专题01 集合与常用逻辑用语（16个题型）（高效培优期末专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题01 集合与常用逻辑用语（16个题型） 考点01 利用元素与集合关系求参 考点02 集合中元素的个数的判断及其应用 考点03 集合元素互异性的应用 考点04 集合相等及其应用 考点05 集合间基本关系的判定 考点06 （真）子集的列举与个数的计算及其应用 考点07 利用集合间关系求参数 考点08 集合的交、并、补运算 考点09 根据集合的运算求参 考点10 集合新定义题 考点11 命题真假求参 考点12 充分性与必要性的判断 考点13 利用充分条件与必要条件求参数 考点14 全称量词命题与存在量词命题的否定 考点15 根据含有量词的命题的真假求参数 考点16 集合、常用逻辑用语与其他章节融合主观题 考点01 利用元素与集合关系求参 1．已知集合，若，则中所有元素之和为（  ） A．3 B．1 C． D． 2．（多选）已知集合,若,则满足条件的实数可能为（  ） A.2 B.-2 C.-3 D.1 3．（多选）集合A中含有三个元素2，4，6，若，且，那么为（  ） A．2 B．－2 C．4 D．0 4．设集合，，已知4且，则a的取值集合为 . 5.设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 考点02 集合中元素的个数的判断及其应用 6．已知集合，则集合的元素个数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若集合中只有一个元素，则实数（  ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 8．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为__________ 9.已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 考点03 集合元素互异性的应用 10．在集合中，的值可以是（  ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 11．（多选）已知集合，若，则a的值可以为（　　） A．-1 B．3 C．8 D．-8 12．已知，则x的值为__________． 考点04 集合相等及其应用 13．已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 14．下列各组集合表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 15．已知实数集合，，若，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 16．已知，且，则＝________． 考点05 集合间基本关系的判定 17．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（  ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 18．下列五个写法：①；②；③；④，其中错误写法的个数为（  ） A． B． C． D． 19．集合，，的关系是（  ） A． B． C． D． 20．已知集合，那么集合与Q的关系是（  ） A． B． C． D． 21.（多选）若集合，则之间的关系是（  ） A． B． C． D． 考点06 （真）子集的列举与个数的计算及其应用 22．已知集合，则集合A的所有真子集的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 23．已知集合，集合且，则集合的子集个数为（  ） A．4 B．8 C．16 D．32 24．已知集合A满足，，则满足条件的集合A的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 25．（多选）下列说法正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 空集是任何集合的子集 C. 若，则或 D. 集合的子集个数为64个 26.（多选）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（  ） A． B． C．0 D．1 27．若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为___________． 考点07 利用集合间关系求参数 28．已知集合.若，则的最大值为（  ） A．2 B．0 C． D．-2 29．已知集合，若，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 30．已知集合，且，则（  ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 31．（多选）已知集合，若，则的值可能是（  ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 32．（多选）设集合，，若，则的值可以为（  ） A．1 B．0 C． D． 33.已知关于不等式的解集，集合． （1）求实数的值； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 34.已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 考点08 集合的交、并、补运算 35．已知集合，则（ ） A B. C. D. 36．已知全集，集合，则（   ） A. B. C. D. 37．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 38．如图所示Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或 39.设全集，集合，，则（  ） A． B． C． D． 40.（多选）已知集合，，，则（  ） A． B． C． D． 41．（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（  ） A． B． C． D． 考点09 根据集合的运算求参 42.已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（  ） A． B． C． D． 43．（多选）设，，若，则实数的值不可以是（  ） A．0 B． C． D．2 44.已知集合，，且，则实数a的取值集合为___________ 45．设集合，，若，则实数m的取值范围为_________ 46．已知集合，，实数集为全集. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 47．已知函数，．设的定义域和值域分别为集合，，集合． （1）求； （2）若，求实数m的取值范围． 48.已知集合，． （1）若，求； （2）已知，求实数的取值范围． 49.已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求m的值； (3)求实数的值使得． 考点10 集合新定义题 50．定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（  ） A．82 B．74 C．12 D．70 51．若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 52．（多选）设，为非空实数集，定义，则（  ） A． B． C． D． 53．定义集合运算：，集合，则集合的真子集的个数是为 ． 54．对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A只有孪生性质. （1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； （2）设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； （3）设集合，若，求证：. 考点11 命题真假应用 55．已知命题，命题，若均为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 56．（多选）下列命题为真命题的有（ ） A. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 B. 函数的单调递减区间为 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 函数的最小值为5 57．（多选）下列命题是假命题的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数最小值为 C. 函数与是同一个函数 D. 若不等式的解集为，则不等式的解集为 58．若命题“，都有”是假命题，则实数m的取值范围为______. 59.设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：若命题真q假，则实数的取值范围为___________； 考点12 充分性与必要性的判断 60．“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 61．“是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 62．“点在第二象限”是“角为第三象限角”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 63．“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 64.“函数的定义域为R”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 65.设为上的奇函数，则当时，“单调递增”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 必要不充分 C. 充分不必要 D. 不充分不必要 66.已知，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点13 利用充分条件与必要条件求参数 67．若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 68．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 69．（多选）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 70．已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 . 71．设命题，命题，若是成立的必要条件，则实数的取值范围是__________ 72．设命题：实数满足，其中；命题：实数x满足，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________． 73．全集，集合，非空集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 74.已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 考点14 全称量词命题与存在量词命题的否定 75．命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 76．已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 77．已知命题，则的否定为（　　） A． B． C． D． 考点15 根据含有量词的命题的真假求参数 78．已知命题，若是假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 79．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 80．若命题“，”是真命题，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 81．已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； 82．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 83.设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 考点16 集合、常用逻辑用语与其他章节融合主观题 84.已知命题：函数在区间上没有零点；命题，使得成立. （1）若和均为真命题，求实数的取值范围； （2）若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数的取值范围. 85.函数的值域为，的定义域为 （1）求； （2）若求实数a的取值范围. 86.设为实数，集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 87.设函数的定义域为集合，的定义域为集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语（16个题型） 考点01 利用元素与集合关系求参 考点02 集合中元素的个数的判断及其应用 考点03 集合元素互异性的应用 考点04 集合相等及其应用 考点05 集合间基本关系的判定 考点06 （真）子集的列举与个数的计算及其应用 考点07 利用集合间关系求参数 考点08 集合的交、并、补运算 考点09 根据集合的运算求参 考点10 集合新定义题 考点11 命题真假求参 考点12 充分性与必要性的判断 考点13 利用充分条件与必要条件求参数 考点14 全称量词命题与存在量词命题的否定 考点15 根据含有量词的命题的真假求参数 考点16 集合、常用逻辑用语与其他章节融合主观题 考点01 利用元素与集合关系求参 1．已知集合，若，则中所有元素之和为（  ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果. 【解析】若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故， 解得（舍）或， 故，元素之和为， 故选：C 2．（多选）已知集合,若,则满足条件的实数可能为（  ） A.2 B.-2 C.-3 D.1 【答案】AC 【分析】根据，依次令中的三个元素分别等于2，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果. 【解析】由题意得或。 若,即,则或。 检验:当时,,与元素互异性矛盾,舍去。 当时,,与元素互异性矛盾,舍去。 若,即,则或, 经验证或为满足条件的实数。 故选：AC。 3．（多选）集合A中含有三个元素2，4，6，若，且，那么为（  ） A．2 B．－2 C．4 D．0 【答案】AC 【分析】根据，且逐个分析判断即可. 【解析】对于A，当时，，且，所以A正确， 对于B，当时，，所以B错误， 对于C，当时，，且，所以C正确， 对于D，当时，，所以D错误. 故选：AC 4．设集合，，已知4且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【解析】因为，，4且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 5.设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【答案】（1）2；（2）不是；（3） 【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得. （2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可. （3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得. 【解析】（1）由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. （2）不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 考点02 集合中元素的个数的判断及其应用 6．已知集合，则集合的元素个数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【解析】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 7．若集合中只有一个元素，则实数（  ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【解析】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D. 8．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为__________ 【答案】 【分析】由已知求出集合A，进一步得到m的范围. 【解析】由题意可知，可得. 故答案为： 9.已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【解析】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 考点03 集合元素互异性的应用 10．在集合中，的值可以是（  ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】首先排除不可以取的值，可得时不符题意，当时满足题意，即可得解. 【解析】首先确定不可以取的值，由可得或， 由可得， 当可得， 所以的值不能取-1，，，3， 当时有可以取， 故选：A 11．（多选）已知集合，若，则a的值可以为（　　） A．-1 B．3 C．8 D．-8 【答案】AC 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【解析】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为-1，8. 故选：AC. 12．已知，则x的值为__________． 【答案】0或2 【分析】根据，由，，， 并利用集合的互异性判断求解. 【解析】因为， 所以当时，集合为 不成立； 当 时，集合为 ，成立； 当 时，解得 （舍去）或， 若，则集合为，成立. 所以x的值为0或2 故答案为：0或2 考点04 集合相等及其应用 13．已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【解析】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 14．下列各组集合表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合相等的条件判断即可 【解析】选项A，两个集合表示点集元素与元素不一样，故A错误； 选项B，集合为点集，而集合为实数集，故不相同，所以B选项错误； 选项C，由集合中元素具有无序性，所以集合与集合相同，故C正确； 选项D，集合为实数集，而集合为点集，故不相同，所以D选项错误； 故选：C. 15．已知实数集合，，若，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据列出方程并解方程根据元素的互异性进行取舍即可. 【解析】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 16．已知，且，则＝________． 【答案】或1 【分析】根据集合相等得到方程组，求出，舍去不合要求的根，得到答案. 【解析】因为，所以①或②， 解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 所以或. 故答案为：或1 考点05 集合间基本关系的判定 17．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（  ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 【答案】C 【分析】根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥． 【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 18．下列五个写法：①；②；③；④，其中错误写法的个数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合关系的表示，空集的定义和性质，集合相等，交集运算的定义，逐一判断五个结论的正误，可得答案． 【解析】“∈”表示元素与集合的关系，故①错误； 空集是任何集合的子集，故②正确； 由{0，1，2}＝{1，2，0}可得{0，1，2}⊆{1，2，0}成立，故③正确； 空集不含任何元素，故④错误 所以错误写法的个数为2个 故选：B． 19．集合，，的关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【解析】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 20．已知集合，那么集合与Q的关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出. 【解析】由题意可得，故集合是集合的真子集，即． 故选：B. 21.（多选）若集合，则之间的关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合间的关系分析理解. 【解析】∵，， 且为奇数，为整数， ∴，即，A、D错误，C正确； 又∵，且均为整数， ∴，B正确； 故选：BC. 考点06 （真）子集的列举与个数的计算及其应用 22．已知集合，则集合A的所有真子集的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】B 【分析】根据真子集的个数公式即可求解. 【解析】由题意可得，故集合A的所有真子集的个数为. 故选：B. 23．已知集合，集合且，则集合的子集个数为（  ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】求出集合及子集可得答案. 【解析】由题意可得，故子集为， 共有8个. 故选：B. 24．已知集合A满足，，则满足条件的集合A的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 【答案】B 【解析】集合A满足，， ∴集合A中一定包含元素1，2，3，还有可能包含5， 一定不包含4和6， 所以满足条件的集合A的个数为2个，分别为 故选：B． 25．（多选）下列说法正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 空集是任何集合的子集 C. 若，则或 D. 集合的子集个数为64个 【答案】BD 【分析】利用必要不充分条件定义判断A；利用空集的性质判断B；举例说明判断C；列举法表示给定集合并求出子集个数判断D. 【解析】对于A，由，得，则“”是“”的充分条件，A错误； 对于B，空集是任何集合的子集，B正确； 对于C，满足，而，C错误； 对于D，由，是6的约数，而的约数有， 则，因此，其子集个数为，D正确. 故选：BD 26.（多选）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（  ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】集合恰有4个子集，则集合有2个元素，问题转化为有两个不相等的实数解即可. 【解析】因为集合恰有4个子集，所以集合有2个元素，则有两个不相等的实数解，则，解得. 故选：ABC. 27．若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为___________． 【答案】或． 【分析】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素，通过分类讨论得出的范围． 【解析】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素． 当时，，此时集合为，符合题意， 当时，方程是一元二次方程， 时，解得，，此时集合为，符合题意， 时，解得，此时集合为空集，符合题意， 综上，的取值范围是或． 故答案为： 或． 考点07 利用集合间关系求参数 28．已知集合.若，则的最大值为（  ） A．2 B．0 C． D．-2 【答案】C 【分析】利用集合的子集关系求解 【解析】由于，所以， 故的最大值为， 故选：C 29．已知集合，若，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的子集关系求解 【解析】因为， 所以, 所以由数轴得. 即的取值范围为. 故选：D. 30．已知集合，且，则（  ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 【答案】A 【分析】根据互异性得到，分中只有1个元素和有2个元素两种情况，结合根的判别式和韦达定理得到答案. 【解析】由题意得， 若中只有1个元素，则，且，解得， 当时，，此时， 当时，，此时， 若中有2个元素，则，则， 所以为方程的两根，故， 解得，满足，故， 所以或20. 故选：A 31．（多选）已知集合，若，则的值可能是（  ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】BC 【分析】利用集合相等，解出对应参数的值，然后利用元素的性质判断即可. 【解析】因为，所以或解得或则或. 故选：BC 32．（多选）设集合，，若，则的值可以为（  ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【分析】由，再分和两种情况讨论即可. 【解析】， 因为， 所以当时，， 当时，， 则或，所以或， 综上所述，或或. 故选：ABD. 33.已知关于不等式的解集，集合． （1）求实数的值； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）选择见解析，答案见解析 【分析】（1）根据绝对值不等式的几何意义，得到，再结合条件，即可求解； （2）选择①，根据条件，结合图形，得到，即可求解；选项择②，根据条件，结合图形，得到，即可求解. 【解析】（1）由，得到，即， 又因为关于不等式的解集， 所以，解得，所以实数的值为. （2）选择条件①，因为，， 又，由图知， ，解得. 选择条件②，因为，， 又，即，由图知， ，解得. 34.已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】（1）1；（2）或 【分析】（1）根据补集和集合相等的定义即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【解析】（1）由， 得或， 因为，或， 所以，解得； （2）当时，，解得， 当时，由， 得或，解得或， 综上，的取值范围为或． 考点08 集合的交、并、补运算 35．已知集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【分析】先解一元二次不等式和对数不等式，再利用交集的定义计算即可. 【解析】由，解得，则， 由，解得，则，所以. 故选：C. 36．已知全集，集合，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】解指数不等式求集合，确定函数的定义域求集合，再利用交集的定义求解. 【解析】由，得，则， 由，得，解得，则， 所以. 故选：C. 37．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】分别化简两个集合，并进行交集运算. 【解析】因为， 所以，即 故选：B 38．如图所示Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【解析】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 39.设全集，集合，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再进行集合的补集，即可得答案； 【解析】，故， 故， 故选：A. 40.（多选）已知集合，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出集合中元素范围，再根据交集，并集，补集的定义逐一计算判断. 【解析】,, 则，，则AC正确， 又，， 则，则BD错误 故选：AC 41．（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项CD不正确， 故选：AD. 考点09 根据集合的运算求参 42.已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，由得到，分与，求出实数a的值，得到答案, 【解析】， 因为，所以， 当时，，满足要求， 当时，只有一个根， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 实数的所有值构成的集合是. 故选：D 43．（多选）设，，若，则实数的值不可以是（  ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】先求出集合，再根据，求得的取值范围，,最后根据补集思想即得 【解析】由题意，，若，则，若，则，满足题意； 若，则，因为，所以或，则或. 综上：或或. 故选：ABC. 44.已知集合，，且，则实数a的取值集合为___________ 【答案】 【分析】由，得到，分和两种情况讨论，集合集合元素的互异性，即可求解. 【解析】由题意，集合，， 因为，所以， 当时，即，此时，集合中不符合集合元素的互异性，舍去； 当时，即，解得或， 若，此时，集合中不符合集合元素的互异性，舍去； 若，可得，此时，，符合题意， 综上可得实数的取值集合为. 故答案为：. 45．设集合，，若，则实数m的取值范围为_________ 【答案】. 【分析】根据已知条件，求出集合间的包含关系即可求解. 【解析】若，则， 从而， 故实数m的取值范围为. 故答案为： 46．已知集合，，实数集为全集. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；或. （2） 【分析】（1）由集合的交集、并集、补集运算即可求解； （2）由求解即可. 【解析】（1）当时，，或， 所以或； 又或， 所以或 （2），或， 因为，所以，解得：， 所以实数的取值范围为 47．已知函数，．设的定义域和值域分别为集合，，集合． （1）求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据根式的性质，以及函数定义域和值域的求法，列出不等式组，求出集合，，再求出集合交集即可. （2）根据集合描述法的概念，和根式的性质，求出函数定义域，再根据集合交集运算结果，判断集合之间的关系，进而列出不等式，求出参数范围. 【解析】（1）由题意得，解得，即， 由，因为，所以， 所以，即， 所以． （2）由，得，解得或， 因为，所以， 当时，的解集为，不符合题意， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 48.已知集合，． （1）若，求； （2）已知，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）条件选择见解析，. （2）由，得到，列出不等式组，即可求解； 【分析】（1）利用并集的定义得出；（2） 求出的取值范围即可. 【解析】（1）当时，集合， 因为，所以或． （2）因为，可得，则，解得． 49.已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求m的值； (3)求实数的值使得． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分和两种情况进行讨论即可； （3）由可得，即，分，，，四种情况讨论即可． 【解析】（1）∵，∴，解得． （2）． 由， 若，即，满足题设， 若，即，则或， 将代入可得（不成立，舍去），或， 综上，或． （3）由，且，则，即， 当时，无实数根，即，解得； 当时，有两相等实数根，，则，符合题意； 当时，有两相等实数根，，则， 此时为，则，不合题意； 当时，有两实数根0和4， 此时且，解得且，则； 故综合上述，的取值范围为或． 考点10 集合新定义题 50．定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（  ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【解析】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A 51．若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】确定M中一定含有，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答案. 【解析】的子集有， 由题意知M中一定含有， 则M中可以含有的其他元素从剩余的5个集合中选取； 当剩余的5个集合都不选时，，共1个； 当只取1个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取2个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取3个时，或， 或或，满足题意，此时M有4个； 当取4个时，没有符合题意的情况； 当5个全选时，，共1个， 故所有含的“M—集合类”的个数为， 故选：D 52．（多选）设，为非空实数集，定义，则（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分别利用题中的概念判断每一个选项即可； 【解析】选项A，由题可知，，故正确； 选项B, , 所以， 同理 所以，故选项B正确； 选项C，，故当集合中没有元素时，选项C错误； 选项D，由题可知，但是可能为空集，所以选D错误； 故选：AB 53．定义集合运算：，集合，则集合的真子集的个数是为 ． 【答案】7 【分析】先求出集合，由公式求出集合的真子集的个数 【解析】依题意，当或时，；当时，； 当时，，因此集合， 所以集合的真子集的个数为7 54．对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A只有孪生性质. （1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由； （2）设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值； （3）设集合，若，求证：. 【答案】（1）不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）675 （3）证明见解析． 【分析】（1）根据新定义直接验证； （2）求出和，由它们的交集为空集可得； （3）求出中的可能元素，根据分析元素的性质可得． 【解析】（1）由题意，，，， ,, 所以不具有孪生性质，具有孪生性质； （2）由题意，， ，则，， 又，所以的最小值是675； （3）， 则都属于集合， 又，则， 又，所以，所以， 考点11 命题真假应用 55．已知命题，命题，若均为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据命题的真假以及三角函数值域即可求得结果. 【解析】若命题为真命题，可得即可，即； 若命题为真命题，可得，即可得， 因此若均为真命题，可得, 即实数的取值范围为. 故选：B 56．（多选）下列命题为真命题的有（ ） A. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 B. 函数的单调递减区间为 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 函数的最小值为5 【答案】AC 【分析】对于A，应用扇形的弧长及面积公式计算即可判断；对于B，先求函数的定义域，结合复合函数单调性分析判断；对于C，结合诱导公式，利用充分条件、必要条件的概念判断即可；对于D，由同角三角函数基本关系及对勾函数的单调性即可判断. 【解析】对于A，设扇形的半径为，因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以，则该扇形的面积为，故A正确； 对于B，令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是，故B错误； 对于C，一方面：当时，， 另一方面：注意到，但不是的整数倍， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，函数， 令，则， 设，该函数在区间上单调递减， 故当时，取得最小值，所以的最小值为，故D错误. 故选：AC. 57．（多选）下列命题是假命题的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数最小值为 C. 函数与是同一个函数 D. 若不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据存在性命题的否定判断A，利用换元法结合对勾函数单调性可判断B，根据函数定义域判断C，由一元二次不等式、一元二次方程的关系求不等式的解集判断D. 【解析】对于A，“，”的否定是“，”，故A为假命题； 对于B，令，则，所以函数在上单调递增， 所以，故B选项为真命题； 对于C，函数定义域为R，函数定义域为， 定义域不同，两函数不是同一个函数，故C选项为假命题； 对于D，由题意，方程的解为，且， 由韦达定理可得，解得， 则不等式，即， 由，则不等式变为，解得或，故D为假命题； 故选：ACD. 58．若命题“，都有”是假命题，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意可得 “都有”是真命题，讨论m的取值，结合二次不等式恒成立，即可求得答案． 【解析】若命题“，都有”是假命题, 则 “都有”是真命题， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，要使得，则，解得， 综上，实数m的取值范围为. 故答案为：. 59.设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：若命题真q假，则实数的取值范围为___________； 【答案】或. 【分析】根据命题的真假得出结论． 【解析】若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或. 考点12 充分性与必要性的判断 60．“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据诱导公式、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【解析】若，则， 若，则可能等于， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 61．“是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【解析】由，得，即解得或， 所以是“”的充分且不必要条件， 故选：A 62．“点在第二象限”是“角为第三象限角”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断. 【解析】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立， 若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立， ∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件. 故选：C. 63．“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先化简，进而得到“”是“”的充分不必要条件. 【解析】由，可得且， 则由“”可得“”，但是不能由“”得到“”， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 64.“函数的定义域为R”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据函数定义域得到，结合与的关系得到答案. 【解析】定义域为R，即恒成立，故， 由于时一定满足，但时不能得到， 所以“函数的定义域为R”是“”的必要不充分条件. 故选：B 65.设为上的奇函数，则当时，“单调递增”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 必要不充分 C. 充分不必要 D. 不充分不必要 【答案】D 【分析】利用充分，必要条件的定义举反例求解即可 【解析】若， 如图： 当时，单调递增不能推出； 若 如图： 当时， 不能推出单调递增； 所以“单调递增”是“”的不充分不必要条件， 故选：D 66.已知，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用对数函数单调性以及三角函数周期性对取特殊值，可判断得出结论. 【解析】根据对数函数单调性由可知，不妨取， 此时，不满足，即充分性不成立； 若，不妨取， 此时，不满足，即必要性不成立； 所以“”是“”既不充分也不必要条件. 故选：D 考点13 利用充分条件与必要条件求参数 67．若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先分情况求不等式的解集，再根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【解析】设不等式的解集为，， 因为不等式成立的充分条件是，，所以， 所以，所以. 由，所以. 由可得. 故选：D 68．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】解分式不等式可求得集合；根据充分不必要条件的定义可知；解一元二次不等式，分别讨论，和的情况，根据包含关系可求得结果. 【解析】由得：，，解得：，； 由得：； “”是“”的充分不必要条件，， 当时，，不满足；当时，，不满足； 当时，，若，则需； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 69．（多选）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【解析】因为集合，集合， 所以等价于即， 对比选项，、均为的充分不必要条件. 故选：AD. 70．已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得到，结合充分条件求实数的取值范围. 【解析】若，则，即， 要使“”是“”的充分条件，只需， 所以. 故答案为： 71．设命题，命题，若是成立的必要条件，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【分析】由题可知是成立的充分条件，因此集合B是集合A的子集，由此列出不等式求解即可. 【解析】因为是成立的必要条件，所以是成立的充分条件，因此, 当时满足题意，此时，解得； 当时，有，解得； 综上所述：. 故答案为：. 72．设命题：实数满足，其中；命题：实数x满足，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】先解不等式，根据充分、必要条件的知识列不等式，再求出的取值范围. 【解析】对于命题，， 因为，所以. 对于命题，，由，解得. 因为是的充分不必要条件， 所以是的必要不充分条件，所以⫋， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 73．全集，集合，非空集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【分析】（1）根据题意化简集合，结合集合的交集和补集运算求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，结合集合的包含关系列式求解即可. 【解析】（1）因为集合，则或， 若，则集合， 所以或. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 且集合，非空集合， 则且，解得， 所以实数的取值范围为. 74.已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）化简集合A，根据补集运算、交集运算求解； （2）由题意转化为，列出不等式组求解即可. 【解析】（1）当时，集合，或， 故 （2）由题知：，即且， 当时，，解得， 当时，，解得， 由得，； 综上所述：实数的取值范围为. 考点14 全称量词命题与存在量词命题的否定 75．命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【解析】命题“”为存在量词命题，而存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定为：“”. 故选：D. 76．已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题的否定：. 故选：B 77．已知命题，则的否定为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题分析可得答案． 【解析】命题的否定为：. 故选：C. 考点15 根据含有量词的命题的真假求参数 78．已知命题，若是假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】将假命题转化为其否定命题（全称命题）为真命题，通过分离变量结合基本不等式求最值，确定的取值范围. 【解析】命题为假命题，则其否定“，”为真命题. 对，将不等式变形为. 由基本不等式，（当且仅当时取等号）， 故. 因此. 79．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用命题的真假，通过求解即可； 【解析】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 80．若命题“，”是真命题，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质得到不等式组，解得即可； 【解析】因为，，所以，解得 故选：A 81．已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； 【答案】 【分析】首先判断出，对列不等式计算求解可得的取值范围. 【解析】由于命题：“，”是真命题， 所以， ，则 解得 综上的取值范围是. 82．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 83.设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【解析】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 考点16 集合、常用逻辑用语与其他章节融合主观题 84.已知命题：函数在区间上没有零点；命题，使得成立. （1）若和均为真命题，求实数的取值范围； （2）若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）根据题意，分析、为真命题时的取值范围，进而可得关于的不等式组，求解即可； （2）由题意，分为真命题为假命题和为假命题为真命题两种情况，根据（1）可得，为真命题为假命题时，满足，为假命题为真命题时，满足，求解即可. 【解析】（1）若为真命题， 函数在区间上单调递增， 因为在区间上没有零点， 所以或者， 得或， 若为真命题， 令，其开口向上，对称轴为， 所以， 因为，使得成立，所以， 所以， 若和均为真命题，则，解得或， 即实数的取值范围为； （2）若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，则由（1）可得， ①若p真，q假，则，解得； ②若p假，q真，则，解得； 综上，实数a的取值范围是. 85.函数的值域为，的定义域为 （1）求； （2）若求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值，即可得出集合； （2）求出集合，利用集合的包含关系可得出不等式组，解之即可. 【解析】（1）因为在上单调递减，所以当时有最大值，且最大值为， 当，有最小值，且最小值为. 所以. （2）由，得，解得，所以，， 因为，所以，解得. 故实数的取值范围. 86.设为实数，集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）解不等式求出集合，再根据二次函数和正弦函数的性质求出集合，然后利用交集的定义可求出； （2）先求出集合的补集，再由，得，再利用二次函数和正弦函数的性质求出集合，然后利用两集的包含关系列不等式组可求得结果. 【解析】（1）由，得，解得或， 所以， 当时，， 因为，所以， 所以； （2）因为，所以， 因为，所以， 即. ， 因为，所以， 所以，解得. 87.设函数的定义域为集合，的定义域为集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）求出函数定义域化简集合，再利用交集的定义求解即得. （2）求出集合，利用必要条件的定义，结合（1）及集合的包含关系求出范围. 【解析】（1）由，解得或，则，， 当时，由，即，得，解得，则， 所以. （2）由（1）知，， 由，即，得，解得，则， 由“”是“”的必要条件，得，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $