专题04 分式（期末复习专项训练）八年级数学上学期人教版五四制

专题04 分式 题型1 从分数到分式（常考点） 题型6 整数指数幂（常考点） 题型2 分式的基本性质（常考点） 题型7 分式方程的定义（常考点） 题型3 分式的运算（重点） 题型8 解分式方程（重点） 题型4 分式化简求值（重点） 题型9 根据分式方程解的情况求值（重点） 题型5 分式的应用（难点） 题型10 分式方程的应用（难点） 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 从分数到分式（共8小题） 1．（25-26八年级上·全国·期末）要使分式有意义，则x应满足（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 即应满足， 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知分式的值为零，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备的条件是分子为0且分母不为0． 根据分式的值为0的条件进行列式，求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 故选：A． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列各式：，，，，，，，其中分式共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】此题考查分式的定义，掌握分式的构成特点，特别是在分母中必须含有字母，即可正确判断． 形如的式子叫分式，其中A、B表示两个整式，B中含有字母，依此判断即可． 【详解】解：，，这三个式子，分母不含字母，都不是分式； ，，，这四个式子，分母含字母，都是分式； ∴分式共有4个， 故选：B． 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为0． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零求解即可． 【详解】解：由分式的值为零的条件，得 且 ． 解 ，得 ， ∴或． 由 ， 得 ． ∴． 故答案为： 5．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 根据分式的分母不为零列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为： 6．（24-25八年级上·河南商丘·期末）请你写一个分式，使它满足，当时，分式无意义 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此写出一个当时，分式的分母为0的分式即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的分式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列式子：，，，，，分式有 个． 【答案】3 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意是常数，是解题的关键． 根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：，，的分母中含有字母，属于分式，共有3个． 故答案为：3． 8．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知分式，整式． (1)若，求的值； (2)当取哪些整数时，分式的值为整数； (3)试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)当，，且时， ，当时，． 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式的值，分式的值的大小比较，掌握运算法则是解本题的关键； （1）把代入再解方程即可； （2）把化为，再根据为整数，为整数，再建立方程求解即可； （3）先计算，可得，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ， ∴， 解得：， 经检验符合题意； （2）∵，而为整数，为整数， ∴或， 解得：，， （3） ， 当，即， ∴，则， 当，即， ∴且时，，即， 当时，，即． 题型二 分式的基本性质（共14小题） 9．（24-25八年级上·河南许昌·期末）将分式约分结果正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的约分，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据分式的基本性质进行约分即可求解． 【详解】解： 故选：B． 10．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．根据最简分式的定义分别对每一项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：选项A、，不符合题意； 选项B、，不符合题意； 选项C、不能约分，符合题意； 选项D、，不符合题意， 故选：C． 11．（24-25八年级上·广东东莞·期末）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题关键．最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 故选：A． 12．（24-25八年级上·重庆江北·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形正确； ．当时，无意义，该选项从左到右的变形不正确； 故选：． 13．（24-25八年级上·福建福州·期末）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据题意可得，再整理可得答案. 【详解】解：将分式中x，y都扩大3倍，得， 所以分式的值扩大3倍. 故选：A. 14．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可． 【详解】解：， 故选：A． 15．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可得解． 【详解】解：与的最简公分母是， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·江西上饶·期末）若分式的值为整数，则非负整数的值为 ． 【答案】或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查分式的求值问题，由分式的值为整数，可得可以为、、、，据此可以得到答案．要注意分类讨论的思想以及分子分母之间的倍数关系，认真审题，抓住关键的字眼是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为整数， ∴可以为、、、， ∴可以为、、、， ∴非负整数的值为或或． 故答案为：或或． 17．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 【答案】16 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．由题意得，将分式中，用，代替，利用分式的基本性质化简，再结合原分式的值即可得出答案． 【详解】解：将分式中，都扩大为原来2倍后，所得式子为： ， 若分式的值为8，则所得分式的值是． 故答案为：16． 18．（22-23八年级上·山东滨州·期末）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案． 【详解】解：分式， 分子、分母同时乘以10， 则有原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键． 19．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式，，，中，最简分式有 个 【答案】2 【知识点】最简分式 【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答． 【详解】解：，故不是最简分式； ，故不是最简分式； ，不能继续化简，是最简分式． ∴最简分式有2个． 故答案为：2． 20．（23-24八年级上·北京石景山·期末）在括号内填入适当的整式对分式变形：，括号内应填入数字 ，变形的依据是 ． 【答案】 分式的基本性质 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质可和分母的变化即可求解． 【详解】解：∵， ∴括号内应填入数字，变形的依据是分式的基本性质． 故答案为：，分式的基本性质． 21．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）计算： 【答案】 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】利用分式的基本性质即可求得答案．本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 22．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）通分：，，． 【答案】，， 【知识点】通分、最简公分母 【分析】本题主要考查了通分的知识，确定三个分式的最简公分母是解题关键．由题意可知，最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行通分即可． 【详解】解：最简公分母是， 则， ， ． 题型三 分式的运算（共18小题） 23．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查分式的乘方运算．熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 24．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）已知，则表示的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解答本题的关键． 根据题意得：，根据分式的乘法法则计算即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 即表示的代数式是， 故选：A． 25．（24-25八年级上·山东威海·期末）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可求解． 【详解】解： 故选：D． 26．（24-25八年级上·天津·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同分母分式加减法 【分析】利用通分，约分计算即可． 本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 27．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【知识点】分式除法 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】解： ； 当时，，分式无意义， 故甲正确，乙不正确； 故选C． 28．（24-25八年级下·河北保定·期末）甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式除法、列代数式、分式乘法 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，先分别求出两者的速度，再求比值即可． 【详解】解：甲完成次运算用时秒，故速度为次/秒， 乙完成倍于甲的次数，即次，用时秒，故速度为次/秒， ， 因此，甲平台的运算速度是乙平台的倍， 故选：B． 29．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在计算的过程中，甲、乙二人给出了不同的解法，下列判断正确的是（   ） 甲：原式； 乙：原式 A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【答案】C 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减法，分式的基本性质，利用分式的加减法则进行判断即可． 【详解】解：甲是先通分进行运算后再约分； 乙是将第二个分式进行约分后再进行加减运算； 两人的解法都正确， 故选：C． 30．（23-24八年级上·重庆忠县·期末）对于依次排列的一串式子，若把相邻的两个式子，用右边式子减去左边式子，所得差写在这两个式子之间，得到一串新式子，称为“一次操作”．例如对于个分式，，，那么“第一次操作”后得一串新分式为，，，，．已知一串式子是，，，张三通过实际操作，得出以下结论：①“第次操作”后得到的一串新式子为：，，，，，，，，；②“第3次操作”后共有个式子；③“第3次操作”后所有式子之和比“第2次操作”后所有式子之和小1；④“第次操作”后所有式子之和为．那么，张三结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题主要考查了分式的加减，依据题干要求正确操作并发现其中的规律是解题的关键．利用“一次操作”的规定进行操作，通过操作得到规律性的结论，依据发现的规律逐一判断即可． 【详解】解：“第2次操作”后得到的一串新式子为：，0，，，，，，，，共个， ①的结论正确； “第一次操作”后得一串新分式有个，“第二次操作”后得到的一串新式子有，“第三次操作”后共个式子， ②的结论正确； “第一次操作”后得一串新分式的和为：， “第二次操作”后得一串新分式的和为：， “第三次操作”后得一串新分式的和为：， ， ③的结论错误； “第一次操作”后得一串新分式的和为：， “第二次操作”后得一串新分式的和为：， “第三次操作”后得一串新分式的和为：， “第次操作”后得一串新分式的和为：， “第次操作”后所有式子之和为， ④的结论正确； 张三结论正确的个数是个， 故选：B． 31．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的减法运算，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 32．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】根据分式乘法的运算法则，将分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，然后约分得到结果． 本题主要考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式乘法的运算法则（分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母）是解题的关键． 【详解】解： 33．（24-25八年级上·全国·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】此题考查分式的除法，将分式的分子和分母因式分解，将除法化为乘法，计算乘法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 34．（24-25八年级上·山东滨州·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算、积的乘方运算 【分析】此题考查了分式的乘除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值． 【详解】解： ； 故答案为：． 35．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如果，则的值为 ． 【答案】/0.2 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式的应用，先由整理得，求出，再求的倒数，即为的值，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∴的值为． 故答案为： 36．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在计算时，把运算符号“”看成了“”，得到的计算结果是，则表示的数是 ． 【答案】1 【知识点】分式除法、异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算的运算法则是解题的关键．根据题意可得，求出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 37．（24-25八年级上·全国·期末）对于正整数n，x轴上有、两点，用表示这两点间的距离，其中、横坐标分别是方程组的解，则的值等于 ． 【答案】 【知识点】分式加减混合运算、加减消元法 【分析】此题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将n看做已知数求出方程组的解表示出x与y，列举出所求式子各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：方程组， 得，即， 将代入①得：， ∴， ∵， ∴是该方程组的根， ∴， ∴ ． 故答案为：． 38．（24-25八年级上·全国·期末）已知，求的值． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了分式的求值，完全平方公式，首先利用分式的乘除运算将分式进行化简，再利用完全平方公式将变形为，求出a，b的值，再代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴原式． 39．（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的混合运算． （1）先计算分式的乘方，再计算乘除法即可； （2）把分式的除法变为乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式= ； （2）解：原式= 40．（25-26八年级上·内蒙古·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘法、同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加法和乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同分母分式的加法运算法则计算即可； （2）根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型四 分式化简求值（共6小题） 41．（24-25八年级上·河南安阳·期末）若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值 【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值；由条件得，再整体代入代数式中即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 42．（25-26八年级上·全国·期末）对于正数x，规定如：则的值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的规律，分式的化简与求值，掌握分式的化简和找出规律是解题的关键． 根据分式的运算法则可得，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ∴ ． 故选：B． 43．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）对于正数，规定，例如：，则式子的值为 ． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据题意可得，，进而根据所得规律解答即可求解，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴原式 ， 故答案为：． 44．（24-25八年级上·重庆江北·期末）先化简，再求值：，其中x为的整数． 【答案】；当时，原式 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算转化为乘法运算，则约分得到，展开原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 为的整数， 为0、1、2， 且， ∴且， 可以取0， 当时，原式． 45．（24-25八年级上·河南商丘·期末）先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】整式的混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则和分式的运算法则； （1）先算完全平方公式和平方差公式，再算除法，最后再代入求值即可； （2）先算减法，再算除法，，最后再代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式； （2）解：原式 ， 当时，原式． 46．（24-25八年级上·山东泰安·期末）计算： (1)分解因式 ①； ②； (2)先化简，再求值：，从，，中选择合适的的值代入求值． 【答案】(1)①；② (2)，当时，原式 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式、分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】此题考查了因式分解的方法，分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； ②先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可； （2） 【详解】（1）① ； ② ； （2） ∵， ∴， ∴当时，原式． 题型五 分式的应用（共10小题） 47．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查分式减法的应用，根据题意列出喷灌方式每天用水量，用漫灌方式每天用水量减去喷灌方式每天用水量，根据分式的加减法计算可得． 【详解】解：漫灌方式每天用水量：吨， 喷灌方式每天用水量：吨， 现在比原来每天少用水：吨， 故选C． 48．（24-25八年级上·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 【答案】A 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查了分式运算的实际应用，分别表示出这两条路的时间，再利用作差法比较分式大小即可． 【详解】解：设两条路的长度为S， 在①路用时为， 在②路用时为， ， ∵， ∴， 由题意可知S、x、y都大于0， ∴，即， ∴， ∴①路用时较小． 故选：A． 49．（24-25八年级上·河南周口·期末）某人沿一条河流顺流游泳米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为，水流速度为．则他来回一趟所需的时间为 ． 【答案】 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题主要考查了分式的加减运算的实际应用，灵活运用相关知识是解题的关键． 首先得顺流速度为，逆流速度为，结合游泳距离米，然后根据来回一趟所需时间顺流游一趟所用的时间逆流游一趟所用的时间，列出整理即可得出答案． 【详解】∵此人在静水中的游速为，水流速度为 ∴顺流速度为，逆流速度为， ∴ ． 故答案为：． 50．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是 元/，乙所购面粉的平均单价是 元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为 元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 【答案】；； 【知识点】列代数式、分式加减的实际应用 【分析】本题考查了列代数式，分式的减法运算．根据题意可用含，的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值． 【详解】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：（元/）， 乙购买面粉的平均单价是：（元/）， 在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：（元/）， 故答案为：；；． 51．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）甲、乙两人两次同时到一家粮油店去买油，两次的油价有变化，但他们两人的购买方式不一样，其中甲每次总是买斤油．而乙每次只拿出元钱来买油．商店也按价计算卖给乙．设前后两次的油价分别是元/斤和元/斤（、，），请问这两种购买方式哪一种合算？请结合计算说明． 【答案】乙的购买方式比较合算，理由见解析 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查分式加减运算在实际问题中的应用，根据题意，分别写出甲和乙两次买油的平均单价，然后求差，计算化简，得出差大于，从而得甲和乙的平均单价之间的关系，可得结论．根据题意正确列式及明确分式计算的相关法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 甲两次买油的平均单价为：， 乙两次买油的平均单价为：， ∴ ， ∵、，， ∴，， ∴， ∴， ∴乙的购买方式比较合算． 52．（24-25八年级上·福建莆田·期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 【答案】(1) (2)机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务配送效率更高；理由见解析 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，熟练掌握分式加减运算法则． （1）根据速度、路程、时间关系，分别求出机器狗上行所用时间和下行所用时间，然后相加即可； （2）先求出机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间，然后与解析（1）中求出的时间进行比较即可． 【详解】（1）解：机器狗从西侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从西侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ； （2）解：机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，配送效率更高；理由如下： 机器狗从东侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从东侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ， ∵， ， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 即， ∴机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间较少，配送效率更高． 53．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【答案】（1）若．理由见解析；（2）；（3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由见解析；②乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【知识点】分式除法、异分母分式加减法、运用完全平方公式进行运算、分式加减的实际应用 【分析】本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）①分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ②根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【详解】解：（1）若， 理由：， ， ， ； （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）①甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 54．（23-24八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)或或或 【知识点】分式的判断、按要求构造分式、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解： ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 55．（24-25八年级上·吉林长春·期末）阅读下列材料 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：，． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“假分式”的是______（填序号）； (2)把分式化成带分式：______； (3)将分式化为带分式． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【知识点】约分、分式的判断 【分析】（1）根据假分式的定义求解即可； （2）利用题中的方法把分式变形为，然后化成带分式即可； （3）利用题中的方法把分式变形为，然后化成带分式即可． 【详解】（1）解：①分式是假分式； ②分式是真分式； ③分式是假分式； （2）解：； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式化简，熟练掌握分式相关定义和题干提供的方法，是解题的关键．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式． 56．（24-25八年级上·北京海淀·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 【答案】(1)； (2)1，3； (3)，证明过程见详解 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、分式加减混合运算、加减消元法 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ，解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， ，， ，， ． 题型六 整数指数幂（共11小题） 57．（23-24八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、负整数指数幂 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，负整数指数幂．根据同底数幂的乘除法法则，可得，再代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 58．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法要求系数在1到10之间，指数表示小数点移动的位数，是解题的关键．根据原数0.0000000000315的小数点向右移动11位得到3.15，因此指数为，则即可求解． 【详解】解：由， 故选：C． 59．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、计算单项式除以单项式、同底数幂相乘 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，掌握以上的运算法则是解题的关键．由积的乘方判断A，由同底数的除法判断B，由单项式除以单项式判断C，由同底数幂的乘法判断D． 【详解】解：A、，原式计算错误，所以A不符合题意； B、，原式计算错误，所以B不符合题意； C、，原式计算正确，所以C符合题意； D、，原式计算错误，所以D不符合题意． 故选：C． 60．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（    ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 【答案】B 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：用小数表示为． 故选：B． 61．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】整数指数幂的运算 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 62．（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 63．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若有意义，则 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、负整数指数幂 【分析】本题主要考查负整数指数幂的转换，分数有意义的条件，熟知是解题的关键． 根据负整数指数幂的意义，将表达式化为分式形式，再根据分式有意义的条件求解． 【详解】解：， ， 解得． 故答案为：． 64．（24-25八年级上·全国·期末）某种植物果实的质量只有0.000000076克，将0.000000076用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．正确地确定的值即可解题. 【详解】解： ， 故答案为：． 65．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是把的形式还原成原数，在中，当时，则小数点向左移动位，当时，则小数点向右移动位，即可． （1）根据题意，，小数点向左移动位，即可； （2）根据题意，，小数点向右移动位，即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 66．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查实数混合运算，多项式除以单项式，熟练掌握以上知识的运算法则是解答本题的关键． （1）根据零次幂、负整数指数幂和有理数的乘方法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 67．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)4 (2) (3) 【知识点】零指数幂、整式的混合运算、负整数指数幂、整数指数幂的运算 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，零次幂，负整数指数幂的含义； （1）分别计算零次幂，负整数指数幂，再计算乘法即可； （2）先利用完全平方公式与平方差公式计算乘法运算，再合并同类项即可； （3）按照整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 题型七 分式方程的定义（共3小题） 68．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是分式方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、不是分式方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意； 故选：C． 69．（24-25八年级上·天津和平·期末）岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 70．（23-24八年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 【答案】② 【知识点】分式方程的定义 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②是分式方程， ③（为不等于2的常数），是一元一次方程， 故答案为：②． 题型八 解分式方程（化为一元一次）（共5小题） 71．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）将分式方程化为整式方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程； 将分式方程转化为整式方程的关键是确定最简公分母，并对方程两边同时乘以该公分母，消去分母． 【详解】解：方程两边同乘以得：， 故选：D． 72．（24-25八年级上·全国·期末）分式方程的解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故选：A 73．（24-25八年级上·广西贵港·期中）已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、解分式方程（化为一元一次）、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简及解分式方程，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而求出，列出分式方程解出得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 三个数一个循环， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为： ． 74．（25-26八年级上·内蒙古·期末）解方程： 【答案】原方程无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得， 检验：当时， ， 所以，是原分式方程的增根，原方程无解． 75．（25-26八年级上·湖南·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查的是分式方程的解法； （1）先两边同乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，检验即可得答案； （2）先两边同乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，检验即可得答案． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为； （2）解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 故方程无解． 题型九 根据分式方程解的情况求值（共6小题） 76．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 根据题意，解分式方程，结合解是正整数，得到m的值，结合分式有意义的条件，得到结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，3， 整数m的值为，1， ，即， ， 即， 整数m的值为， 故选：. 77．（25-26八年级上·全国·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程无解得到，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】解：去分母得， 解得， 原分式方程无解， ， 即，解得， 当时，关于的分式方程无解． 故选：D ． 78．（24-25八年级上·湖南永州·期末）关于的方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键． 先明确增根的定义，即分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，然后据此求解． 【详解】解：分式方程的分母为和，． 令分母， 解得． 故答案为：． 79．（24-25八年级上·重庆·期末）若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查分式方程的解以及完全平方式，理解分式方程的增根以及完全平方式的定义是正确解答的前提． 由分式方程的解为整数以及增根的意义可求出或或，然后根据完全平方式定义得到或，即可得到满足条件的整数． 【详解】解：关于的分式方程的解是，且解为整数，a为整数， 或且， 解得或或或， 而当时，分式方程有增根， ， 或或， 是一个完全平方式， ， 或， 故 故答案为：． 80．（24-25八年级上·全国·期末）（1）先化简，再求值：，其中． （2）当m为何值时，方程有增根？ 【答案】（1），16；（2） 【知识点】根据分式方程解的情况求值、零指数幂、分式化简求值、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂，分式方程的增根问题： （1）先计算括号内的，再计算除法，然后根据零指数幂和负整数指数幂可得，即可求解； （2）先把方程化为整式方程，再求出增根为，即可求得m的值． 【详解】解：（1） ∵， ∴原式． (2) 解：， 方程两边都乘，得，． 整理，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入得：， 所以当时，原方程有增根． 81．（24-25八年级上·广东阳江·期末）已知关于的分式方程 (1)若分式方程的解为，求的值； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键． （1）把代入方程计算，即可求出的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程的解和分式方程无解求的值即可． 【详解】（1）解：当时，代入原方程， 得， 解得； （2）解：原方程化为， ∴， 当时，原分式方程无解， ∴， ∴． 题型十 分式方程的应用（共14小题） 82．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程、分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找出等量关系． 根据时间相等，顺流航行速度为静水速度加水流速度，逆流航行速度为静水速度减水流速度，分别表示顺流和逆流的时间，并令其相等即可得到方程． 【详解】解：设江水的流速为千米/时，则顺流速度，逆流速度，根据题意得， ， 故选：A． 83．（24-25八年级上·陕西延安·期末）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次，已知小颖每分钟比小林多跳30次，求小颖每分钟跳多少次？设小颖每分钟跳次，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题主要考查了分式方程在实际生活中的应用．审清题意、找出等量关系是解题的关键． 设小颖每分钟跳次，，那么小林每分钟跳下．再根据相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次列出分式方程即可解答． 【详解】解：设小颖每分钟跳次，，那么小林每分钟跳下． 由题意可得： ． 故选：A． 84．（24-25八年级上·江苏南通·期末）甲，乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量工作效率工作时间．先设乙单独清点这批图书需要的时间是小时，根据“甲3小时清点完一批图书的”和“两人合作小时清点完图书”列出方程． 【详解】解：设乙单独清点这批图书需要， 根据题意，得，即 故选：A． 85．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）我市南关新村网红街某商店用2000元购进了一批胶囊遮阳伞，这种伞颜值高，防晒效果好，购进后很快就销售一空．面对即将到来的国庆小长假，大家对小遮阳伞的需求量增大．该商店瞄准商机，又用3750元购进了第二批这款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多5元，进货数量比第一批多了．求第一批每把胶囊遮阳伞的进价．设第一批每把胶囊遮阳伞的进价是x元，依题意可得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．设第一批每把胶囊遮阳伞的进价是x元，根据“用3750元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多5元，进货数量比第一批多了”列方程即可． 【详解】解：设第一批每把胶囊遮阳伞的进价是x元，则第一批每把胶囊遮阳伞的进价是元， 依题意可得： 故选：C． 86．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键． 设原计划每天收割的面积为，则实际每天收割的面积为，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天收割的面积为， 由题意得， 故选：D． 87．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如果将电阻并联，电路中的总电阻用表示，那么他们之间满足公式，已知，则 ． 【答案】 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键．根据分式方程的解法进行解答即可． 【详解】解：，即， ， ， 故答案为：， 88．（24-25八年级上·吉林·期末）甲、乙二人做某种机器零件．已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．若设乙每小时做个零件，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设乙每小时做个零件，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设乙每小时做个零件， 由题意得，， 故答案为：． 89．（23-24八年级上·福建厦门·期末）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中表示的是 ． 【答案】篮球的数量 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出等量关系，即可解题． 【详解】解：设篮球的数量为个，足球的数量为个， 根据题意可得， ， 表示的是篮球的数量， 故答案为：篮球的数量． 90．（24-25八年级上·河南漯河·期末）某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元第二次购进的该品种草莓，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍．试销时该品种草莓的进货价是每千克 元，两次共购进草莓 千克． 【答案】 5 3000 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用．设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次进货价为元，根据题意列出分式方程求解；再根据题意列式求解即可． 【详解】解：设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次的进货价为元， 由题意得，， 解得：，     经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴（千克） ∴两次共购进草莓3000千克． 答：试销时该品种草莓的进货价是每千克5元；两次共购进草莓3000千克． 故答案为：5，3000 91．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ． 【答案】 【知识点】列分式方程、分式方程的行程问题 【分析】本题考查列分式方程，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【详解】解：设规定的时间为x天，列方程为：， 故答案为：． 92．（24-25八年级上·北京房山·期末）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【答案】洋槐一天平均每平方米固碳量是克 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系正确列出分式方程是解题的关键．设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克，根据题意列出分式方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：洋槐一天平均每平方米固碳量是克． 93．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 【答案】(1)48千米/小时 (2)千克 【知识点】有理数乘法的实际应用、分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、有理数乘法的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，根据王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校，建立方程，解方程即可得； （2）先求出王老师驾车往返学校所需的时间，再乘以王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量即可得． 【详解】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时． （2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时）， 则（千克）， 答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量． 94．（24-25八年级上·广东东莞·期末）《花卉装点校园，喜迎新春佳节》项目学习方案： 项目情景 春节将至，东莞某中学购买花卉装点校园．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元，用600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设① 的单价为x元，由题意得方程：； 小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，由题意得方程：② ． 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务二 求m的值． (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； (2)列出关于m的方程，并完成任务二，求出m的值． 【答案】(1)种花卉； (2)， 【知识点】列分式方程、分式方程的工程问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）任务一：由题意，可知：用600元购买的种花卉数量为，根据每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，可得①处的答案；根据小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，结合单价之间的数量关系可得方程，可得②处的答案； （2）任务二：根据完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，表示600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍， ∴小组成员甲设的是种花卉的单价为元； ∴①处填种花卉； 小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，由题意得方程： ； ∴②处填： （2）解：由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的根且符合题意， ∴． 95．（24-25八年级上·福建厦门·期末）2024年厦门铁人三项公开赛于11月9日~10日在环东海域浪漫线举行．铁人三项包括游泳、自行车、跑步三个项目，运动员需按顺序连续完成，中间无停顿，有两个换项区用于转换装备．总成绩包含游泳、自行车、跑步三个项目的比赛时间以及在两个换项区所花费的时间． 此次厦门铁人三项比赛有短距离组、半程组、全程组等六组．其中，全程组各项的距离分别为游泳、自行车、跑步． (1)甲、乙两人参加全程组比赛．该组在自行车项目中的平均速度为，甲的速度是乙的1.25倍，且甲比乙用时少．请判断甲、乙两人的速度能否超过平均速度，并说明理由； (2)小陈今年参加男子全程组比赛．他对自己这次的成绩不满意，为了明年比赛取得更好的成绩，他收集了该组总成绩最好的18位运动员各个项目的成绩，并算出他们的平均成绩与自己进行对比，如下表所示： 游泳 自行车 跑步 总成绩 18位运动员的平均成绩（单位：s） 2070 4400 3200 10190 小陈的成绩（单位：s） 2277 4950 3720 11394 ①你认为三个项目中，小陈哪一项成绩最不理想？结合以上数据说明理由． ②跑步项目通常有两种参赛策略． 策略一：全程匀速，速度为； 策略二：在跑步初期阶段适当放慢速度，中期阶段匀速前进，后期阶段加速完成比赛． 在策略二中，中期匀速前进的路程通常为，且此阶段速度与策略一中全程速度相同；初期路程为，速度比中期速度慢；后期速度比中期速度快． 请根据所给材料帮助他判断应选择哪一种策略． 【答案】(1)甲的平均速度超过该项目组的平均速度，乙的平均速度不超过该项目组的平均速度 (2)①跑步，理由见解析；②选择策略二理由见解析 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是：根据题意正确列式． （1）设乙的速度为，则甲的速度为，根据题意列出方程，即可求解， （2）①跑分别算出小陈跑步、游泳、自行车的成绩与平均成绩的差占平均成绩的比例，即可求解；②记策略一所用时间为，策略二所用时间为，利用作差法比较两种策略的时间，即可求解． 【详解】（1）解：设乙的速度为，则甲的速度为， 则，解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为：， 此时， ∴甲的速度为：，乙的速度为：， ∵，， ∴甲的平均速度超过该项目组的平均速度，乙的平均速度不超过该项目组的平均速度， （2）解：①跑步，理由如下： ∵， ， ， 且， ∴小陈成绩最不理想的是跑步项目， ②记策略一所用时间为，策略二所用时间为， 则：， 整理得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，，， ∴， 即：， 又， ∴， ∴， 答：策略二所用时间小于策略一，因此选择策略二． $专题04 分式 题型1 从分数到分式（常考点） 题型6 整数指数幂（常考点） 题型2 分式的基本性质（常考点） 题型7 分式方程的定义（常考点） 题型3 分式的运算（重点） 题型8 解分式方程（重点） 题型4 分式化简求值（重点） 题型9 根据分式方程解的情况求值（重点） 题型5 分式的应用（难点） 题型10 分式方程的应用（难点） 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 从分数到分式（共8小题） 1．（25-26八年级上·全国·期末）要使分式有意义，则x应满足（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知分式的值为零，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列各式：，，，，，，，其中分式共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为0． 5．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 6．（24-25八年级上·河南商丘·期末）请你写一个分式，使它满足，当时，分式无意义 ． 7．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列式子：，，，，，分式有 个． 8．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知分式，整式． (1)若，求的值； (2)当取哪些整数时，分式的值为整数； (3)试判断与的大小关系，并说明理由． 题型二 分式的基本性质（共14小题） 9．（24-25八年级上·河南许昌·期末）将分式约分结果正确的是（   ）． A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·广东东莞·期末）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·重庆江北·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·福建福州·期末）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变 14．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）分式与的最简公分母是 ． 16．（24-25八年级上·江西上饶·期末）若分式的值为整数，则非负整数的值为 ． 17．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 18．（22-23八年级上·山东滨州·期末）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为 ． 19．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式，，，中，最简分式有 个 20．（23-24八年级上·北京石景山·期末）在括号内填入适当的整式对分式变形：，括号内应填入数字 ，变形的依据是 ． 21．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）计算： 22．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）通分：，，． 题型三 分式的运算（共18小题） 23．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）已知，则表示的代数式是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·山东威海·期末）（ ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·天津·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 28．（24-25八年级下·河北保定·期末）甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在计算的过程中，甲、乙二人给出了不同的解法，下列判断正确的是（   ） 甲：原式； 乙：原式 A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 30．（23-24八年级上·重庆忠县·期末）对于依次排列的一串式子，若把相邻的两个式子，用右边式子减去左边式子，所得差写在这两个式子之间，得到一串新式子，称为“一次操作”．例如对于个分式，，，那么“第一次操作”后得一串新分式为，，，，．已知一串式子是，，，张三通过实际操作，得出以下结论：①“第次操作”后得到的一串新式子为：，，，，，，，，；②“第3次操作”后共有个式子；③“第3次操作”后所有式子之和比“第2次操作”后所有式子之和小1；④“第次操作”后所有式子之和为．那么，张三结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）计算： ． 32．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）计算： ． 33．（24-25八年级上·全国·期末）计算： ． 34．（24-25八年级上·山东滨州·期末）计算的结果是 ． 35．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如果，则的值为 ． 36．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在计算时，把运算符号“”看成了“”，得到的计算结果是，则表示的数是 ． 37．（24-25八年级上·全国·期末）对于正整数n，x轴上有、两点，用表示这两点间的距离，其中、横坐标分别是方程组的解，则的值等于 ． 38．（24-25八年级上·全国·期末）已知，求的值． 39．（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）计算： (1) (2) 40．（25-26八年级上·内蒙古·期末）计算： (1)； (2)； 题型四 分式化简求值（共6小题） 41．（24-25八年级上·河南安阳·期末）若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 42．（25-26八年级上·全国·期末）对于正数x，规定如：则的值为（  ） A． B． C． D．1 43．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）对于正数，规定，例如：，则式子的值为 ． 44．（24-25八年级上·重庆江北·期末）先化简，再求值：，其中x为的整数． 45．（24-25八年级上·河南商丘·期末）先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中． 46．（24-25八年级上·山东泰安·期末）计算： (1)分解因式 ①； ②； (2)先化简，再求值：，从，，中选择合适的的值代入求值． 题型五 分式的应用（共10小题） 47．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 48．（24-25八年级上·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 49．（24-25八年级上·河南周口·期末）某人沿一条河流顺流游泳米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为，水流速度为．则他来回一趟所需的时间为 ． 50．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是 元/，乙所购面粉的平均单价是 元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为 元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 51．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）甲、乙两人两次同时到一家粮油店去买油，两次的油价有变化，但他们两人的购买方式不一样，其中甲每次总是买斤油．而乙每次只拿出元钱来买油．商店也按价计算卖给乙．设前后两次的油价分别是元/斤和元/斤（、，），请问这两种购买方式哪一种合算？请结合计算说明． 52．（24-25八年级上·福建莆田·期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 53．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 54．（23-24八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 55．（24-25八年级上·吉林长春·期末）阅读下列材料 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：，． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“假分式”的是______（填序号）； (2)把分式化成带分式：______； (3)将分式化为带分式． 56．（24-25八年级上·北京海淀·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 题型六 整数指数幂（共11小题） 57．（23-24八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．8 B．9 C． D． 58．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 59．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 60．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（    ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 61．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）计算： ． 62．（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算： ． 63．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若有意义，则 ． 64．（24-25八年级上·全国·期末）某种植物果实的质量只有0.000000076克，将0.000000076用科学记数法表示为 ． 65．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 66．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算 (1) (2) 67．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）计算： (1) (2) (3) 题型七 分式方程的定义（共3小题） 68．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 69．（24-25八年级上·天津和平·期末）岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 70．（23-24八年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 题型八 解分式方程（化为一元一次）（共5小题） 71．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）将分式方程化为整式方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 72．（24-25八年级上·全国·期末）分式方程的解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 73．（24-25八年级上·广西贵港·期中）已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为 ． 74．（25-26八年级上·内蒙古·期末）解方程： 75．（25-26八年级上·湖南·期末）解方程： (1)； (2)． 题型九 根据分式方程解的情况求值（共6小题） 76．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 77．（25-26八年级上·全国·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 78．（24-25八年级上·湖南永州·期末）关于的方程有增根，则增根是 ． 79．（24-25八年级上·重庆·期末）若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为 ． 80．（24-25八年级上·全国·期末）（1）先化简，再求值：，其中． （2）当m为何值时，方程有增根？ 81．（24-25八年级上·广东阳江·期末）已知关于的分式方程 (1)若分式方程的解为，求的值； (2)若分式方程无解，求的值． 题型十 分式方程的应用（共14小题） 82．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 83．（24-25八年级上·陕西延安·期末）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次，已知小颖每分钟比小林多跳30次，求小颖每分钟跳多少次？设小颖每分钟跳次，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 84．（24-25八年级上·江苏南通·期末）甲，乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 85．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）我市南关新村网红街某商店用2000元购进了一批胶囊遮阳伞，这种伞颜值高，防晒效果好，购进后很快就销售一空．面对即将到来的国庆小长假，大家对小遮阳伞的需求量增大．该商店瞄准商机，又用3750元购进了第二批这款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多5元，进货数量比第一批多了．求第一批每把胶囊遮阳伞的进价．设第一批每把胶囊遮阳伞的进价是x元，依题意可得到的方程是（   ） A． B． C． D． 86．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 87．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如果将电阻并联，电路中的总电阻用表示，那么他们之间满足公式，已知，则 ． 88．（24-25八年级上·吉林·期末）甲、乙二人做某种机器零件．已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．若设乙每小时做个零件，则根据题意可列方程为 ． 89．（23-24八年级上·福建厦门·期末）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中表示的是 ． 90．（24-25八年级上·河南漯河·期末）某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元第二次购进的该品种草莓，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍．试销时该品种草莓的进货价是每千克 元，两次共购进草莓 千克． 91．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ． 92．（24-25八年级上·北京房山·期末）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 93．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 94．（24-25八年级上·广东东莞·期末）《花卉装点校园，喜迎新春佳节》项目学习方案： 项目情景 春节将至，东莞某中学购买花卉装点校园．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元，用600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设① 的单价为x元，由题意得方程：； 小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，由题意得方程：② ． 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务二 求m的值． (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； (2)列出关于m的方程，并完成任务二，求出m的值． 95．（24-25八年级上·福建厦门·期末）2024年厦门铁人三项公开赛于11月9日~10日在环东海域浪漫线举行．铁人三项包括游泳、自行车、跑步三个项目，运动员需按顺序连续完成，中间无停顿，有两个换项区用于转换装备．总成绩包含游泳、自行车、跑步三个项目的比赛时间以及在两个换项区所花费的时间． 此次厦门铁人三项比赛有短距离组、半程组、全程组等六组．其中，全程组各项的距离分别为游泳、自行车、跑步． (1)甲、乙两人参加全程组比赛．该组在自行车项目中的平均速度为，甲的速度是乙的1.25倍，且甲比乙用时少．请判断甲、乙两人的速度能否超过平均速度，并说明理由； (2)小陈今年参加男子全程组比赛．他对自己这次的成绩不满意，为了明年比赛取得更好的成绩，他收集了该组总成绩最好的18位运动员各个项目的成绩，并算出他们的平均成绩与自己进行对比，如下表所示： 游泳 自行车 跑步 总成绩 18位运动员的平均成绩（单位：s） 2070 4400 3200 10190 小陈的成绩（单位：s） 2277 4950 3720 11394 ①你认为三个项目中，小陈哪一项成绩最不理想？结合以上数据说明理由． ②跑步项目通常有两种参赛策略． 策略一：全程匀速，速度为； 策略二：在跑步初期阶段适当放慢速度，中期阶段匀速前进，后期阶段加速完成比赛． 在策略二中，中期匀速前进的路程通常为，且此阶段速度与策略一中全程速度相同；初期路程为，速度比中期速度慢；后期速度比中期速度快． 请根据所给材料帮助他判断应选择哪一种策略． $