。 （2）直线的斜率，直线的斜率。 因为，所以与不垂直。 （3）直线的斜率，直线的斜率。 因为，所以与垂直。 【例题】求过点且垂直于直线的直线的方程。 【解析】已知直线的斜率，所以，所求直线的斜率 . 根据点斜式方程，所求直线的方程为，即 通过案例来帮助学生更好地理解两条直线垂直的条件。 学以致用 【练习】求过点且垂直于直线的直线方程. 【解析】直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为， 又因为直线过点， 所以所求直线的方程为，即. 【练习】求过点，且与直线垂直的直线方程． 【解析】直线可化为：，斜率是：， 所以，所求直线的斜率为：， 由于所求直线过点，所以所求直线的方程为：， 即：． 通过及时练习进一步加强学生对两条直线垂直的条件的理解。 教学引入 思考： 在平面直角坐标系中，点不在直线上，过点作直线的垂线，垂足为，如图所示。则线段的长称为点到直线的距离。那么，这个距离怎样求？ 分析： 由已知可求得线段所在的直线的方程为。解方程组可得垂足的坐标为。根据两点间的距离公式，点到直线的距离 。 通过举例引出点到直线的距离公式。 导入新知 在平面直角坐标系中，已知点和直线，则点到直线的距离表示为 。 上述公式叫作点到直线的距离公式。 总结点到直线的距离公式。 案例分析 【例题】求点到直线的距离. 【解析】将，，，，代人点到直线的距离公式中，得 【例题】求点到直线的距离. 【解析】依题意可得，，将直线的方程转化为一般式方程，可得，，，将其代人点到直线的距离公式中，得 通过案例分析来帮助学生理解点到直线的距离公式。. 学以致用 【练习】已知点到直线的距离等于，求的值. 【解析】根据点到直线的距离公式得 ， 化简得， 所以或，即或. 【练习】求平行线和之间的距离. 【解析】两条平行线间的距离与一条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离相等. 因此在直线上取一点，则两条平行线间的距离等于点到直线的距离. ， 即平行直线与之间的距离为 通过及时练习来加深学生对点到直线的距离公式的记忆。 课堂练习 【练习1】若直线与直线互相垂直，则（ ） A． B． C． D． 【解析】直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两直线互相垂直，所以，解得， 故选：B. 【练习2】点到直线的距离为（ ） A．1 B． C．2 D． 【解析】点到直线（即）的距离为. 故选：A. 【练习3】经过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【解析】设与直线垂直的直线方程为， 将点代入方程中得，解得， 所以过点且与直线垂直的直线方程为， 故选：. 【练习4】若点到直线的距离等于3，则 的值为（ ） A．0 B． C．0 或 D．不存在 【解析】因为点到直线的距离等于3， 所以，解得或. 故选：C. 【练习5】已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．3 B． C．2 D．1 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 某路口有两条车道： 车道1：经过点A(0,0)，斜率为；车道2：经过点B(1,1)，需与车道1垂直 问题： ①求车道1的直线方程；②求车道2的斜率（依据垂直条件），并写出车道2的点斜式方程；③若行人从点B走到车道1，求最短距离（点B到车道1的距离），说明其意义。 答案： ①：（整理为）；②：（垂直条件：斜率乘积为-1），方程：；③：米，对应“行人从B到车道1的最短步行距离”。 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 1.点到直线的距离公式？ 点到直线的距离表示为： 2.两条直线垂直的条件是什么？ 与垂直且斜率都存在时，它们的斜率有这样的关系： 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 点到直线的距离公式： 两条直线垂直： 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在“两条直线垂直的条件、点到直线的距离公式”的教学中，通过直角坐标系来进行讲解和推导，多数学生能掌握垂直条件的基本判定与距离公式的运算方法，对“几何关系的代数表达”有了初步认知。但教学仍存在不足：少数基础薄弱的学生在距离公式代入时，易遗漏直线方程的一般式转化步骤。后续教学中，需增加“距离公式代入的分步检查环节”，规范公式使用流程，提升知识的实用性，兼顾不同层次学生的学习需求。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $