6.4 两条相交直线的交点 6.5 两条直线平行的条件（教学设计）--北师大版《数学 基础模块下册》《上好课》

北师大版《数学基础模块下册》 第六章 直线与圆的方程 6.4 两条相交直线的交点 6.5 两条直线平行的条件 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节“两条相交直线的交点、两条直线平行的条件”是直线与圆的方程章节的核心延伸内容，核心知识点包括“联立直线方程求交点坐标”、“直线平行的斜率条件”。教材通过直线方程来判断直线的位置关系，既承接了直线方程的前置知识，又为后续直线垂直、圆与直线的位置关系奠定了“用代数判断几何关系”的基础。学生学习时，需掌握“联立方程解交点”的运算方法，明确直线平行的条件，同时通过实例体会“几何位置关系的代数量化”，培养逻辑推理与分类讨论的核心素养。 五、学情分析 多数学生已掌握直线方程的基本形式，但在“几何关系与代数条件的关联”上存在短板：一方面，学生对“联立方程的解对应交点坐标”的本质理解模糊，仅会机械运算，易忽略“方程无解 / 无数解”对应的直线平行/重合情况；另一方面，部分学生对“斜率不存在的直线的平行条件”认知不足，遇到此类特殊直线时易错误套用斜率相等的规则。此外，中职学生对抽象的代数条件兴趣较低，但对生活场景的关注度较高，需通过具象案例强化知识的实用价值，同时弥补其“分类处理特殊直线”的思维薄弱点。 六、教学目标 1.理解并掌握两条相交直线交点坐标的求解方法; 2.理解两条直线平行的斜率条件，能准确判断直线的相交/平行关系; 3.通过分析生活场景，提升将几何位置关系转化为代数运算的建模能力，深化数形结合与方程思想。 七、教学重点 1.两条相交直线交点坐标的求解方法。 2.准确判断直线的相交/平行关系. 八、教学难点 理解斜率不存在的直线的平行条件。 九、教学方法 讲授法：对两条相交直线的交点、两条直线平行的条件进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究两条相交直线的交点、两条直线平行的条件，培养学生的类比推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 已知直线与，如何求与的交点呢？ 分析： 在平面直角坐标系中，作出直线和的图像 从图中可以发现，直线与的交点既在上，又在上，那么，点的坐标既要满足方程，又要满足方程， 因此，方程组的解就是直线与直线的交点的坐标.从而，求交点的问题就转化成了求解方程组的问题. 通过生活举例分析和讲解引出新知识点—两条相交直线的交点。 导入新知 一般地，已知两条相交直线(：)和(：)，若方程组 （1）有唯一解，则直线与相交，交点的坐标就是方程组的解； （2）无解，则直线与无公共点，此时两条直线平行； （3）有无数解，则直线与重合. 分点总结判断两条直线是否相交并求交点坐标。 案例分析 【例题】求两条直线与的交点. 【解析】解方程组 将①②，可得，解得. 将代入①中，可得. 故直线与直线的交点为. 【例题】求直线与坐标轴的交点的坐标. 【解析】轴所在直线的方程为，轴所在直线的方程为. 解方程组可得 解方程组可得 故直线与坐标轴的交点为和. 通过案例来帮助学生更好地理解两条直线是否相交并求交点坐标。 学以致用 【练习】已知直线和的交点坐标为，求a，b的值. 【解析】直线和的交点坐标为， 所以点既在直线上，又在直线上， 所以有解得 即. 【练习】已知直线：与：相交，求出交点坐标. 【解析】直线：与直线：相交， 联立直线方程，解得， 所以直线和得交点坐标为 通过及时练习进一步加强学生对两条直线相交并求交点坐标的理解。 教学引入 思考： 平面内不重合的两条直线只能有平行或相交两种位置关系．假设平面内不重合两条直线的斜率都存在，那么，如何判断两条直线是否平行呢？ 知识回顾 如图所示，若直线与平行，那么与是同位角，它们大小相等；反之，如果与相等，那么两条直线互相平行． 分析： 假设两条斜率存在且相互平行的直线和，它们的倾斜角分别是和，纵截距分别是和，如图所示． 观察发现，当时，一定有，，所以，即． 反过来，若，即，由于，，所以，从而． 通过举例引出判断两条直线平行的条件。 导入新知 已知直线，。则有 特别地，与重合 。 特别提示 当两条直线的斜率皆不存在(两直线皆与轴垂直)时，这两条直线平行，如图所示。 当两条直线的斜率都存在时，可以利用两条直线的斜率和纵截距来判断两条直线的位置关系。设直线的方程为，的方程为，则与的位置关系如下表所示。 总结判断两条直线平行的条件。 案例分析 【例题】已知直线经过点，且与直线平行，求直线的方程。 【解析】依题意可设直线的方程为，将点代入方程中，可得 ，。 则直线的方程为。 化为一般式方程，可得。 【例题】已知直线经过点，且与直线平行，求直线的方程。 【解析】直线的斜率为。 所以直线的斜率也为。 由点斜式方程可得。 化为一般式方程，可得直线的方程为。 通过案例分析来帮助学生理解判断两条直线平行的条件。. 学以致用 【练习】已知直线l经过点，且与直线平行，求直线l的方程． 【解析】由题可知直线l与直线平行，设直线l的方程为，又直线l经过点，所以，所以直线l的方程为. 【练习】已知直线经过点，且与直线平行，求直线的方程． 【解析】由，得直线的斜率； 设直线的斜率为，因为，所以， 又因为直线经过点，由点斜式方程得， 即直线的方程为. 通过及时练习来加深学生对判断两条直线平行的条件的记忆。 课堂练习 【练习1】直线与的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【解析】联立方程组，解得， 所以直线与的交点坐标为， 故选：. 【练习2】若两直线与的交点在轴上，则的值为（ ） A．6 B． C． D．以上都不对 【解析】因为直线与的交点在轴上，故， 令，求得两直线与轴的交点分别为和， 由题意得，解得． 故选：C. 【练习3】直线与的交点为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为直线与的交点为， 则将点代入得， ，即， 将点代入得， ，即， 所以. 故选：B. 【练习4】若直线与直线平行，则（ ） A．2 B． C． D． 【解析】因为直线可化为直线，其斜率为； 因为直线可化为，其斜率为； 因为直线与直线平行， 所以. 故选：D. 【练习5】直线与的位置关系是（ ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．相交而不垂直 【解析】因为直线可化为，其斜率为，截距为； 直线可化为，其斜率为，截距为； 所以两直线的斜率相同，截距不同，则两直线平行. 故选：C. 【练习6】已知直线在轴上的截距是3，且与直线平行，则直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为， 因为直线在轴上的截距是3，即直线过点， 代入方程中为，所以， 则直线的方程是. 故选：A. 请同学们结合本节课所学知识判断题目中的两条直线是相交还是平行。 场景1：小区内两条健身步道，步道1方程：，步道2方程： 场景2：商场的两条扶梯，扶梯1过点(0,0)、(2,1)，扶梯2过点(1,0)、(3,2) 答案： 场景1：平行，依据：斜率均为0.2（相等），截距不同 场景2：相交，依据：扶梯1斜率，扶梯2斜率，斜率不相等 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 已知两条相交直线(：)和(：)，若方程组 （1）有唯一解，则直线与相交，交点的坐标就是方程组的解； （2）无解，则直线与无公共点，此时两条直线平行； （3）有无数解，则直线与重合. 设直线的方程为，的方程为： 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 已知两条相交直线(：)和(：)，若方程组 （1）有唯一解，则直线与相交，交点的坐标就是方程组的解； （2）无解，则直线与无公共点，此时两条直线平行； （3）有无数解，则直线与重合. 已知直线，。则有 特别地，与重合 。 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在“两条相交直线的交点、两条直线平行的条件”的教学中，通过生活场景引入来进行讲解，多数学生能掌握交点坐标的求解方法与直线平行的基本条件，对“几何关系的代数表达”有了初步认知。但教学仍存在不足：一是部分学生在处理 “斜率不存在的直线”时，仍会错误判断平行关系。后续教学中，需补充“特殊直线（斜率不存在）的平行条件专项训练”，明确其平行的判定规则，提升知识的实用性，兼顾不同层次学生的学习需求。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $