广东省深圳市盐田高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

( 20 25 -20 26 学年第 一 学期高 二月考 数学答题卡 班级 姓名 试室号 座位号      ) ( 1 5 ．( 1 3 分) ) ( 注意事项： 答题前，认真核对条形码上的姓名、考试号,并在贴条形码区粘贴考生条形码。 选择题作答必须用 2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净。笔答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出答题框。 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 贴条形码区 考生 禁填 缺考标记 ) 客观题答题区 ( 9  10  11  ) ( 5  6  7  8  ) ( 1  2  3  4  ) ( 1 2 ．_ ________ _ ________ 1 3 ．_ ________ _ ________ 1 4 ．_ ________ _ ________ )主观题答题区 ( 第1 面 / 共2面 数学答题卡 ) ( 16. ( 1 5 分) ) ( 18 ．( 1 7 分) ) ( 17 ．( 1 5 分) ) ( 第 2 面 / 共2面 数学答题卡 ) ( 19 ．( 1 7 分) ) ( 第3 面 / 共3面 理科综合答题卡 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期月考 盐田高级中学高二数学试题卷 命题人：王君 审题人：温红娜 考试时间: 120分钟 分数: 150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在等差数列中，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．2 3.与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“直线与直线平行”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．16 C．32 D．36 7．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 8．已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（    ） A．直线l与⊙M相离 B．点P到直线l距离的最小值为 C．与⊙M关于直线l对称的圆的方程为 D．平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和 10．设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．满足的最小值是14 C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项 11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为 ． 13．直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 14．椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 .动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值． 16．已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2. (1)求的方程； (2)设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 17．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点. (1)求，的方程； (2)过点的直线交于两点，交于两点，若，求的方程. 18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. (1)证明：平面平面PAD； (2)求PC与平面AEF所成角的正弦值； (3)若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 19．17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. (1)以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； (2)过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期月考 盐田高级中学高二数学试题卷答案 1．C 【详解】因为是等差数列，所以，则. 2.B 【详解】因为，由抛物线的定义可知到准线距离为，即，解得：， 即抛物线方程为，代入点坐标得，即.不妨取，又， 则直线的斜率为，所以直线为，联立，消去整理得：，解得：，，即点的横坐标为， 由此可得：，即得：. 3．A 【详解】因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且， 又因为所求双曲线与双曲线共渐近线， 可设所求双曲线为，化为标准方程：， 则，解得，所求双曲线为． 4．A 【详解】直线与直线平行，则，或， 验证均不重合，满足. 故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 5．C 【详解】由，得， 所以， 6．C 【详解】由可知圆心为，半径为2； 由可知且圆心为，半径为. 因两个圆有三条公切线可知两圆外切，即， 解得：. 7．C 【详解】解：如图，称为五边形数， 从第二项起，后项与前项的差依次为， 所以五边形数的第5项为， 8．A 【详解】设，所以， 又因为成等差数列，所以， 所以，所以， 因为， 解得，   所以， 所以为等腰三角形， 即，化简可得，所以. 9．AC 【详解】⊙M ：，圆心，半径， 圆心到直线l：的距离为：，所以直线l与⊙M相离，故A正确；点P到直线l距离的最小值为，故B错误； 设圆心关于直线l对称点为，则，解得， 则与⊙M关于直线l对称的圆的方程为，故C正确； 设平行于l且与⊙M相切的直线方程为，则，解得或，平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和，故D错误. 10．ABD 【详解】由可知． 对于选项A：由为负，为正可知，最小，A正确． 对于选项B：， 则满足的最小值为14，满足的最大值是13,故B正确，C错误． 对于选项D：由为负，为正，且为负，为正可知： 为负．考虑到，故最大，即最小，正确． 11．BD 【详解】易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 12．/ 【详解】，又平面的一个法向量，所以点到平面的距离为. 13． 【详解】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示，又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点，所以由图可知，， 14． 【详解】根据椭圆定义得，所以，， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，因为的最大值为，且，则，解得，则. 设切椭圆于点，由椭圆的光学性质可得、、三点共线，， 则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以，到直线的距离为， 由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即. 15．(1)；(2). 【详解】（1）设等差数列的公差为，，， -----1分 ，， -----2分 联立，解得， -----4分 所以，的通项公式； -----6分 （2），，， -----8分 ，，数列是以为首项，8为公差的等差数列， ---9分 ， -----10分 ，，，，为正整数，， ——12分 正整数的最小值10. ——13分 16．(1)(2)①；②存在， 【详解】（1）由题意可设圆的圆心的坐标为， ——1分 圆的圆心在直线上，，解得：，即圆心为， ——2分 圆心到直线的距离为， —3分 设圆的半径为r，弦长为， 由已知，所以， ——5分 所以圆的标准方程为； ——6分 （2）设，则， ——7分 由得：，所以， ——8分 D在圆上运动， 整理可得点T的轨迹方程为：， ——9分 当直线轴时，轴平分， ——10分 当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为， 联立化简可得， ——11分 方程的判别式， 设，，， ——12分 若轴平分，则，所以，又，， 所以，所以， 所以，所以，解得， 当时，能使轴平分. ——15分 17．(1)，(2) 【详解】（1）将代入得，则的方程为， ——2分 其焦点坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以①  ； 又过点，所以②  ，联立①   ②  得， 所以，故的方程为．——5分 （2）当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求， 故直线的斜率不为0，设方程为，——6分 联立与，可得，——7分 ，设，故， ——8分 则， 故， ——9分 联立与，可得，，——10分 设，则， ——11分 则， 所以，解得，所以直线方程为.——15分 18．(1)证明见解析(2)1(3) 【详解】（1）∵平面ABCD，平面ABCD，∴，——2分 ∵，，PA、平面PAD，∴平面PAD，——4分 又∵平面PCD，∴平面平面——5分 （2）以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，——6分 则，，，，， ∴，，， ——7分 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，，故， ——9分 设PC与平面AEF所成角为，则， ——10分 ∴PC与平面AEF所成角的正弦值为 ·.——11分 （3）由（2）知，，平面AEF的一个法向量为， ∴，， ∴， ——12分 设平面AFG的法向量为，则， 令，则，，故， ——14分 ∵平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，∴， ——15分 整理得，即，解得或（舍），∴ .——17分 19．(1)(2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）， 点的轨迹是以为焦点的椭圆，设椭圆的方程为， ——1分 ，，点的轨迹的方程为；——4分 （2）（i）证明：设直线与椭圆的交点坐标为 ①当直线斜率存在时，如图，设， 联立直线与椭圆的标准方程， 可得：， ——5分 显然：恒成立，则，——6分 ，， ， ，即为定值； ——8分 ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图， 显然，可得：即0， ——9分 综上所述：为定值.——10分 （ii）， ，——11分 由（i）可知：，——12分 设，即，——13分 ，可得，——15分 又，，则， 又直线的斜率存在，，，综上：.——17分 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第一学期月考 盐田高级中学高二数学试题卷 命题人：王君审题人：温红娜 考试时间：120分钟 分数：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.在等差数列{an}中，42+4=7，a,+4。=25,则a。=() A.6 B.7 C.8 D.9 2.已知抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F,A(6,m)为抛物线上一点，AF=8,直线AF与 AF 抛物线另一交点为B,则 BF =() A.2 B.3 C.4 D.2 3.与曲线十兰-1共焦点，且与双曲线片-上-1共渐近线的双曲线的方程为《) 1636 46 A后营1 B.上--1 C.xy -=1 D. x2 y2 =1 812 128 812 4.设a∈R,则“a=1"是“直线l:ax+2y=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.如图，在三棱锥O-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c.若点M,N分别在棱OA,BC上， 且OM+3AM=2BN+C=0,则MN=() M 3 2元 A. a+-b--c 4 3 3 . 83 4 3 3 c.- 3」 1 2 1 3 D. 4a+3b+3d 43 6.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=4与圆C,:(x-4)2+(y-5)2=41-m有三条公切线，则=() A.5 B.16 C.32 D.36 试卷第1页，共4页 7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所 排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,4,9,16称为 正方形数则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为() A ；口 A.22 B.26 C.35 D.51 B:x v2 8.己知双曲线7合1(a>0,b>0)】 的左，右焦点分别为F,E,过点B的直线交E的 左支于1B两点，若M1小BR到成等差数列，且o∠49， 「3，则E的离心率是() A.33 B.5 C.5 D.3 3 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线1：x+y+1=0,点P为⊙M:(x-1)+(y-2)=2上一点，则() A.直线I与⊙M相离 B.点P到直线1距离的最小值为2√2-1 C.与⊙M关于直线1对称的圆的方程为(x+3)+(y+2)2=2 D.平行于1且与⊙M相切的两条直线方程为2.x+2y+1=0和2x+2y-5=0 10.设等差数列{a}的前n项和为Sn,公差为d,已知a,<0,a,+4>0,则下列说法正确 的是() A.Sn的最小值为S B.满足S>0的最小n值是14 C.满足Sn<0的最大n值是14 D.数列 的最小项为第8项 a 11.在正三棱柱ABC-AB,C1中，AB=A4=1,点P满足BP=BC+BB,其中1∈[0,1]， ∈[0,1]，则() A.当1=1时，△ABP的周长为定值 试卷第2页，共4页 B.当u=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值 C.当A=号时，有且仅有一个点P,使得AP1BP D.当么方时，有且仅有一个点P,使得4B1平面AP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知点A(1,1,-1)在平面a内，点P(0,2,-1)在a外，且的一个法向量n=(1,-2,-1), 则点P到平面a的距离为 18.直线y=机x一-列与双自线号户=1的右支只有一个公共点，则的取值范国为 14.椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆 的列-个售点上.已知药圆C号+若-10<bc2引，耳、只为其左、有焦点M足C上的别 点，点N0,V2),且W+M的最大值为6，则b= 动直线1为椭圆C的切 线，右焦点F关于直线l的对称点为P(,),则点P到直线x+y+6√2=0的距离d的取值 范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.已知等差数列{a}满足4，=5，a,+7=2a6. (1)求{a}的通项公式： (2)设数列b}前n项和为S,且bn=a-a,若Sm>432,求正整数m的最小值， 16.已知OC的圆心在直线3x-y-3=0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直 线1：x-y+3=0截得的弦长为2. (1)求⊙C的方程： (2)设点D在⊙C上运动，且点T满足D7=2T石，(O为原点)记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程； ②过点M(1,0)的直线与曲线E交于A,B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x 轴平分∠AB?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由， 知抛物线Cy2p匹(p>0的焦点F也是椭圆C:怎+左=1(a>b>0)的一个 43V6为C与6的-个公共点 (1)求C,C,的方程： (2)过点F的直线I交C于M,N两点，交C,于P,Q两点，若W=P②，求I的方程. 试卷第3页，共4页 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,AD⊥CD,AD/BC, PA=AD=CD=2,BC=3,E为PD的中点，点F在PC上，且- PC3 (1)证明：平面PCD⊥平面AD: (2)求PC与平面AEF所成角的正弦值： (3)若棱PB上一点G满足PG=1PB,且平面AEF与平面AFG 的夹角的余弦值为5，求元 7 19.17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆 用铰链首尾链接，构成菱形LEKQ.带槽杆QR长为4，点耳，F间的距离2，转动杆QF一周 的过程中始终有Q=EF点M在线段耳E的延长线上，且M=3. F F M 图1 图2 (1)以线段耳耳中点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹T的 方程： (2)过点E,的直线与T交于A.B两点记直线MAMB的斜率分别为k,k, (i)证明：k+k为定值； (i)若直线l的斜率为k,点N是轨迹T上异于A,B的点，且NE平分∠ANB,求 BN AN 的 取值范围。 试卷第4页，共4页null2025-2026学年第一学期月考 盐田高级中学高二数学试题卷答案 1.C 【详解】因为{an}是等差数列，所以4a,=42+a+a,+ao=32,则a。=8. 2.B 【详解】因为到=8，由抛物线的定义可知4到准线距离为8，即6+号=8，解得：P=4, 即抛物线方程为y2=8x,代入点A坐标得m=48,即m=±45.不妨取A6,4W3),又F(2,0), 则直线4r的斜率为k=4W3-0=5,所以直线Ar为y=5K-2),联 6-2 y=5(-2),消去y整理得： y2=8x 3x2-20x+12=0,解得：5=6，飞=2 3即点的横坐标为 由此可得：B子2- 2 2=氵，即得：883 3.A 【详解】因为线G+6-1为隔圆。所点在y销上，且6-6-1620 又因为所求双曲线与双曲线上-1共浙近线， 46 可设所求双曲线为千。-4<0，化为标在方程：兰士 =1, 46 -61-42 则c2=-62-4=20,解得2=-2，所求双曲线为兰- 1281. 4.A 【详解】直线(：ax+2y=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行，则a(a+1)=2,a=1或a=-2, 验证均不重合，满足 故“a=1"是“直线：ax+2y=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行"的充分不必要条件. 5.c 【详解】由OA=a,OB=b,OC=c,OM+3AM=2BN+CN=0,得 oM-ai-a-号丽-3o丽-oc-6-, 所以瓜-肠-元+西-+6-=a+5+ 6.C 【详解】由C:(x-1)+(y-1)2=4可知圆心为C1,1),半径为2： 第1页共8页 由C2:(x-4)2+0y-5)2=41-m可知m<41且圆心为C2(4,5),半径为41-m 因两个圆有三条公切线可知两圆外切，即1CC,卡√(4-12+(5-1=5=2+√41-m, 解得：=32. 7.C 【详解】解：如图，1,5,12,22称为五边形数， 从第二项起，后项与前项的差依次为4,7,10,13， 所以五边形数的第5项为22+13=35， 8.A 【详解】设A=m,所以A=A+2a=m+2a, 又因为AFAF,BF引成等差数列，所以B引=2AF引-A=m+4a, 所以B=BE-2a=m+2a,所以AB=A+B=2m+2a, 因为cos∠ARB= A+Br-AB_(m+2a'+(m+4'-(2m+2a_1 2AF BF 2(m+2a)(m+4a 解得m=2a, 所以AF=2a,AF=4a,BF=6a,BF=4a,AB=6a=|BF, 所以△AB耳，为等腰三角形， 即cos∠RAB=cos∠ARB-LASP theF-f2a+2c,化 3 2 AF AF. 22a4a 简可得c'-号a,所以e=￡-33 3 a 3 9.AC 【详解】⊙M:(x-1)2+(y-2)=2,圆心M(L,2),半径r=√5， 圆心M,2)到直线4x++1=0的距离为：d-+2+=2N2>,所以直线1与OM相离，枚A正确： V12+12 点P到直线l距离的最小值为d-r=2-√2=√2，故B错误； +1++L+1=0 22 设圆心M(1,2)关于直线1对称点为N(x,),则 %-2 ,解得N(-3,-2), ×(-1)=-1 0x-11 则与⊙M关于直线1对称的圆的方程为(x+3)+(y+2)=2,故C正确： 设平行于1且与⊙M相切的直线方程为x+y+c=0,则d'= +2+d-1=反，解得c=-1或c=-5,平行于 V1+12 1且与⊙M相切的两条直线方程为x+y-1=0和x+y-5=0,故D错误. 第2页共8页 10.ABD 【详解】由4<0,4，+4>0可知4<0，d>0,4>0 对于选项A:由a,a2,,a,为负，4，a,…为正可知，S,最小，A正确. 对于选项8：-a+131五0s4=色+47么+a) 2 2 则满足Sn>0的最小值为14，满足Sn<0的最大n值是13，故B正确，C错误。 对于选项D:由4,42，，a,为负，a,4,…为正，且，S2,,S3为负，S4,S5,…为正可知： 三冬三为旋.者虚引>kk小长kl,故骨数大.即受最小，E骑 a 11.BD A H C 【详解】易知，点P在矩形BCCB,内部（含边界）. B 对于A,当=1时，BP=BC+uBB=BC+uCC,即此时P∈线段CC,△ABP周 N 长不是定值，故A错误； M 对于B,当u=1时，BP=BC+BB=BB+B,C,故此时P点轨迹为线段B,C, C 而B,C,BC,B,C∥平面ABC,则有P到平面ABC的距离为定值，所以其体积为 定值，故B正确 对于C,当1号时，丽-c+丽，取5C,4g中点分别为2，日，则丽=丽+0丽，所以P点 轨迹为线段QH,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， Po,0四.B020则 C错误； 对于D,当u=号时，P=BC+弧，取BB,CC中点为M,N,丽=M+,所以P点轨迹为 2 所以 311 4+2-2 0一%=此时P与N重合，故D正 12.6 22 【详解】AP=(1,1,0),又平面x的一个法向量n=(1,-2,-1),所以点P到平 ------ 面的距离为 m.1x1+1x(-2+0(--6 V1+4+1 2 y=k(x-3) [引 第3页共8页 1 【详解】直线过定点(3,0)，直线与双曲线图象如图所示，又双曲线的两条渐近线为y=± t, 因为直线y=k(x-3)与双曲线-y=1的右支只有一个公共点，所以由图可知，k∈ 11 2'21 14. √2 [1,9] 【详解】根据椭圆定义得M+ME=2a,所以， MN+MF MIN-MF,+2a<NF,+2a, 当且仅当M为射线NE,与椭圆的交点时，等号成立，因为 MW+M的最大值为6，且a=2,则NE=√2+c2=2,解 得c=√2， 则b=√a2-c2=√4-2=√2 设1切椭圆于点A,由椭圆的光学性质可得P、A、耳三点共线， FP=FA+AP=FA+AF,=2a=4, 则点P的轨迹是以耳（-√2,0)为圆心，半径为4的圆， 所以，(5.0)到直线x+y+65=0的距离为V2+6W =5, √2 由圆的几何性质可知，点P到直线x+y+6√2=0的距离最小值5-4=1，最大值5+4=9，即d∈[1,9]： 15.(1)a.=2n+1:(2)10. 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d,:a2=5,.a+d=5, --1分 a+7=2a6,a+8d+7=2(a+5d), --2分 a+d=5 联立 4=3 4+8d+7=2a+5d'解得d-2 -4分 所以a,=4+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,{a}的通项公式a,=2n+1; --6分 (2)'b=cG1-a,an=2n+1,b.=(2n+3)-(2+1)=8(n+1), --8分 .b1=8(n+2),.b1-b=8,∴数列{b}是以b=16为首项，8为公差的等差数列， 9分 s.=wl6+80+]40e+3》, ---10分 2 n>432,.4(m+3)>432,.m2+3-108>0,.(m-9)(m+12)>0,m为正整数，.>9， 一-12分 .正整数m的最小值10 -—13分 16-+=9a@(+y1:@有在，N传0 【详解】(1)由题意可设圆C的圆心C的坐标为(1，b), 一—1分 第4页共8页 :圆C的圆心C在直线3x-y-3=0上，∴.3-b-3=0,解得：b=0,即圆心为(1,0)， 一一2分 “.圆心到直线l的距离为d=22, 一3分 设圆C的半径为r,弦长为2Wr2-d=2r2-8, 由己知22-8=2，所以2=9， 一一5分 所以圆C的标准方程为(x-1)+y2=9: 一一6分 (2)T(x,y),D(x,y),DT=(x-x,y-y),TO=(-x,-y), -一7分 [x-x'=-2x x'=3x 由D7=2T6得： -y=-2y所以{y=3y 一一8分 D在圆C上运动，(3x-1)2+(3y)2=9, 整理可得点T的轨迹方程E为： 一一9分 当直线ABLx轴时，x轴平分∠ANB, 一一10分 当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x-I), 联立 一一11分 y=k(x-1) 方++号+-号-0的判别武△(2--4--8》+4>0， 2+2k 设Nt0,A(K).B(:g+=子51+ 9 -12分 若x轴平分∠AB,则k+k=0,所以，片+兰，=0，又y=kx-1),马，=(6，-1)， x-t x,-t 所以2xx-t+)s+x)+21=0,所以，2S 2 +2k2 1+2+2t=0, 所以犬-g+店+0+)-0，所以-号+)+=0.解得1 6 当N0时，生使轴平分Aa, -15分 1.r-4,写+-1=±1 9T8 【详解1④格4侵、代入C=2p得p=2,则C的方程为y产-，一2分 其焦点坐标为F(1,0),因为F也是椭圆C,的一个焦点，所以a2-b2=1①； 又c过点4〔同，所以品+奈=1@，联回@相(4w100, 所以4-9，公=8，故c,的方程为二+若=1.一一5分 98 (2)当直线斜率为0时，直线1与抛物线只有一个交点，不合要求， 第5页共8页 故直线1的斜率不为0，设方程为x=y+1,一一6分 联立x=0y+1与y2=4x,可得y2-4y-4=0,一一7分 △=162+16>0，设M(5,),N(x2,y2),故y1+y2=4,yy2=-4,一一8分 则+x2=1+%+1+y2=2+m(y+y2)=42+2, 故W=x+x,+2=4(m2+1,一-9分 联立x=m+1与)+31，可得8+9Y+16mw-64=0,△=2304m+>0,一一10分 -16m 设P(sy),(,y),则+=8m+9w -64 --11分 8m2+9 则P四l=V+m.√y,+y广-4yy,=d+m -16）2 256 48(m2+1) V8m2+9 8m2+9 82+9 所以42+1） 48(m+,解得m=± 82+9 4 所以直线1方程为=±5+1.一5分 18.(1)证明见解析(21(3)元=石 ZA 【详解】(1)，PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,.PA⊥CD,一一2分 ,AD⊥CD,PAOAD=A,PA、ADC平面PAD,∴.CD⊥平面PAD,一一4分 又，CDc平面PCD,.平面PCD⊥平面PAD.一一5分 (2)以A为原点，AD,AP所在直线分别为y,z轴，作Ax/CD为x轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，一一6分 则4@00.PQ02.c220,00.P后号： 丽=01.不-后号)币=22-2， -一7分 mAE=y+z=0 设平面AEF的法向量为=（x,y,),则 m-+-20 令y=1,则==-1，x=1,故i=(1,1,-1), 一—9分 PC.m 设PC与平面ABF所成角为6，则sin6=cos(Pc,m》= 2+2+2=1, 一—10分 PCm 2W3×V3 ∴.PC与平面AEF所成角的正弦值为1. ·.一一11分 (3)由(2)知，B(2,-1,0),平面AEF的一个法向量为m=(1,1,-1), .PG=2PB=(2,-1,-2),∈[0,1]， ∴.AG=AP+PG=(0,0,2H(2,-1,-2上(2-元，2-21)， 一一12分 第6页共8页 设平面AFG的法向量为i=(a,b,c),则 mA-号a+b+2q-0 i.AG=2a-2b+(2-2)c=0 令a=-2,则b=2-61,c=31,故i=(-2,2-62,32), 一14分 -2+(2-62)-3-V万 :平面A讴F与平面G的夹角的余弦值为，Qosm-时5x,4+2-6炉+B于 > 7 --15分 整理得1872+37-1=0，即(62-1)(32+1)=0，解得2=2或}（舍），·2= 6 3 .-—17分 19.学+苦g0正明见解：a后小 【详解】(1)：2=EFE+EF=E+Q=2=4>EF=2, C点B的轨迹是以R.R为焦点的蓝圆，设椭圆的方程为。+1>b>0 一一1分 2a=4么=2a=2c-l,=云-c-,点g的数迹r的方程为号号-1： 一—4分 (2)(1)证明：设直线1与椭圆的交点坐标为A(:,y),B(x2,y) y不 ①当直线l斜率存在时，如图，设：y=k(x-1), x+=1 F F2/ 联立直线与椭圆的标准方程43 M y=k(c-1) 可得：(3+4k2)x2-8k2x+42-12=0, 一一5分 显热A>0恒皮立则e4 ,一一6分 M产=产46=之年，医- x-4x2-4(x-4)(x2-4) y(2-4)+y2(5-4)=2x2-5(x+x)+8歇 =2k×46=12-5k×8k 3+4k2 3++8k=8一24k-40+32k+2Ak=0 3+4k2 k+k2=0,即k+k2为定值： 一一8分 ②当直线l斜率不存在时，直线垂直于x轴，如图， y 显然∠AM俨2=∠BM俨2，可得：k=-k即k+k2=0, 一一9分 F F M 综上所述：k+k2为定值.一一10分 (ii). SN Nsi_BAVF. B到h SANF 5 ]lNsin-∠ANZ 为4钢h 第7页共8页 BN BF AN AF 一-11分 6k 由(i)可知： y+y=-3+4k -9k2 ,一—12分 yv:=3+4k 设BE=1EA,即2=-y,一-13分 6k -2%=3+443 %:，可得0-刀4 -=3+4R 13+415分 又k2≥0，，4 又：直线4的斜字存在，B,1,综上：Ae小L到一7分 第8页共8页