专题06 相似三角形解题模型（考题猜想，7种热考模型）九年级数学上学期人教版五四制

6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 专题06相似三角形解题模型（考题猜想，7种热考模型） 题型大集合 题型一：A字模型（共8题） 题型二：8字模型（共7题） 题型三：一线三等角模型（共7题） 相似三角形 解题模型 题型四：手拉手旋转模型（共9题） 题型五：三角形纳接矩形模型（共3题） 题型六：双垂直模型（供2题） 题型七：母子模型（共4题） 题型大通关 题型一：A字模型（共8题) 1.(2023秋·锦江区期末)如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊AB,文化长廊上伫立着 三座名人塑像CD,EF,GH,点A,D,F,H,B在同一直线上，且AD=DF=FH=HB.在明德 楼的楼顶有一照明灯P,塑像CD的影子为DM,塑像EF的影子为FN,该校“探数学”兴趣小组的同学 测得文化长廊AB=24米，塑像高CD=EF=GH=3米，塑像CD的影长DM=2米. (1)求明德楼的高PA； (2)求塑像EF的影长FN. 明 楼 智 楼 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 2.(2023秋·金牛区期末)学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方 案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼晴到地面的距离）AB为1.6m,离小李3.5m(BF=3.5m)处的 小张拿一根高4.6m(EF=4.6m)的标杆直立地面，小张离教学楼14m(DF=14m),此时小李的眼睛、标杆J顶 端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼CD的高度， A D 3.(2023秋·晋中期末)小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为15cm的小尺测量这棵树 的高度.如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端E,F,然后不 断调整站立的位置，在点D处时恰好能看到该大树的顶端B和底部A.(图中所有点均在同一平面，点C, M,D在同一条直线上.)经测量，小明的手臂长MF=50cm,点D到树底端的距离DA=30m,求大树 AB的高度. B 视线 视点 视线 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 4.(2023秋·海门区期末)如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF, 标杆的高都是20米，D,F两处相隔200米，并且AB,CD和EF在同一平面内.从标杆CD后退80米 的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退160米的H处，可以看到顶峰A和 标杆顶端E在一条直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少米？ B 5.(2023秋·大荔县期末)如图，矩形ABCD中，AD=12,AB=9,E是边AB上的点，以DE为直径的 ⊙0恰好与BC相切，切点为G. (1)求⊙0的半径： (2)延长DE交CB的延长线于点F,求FG的值. A D E B ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 6.(2023秋·广安区校级期末)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义. 如图所示，现将一高为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移 动1.8米至DE的位置(CG=DE),此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度， G C HD 7.(2023秋莱西市期末)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,AC=4cm,动点E从点A出 发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s,以AE为直径作⊙O,与AB交于点D,连接DE,设运动时间 为t(s)(0<t<2),解答下列问题： (1)t取何值时，BE平分LABC; (2)设△DCE的面积为y,求y与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t,使CD与⊙0相切？若存在，求出t的值；若不存在说明理由 A E ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 8.(2023秋·市南区期末)如图1，在△ABC中，AB=AC=15,BC=24,点P以每秒1个单位长度的速 度，从点A出发沿AB方向向终点B运动，同时，点Q以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿BC方向 向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为t秒，请解答下列问题： (1)当t为何值时，PQ/1AC; (2)在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t,使得△PCQ的面积等于6？若存在，请求出t的值； 若不存在，请说明理由。 (3)如图2，E是AC的中点，连接BE,与PQ交于点O,是否存在某一时刻t,使得PQ⊥BE?若存在， 请求出t的值；若不存在，请说明理由. B Q Q 图1 图2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 题型二：8字模型（共7题) 1.(2022秋·隆昌市校级期末)已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE/BC,BE与AD、AC分 别相交于点F、G,AF2=FG·FE. (1)求证：△CAD∽△CBG; (2)联结DG,求证：DG·AE=AB·AG A E B D 2.(2022秋·阳谷县期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E,DB平分∠ADC,且 AB2=BE·BD. (1)求证：△ABE∽△DCE; (2)AE·CD=BC·ED. B ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 3.(2022秋·平谷区期末)如图，己知锐角∠ABC,以AB为直径画⊙0，交BC边于点M,BD平分 LABC与OO交于点D,过点D作DE⊥BC于点E. (1)求证：DE是⊙0的切线； (2)连接OE交BD于点F,若∠ABC=60°，AB=4,求DF长. A D B 4.(2023秋·榆林期末)已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E,M是边DC延长 线上的一点，联结AM,与边BC交于F,与对角线BD交于点G. (1)求证：AG2=GF.GM; (2)联结CG,如果∠BAG=LBCG,求证：平行四边形ABCD是菱形. G E B F C M 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 5.(2022秋沐川县期末)如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM,ME交CD于F,交 AD的延长线于点E. (1)求证：△ABM∽△MCF; (2)若AB=4,BM=2,求ADEF的面积. B M C D 6.(2022秋·南开区校级期末)如图，在口ABCD中，G是CD延长线上一点，连接BG交AC,AD于E, F (1)求证：△ABEn△CGE; (2)若AF=2FD,求BE的值. EG G D 8 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 7.(2022秋·双流区期末)小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪AB 从观测出发点A观测深坑底部P,且观测视线刚好经过深坑边缘点E,在深坑右侧用观测仪CD从测出发点 C观测深坑底部P,且观测视线恰好经过深坑边缘点F,点B,E,F,D在同一水平线上.已知 AB⊥EF,CD⊥EF,观测仪AB高2m,观测仪CD高1m,BE=1.6m,FD=0.8m,深坑宽度EF=8.8m ,请根据以上数据计算深坑深度多少米？ B 题型三：一线三等角模型（共7题) 1.(2023秋·龙川县校级期末)已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上， ∠ADE=60°. (1)求证：△ABD∽△DCE; (2)如果AB=3,EC=2,求DC的长. 3 60° B 9 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 2.(2022秋魏都区校级期末)如图，AB=9,AC=8,P为AB上一点，∠A=∠CPD=∠B,连接CD (1)若AP=3,求BD的长； (2)若CP平分∠ACD,求证：PD=CD·BD. C P B 3.(2023秋·谢家集区期末)已知等边△ABC,E,F分别在边AB、AC上，将△AEF沿EF折叠，A点 落在BC边上的D处 (1)求证：△BED∽ACDF; (2)若CD=2BD时，求 DE 10 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 专题06相似三角形解题模型（考题猜想，7种热考模型） 题型大集合 题型一：A字模型（共8题） 题型二：8字模型（共7题） 题型三：一线三等角模型（共7题） 相似三角形 解题模型 题型四：手拉手旋转模型（共9题） 题型五：三角形纳接矩形模型（共3题） 题型六：双垂直模型（供2题） 题型七：母子模型（共4题） 题型大通关 题型一：A字模型（共8题) 1.(2023秋·锦江区期末)如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊AB,文化长廊上伫立着 三座名人塑像CD,EF,GH,点A,D,F,H,B在同一直线上，且AD=DF=FH=HB.在明德 楼的楼顶有一照明灯P,塑像CD的影子为DM,塑像EF的影子为FN,该校“探数学”兴趣小组的同学 测得文化长廊AB=24米，塑像高CD=EF=GH=3米，塑像CD的影长DM=2米. (1)求明德楼的高PA； (2)求塑像EF的影长FN. 明 楼 智 楼 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 【解答】解：(1)：AD=DF=FH=HB,AB=24米， AD=DF=FH=B=号AB=6米， 由题意得：∠CDM=∠PAM=90°， :∠CMD=∠PMA, :CDM∽△PAM, CD DM PA AM 32 AP-2+6 解得：AP=12, .明德楼的高PA为12米： (2)由题意得：∠PAN=∠EFN=90°， :LENF=∠PNA, △EFN∽△PAN, EF FN PA AN 3 FN 12FN+6+6 解得：FN=4, .塑像EF的影长FN为4米。 2.(2023秋·金牛区期末)学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方 案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）AB为1.6m,离小李3.5m(BF=3.5m)处的 小张拿一根高4.6m(EF=4.6m)的标杆直立地面，小张离教学楼14m(DF=14m),此时小李的眼睛、标杆顶 端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼CD的高度. C A 的 D 【解答】解：如图，过点A作AM⊥CD于点M,交EF于点N, :EF //CD, :AN⊥EF, 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 AB=1.6, :AB NF MD =1.6, EF=4.6, EN=3, BF=3.5,FD=14, AN=3.5,MN=14, EN /CM .△AEN∽△ACM, ENAN CM AM 即3-3.5 CM3.5+14' 解得CM=15, CD=CM+DM=15+1.6=16.6(米) 答：教学楼CD的高度为16.6米. C B D 3.(2023秋·晋中期末)小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为15cm的小尺测量这棵树 的高度.如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端E,F，然后不 断调整站立的位置，在点D处时恰好能看到该大树的顶端B和底部A.(图中所有点均在同一平面，点C, M,D在同一条直线上.)经测量，小明的手臂长MF=50cm,点D到树底端的距离DA=30m,求大树 AB的高度 B 视线 视点 E 视线 A 【解答】解：：∠CMF=∠CDA=90°，∠FCM=∠ACD, .△CMF∽△CDA, 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 CF MF CA DA :MF=50cm=0.5m,DA=30m, CF MF 1 CA DA 60 :∠ECF=LBCA,∠B=∠CEF, △CEFn△CBA, EF CF 1 BA CA 60 :EF=15cm=0.15m, .BA =9m, 答：大树AB的高度为9m. 4.(2023秋·海门区期末)如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF, 标杆的高都是20米，D,F两处相隔200米，并且AB,CD和EF在同一平面内，从标杆CD后退80米 的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退160米的H处，可以看到顶峰A和 标杆顶端E在一条直线上，求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少米？ B D G F 【解答】解：由题意得：AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH, ∠ABH=LCDH=∠EFH=90°， ZCGD ZAGB, :△CDG∽△ABG, CD DG ·ABBG 2080 AB 80+BD :∠H=∠H, .△EHF∽△AHB, 、EFFH ·ABBH ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 20 160 AB160+200+BD 80 160 80+BD160+200+BD 解得：BD=200, 20 80 AB 80+200 解得：AB=70, ∴.山峰的高度AB为70米，它和标杆CD的水平距离BD是200米. 5.(2023秋·大荔县期末)如图，矩形ABCD中，AD=12,AB=9,E是边AB上的点，以DE为直径的 ⊙0恰好与BC相切，切点为G. (1)求⊙0的半径： (2)延长DE交CB的延长线于点F,求FG的值. A D B G 【解答】解：(1)连接0G,并延长G0交AD于点H, :BC与⊙0相切于点G, ∠0GB=90° 四边形ABCD是矩形， :AB=DC=9,∠C=ADC=90°，AD1/BC, L0HD=∠0GB=90°， .四边形DHGC是矩形， ..GH=DC=9, :OH⊥AD, ∴.AH=DH=AD=6, 2 设⊙0的半径为r, 在RtA0HD中，OH2+DH2=OD2, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 (9-r)2+62=r2, r13 0的学为号 (2)由(1)得： 四边形DHGC是矩形， :DH=CG=6, :四边形ABCD是矩形， ·AB/1CD, ∠ABF=∠C=90°， :∠F=∠F, .△FBE∽△FCD, FG OG FC DC 13 FG 2 FG+69 FG=15.6, FG的值为15.6. A H D E F B G 6.(2023秋·广安区校级期末)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义. 如图所示，现将一高为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移 动1.8米至DE的位置(CG=DE),此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 E B C HD F 【解答】解：由题意得：CD=1.8米，AB⊥BF,GC⊥BF,ED⊥BF, ∠B=∠GCH=∠EDF=90°， :ZGHC ZAHB, .△GCH∽△ABH, GC CH AB BH 21 AB 1+BC :∠F=∠F, ∴.△EDF∽△ABF, :ED FD AB FB' 2 3 AB3+1.8+BC 1 J3 1+BC3+1.8+BC 解得：BC=0.9, 2 1 AB1+0.9 解得：AB=3.8, .灯杆AB的高度为38米 7.(2023秋·莱西市期末)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,AC=4cm,动点E从点A出 发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s,以AE为直径作⊙0，与AB交于点D,连接DE.设运动时间 为t(s)0<t<2),解答下列问题： (1)t取何值时，BE平分LABC; (2)设△DCE的面积为y,求y与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t,使CD与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在说明理由 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 18 D 0 【解答】解：(1)由题意得：∠ACB=90°，AB=5cm,AC=4cm,AE=2tcm,CE=(4-2t)cm, AE是⊙0的直径， ∠ADE=90°， 在RIAABC中，BC=VAB2-AC2=V5-42=3(Cm), :LADE=LACB=90°，∠EAD=LBAC, :△AEDm△ABC, DE_BC,即DE=, AE AB 215' DE-g cm, :LBDE=LBCE=90°， .当DE=CE时，BE平分LABC, 6 .t=4-2t, 5 解得：t=三， 4 :当1=时，BE平分∠ABC: (2)如图，过点D作DG⊥AC于点G, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 B D OG E C :△AED∽△ABC, AD AC AE-AB 即D、4 2t 5 8 :AD=t cm, 5 :DG⊥AE,AD⊥DE, AE:DG=AD·DE,即21DG=8.6 DG= 25cm, ∴y=SE-)CEDG=4-20)241=-24+48 ; 25 25 25 (3)存在某一时刻t,使CD与⊙0相切.理由如下： 如图，过点D作DG⊥AC于点G, B OG E 由(1)(2)知：4E=21cm,0A=0D=1cm,0C=(4-0cm,AD=8: cm,AG= 32 t cm, 5 25 DG=24 5 t cm, ..OG=AG-0A 3 25-1s 7 25 t, ∴.CG=OC-AG=4- 32 t, 25 9 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 :DG⊥AC, :CD与⊙0相切， ∠CD0=90°， ∴.∠DG0=∠CD0, :LD0G=∠C0D, :.△0DG∽△0CD, OG OD OD OC ,即2 t 4- 7 解得：t=。 8 ∴.当t=二时，CD与⊙0相切. 8 8.(2023秋·市南区期末)如图1，在△ABC中，AB=AC=15,BC=24,点P以每秒1个单位长度的速 度，从点A出发沿AB方向向终点B运动，同时，点Q以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿BC方向 向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为t秒，请解答下列问题： (1)当t为何值时，PQ11AC; (2)在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t,使得△PCQ的面积等于6？若存在，请求出t的值； 若不存在，请说明理由 (3)如图2，E是AC的中点，连接BE,与PQ交于点0O,是否存在某一时刻t,使得PQ⊥BE？若存在， 请求出t的值；若不存在，请说明理由. B 图1 图2 【解答】解：(1)由题意得：AP=t,BQ=2t, BP=15-t,CQ=24-2t, :15÷1=15,24÷2=12, .0<t12, PO//AC, 10 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！