6.6 两条直线垂直的条件 6.7 点到直线的距离公式（教学课件）--北师大版《数学 基础模块下册》《上好课》

6.6 两条直线垂直的条件 6.7 点到直线的距离公式 第六章 直线与圆的方程 北师大版 基础模块下册 学习目标 1.理解并掌握两条直线垂直的斜率条件; 2.理解点到直线距离公式的结构，能准确计算点到直线的距离; 3.通过分析生活中”垂直定位、最短路径”等场景，提升将几何位置关系转化为代数运算的建模能力，深化数形结合与方程思想。 知识回顾 同学们，在上一节课堂中，我们学习了判断两条直线是否相交的条件，让我们做一个简单的回顾： 一般地，已知两条直线与， 若方程组 有唯一解，则直线与相交，交点的坐标就是方程组的解. 教学引入 想一想： 两条直线垂直是直线相交的一种特殊情况．相互垂直的两条直线，斜率之间有什么关系呢？ 例如，如何判断直线与直线是否垂直？ 教学引入 分析： 直线的斜率为，对应倾斜角为；直线的斜率为，对应倾斜角为．两条直线的位置如图所示． 教学引入 根据图示可得，与所成角 ， 所以直线与垂直． 教学引入 一般地，如果两条直线的斜率都存在，如图所示，设直线的方程为，直线的方程为，直线与直线的斜率分别为和，倾斜角分别为，．若， 可以得到=，= 教学引入 因为为直角三角形，所以 ，． 故 ． 教学引入 其他情况可仿照证明，且以上过程可以逆推，即若，则。 例如，直线和直线的斜率乘积为 ，满足，所以它们是垂直的。 导入新知 一般地，当直线与垂直且斜率都存在时，它们的斜率有这样的关系： 反之，如果，那么直线与垂直，即 ⇔. 导入新知 特别地，观察右图，可以看出斜率为0的直线与斜率不存在的直线互相垂直。 即当，中有一个不存在时，不妨设不存在，则垂直于x轴，与垂直，则平行于x轴，从而。 案例分析 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 教学引入 思考： 在平面直角坐标系中，点不在直线上，过点作直线的垂线，垂足为，如图所示。则线段的长称为点到直线的距离。那么，这个距离怎样求？ y x O . 教学引入 分析： 由已知可求得线段所在的直线的方程为。解方程组可得垂足的坐标为。根据两点间的距离公式，点到直线的距离. 导入新知 在平面直角坐标系中，已知点和直线， 则点到直线的距离表示为 . 上述公式叫作点到直线的距离公式。 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 某路口有两条车道： 车道1：经过点A(0,0)，斜率为；车道2：经过点B(1,1)，需与车道1垂直。 问题：①求车道1的直线方程；②求车道2的斜率（依据垂直条件），并写出车道2的点斜式方程；③若行人从点B走到车道1，求最短距离（点B到车道1的距离），说明其意义。 答案：①：；②：（垂直条件：斜率乘积为-1），方程：；③：米，对应“行人从B到车道1的最短步行距离”。 课堂小结 1.点到直线的距离公式？ 点到直线的距离表示为： 2.两条直线垂直的条件是什么？ 当直线与垂直且斜率都存在时，它们的斜率有这样的关系： 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】判断下列各组直线是否垂直： （1），。 （2），。 （3），。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）直线的斜率，直线的斜率。 因为，所以与垂直。 （2）直线的斜率，直线的斜率。 因为，所以与不垂直。 （3）直线的斜率，直线的斜率。 因为，所以与垂直。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】求过点且垂直于直线的直线的方程。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知直线的斜率，所以， 所求直线的斜率. 根据点斜式方程，所求直线的方程为， 即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】求过点且垂直于直线的直线方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为， 又因为直线过点， 所以所求直线的方程为，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】求过点，且与直线垂直的直线方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直线可化为：，斜率是：， 所以，所求直线的斜率为：， 由于所求直线过点，所以所求直线的方程为：， 即：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】求点到直线的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 将，，，，代人点到直线的距离公式中， 得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】求点到直线的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 依题意可得，，将直线的方程转化为一般式方程，可得，，，将其代人点到直线的距离公式中，得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知点到直线的距离等于，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 根据点到直线的距离公式得 ， 化简得， 所以或，即或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】求平行线和之间的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 两条平行线间的距离与一条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离相等. 因此在直线上取一点，则两条平行线间的距离等于点到直线的距离. ， 即平行直线与之间的距离为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】若直线与直线互相垂直，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两直线互相垂直，所以，解得， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】点到直线的距离为（ ） A．1 B． C．2 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 点到直线（即）的距离为 . 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】经过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设与直线垂直的直线方程为， 将点代入方程中得，解得， 所以过点且与直线垂直的直线方程为， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】若点到直线的距离等于3，则 的值为（ ） A．0 B． C．0 或 D．不存在 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为点到直线的距离等于3， 所以，解得或. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．3 B． C．2 D．1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $