滚动检测（8）（必修第一册第一章至第五章第三节）-2025-2026学年高一数学滚动检测卷

高一年级第一学期数学集中滚动检测（八) 考试说明：1.考查范围：必修第一册第一章至第五章第三节诱导公式 2.试卷结构：分第〡卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第I卷（选择题，共58分) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.设集合S,={a=180°+k.360°，k∈Z},S2={aa=-90°+k.180°，k∈Z, S,={a=k.180°，k∈Z,则下列说法正确的是() A.S1二S3 B.S2∈S C.SUS,=S D.S2∩S3=S 【解析】S,表示终边落在x轴非正半轴上角的集合，S2表示终边落在y轴上角的集合， S表示终边落在x轴上角的集合，故S二S,.故选A 2.若不等式x-1<a的一个充分条件为0<x<1,则实数a的取值范围是() A.a>0 B.a≥0 c.a>1 D.a≥1 【解析】由不等式x-1<a,可得-a+1<x<a+1（a<0不合题意)， -a+1≤0 要使得0<x<1是-a+1<x<a+1的一个充分条件，则满足 a+1≥1， 解得a≥1.故选D. 3.若实数a>b>0,则下列不等式不一定成立的是() A.0.3<0.3 B.lga<lgb c11 -1 a-1b-1 D.ai<b2 【解析】由函数单调性可判断出A、B、D均成立，故选C. x(-a) 4.设函数f(x) 在区间(0,1)上单调递增，则a的取值范围是() A[-2,0) B.(-0,0] c.(0,2] D.[2,+oo) 【答案】D x(x-a 【解析】根据题意可知f(x) 是由指数函数y 和二次函数t=x(x-a 复合而成的，由复合函数单调性可得只需使函数t=x(x-α)在区间(0,1)上单调递减即可， 易知函数1=x(x-d关于x=g对称，所以可得g≥1，即a≥2：即a的取值范围是[2+∞). 2 故选D. 5.已知a是方程e+x-4=0的实根，则下列各数为正数的是() A.a2-2a B.e-2 C.In(a-1) D.a2-a 【答案】B 【解析】因为a是方程e*+x-4=0的实根，令f(x)=e+x-4,当x=1时，f)=e+1-4<0, 当x=2时，f(2)=e2+2-4>0,可得1<a<2 对于A,因为1<a<2,所以-1<a-2<0,则a2-2a=a(a-2)<0,故A错误： 对于B,因为1<u<2,所以e<e°<e2,则e-2>0,故B正确： 对于C,·因为1<a<2,所以h(a-1)<0,故C错误： 对于D,因为1<a<2,所以-1<1-a<0,则a2-a=a21-a)<0,故D错误.故选BC. b 6.形如y= +c(a>0,b>0,c∈R)的函数，图象很像汉字中的“图”字，被形象地 x-a 称为“囧函数”.当a=1,b=1,c=0时，该“囧函数”与函数g(x)=ln()的交点个数为 () A.2个 B.4个 C.0个 D.3个 1 1,（x≥0且x≠D x-1 【解析】由题意知，当a=1,b=1,c=0时，y= x-1 +中7t<0且r≠-) 1 在同一坐标系中画出“囧函数”与函数g(x)=的图象如图所示，可知它们有4个交点 y=lgx 故选B cos +a 7.已知sina+cosa=- ,则2 的值为() 2 1-tan(-a) 3 3 A.- B. C、3 3 D. 16 16 【答案】A 【解析】sima+cosu=- 所以aa+ay-即na十o时a22coa 4 cos(+a) -(3 3 3 故sin a cosa=- 2 -sina-sina cosa 81-tan (-a)1+tana cosa+sin a 故选A. 8.已知函数f(x)= 1og2(x+2),-2<x≤0 x2-2x+1,x>0 ，若函数 g(x)=[f(f(x)]'-(a+1)f(f(x)+a(aeR)恰有8个不同零点，则实数a的取值 范围是() A.(0,1) B.[0,] C.(0,+0) D.[0,+o) 【答案】A 【解析】由g(x)=[ff(x)]P-(a+1)-ff(x)+a=0得[ff()-l][f(f(x)-a=0,则f(f(x)=1或 f(f(x)=a,作出f()的图象如图， 3 2 0 12 则若f(x)=1,则x=0或x=2,设f(),由f(f(x》且得f)且，此时仁0或t=2, 当=0时，f()==0,有两个根，当t=2时，f(x)=仁2，有1个根，则必须有f(f(x)=a, (a≠1)有5个根，设寸(x),由f(f(x)=a得f(t)=a,若=0，由ft)=a=0得仁1，或t=月l, f(x)=-1有一个根，f(x)=1有两个根，此时有3个根，不满足条件. 若a>1,由f(t)=a得t>2,f(x)=t有一个根，不满足条件. 若a<0,由f(t)=a得-2<t<1,f(x)=t有一个根，不满足条件. 若0<a<1,由f()=a得-1<t1<0,或0<t2<1或，1<t<2, 当-1<t1<0时，f(x)=其，有一个根，当0<t2<1时，f(x)=t2,有3个根， 当1<t,<2时，f(x=t,有一个根，此时有1+3+1=5个根，满足条件. 故0<a<1,即实数a的取值范围是(0,1)，故选A. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9.下列说法，正确的是() A.cos+a-sin a=1-2sin2a B.若角与角B的终边在同一条直线上，则-B≠2kπ(k∈Z) C.若角a的终边经过点P(-1,3),则 cosa =-1 sina+cosa 2 D.若扇形的弧长为2，圆心角为30，则该扇形的面积为1 π 【解析】对于A,cosa-sin'a=（cos2a-sin2a)(cos2a+sin'a)）=cos2a-sin2a=1-2sin2au, 故A正确； 对于B,因为角与角B的终边在同一条直线上，所以角与角B的终边可能重合， 此时0-B=2hπ(k∈Z),故B错误； 对于C,因为角a的终边经过点P(-13),所以tan2=3=-3且c0sL≠0，所以 -1 coSa coSa÷coSa 111 snu+cosa(Sina+cosa)÷-costana+1-3+1-2,故c正确： 对于0，设扇形的半径为，又扇形的孤长为2。国心角为30-君， 所以=2，解得，所以孩扇形的面积为2卫12。故D正确.故选AGD 10.若fx)是定义在R上的奇函数，f(x+2)是偶函数，当x∈(0,2]时，f(x)=1og2x,则 () A.f(x)在(-4，-2)上单调递减 )1 C.f(x)在[-4,4上恰有5个零点 D.f(x-2)是偶函数 【答案】AD 【解析】由f()是定义在R上的奇函数，得f(x)=-f(-x),f(0)=0,由f(x+2)是偶 函数，得f(x+2)=f(-x+2),则f(x)关于x=2对称，又f(x)是奇函数，可得f(x)关 于x=-2对称，∴f(x+2)=f(-x+2)=-f(x-2),f(x)=-f(x-4)=f(x-8),函数 f(x)的周期为8，当x∈(0,2]时，f(x)=logx,则fx)在(6,2]1个周期)的图象如图 所示， 对A,由图易得，f(x)在（-4，-2)上单调递减，A对： 对B,由函数的奇偶性、对称性和周翔性可得f学=f(子=-孕=-f分=1，B错： 对C,由函数的周期性和图象可得，f(4)=f(④)=f0)=0,f(3)=f(1)=f(①)=f3)=0, 即f()在[-4,4]上恰有个7个零点，C错： 对D,因为函数关于x=-2对称，f(x-2)的定义域为R,所以f(x-2)=f(-x-2),故 f(x-2)是偶函数，D对.故选AD 山.已知f(y=r+e-x<0)与g()=r+ln+a)的图象上有在关于y轴对称 的点，则a的取值可能是() A.e B.1 C.-1 D.-e 【解析】在画数f(四=+e-x<0)的图象上取点P比，)，则点P关于y釉的对称点 Px列在函致()的国象上，所以，=+心（←+h(a-),参理可得 na)=e-号，可得ax+6,所以，实数a的取位范调即为函载A)=x+e时k<0） 的值城，因为内吴画数u=在(-四0)上为城画数。外层函数1=心为增通载 故函数y=e(x<0)为增函数，又因为函数y=x为增函数， 故函数h)=x+e(k<0)为增函数，所以，M<h(0)=E, 所以，函数()=+eK<0)的值战为(-2V, 因此，实数a的取值范围是-∞，Ve.故选BCD. 第IⅡ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 的值为 6 【解折1由oa-君o君acos任(a+)-m写+a) )1 .cos-6故答案为 1_1 13.设x,y,2∈R*,满足2=3=6，则2x+ 的最小值为一一一 Z V 【答案】2√2 【解析】设2=3”=6=k,因为x,y,三∈R+,所以k>1,所以 x=1og2k,y=log,k,z=log6k,所以 11=210g,k+1一1 2x+ -210g,k+log:6-10g:3=210g2 k+log 2, 二y log k logk 因为k>1,所以2log2k+log22√21og2k×1og2-2W2,当且仅当2log2k=log:2 ,11 时等号成立，所以2x+ 的最小值为2√2.故答案为：22. zy 14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所 的经验公式为：弧田面积三弦×矢+失？).弧田是由圆弧及其所对的弦所围成。公式 中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 2π 3 半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是_一一一 【解析】设孤田的圆心为O,弦为AB,C为AB中点，连OC交孤于D,如图所示， D 0 由题意可得∠AOB= F子，0A=4,在Rt△0G中，号得∠A0G=号，∠CA0= 6 00=0A=4=2,可得关=4-2=2，由A0=0Am背-45-25，可得孩A8=24C 3 2 =4,所以流网而款吉×(452-2)=45+2，同为答=兴照则 5<片、从石号4N厅-29，圆比，清得张回面积没接道的整数是又收整索为：？ 8 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15(体小题13分0计算：(g5+g2-1822+1g51g1og,16). 1og49 (②)已知角a,以x轴的非负半轴为始边，P(V5,-1为终边上一点，计算 sin(π-a)cos(a-2π)cos 3-atan(π-a） 的值 2-acos(3r-a)sin(←a) 5 【答案】(1)0；(2) 5 3 1体小题15分已知函数f(倒=写+l8: (1)求f(x)的定义域： (2)当x∈(1，+oo), ①求证：f(x)在区间(1，+0)上是减函数： ②求使关系式f(m-2)>f(2m-1)成立的实数m的取值范围 【解折】0由+>0得x<-1或x>1,所以函数f)的定义域为(0，-1)U0,+0), r、i 。+1)(32-1) 证明：设飞<，-f)=g,中g十i8-x行 x-1 t2-1 =鸣十二因为1<<，所以+1>专1>0， 所以袋山，会0，所以心). Xx2+y-x2-1 故f(x)在区间1，+)上是减函数. ②由①知f(x)在区间(1，+m)上是减函数，由f(-2)>f(2-1),可得1<m-2<2-1, 解得>3. 17(本小题15分)西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村 周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明， 在25C室温下，龙井用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60C时饮用，可以产生最 佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从85C开始，经过x分钟后的温度为y°C且满足 y=ka+25(k∈R,0<a<1,x≥0). (1)求常数k的值： (2)经过测试可知α=0.9227，求在25C室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才 能达到最佳饮用口感？（结果精确到1分钟）（参考数据： 1g2≈0.3010,1g3≈0.4771,1g7≈0.8451,1g0.9227≈-0.0349) 【解析】I):茶水温度从85C开始，即当x=0时，y=k+25=85,解得k=60: (2)当a=0.9227时，y=60×0.9227+25,当y=60时，60×0.9227+25=60， 即 0.9227=7 12 1 12= x=1680921121g0.9227 g7-21g2-1g3≈0.8451-2×0.3010-0.4771 ≈6.7049， 1g0.9227 -0.0349 故刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感， 18.(本小题17分)已知f(x)= 3+4是定义在R上的奇函数. 3+1 (1)求a的值： (2)解关于x的方程2f(x) f)+13: (3)若存在区间[m,n](m<m),使得函数y=f(x)+t在[，n上的值域为[3,3]，求t的 取值范围. 【答案】(1)a=-1:(2)x=-1:(3)2W2-2<t<1. 【解析】(1)由f)=3+0是定义在R上的奇函数，得f0)=1+0=0,解得a=-1, Γ3+1 2 所以f的=，)+f四=十士0，即)是奇函数， 3-+13*+11+3T3*+1 所以a=-1. ②)令f四日2，则方程2四+七23化为2+即九+2+ f(x+1 2 标移-2商0加四多1写品 2 当2动，到=片期名-得联有1： 当1=2时，f)=1,即，之=0，无解，所以原方程的解为下=-1. 3+1 3)由D知=3=1-2 1函数)=3+1在R上单调递增， 则函数f(x)在R上单调递增，所以函数y=f(x)+t在[，上单调递增，依题意得， ∫f0m+t=3 1、、2 +i=3 3m+1 即 f0m+t=3, ,令3”=1>0，因此3,3°是方程1-2+t=M, 1- u+1 △=t2+4t-4>0 即2-t+1-t=0的两个不等的正根，于是t>0 ,解得22-2<t<1, 1-t>0 所以t的取值范围是2W2-2<t<1. 19.(本小题17分)函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师Johan Jensen在 1905年提出来的.其中对于凸函数的定义如下：设连续函数f(x)的定义域为a,b(或开 区间(a,b)或a=-0,或b=+oo都可以)，若对于区间a,b]上任意两个数x,x,,均有 f色生产）儿伍）色立，则路/为区同6上的西黄.衣5期待和 2 y=√x,y=sinx(x∈(0，π)等函数都是凸函数.Johan Jensen在1906年将上述不等式推 广到了n个变量的情形，即著名的Jensen不等式：若函数f(x)为其定义域上的凸函数， 则对其定义域内任意n个数x,x2,,x，均有 x+x2+...+x f)+f)十+f(x成立，当且仅当x=5==x,时等 n 号成立 (1)除上述给出的凸函数外，请再写出一个凸函数并利用凸函数的定义证明： (2)若函数f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0)为R上的凸函数，求a的取值范围； (3)在A4BC中，求1+】+1 的最小值 sin A sin B sin C 【答案】(1)f(x)=-x2,证明见解析(2)a<0(3)2√3 9 【解析】(1)函数f(x)=-x2为凸函数，证明如下：对任意x,x2∈R, 有[+1-2产)=-听--年产门=-+片++2)-%s0, 故f)+f,)s2f+,即f)+,)s十)所以函数f(y=-c是凸函数. 2 2 2 (2)由于函数f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0)为R上的凸函数，所以对任意的x,x2∈R, 有f)+f,)≤2f古+， 2 故 +】2r产)=a++a+名-a+产1=a+a-(++2=- 2 2 ,国光-≤0，结合aeRa=0,故a<0 (3)由基本不等式 (sin 4+sin B+sinc)(1+11 sinsini-3sinc+sin4+sin B sinc sin B+sin 49 sinA sinC sinC sin B sin A sin B 当且仅当A-B=C-号时取等号.由asa不等式有 sin A+sin B+sinC s3sin4++C=3sin 3 当L仅当AB=C时取等号.放4十于C的荒小值为2 3 10高一年级第一学期数学滚动检测（八) 考试说明： 1,考查范围：必修第一册第一章至第五章第三节诱导公式 2.试卷结构：分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.设集合S={aa=180°+k.360°k∈Z},S2={aa=-90+k.180°，k∈Z,S,={aa=k.180°，k∈Z, 则下列说法正确的是() AS∈Sg B.S2∈S C.SUS2=S D.S2∩S3=S 2.若不等式x-1<a的一个充分条件为0<x<1,则实数a的取值范围是() A.a>0 B.a≥0 C.a>1 D.a≥1 3.若实数a>b>0,则下列不等式不一定成立的是() A.0.3<0.39 B.lg a<lgb 、1 1 a-1b-1 Daisbi x(x-a) 4设函数f(x) 在区间(0,1)上单调递增，则α的取值范围是() A「-2,0) B.(（-∞，0] c.(0,2] D.[2,+o) 5.己知a是方程e+x-4=0的实根，则下列各数为正数的是() A.a2-2a B.e-2 c.n(a-1) D.a2-a b 6.形如y= x-a +c(a>0,b>0,C∈R)的函数，图象很像汉字中的“囧”字，被形象地称为“囧函数”· 当a=1,b=l,c=0时，该“囧函数”与函数g(x)=ln()的交点个数为() A.2个 B.4个 C.0个 D.3个 1 7.己知sina+cosa=- ,则“气2 的值为() 1-tan(-a) 4、3 83 3 C.- D. 3 4 4 16 16 1 8.已知函数f(x=r-2x+1,x>0 0，若函数 1og2(x+2),-2<x≤ g(x)=[「f(f(x)门-(a+1)f(f(x)+a(a∈R)恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是() A.(0,1) B.[0,1] C.(0,+o)） D.[0,+o) 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法，正确的是() A.cos'a-sin a=1-2 sin2 a B.若角a与角B的终边在同一条直线上，则C-B≠2kπ(k∈Z) c若角x的终边经过点P(-1,3),则，cosa -1 sina+cosa 2 D.若扇形的弧长为2，圆心角为30°，则该扇形的面积为 10.若f(x是定义在R上的奇函数，f(x+2)是偶函数，当x∈(0,2]时，f(x)=1og2x,则() A.fx)在(-4，-2)上单调递减 C.f()在[-4,4]上恰有5个零点 D.f(x-2)是偶函数 11.已知f(x)=x2+e-1 (x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取 值可能是() A.e B.1 c.-1 D.-e 第I川卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） π）1 12.已知sin0+ a+33,则cosa-6 的值为 13设xy2∈R*,满足2=3=6，则2x+1 二的最小值为一一 14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式 为：弧田面积=】（弦X矢十矢2）.弧田是由圆弧及其所对的弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对弦长， 2 2π “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 3 一，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式 计算所得弧田面积最接近的整数是」 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) i床美a)计：0s1s2您g+s5seg,10. 1og49 (②)已知角α以x轴的非负半轴为始边，PV5,-1)为终边上一点，计算 sin(π-ax)cos(a-2π)cos 2aan(-a) 3π 的值 5π cos -cos(3-as小im(←a) 6休小境5分已潮画数/四-青e[ (1)求f(x)的定义域： (2)当x∈(1，+0)， ①求证：f(x)在区间(1，+o)上是减函数： ②求使关系式f(-2)>f(2m-1)成立的实数m的取值范围. 17(本小题15分)西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并 因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在25C室温下，龙井用85C 的水泡制，再等到茶水温度降至60C时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从85C 开始，经过x分钟后的温度为yC且满足y=k+25(k∈R,0<a<1,x≥0) (1)求常数k的值： (2)经过测试可知α=0.9227，求在25°C室温下刚泡好龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口 感？（结果精确到1分钟)（参考数据：1g2≈0.3010,1g3≈0.4771,1g7≈0.8451,1g0.9227≈-0.0349） 3 18(体小题17分已知fx)=3+ 3+0是定义在R上的奇函数. (1)求a的值： 2 (2)解关于x的方程2f(x)+ =3: f(x)+1 (3)若存在区间[m,n(<n),使得函数y=f(x)+t在[，川上的值域为3”，3，求t取值范围. 19.(本小题17分)函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师Johan Jensen在1905年提出来 的.其中对于凸函数的定义如下：设连续函数f(x)的定义域为a,b](或开区间(a,b)或a=-o,或 6可以，若对于区小盒个数，均有〔气兰)上伍成，略 2 f(x)为区间[a,b]上的凸函数.容易证明诸如：y=Vx;y=sinx(x∈(0，π)等函数都是凸函 数.Johan Jensen在l906年将上述不等式推广到了n个变量的情形，即著名的Jensen不等式：若函数 f(x)为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意n个数飞，，，x，均有 $+++x）≥()十f西)十+fx成立，当且仅当x=x,==x,时等号成立 n (1)除上述给出的凸函数外，请再写出一个凸函数并利用凸函数的定义证明： (2)若函数f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0)为R上的凸函数，求a的取值范围： (③)在△4BC中，求1+11 的最小值 sinA sin B sinC 4