(20)椭圆、双曲线、抛物线-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（二十） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 椭圆的方程，焦点 1 选择题 易 0.94 坐标 抛物线的定义、与抛 选择题 物线焦点弦有关的 0.85 几何性质 根据离心率求双曲 3 选择题 5 / L 易 0.78 线的标准方程 双曲线的标准方程， 4 选择题 5 易 0.73 求参数范围 抛物线的定义、最值 5 选择题 5 中 0.70 相关问题 求双曲线的离心率， 6 选择题 与抛物线的焦半径 中 0.40 公式有关 求椭圆的离心率、椭 7 选择题 6 圆的焦点三角形 中 0.55 问题 新定义题，抛物线的 8 选择题 6 标准方程、直线与抛 中 0.40 物线 9 实际问题中的抛物 填空题 5 线方程 易 0.85 椭圆的定义及离 10 填空题 难 0.30 心率 根据抛物线上的点 求标准方程、抛物线 11 解答题 13 易 0.80 中的三角形面积 问题 抛物线与向量的综 12 解答题 15 中 0.60 合，定点问题 ·87 ·数学· 参考答案及解析 双曲线的标准方程， 13 解答题 20 双曲线中的证明 / 难 0.15 问题 季考答案及解析 一、选择题 1.A【解析】设椭圆C的焦距为2c,则由题意得c2= 4,又C的方程为写+关=1，所以8一=4，解得= 4.故选A. 2.C【解析】如图所示，过点A作AB垂直于C的准线 于点B,过焦点F作FE垂直于AB于点E,由题意可 m 知b=2,∠AFx=∠FAE=受，根据抛物线的定义可 由抛物线的定义知，2|PN|=|AC+|BD|= 知|AF|=IAB|=IAE|+|EB|,在Rt△AFE |AF|+|BF|≥|AB|=6,所以|PN|≥3，当且仅 中，AE=AF·cos号=2|AF,又|BEl= 当F在AB上时等号成立，则点P到x轴的最小距 p=2,所以AF1=|AB|=号|AF|十2，解得AF 离是2，故y的最小值为2.故选B 6.C【解析】由题意可得x6>0且抛物线E上的 =4.故选C M(,3)到其焦点的距离是。十之，它到y轴的距 离是x0,所以w十号=2x,解得=号，即 M(台，3)，将M(号，3)代入E:y=2px(p>0),得 32=2p×号(p>0),解得p=3,所以E:y=6x,焦 点为F(号，0)，所以a+6=号，又A(-a,0), 3.B【解析】设双曲线的下焦点为(0，一c),一条渐近 B(a,0),双曲线渐近线方程为bx士ay=0,不妨假设 线方程为y=无x,即ax一by=0,则焦点到渐近线的 是过A,B作C的同一条渐近线bx十ay=0的垂线， 距离为1cL 垂足分别为P,Q,则由双曲线的对称性可知A和B =2,又离心率e=S=2,a2十b= √a2+府 a 到渐近线bx十ay=0的距离相等，均为|AP|= c心，联立解得a=号，=4，“双曲线的方程为买 4 4 baL=1bal=如，所以|PQl=2|OP Va2+62 √c2 千-1，故选B =2ToA-APT=2√a2-() 4,D【解析】因为方程亡。 _=1表示双曲线， 程m十2十3—m 二2入 c2 3 3 则(m十2)(3-m)<0,解得m>3或m<-2.故选D. 2 5.B【解析】如图，F为抛物线的焦点，m为抛物线的 准线，作AC⊥m于点C,PN⊥m于点N,BD⊥m于 以。=即a√层-，则双曲线的离心率为 点D,连接AF,BF, 3 2 √ a 2·故选C 6 2 ·88· 高三一轮复习A ·数学· 8.ABD【解析】对于A,由题意，开口向右的抛物线方 程为C:y=2x,顶点在原点，焦点为F(号0），将其 逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为 R:(0,),则其方程为x2=2y,即y=,故A正 (y=2x 确；对于B,根据A项分析，由 解得x=0或 x2=2y x=2,即xA=2,代入可得y=2,由图象对称性，可 二、选择题 得A(2,2),B(2,一2)，故AB|=4,故B正确：对于 7.ACD【解析】如图，设|PF|=m,|PF,|=n,延长 C,如图，设直线x十y=t与第一象限花瓣分别交于点 OQ交PF2于点A. M,N, 由题意知OQ∥PF,O为FF2的中点，则A为PFg y=一x十t 由 解得w=t+1-2 ,由 的中点，又∠QPA=∠FPQ=∠AQP=号，所以 y2=2x yM=√2t+I-1 y=-x+t xN=/2t+I-1 (十n=2a, 解得 ,即得M(t+1 △AQP是等边三角形，则 6+=解得 x2=2y yw=t+1-√2t+I √2t+I,/2t+I-1),N(2t+I-1,t+1- =a十b, 在△F1PF2中，由余弦定理得m2十n十 √2t+I),则弦长为MN|=√2(t+2-2√2t+I)2= n=a-b; √2|t十2-2√2t十1|，由图知，直线x十y=t经过点A n=4c2,所以(a十b)2十(a-b)2十 时t取最大值4，经过点O时t取最小值0，即在第一 (a+b)(a-b)=4c2,即3a2+62=4c2.因为62=a2 象限部分满足0<t<4,不妨设u=√2t十I,则1<u -c,所以2=46,4a2=5c2,所以e2=4,=25 5,e= 5 <3,且1=“2，代人得1MN1 故B错误：△PF,F,的面积为号mnsin 3 2+2-2a1(-2y-1,则当w=2 B(2-6)=BC=5,故A正确：设点P到x 4 4 时，MN取得最大值为号，放C错误：对于D,根据 轴的距离为6，所以宁×2一后0，解得春=受，故 对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求 C正确：因为PM是∠FPF:的平分线，所以ME 名部分面积的近似值，如图， MF2 == 6三，所以MF 5-1 ME ME.TX IF,r-老×2&=(（1+ MF 2√5 9),则1oM-IMR,1-1oF1=-2 5 5 故D正确.故选ACD. ·89· ·数学· 参考答案及解析 在抛物线y=合（≥0）上取一点P,使过点P的切 即M(20), (2分) 线与直线OA平行，由y=x=1,可得切点坐标为P 所以号=子，即p=1 (3分) (1,号)，因为1am:x-y=0,则点P到直线0A的距 所以C的方程为y2=2x (4分) (2)当直线AB垂直于x轴时，|AB最小，AB| 离为d= 立-巨，于是SA ×V2+2x区 =2p=2. (6分) 4 2 4 (3)由题可知，l的斜率不为0，设直线l:x=ty十n, =子，由图知，半个花瓣的面积必大于之，故原图中 联立方程少=2红，化简可得y-2y一2m=0, 的阴影部分面积必大于8× 1 Ax=ty+n -=4,故D正确.故 所以△=4t+8n>0,y1十=2t,y1y=-2n, 选ABD. (7分) 三、填空题 又P,Q在抛物线C上，故=2 (9分) 9.50【解析】以P为坐标原点建立平面直角坐标系， y呢=2x2 依题意可知B(200,一100)，设抛物线方程为x2= -2py(p>0),D(100√2，-h),其中h为点P到水 则0i.0à=十1y=(1y)+为=3， 1 2002=2×100p, 即n2-2n-3=0,解得n=-1或n=3, (12分) 面CD的距离，则 (100√2)2=2hp, 解得p=200,h 因为y1y2<0, 所以y1y2=-2n<0,即n>0, =50. 故n=3, 10,是【得折】将y=-<代人兰十若=1，得x 所以直线过定点(3,0)。 (15分) 士任放AB1=答-则AF,1-任-。 18.解：(1)设双前线E的方程为号一芳-1(a>0,6> a ,又 IAF+AF:I=2a,AF I=2a-AF:I= 0), 2a一号-警解得a=10,则公=61，故2=-分 =√7 a a=1 =86,即4=6，所以0=合-高-是 则()2_4 =1解得b=4 a c=17 四、解答题 c2=a2+62 11.解：(1)因为抛物线过点M,MF|=3, 所以E的方程为x一 161. (4分) 所以1十号=3，所以=4. (4分) (2)设M(x1,y1),V(x2,y2),H(0,%), 所以抛物线的方程为y=8x. (6分) (2)由(1)可知M(1,2√2)，F(2,0), 因为MN两点都在双曲线一荒-1上， 所以直线MF的方程为y=-22(x-2), x一16 1 与y2=8x联立得x2-5x十4=0， 所以 ,两式作差，得x(x1一x2) 所以x=1或x=4, 故P点坐标为(4，-4瓦) (8分) =(4》, 16 (3)因为M(1,2√2)与N关于点F对称， 则N(3,-2√2)， (10分) 则k·k=必业)=16. (9分) o(-x2) 所以Sn=号1OF×Iw-w=号×2X4E =42, 即△OMN的面积为4√2. (13分) 12.解：(1)将圆M配方得(x-)）广+y=子 ·90· 高三一轮复习A ·数学· 故|TM=√+ 引 |TN|=/+R 引 则|TM|·ITN =1+)引引 (3)设T(分，n),直线MN的方程为y一n=k( =(1十k2) n2十kn-16,1,k2一2km+ 16-k2 一十2 合)M(M)N(x), =1+)(12+n). k2-16 (17分) yn=k(-) 由kQ十kN=0,所以kPQ=一k, 联立 ,化简得(16-)x2+ e-=1 从而1TP·|TQ=1+-k)](12+m2) T(-k)2-16 =1+)(12+m) (2-2kn)x- 十6-+m-16=0, 2-16 16-k2≠0， 所以TM·TN=P·7Q,即 △=16(4n2-4kn-3k2+64)>0, ITNI TQT (20分) 则十x= k2-2kn 16-k2, x12= 年2n2+kn16 16-k (13分) ·91·高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (二十)椭圆、双曲线、抛物线 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知稀圆C:专+苦=1的一个焦点为(20)，则的值为 A.4 B.8 C.10 D.12 2.设F为抛物线C:y=4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为牙，则 AF= A.2 B.3 C.4 D.5 3.南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一 段近似石成双曲线芳一云-1a>0,6>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离 为2，离心率为2，则该双曲线的方程为 A黄￥-1 ￥-1 n若青=1 4.已知方程 En十2T3-m =1表示双曲线，则m的取值范围是 A.(3,十oo) B.(-2,3) C.(-o∞，-2) D.(-∞，-2)U(3,+∞) 5.已知A,B为抛物线x2=4y上的动点，P(xo,)为AB的中点，若|AB=6,则y的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知抛物线E:y2=2px(p>0)上的点M(x,3)到其焦点的距离是它到y轴距离的2倍.若抛物 线E的焦点与双而线C:若一若=1(a>0,6>0)的右焦点重合过双前线C的左，右顶点A,B 作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P,Q,且|PQ=2,则双曲线的离心率为 A.√3 B.2 c 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7已知P是位于椭圆C后+芳-1a>6>0)第一象限上的一点，F,R是C的左，右焦点， ∠F,PF,-,点Q在∠F,PF:的平分线上，∠F,PF:的平分线与x轴交于点M,0为坐标原 点，OQ∥PF1,且OQ=b,则 A.△PF1F2的面积为√3b BC的离心率为 C.点P到x轴的距离为 2 D.1OM=256 5 8.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这 是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花 瓣的图案，它可看作由抛物线C:y2=2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得 的三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A,B为C与其中两条曲线的交点，若=1，则 A开口向上的抛物线的方程为y= B.AB=4 C直线x十)y=1截第一象限花瓣的弦长最大值为 D.阴影区域的面积大于4 班级 姓名 分数 题号 2 4 6 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.如图1，图中为抛物线型拱桥.如图2，将拱桥的主拱看作抛物线，水面看作水平的直线，主拱的 顶端P到水面AB的距离为100m,且水面AB的宽为400m,若水位上涨到水面CD,CD的宽 为200√2m,则顶端P到水面CD的距离为 m. 图1 图2 10设桶圆C+ =1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,过F2作平行于x轴的直线交C于 A,B两点，若FA-,AB=则C的离心率为 轮复习40分钟周测卷二十 数学第2页（共4页） 囚 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知抛物线y2=2px(p>0)过点M(1,t)(t>0),其焦点为F,且MF=3. (1)求抛物线的方程； (2)直线MF与抛物线交于另一点P,求点P的坐标； (3)若点N与M关于点F对称，求△OMN(O为坐标原点)的面积. 12.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点恰好为圆M:x2+y2一x=0的 圆心. (1)求C的方程； (2)过焦点的直线与C交于A,B两点，求AB的最小值；（不需要说明理由） (3)若直线1与抛物线C交于P(x1y),Q(x2,)两点，y2<0,且OP.O反=3，试探究直线1 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 13.(本小题满分20分) 已知双曲线E的焦点在x轴上，离心率为√JI7,且过点(2,4)，直线l与双曲线E交于M,N 两点，l1的斜率存在且不为0，直线2与双曲线E交于P,Q两点. (1)求E的方程； (2)若MN的中点为H,直线OH,MN的斜率分别为k1,2,O为坐标原点，求k1·k2; (3)若直线4与直线4，的交点T在直线x=号上，且直线4与直线，的斜率和为0，证明： -7 ·轮复习40分钟周测卷二十 数学第4页（共4页） A