17.3 勾股定理 第3课时 勾股定理的逆定理 （课件）2025-2026学年冀教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，课堂导入先回顾勾股定理内容及题设结论，再通过“三角形三边满足a²+b²=c²是否为直角三角形”的问题，搭建从性质到判定的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是采用任务驱动式教学，通过“发现-证明-生成-运用”四任务，结合古人结绳实例和机器零件检验情境，培养学生推理意识与应用意识。课堂总结对比勾股定理与逆定理的联系区别，结构化梳理知识，助力学生掌握判定方法，也为教师提供清晰教学路径。

冀教版八年级数学上册 第十七章 特殊三角形 17.3 勾股定理 第3课时 勾股定理的逆定理 勾股定理的内容是什么？ 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2. 勾股定理反映了直角三角形三边间的数量关系，即直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则三边满足a2＋b2＝c2.那么，勾股定理的题设、结论分别是什么？ 题设：直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c. 结论：a2＋b2＝c2. 导入新课 3 反过来，如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是不是直角三角形？ 导入新课 4 任务一：发现勾股定理的逆定理 相传，古人用如下方法确定直角：用13 个等距的结，把一根绳子分成等长的12 段，然后以3 个结、4 个结、5 个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角就是直角(如图所示). 高效课堂 5 高效课堂 观察这个三角形，如果把一个结间距看为一个单位长度，则三角形的边长分别是多少？ 3，4，5. 这三个数之间满足什么关系？ 32＋42＝52. 也就是说，如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，满足关系“32＋42＝52”，那么围成的三角形是直角三角形. 6 任务二：证明勾股定理的逆定理 如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 这个题目中的已知条件和求证是什么？ 已知：如图，在△ABC中，AB＝c，BC＝a， CA＝b，且a2＋b2＝c2. 求证：∠C＝90°. 高效课堂 7 高效课堂 在△ABC中，由边的关系a2＋b2＝c2，推导∠C是直角很难做到，想一想，有没有别的办法？ 提示：不妨换个思路.如图，先作一个直角三角形A'B'C'，使 ∠C'＝90°，B'C'＝a，A'C'＝b.那根据勾股定理，这个直角三角形A'B'C'的斜边A'B'的长是多少？ 根据勾股定理A'B' 2＝B'C' 2＋A'C' 2， 因为B'C'＝a，A'C'＝b，所以A'B' 2＝a2＋b2. 8 高效课堂 那已知条件中三角形ABC的三边满足a2＋b2＝c2，这就意味着A'B'2＝c2，那么A'B'和c是什么关系？ A'B'＝c. 现在有两个三角形，三角形ABC的三边为a，b，c，三角形A'B'C'的三边为a，b，A'B'，且A'B'＝c.观察这两个三角形的三边，能发现什么？ 三边分别相等. 9 高效课堂 根据学过的三角形全等的判定方法，这两个三角形是什么关系？ 这两个三角形全等，根据“边边边”(SSS)可知. 既然这两个三角形全等，那∠C和∠C'又是什么关系？ ∠C＝∠C'. 因为∠C'＝90°，所以∠C＝90°，这就证明了三角形ABC是直角三角形. 10 任务三：生成勾股定理的逆定理内容 总结： 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 高效课堂 11 高效课堂 (1)勾股定理与其逆定理的关系： 勾股定理是已知直角三角形，得到三边长的关系，它是直角三角形的重要性质之一；而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形，这是直角三角形的判定，也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反. 12 高效课堂 (2)勾股定理的逆定理的应用： 应用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是不是直角三角形，在实际应用时，可用较短两边长的平方和与较长边长的平方作比较，若它们正好相等，则三角形为直角三角形，较长边所对的角为直角. 13 任务四：知识迁移与运用 例1 判断由下列线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a＝7，b＝24，c＝25；(2)a＝7，b＝8，c＝11. 解：(1)因为a2＋b2＝72＋242，即49＋576＝625，而c2＝252＝625，所以a2＋b2＝c2.根据勾股定理的逆定理，所以是直角三角形. (2)因为a2＋b2＝72＋82＝49＋64＝113，c2＝112＝121，所以a2＋b2≠c2.根据勾股定理的逆定理，所以不是直角三角形. 高效课堂 14 高效课堂 例2 如图是一个机器零件示意图，∠ACD＝90°是这种零件合格的一项指标.现测得AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°.根据这些条件，能否知道∠ACD＝90°？ 根据勾股定理的逆定理，可判断出△ACD是直角三角形，进而得出∠ACD＝90°，并强调这就是判断零件该指标是否合格的方法. 15 高效课堂 解：在△ABC中， ∵∠ABC＝90°，∴AC2＝AB2＋BC2(勾股定理). ∵AB＝4，BC＝3，∴AC2＝32＋42＝52..AC＝5. 在△ACD中， ∵AC＝5，CD＝12，AD＝13， ∴AC2＋CD2＝52＋122＝169，AD2＝132＝169. ∴AC2＋CD2＝AD2. ∴∠ACD＝90°(勾股定理的逆定理). 16 课堂评价 17 课堂评价 18 课堂评价 答案 不唯一，如以下方法， 方法一：依据勾股定理的逆定理进行判断. 判断∠B是直角的方法：测量AB，BC以及AC的长，设AB＝a，BC＝b，AC＝c. 若a2＋b2＝c2，根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.对其他三个角也用同样的方法测量判断. 19 课堂评价 方法二：依据直角三角板中的直角进行判断 判断∠B是直角的方法：用一个直角三角板，将其直角顶点与B点重合，一条直角边与BC重合，看另一条直角边是否与BA重合. 若能完全重合，说明∠B是直角. 依次用该方法检验其他三个角. 20 课堂总结 1.勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？ 如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.它是判断一个三角形是不是直角三角形的重要方法. 21 课堂总结 2.勾股定理与其逆定理的联系与区别 联系：(1)两者都与三角形三边关系a2＋b2＝c2有关；(2)两者都与直角三角形有关. 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形的三边数量关系，即a2＋b2＝c2.勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判断一个三角形是不是直角三角形的有效方法. 22 作业设计 基础性作业：教材习题第1，2题. 提高性作业：教材习题第3，4题. 拓展性作业：教材习题第5，6题. 23 感 谢 观 看 $