精品解析：云南省曲靖市陆良县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2024—2025学年度下学期高二12月检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得，进而求得，根据集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】依题意，，，故. 故选：A. 2. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模长公式和运算求解. 【详解】 , 所以，解得， 故选：C 3. 已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线焦点为，可得，且焦点在轴上，再根据渐近线方程求解，即可. 【详解】由双曲线的一个焦点是，可知，且焦点在轴上， 由渐近线方程为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以的方程是. 故选：C. 4. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率公式结合图形求解作答. 【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 而， 因此， 故选：C 5. 某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的（与该信号塔的塔底在同一水平面上）两个测量点：从点观测该信号塔塔顶的仰角为，从点观测该信号塔塔顶的仰角为，且，则这座信号塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 40米 D. 80米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，进而利用余弦定理求解即可. 【详解】根据题意画出图形，如下图所示： 设米，则米，米，米， 在中，由余弦定理可得， 即，即， 解得或（舍去），则米. 故选：C 6. 设，，直线经过圆C：的圆心，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到，再由基本不等式乘1法即可求解. 【详解】由可得圆心坐标， 由题意，即， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为4， 故选：A 7. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件利用完全平方公式以及同角三角函数关系式平方和为1求出的值，再结合，解得即可得出的值. 【详解】， ， ， ， 从而， ，可得， ，则且， ，与联解， 可得， 因此. 故选：B. 8. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合题意可得，求解不等式即得圆的半径的范围. 【详解】由题意，圆心到直线的距离为， 因圆上到直线的距离为的点有且仅有2个， 故需，解得. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的有（ ） A. 椭圆C：的焦点坐标为 B. 双曲线C：的虚轴长是6 C. 椭圆C:的焦点的周长为16 D. 圆和圆的公共弦所在直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用椭圆方程、双曲线方程求解判断ABC；确定两圆位置关系并求出公共弦所在直线方程判断D. 【详解】对于A，椭圆C：的焦点在轴上，A错误； 对于B，双曲线C：的虚半轴长，虚轴长，B错误； 对于C，椭圆C：的实半轴长，半焦距， 因此焦点的周长，C错误； 对于D，的圆心，半径，圆 的圆心，半径，，因此圆与圆相交， 将两圆方程相减得两圆公共弦所在直线方程，D正确. 故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 方程表示圆，则 B. 直线在x轴上的截距为 C. 已知两个向量，，且，则 D. 设{，，}是空间中的一组基底，则{，，}也是空间的一组基底 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据即可求得；B选项，令求得；C选项，空间两向量平行，则对应成比例；D选项，空间向量可以作为基底的条件即不共面，由可以判断. 【详解】因为方程表示圆，则，解得，故A选项正确； 由直线方程可知，令，解得，所以直线在x轴上的截距为，故B选项错误； 由两个向量，，且可知，，所以解得，所以，故C选项正确； 因为{，，}是空间中的一组基底，则，，不共面，因为，所以，，共面，所以{，，}不能构成空间的一组基底. 故选：AC 11. 已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在4个点，使得 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和几何性质，结合三角形周长计算判断A；根据椭圆的定义和余弦定理，结合三角形面积公式计算判断B；根据椭圆几何性质可以判断C；根据椭圆的定义和常数代换法求得式子的最值判断D. 【详解】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点， 则，，， 所以的周长为，A正确. 对于B，若，根据余弦定理可得 ， 可得，解得， 则的面积为，B正确. 对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大， 此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误. 对于D，因为， 所以 当且仅当，即时取等号， 的最小值是，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将函数（）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据平移变换求出，结合的单调性可得的最大值. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 即，所以的最大值为. 故答案为： 13. 已知是双曲线的左､右焦点，点是左支上的一点，若为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合双曲线定义与余弦定理可得、有关齐次式，再利用离心率定义计算即可得. 【详解】由双曲线定义可得，， 由为等腰三角形，则， 则， 则有， 即，整理得， 故，故， 又，故. 故答案为：. 14. 已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据切线得出在上，再两圆作差得出直线的方程. 【详解】因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上， 因为，所以在圆心为，半径为的圆上，其方程为， 所以与两边分别作差，得， 即直线的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为，直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由轴上的焦点可确定，已知离心率可进一步确定，再由确定后即可确定椭圆方程； （2）可将的面积转化为两个等底三角形的面积之和，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出直线与椭圆的两个交点横坐标之差的绝对值作为高，再应用三角形面积公式，即可得解. 【小问1详解】 由题可知，又，故，又因为，可得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线与轴的交点为点， 则. 联立直线与椭圆，整理得. 得，则，则 =. 16. 已知的圆心在轴上，并且与直线相切于点. （1）求的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出圆心后，利用圆心与切点的连线与切线垂直，解出，再由圆心及圆上一点确定半径，即可得解； （2）分切线的斜率不存在与斜率存在两种情况讨论，使圆心到直线的距离等于半径即可. 【小问1详解】 设圆心，则由题可知，有，解得， 故圆心，半径， 则. 【小问2详解】 设过点的圆的切线为， ①当的斜率不存在时，此时，圆心到直线的距离，此时圆与相切，符合题意； ②当的斜率存在时，可设，即，由直线与圆相切可得： ，整理得，即，解得， 则. 综上所述，切线方程为或. 17. 已知圆心为的动圆与圆外切，与圆内切. （1）求M的轨迹方程； （2）过点直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆与圆的位置关系列出，然后求出，进而根据椭圆的定义求出椭圆方程. （2）设，将其代入椭圆方程中，两式相减并化简可求出直线的斜率即可求出直线的方程. 【小问1详解】 设动圆的半径为， 因为动圆与圆外切，则， 因为动圆与圆内切，则， 所以，因为. 根据椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点，长轴长， 即，半焦距的椭圆，而. 所以的轨迹方程为. 【小问2详解】 设，则，两式相减得. 因为为的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，，，，． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为平面，，，平面， 所以，，， 因为，， 所以，所以， 又因为，，，平面， 所以平面， 因为，所以平面. （2） 由（1）易知，，，两两互相垂直， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即，取，，满足条件， 所以可取， ，，设平面的法向量为， 则，即，令，解得，， 所以， 由题意， 化简并整理得，解得（舍去），或， 所以， 综上所述，棱上存在一点，且，使得二面角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）由平面得，利用勾股定理证明，根据线面垂直的判定定理得证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在体育比赛中，传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，现有一种新的赛制，每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局（双败赛制）.假设现有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们抽签两两分组进行比赛，胜者进入下一轮，直到决出冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入决赛；第一轮败者的两个队伍对决的胜者将跟胜者组的第二轮败者对决，其中的胜者进入决赛；最后决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示），这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，，同组，，同组. （1）若，在传统的淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并根据获得冠军的概率简单分析一下双败赛制下是否对强队更有利？ 【答案】（1）获得冠军概率为，获得冠军的概率为 （2）传统的淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制对强队更有利. 【解析】 【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式列式求解. （2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，作差并结合强队的条件比较大小即可. 【小问1详解】 在传统的淘汰赛赛制下，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 则获得冠军的概率为. 依题意，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 则获得冠军的概率为. 所以在传统的淘汰赛赛制下获得冠军概率为，获得冠军的概率为. 【小问2详解】 在传统的淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为， 在双败赛制下，讨论进入胜者组、败者组两种情况， 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利， 后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为； 当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为， 因此获得冠军的概率为， ， 由，得，，若为强队，则，此时， 即，因此，获得冠军的概率更大， 若为强队，即时，双败赛制对强队更有利. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期高二12月检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的（与该信号塔的塔底在同一水平面上）两个测量点：从点观测该信号塔塔顶的仰角为，从点观测该信号塔塔顶的仰角为，且，则这座信号塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 40米 D. 80米 6. 设，，直线经过圆C：的圆心，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的有（ ） A. 椭圆C：的焦点坐标为 B. 双曲线C：的虚轴长是6 C. 椭圆C:的焦点的周长为16 D. 圆和圆的公共弦所在直线方程为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 方程表示圆，则 B. 直线在x轴上的截距为 C. 已知两个向量，，且，则 D. 设{，，}是空间中的一组基底，则{，，}也是空间的一组基底 11. 已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在4个点，使得 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将函数（）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为______. 13. 已知是双曲线的左､右焦点，点是左支上的一点，若为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为__________. 14. 已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为，直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求的面积. 16. 已知的圆心在轴上，并且与直线相切于点. （1）求的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 17. 已知圆心为的动圆与圆外切，与圆内切. （1）求M的轨迹方程； （2）过点直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，，，，． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在体育比赛中，传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，现有一种新的赛制，每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局（双败赛制）.假设现有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们抽签两两分组进行比赛，胜者进入下一轮，直到决出冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入决赛；第一轮败者的两个队伍对决的胜者将跟胜者组的第二轮败者对决，其中的胜者进入决赛；最后决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示），这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，，同组，，同组. （1）若，在传统的淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并根据获得冠军的概率简单分析一下双败赛制下是否对强队更有利？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $