(17)空间向量及其应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (十七)空间向量及其应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知P为平行四边形ABCD外一点，且AB=(2,1,3),AD=(3,2,5),PA=(-2,-2,2),则 A.BD=(1,2,1) B.PD=(5,4,3) C.AC=(5,3,4) D.平面PBD的一个法向量为（一7,5,1） 2.如图，圆柱OO的母线长和底面直径相等，AB,CD分别是下底面圆O和上底面圆O的直径，且 AB⊥CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值是 A号 C. n日 3.已知从P点出发的三条射线PA,PB,PC,其中∠APB=60°，∠APC=∠BPC=45°，则直线PC 与平面PAB所成角的余弦值是 A晋 B号 c晋 D.22 3 4.如图，二面角α-l-B的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并 且都垂直于棱1.若AB=2,AC=3,BD=4,CD=√I7,则平面a与平面3的夹角为 A.晋 B. c.5 D.或2x 3 B 0 5.已知正方体ABCD一A'B'C‘D'的棱长为2，点N是四边形A'B'CD'内一点，且满足DN⊥ AB',则DN与平面A'B'CD所成角的正切值的最小值为 A号 1 B. C.√2 D.1 6.如图，在四面体ABCD中，平面ACD⊥平面ABC,△ABC是边长为6的正三角形，△ACD是 等腰直角三角形，∠ADC=90,E是AC的中点，C市=C方，DG=AD店，若AG/平面DEF, 则λ= D A 1 B.3 c 数学第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高三 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.以下命题正确的是 A.两个不同平面a,3的法向量分别为n1=(2,一1,0)，2=（一4,2,0)，则a∥3 B.若直线1的方向向量a=(0,2,一1)，平面a的一个法向量n=(2,1,2),则1⊥a C已知a=(-1.1,2》,6=02.3.若a+b与2ab垂直，则实数=- D.已知A,B.C三点不共线，对于空间任意-点0，若O亦-号Oi+号O成+号0心.则P,A,B,C 四点共面 8.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方 体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几 何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则 G 图1 图2 图3 A.CG=2 AB+2 AA B直线CQ与平面A,BC,D,所成角的正弦值为号 C.点C到直线CQ的距离是5 3 D.异面直线CQ与BD所成角的余弦值为尽 6 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 6 7 P 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知向量a=(一1,2,0)，b=(2,一2,1)，则a在b方向上的投影向量的长度为 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角，AB∥CD,AD=CD=2AB, E,F分别为PC,CD的中点，PA=kAB(k>0),且二面角E-BD一C的平面角大于30°，则k 的取值范围是 DY -------- 轮复习40分钟周测卷十七 数学 第2页（共4页）】 囚 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，在直三棱柱ABC一A1B1C1中，D,E分别为AC,AC1的中点，AB=BC=2,AA1=3, ∠ABC=120°. (1)求证：AC⊥BE; (2)求直线CE与平面ABE所成角的正弦值. B D 12.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥S一ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB ⊥BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点. (1)求证：AML平面SBC; (2)求点M到平面SCD的距离； (3)在线段CD上存在一点N清足器号，求直线BN与平面SCD所成的角， 、B 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 13.(本小题满分20分) 在空间直角坐标系Oxy之中，已知向量u=(a,b,c),点P。(x0,yo,zo).若直线l以u为方向向量 且经过点P,则直线1的标准式方程可表示为2二=y少=二(ahc≠0)：若平面a以u 为法向量且经过点P。,则平面α的点法式方程表示为a(x一x)十b(y一y)十c(之一)=0. ①已知直线1的标准式方程为平面的点法式方程可表示为3x+ 5=0,求直线1与平面α1所成角的余弦值； (2)已知平面a2的点法式方程可表示为2x+3y十之一2=0，平面外一点P(1,2,1),求点P到平 面a2的距离； (3)若集合M={(x,y,x)x十y≤2，z≤1}，记集合M中所有点构成的几何体为S,求几 何体S的体积。 ~轮复习40分钟周测卷十七 数学第4页（共4页） 囚高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十七） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 空间向量的坐标 1 选择题 易 0.85 运算 2 选择题 5 线线角的向量求法 易 0.78 直线与平面所成 3 选择题 5 易 0.75 的角 4 选择题 面面角的向量求法 中 0.70 选择题 线面角正切的最值 中 0.60 线面平行的向量方 6 选择题 5 中 0.55 法的应用 7 选择题 6 空间向量及其应用 中 0.65 8 选择题 6 空间向量求角，距离 中 0.55 9 填空题 5 投影向量的模 易 0.85 填空题 已知面面角，求范围 10 5 难 0.30 问题 线线垂直、线面角的 11 解答题 13 中 正弦值 0.70 线面垂直、点到面的 12 解答题 15 中 0.60 距离、线面角 立体几何新定义，体 13 解答题 20 积、线面角、点面距 难 0.24 的向量求法 ① 香考答案及解析 一、选择题 Bd·n=0, 1x+y+2x=0, 1.D【解析】Bò=A方-AB=(1,1,2),故A错误； n=(x,y,x),则 即 令x pi·n=0, x十7x=0, PD=PA+AD=(1,0,7),故B错误；AC=AB+AD =1,则x=一7，y=5,则n=(一7,5,1)，故D正确. =(5,3,8),故C错误；设平面PBD的一个法向量为 故选D. 2.A【解析】以点O为坐标原点，AB所在直线为y 轴，OO所在直线为~轴，在底面圆O中，过点O且垂 ·69· ·数学· 参考答案及解析 直于AB的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐：5，D【解析】以D为原点，建立如图所示的空间直角 标系.设AB=2,则A(0,-1,0),B(0,1,0), 坐标系，则A'(2,0,2),B(2,2,2),AB C(1,0,2),D(-1,0,2),所以AC=(1,1,2),BD= (0,2,0),平面A'BCD'的一个法向量为n= (-1,-1,2),设异面直线AC与BD所成的角为0， (0,0,1),由于点N是四边形A'B'CD内一点，故可 则os8=1cos(A花，B市1=AC·前 2 ACIBD√6X6 设N(x,y,2), 0≤2·则D成=(xy,2),由于 (0x2 =子故选A DN⊥AB',所以DN·AB=2y=0,则y=0,所以 N(x,0,2),所以N点在线段A'D'上，设DN与平面 A'BC'D'所成角为0,0≤0≤受，则sin0= DN·n 2 DN·n 7干，当x=0时，sin9=1, x 女 cos0=0,0=交，ian0不存在.当0<x≤2时，tan0= 3.C【解析】如图，设直线PC在平面PAB上的投影 为PD,则∠CPD即为所求的线面角， sin9=2,当x=2时，tan9取得最小值为1.故 cos 0 x 选D. D N B G 作CG⊥PD于点G,CH⊥PA于点H,连接HG,易6.A【解析】连接BE,由△ABC为等边三角形，则BE 得CG⊥PA,又CH∩CG=C,CH,CGC平面CHG, ⊥AC,又平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面 则PA⊥平面CHG,又HGC平面CHG,则PA⊥ ABC=AC,BEC平面ABC,所以BE⊥平面ACD,又 HG,则as∠CPDX∠APD=瓷·腮 DE平面ACD,所以BE⊥DE,因为△ACD为等腰 三角形，E是AC的中点，所以DE⊥AC,则以E为坐 cos∠CPA,因为∠APC=∠BPC=45°，所以PG为 标原点，EA,E范，ED的方向分别为xy,之轴的正方 ∠APB的角平分线，所以∠APD=30°，故 向，建立如图所示的空间直角坐标系， a∠CPD-路-二品-放选C 4.C【解析】设平面a与平面β的夹角为0，则0∈ [0,受]，由市=Ci+A店+励，可得C市= (CA+AB+BD)=CA:+AB+BD+2CA.AB +2AB.BD+2CA·BD=9+4+16+2|CA|· E B 1 BD cosCA,Bd=29-24cos0,解得c0s0=, 则9=号，即平面a与平面B的夹角为号，故选C 则E(0,0,0),A(3,0,0),B(0,33,0),C(一3,0,0) ·70· 高三一轮复习A ·数学· D(0,0,3),ED=(0,03),EC=(-3,0,0),CB (3,33,0),-E武+号i=(-2w5,0),Ad- 0,则ng-=1osàm1=店：mL |cQ·|m ⊥(1-2,2)·(0,0,1)1=2 (-3,0,3),Di=(0,35,-3),AG=Ad+D元 /1+4+4 ,B正确：C选项，C AD+aDi=(-3,3√3,3-3x).设平面DEF的一 =(0,0,1),点C到直线CQ的距离为d 个法向量为n=(x,y,),则 n·Ed=3x=0, √- CC·CQ ca 令x=√3，则n=(3,2, n.Ei=-2x+3y=0 (0,0,1)·(1,-2,2)1 /1 √/1+4+4 =V1-() 0).因为AG∥平面DEF,所以n·AG=-3√5+2× 3=0,解得X=分故述A 号C正确：D选项，时=(-1，-1.0)，设异面直 线CQ与BD所成角为a,则cosa= 二、选择题 7.ACD【解析】对于A,由题意知R=一子，所以a 11-:高 =1(1,-2,2)·(-1,-1,0)L=⊥-1+2+01 ∥B,故A正确；对于B,由题意知a·n=0,所以l∥a W/1+4+4×√1+1+0 3√2 或lCa,故B错误；对于C,由题意知(ka十b)· (2a-b)=2ka2+(2-k)a·b-b2=12k+8(2-k) -号D错误枚选 -13=0,解得k=-子，故C正确：对于D,由O币 三、填空题 9.2【解析】a在b方向上的投影向量的长度为ab b 号oi+吉oi+号0心，得o市-0心=号(oi-0心 =1(-1,2,0),(2,-21)1=2. 3 +号(Oi-O心)，即C市=号Ci+号Ci,所以P,A, B,C四点共面，故D正确.故选ACD, 0.(2,+）【解标】以A为原点，AB.AD.AP 8.BC【解析】A选项，以A为坐标原点，DA,AB,AA 为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐 所在直线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐标系， 标系， D米 B 设AB=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0), D(02,0),P(0,0k),E(11,令），B 则A(0,0,0),B(0,1,0),A(0,0,1),G(-1,-1,2), Q(0,-1,2),C(-1,1,0),B(0,1,1),C(-1,1,1), (-1,2,0),庞=(0,1，冬)，且平面CDB的-个 D(-1,0,0),CG=(0,-2,2),Ai=(0,1,0),AA 法向量为m=(0,0,1),设平面EDB的一个法向量 =(0,0,1),则2AB+2AA=(0,2,0)+ n·BD=-x+2y=0 (0,0,2)=(0,2,2)≠CG,A错误；B选项，平面 为n=(x,y,x),则 -y十=0y ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),C百= (1,一2,2)，设直线CQ与平面A1BCD1所成角为 1,则x=2,2=- 是，可得n=(2.1,-号)，设二面 ·71· ·数学· 参考答案及解析 角E-BD-C的大小为9，则cos9=|cos(m,n)| 则 m…Ai=-Bx+y=0 2 m·AE=-5x十3x=0 4 ,化简得>言，所以>2 15 √4+1+ 令x=√5，则y=3,x=1, 可得m=(√，3,1)， (10分) 实数大的取值范周为(2酒，十一人 则cos(m,C它)=，m·C立 =39 四、解答题 mCE 13 11.解：(1)因为在直三棱柱中，AA1⊥平面ABC,ACC 设直线CE与平面ABE所成角为a, 平面ABC, 则AA⊥AC, 则inom,1=. 又因为D,E分别为AC,A1C的中点， 所以直线(E与平面ABE所成角的正孩值为震。 则DE∥AA: (13分) 则AC⊥DE, (2分) 12.解：(1)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐 因为AB=BC,D为AC的中点， 标系， 则AC⊥BD, 因为BD∩DE=D,BD,DEC平面BDE, 所以AC⊥平面BDE, 因为BEC平面BDE, 所以AC⊥BE. (5分) (2)因为DE∥AA,AA⊥平面ABC, B,← 则DE⊥平面ABC, 因为BDC平面ABC, 则DE⊥BD, D 又AC⊥DE,AC⊥BD, 则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0), 所以DA,DB,DE两两垂直. S(0,0,2),M(0,1,1), 如图，以D为坐标原点，DA,DB,DE分别为x,y,之 ∴AM=(0,1,1),BC=(2,0,0),B5=(0,-2,2) 轴，建立空间直角坐标系Dxyz, :AM.BC=0,AM.BS=1X(-2)+1X2=0, ∴.AM⊥BC,AM⊥BS, ,BC∩BS=B,且BC,BSC平面SBC, ∴.AM⊥平面SBC. (5分) B (2)由(1)得DC=(1,2,0),D5=(-1,0,2),MC= (2,1,-1) 设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,x), n·DC=0 x十2y=0 由 ,得 n…Ds=0 1-x+2x=01 令x=1,则x=2,y=-1, 则E(0,0,3),A(3,0,0),B(0,1,0),C(-√3,0,0)， .n=(2,-1,1), (7分) ·点M到平面SCD的距离为MC,n n 可得C市=(5,0,3)，Ai=(-3,1,0),A =12X2+1×(-1)+(-1)×1L=5 (10分) =（-√3,0,3)， √6 3 设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,之)， (3)CD=(-1,-2,0), ·72· 高三一轮复习A ·数学· 耐=市=(-号青0)， 过点A(0,0,2), 因为P(1,2,1), “B时=成+C=(2,0,0)+(-号，-专0) 所以AP=(1,2,-1), =(停，-0) 所以点P到平面a:的距离为lm:A立=厘 2 2 由(2)得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1), (12分) 六|os(Bd,m|=Bd·n 4—= (3)建立空间直角坐标系，分别画平 IBNI 4厘×6 2, x+y=2,x≥0，y≥0 x-y=2,x≥0，y<0 设直线BN与平面SCD所成的角为B, -x十y=2,x<0,y≥0 面 则sn9=号9e[o,受]， -x-y=2,x<0,y<0 =1 则0=号， x=-1 然后得到儿何体S如图所示： ·直线BN与平面SCD所成角为子 (15分) 13.解：(1)由题可知，直线l的一个方向向量为m =（1,-5,2), 平面a的一个法向量为n=(3,1,-1),(2分) 2 设直线l与平面a1所成角为B, m·n 2 则有sin=Tm·T×5 =10 10 (4分) 所以cosB=V个-sinB=3Y@ 10 几何体S是底面为边长为2√2的正方形，高为2的 直线1与平面a1所成角的余弦值为3① 长方体， 10 .(6分) 故几何体S的体积为2√2×2√2×2=16.(20分) (2)由题可知平面2的法向量为2=(2,3,1)，且 ·73·