专题02 整式的乘法（期末专项训练）八年级数学上学期人教版五四制

专题02 整式的乘法 题型1 同底数幂的乘法（常考点） 题型8 多项式乘多项式与图形面积（难点） 题型2 幂的乘方与积的乘方（易错点） 题型9 同底数幂的除法运算 题型3 计算单项式乘单项式 题型10 同底数幂除法的逆用 题型4 计算单项式乘多项式及应用 题型11 零指数幂 题型5 计算多项式乘多项式 题型12 计算单项式除以单项式 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重点） 题型13 平方差公式及其应用（难点） 题型7 多项式乘多项式——化简求值（重点） 题型14 完全平方公式及其应用（难点） 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂的乘法（共5小题） 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 3．（25-26八年级上·全国·期末）计算： ． 4．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，m，n为正整数，则 ． 5．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 题型二 幂的乘方与积的乘方（共8小题） 6．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·全国·期末）计算所得结果为（ ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）计算： ； 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）计算： ； 11．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知，，则 ． 12．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）计算： ． 13．（24-25八年级上·青海海西·期末）计算：． 题型三 计算单项式乘单项式（共3小题） 14．（24-25八年级上·广东东莞·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·全国·期末）计算： ． 16．（25-26八年级上·全国·期末）计算： 题型四 计算单项式乘多项式及应用（共4小题） 17．（24-25八年级上·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算： ． 19．（24-25八年级上·广东汕头·期末）图中阴影部分的面积为 ． 20．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 题型五 计算多项式乘多项式（共2小题） 21．（24-25八年级上·青海海北·期末）下列各式中，两式相乘得的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·四川眉山·期末）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 题型六 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共2小题） 23．（25-26八年级上·全国·期末）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．3 24．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）若的展开式中不含x的一次项，则常数m的值为 ． 题型七 多项式乘多项式——化简求值（共3小题） 25．（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知：实数m，n满足：，．则的值等于 ． 26．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 27．（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中． 题型八 多项式乘多项式与图形面积（共3小题） 28．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，有个形状大小完全相同的小长方形构造成一个大长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为，则每个小长方形的对角线为 ． 29．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 30．（24-25八年级上·青海海西·期末）如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）． (1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值． 题型九 同底数幂的除法运算（共2小题） 31．（25-26八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级上·湖北武汉·期末） ． 题型十 同底数幂除法的逆用（共3小题） 33．（24-25八年级上·全国·期末）若，，则的值是（   ） A． B． C． D．3 34．（22-23八年级上·广东广州·期末）若，，则 ． 35．（22-23八年级上·四川泸州·期末）已知，，求式子，的值． 题型十一 零指数幂（共3小题） 36．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，的值是1 D．当时，的值是1 37．（25-26八年级上·全国·期末） 38．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）计算： 题型十二 计算单项式除以单项式（共4小题） 39．（23-24八年级上·河南南阳·期末）若，则m，n的取值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 40．（24-25八年级上·青海西宁·期末）计算的结果是 ． 41．（24-25八年级上·广东东莞·期末）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 42．（24-25八年级上·四川眉山·期末）计算：． 题型十三 平方差公式（共6小题） 43．（25-26八年级上·江西·期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（   ） A． B． C． D． 45．（25-26八年级上·江西·期末）计算： ． 46．（24-25八年级上·吉林四平·期末）把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中，我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的因式分解公式，它是 ． 47．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）先化简再求值：其中． 48．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图①所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示，； 并写出上述过程所揭示的公式； (2)拓展提升：试利用这个公式计算： (3)迁移应用：计算 题型十四 完全平方公式（共12小题） 49．（25-26八年级上·江西·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 50．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，则的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．37 51．（24-25八年级上·全国·期末）若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C． D．4 52．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的木板面积为（　　）（不计接缝） A． B． C． D． 53．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B．9 C．7 D．5 54．（24-25八年级下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 55．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知，则的值是 ． 56．（25-26八年级上·内蒙古·期末）若是一个完全平方式，则实数的值为 57．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在线段上取一点，分别以为边向上作正方形和正方形，点是线段上一点，且满足，连接和，，，且，，则图中阴影部分的面积为 ． 58．（25-26八年级上·内蒙古·期末）计算：． 59．（23-24八年级上·全国·期末）附加题：(有兴趣的同学自愿完成) 已知 ，，，请计算代数式的值 60．（24-25八年级上·广东湛江·期末）综合与实践． 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式，之间的等量关系为 ； (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值； (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且 ，求图中阴影部分的面积． $专题02 整式的乘法 题型1 同底数幂的乘法（常考点） 题型8 多项式乘多项式与图形面积（难点） 题型2 幂的乘方与积的乘方（易错点） 题型9 同底数幂的除法运算 题型3 计算单项式乘单项式 题型10 同底数幂除法的逆用 题型4 计算单项式乘多项式及应用 题型11 零指数幂 题型5 计算多项式乘多项式 题型12 计算单项式除以单项式 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重点） 题型13 平方差公式及其应用（难点） 题型7 多项式乘多项式——化简求值（重点） 题型14 完全平方公式及其应用（难点） 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂的乘法（共5小题） 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查乘方运算的含义，同底数幂的乘法运算，先确定符号，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选： C． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 【答案】D 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则是解题的关键； 根据同底数幂的乘法的逆用法则，将变形为 然后把代入计算即可解． 【详解】解：， 把代入得 ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算；根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加进行计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，m，n为正整数，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】此题考查了同底数幂相乘的逆运算，熟记公式是解题的关键． 根据同底数幂相乘的逆运算解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】用科学记数法表示数的乘法、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法、合并同类项： （1）先根据同底数幂乘法计算，再合并同类项，即可求解； （2）根据同底数幂乘法计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二 幂的乘方与积的乘方（共8小题） 6．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，根据这些法则一一判断即可． 【详解】解：，根据同底幂相乘法则可知选项A正确，不符合题意； ，根据幂的乘方法则可知选项B正确，不符合题意； ，故选项C错误，符合题意； ，根据积的乘方法则可知选项D正确，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查幂的运算，合并同类项，解决本题的关键是要熟练掌握幂的运算法则．根据同底数幂相乘、合并同类项、积的乘方、幂的乘方运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、根据同底数幂相乘．底数不变指数相加可得：，原计算错误，该选项不符合题意； B、根据合并同类项，系数相加，字母及指数不变可得：，原计算错误，该选项不符合题意； C、根据积的乘方，因数分别乘方再相乘可得：，原计算错误，该选项不符合题意； D、根据幂的乘方，底数不变，指数相乘可得：，正确，该选项符合题意； 故选：D． 8．（24-25八年级上·全国·期末）计算所得结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】此题主要考查了积的乘方与同底数幂的乘法的逆用，首先根据积的乘方的运算方法：，求出的值是多少；然后用它乘以，计算所得结果为多少即可． 【详解】解： 故选：B． 9．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）计算： ； 【答案】 【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了积的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据积的乘方和同底数幂的乘法法则来计算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）计算： ； 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知，，则 ． 【答案】3 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】利用同底数幂除法法则可得，，则，从而求得答案． 本题考查整式的混合运算，将原式进行正确地变形是解题的关键． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：3． 12．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将小数1.5化为分数，利用负数的偶次幂为正数的性质简化，再逆用积的乘方法则计算． 【详解】解： 故答案为：． 13．（24-25八年级上·青海海西·期末）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查幂的运算性质，包括幂的乘方、同底数幂的乘法，以及合并同类项．解题的关键在于熟练掌握幂的运算性质，将每一个单项式通过幂的运算规则进行化简，再将化简后的同类项合并，从而得到最简结果． 【详解】 题型三 计算单项式乘单项式（共3小题） 14．（24-25八年级上·广东东莞·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式乘单项式、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据同底数幂的乘法与除法、单项式乘单项式和积的乘方运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项计算错误，不符合题意； B、，故该选项计算正确，符合题意； C、，故该选项计算错误，不符合题意； D、，故该选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 15．（25-26八年级上·全国·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 单项式乘单项式，就是把系数和相同字母分别相乘，作为积的因式，对于只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式，由此计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·期末）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的乘法与加减运算．先算乘方，再算乘法，最后算加减，合并同类项即可． 【详解】解： 题型四 计算单项式乘多项式及应用（共4小题） 17．（24-25八年级上·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了新定义运算、整式乘法的应用，熟练掌握运算法则，理解新定义是解题的关键． 根据题意列出算式， 求出的值，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵均为整数，且，，，， ∴或 或 ， 当 时，，，此时幸运数为， 当时，，，此时幸运数为， 当 时，，，此时幸运数为， 则满足条件的“幸运数”有个， 故选：． 18．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 19．（24-25八年级上·广东汕头·期末）图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了整式乘法的实际运用，解题关键是准确识图，熟练运用长方形面积公式列出代数式并进行计算．根据图形可知阴影部分是两个矩形面积的和，根据矩形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：阴影部分的面积为． 故答案为：． 20．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【知识点】单项式乘多项式的应用、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，空地的长比宽的2倍少1米，设空地的宽是米，则分别表示出花圃的宽和长，再根据面积公式列式，即可作答． （2）由（1）得花圃的面积为平方米，先整理得，然后代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，空地的长为米， ∵周边道路的宽度是米， ∴花圃的宽是米，花圃的长是米， ∴花圃的面积为平方米； （2）解：∵花圃的宽是米，且要求花圃的宽是米， ∴， 则， ∴花圃的面积为平方米． 题型五 计算多项式乘多项式（共2小题） 21．（24-25八年级上·青海海北·期末）下列各式中，两式相乘得的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查整式的乘法，根据多项式乘以多项式运算法则计算出各选项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C不符合题意； D. ，故选项D不符合题意； 故选：A． 22．（24-25八年级上·四川眉山·期末）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 【答案】5 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘以多项式，设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】解：设， 则原式， ∵结果中的一次项系数为， ∴，解得， 故答案为：5． 题型六 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共2小题） 23．（25-26八年级上·全国·期末）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了多项式乘多项式，，根据题意得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项， ∴， 解得：， 故选：C． 24．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）若的展开式中不含x的一次项，则常数m的值为 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值． 【详解】解：∵， 又∵展开式中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七 多项式乘多项式——化简求值（共3小题） 25．（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知：实数m，n满足：，．则的值等于 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式法则，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用多项式乘多项式法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 26．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘多项式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 27．（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查的是整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘多项式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算得到答案，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型八 多项式乘多项式与图形面积（共3小题） 28．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，有个形状大小完全相同的小长方形构造成一个大长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为，则每个小长方形的对角线为 ． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，多项式乘多项式，整式的混合运算，直接利用整式的混合运算法则结合已知阴影部分面积进而得出答案，正确掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】设小长方形的宽为，长为，则大长方形的宽为，长为， 根据题意可得：， 整理得：，即， ∴每个小长方形的对角线为， 故答案为：． 29．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2)165 (3)15 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算． （1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、； （2）根据，将，，代入进行计算即可； （3）根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：， ∵，， ∴； （3）解：由图可得，， ∵， ∴． 30．（24-25八年级上·青海海西·期末）如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）． (1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值． 【答案】(1)，； (2)大长方形面积：；阴影部分的面积： (3)5 【知识点】列代数式、整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题主要考查了整式运算的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解本题的关键． （1）利用大长方形的长、宽分别包含的小长方形的长和宽，即可求解； （2）利用（1）结果求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解； （3）写出图中阴影部分的面积与大长方形的面积，代入，即可求解． 【详解】（1）解：大长方形的长：， 宽：， 故答案为：，； （2）大长方形面积： ， 阴影部分的面积： ； （3）当时， 由（2）得， ∴． 题型九 同底数幂的除法运算（共2小题） 31．（25-26八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方，解题关键是熟练掌握相关运算法则．根据同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方运算法则对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C正确，符合题意； D、，故选项D错误，不符合题意； 故选：C ． 32．（23-24八年级上·湖北武汉·期末） ． 【答案】a 【知识点】同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，掌握同底数幂的乘除法的运算法则是解题的关键． 先根据同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十 同底数幂除法的逆用（共3小题） 33．（24-25八年级上·全国·期末）若，，则的值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的除法运算，直接利用幂的乘方运算法则将已知变形，再利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 34．（22-23八年级上·广东广州·期末）若，，则 ． 【答案】2 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算．根据同底数幂除法的逆运算法则解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2 35．（22-23八年级上·四川泸州·期末）已知，，求式子，的值． 【答案】，72 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂乘除法和幂的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 逆用同底数幂的除法即可求出，逆用幂的乘方和同底数幂的乘法可求出． 【详解】解：∵，， ∴； ∴． 题型十一 零指数幂（共3小题） 36．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，的值是1 D．当时，的值是1 【答案】D 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了0次幂有意义的条件；熟练掌握0次幂有意义的条件是解题的关键． 根据当时，有意义，且，即判断即可． 【详解】解：有意义的条件是： ， 解得， 即当时， 故选：D． 37．（25-26八年级上·全国·期末） 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，熟记任何非零数的零次幂都等于1是解题的关键． 根据零指数幂的法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 38．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）计算： 【答案】 【知识点】零指数幂、合并同类项、积的乘方运算 【分析】本题考查的是积的乘方，合并同类项，零次幂的含义，先计算积的乘方，零次幂，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 题型十二 计算单项式除以单项式（共4小题） 39．（23-24八年级上·河南南阳·期末）若，则m，n的取值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据题意列出式子，然后根据单项式除以单项式的计算法则计算即可得出m、n的值，熟练掌握单项式除以单项式的计算法则是解此题的关键． 【详解】∵ ∴， ∴ ∴，， 故选：A． 40．（24-25八年级上·青海西宁·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方运算，单项式除以单项式，先进行积的乘方运算，再根据单项式除以单项式的运算法则计算即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 41．（24-25八年级上·广东东莞·期末）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 【答案】2024 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据整式的混合运算法则计算出结果，再根据题意即可得出“？”处的数字． 【详解】解：， 根据题意得，， 即“？”处的数字是2024， 故答案为：2024． 42．（24-25八年级上·四川眉山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式、单项式乘以单项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式，再计算单项式乘以单项式，最后计算整式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 题型十三 平方差公式（共6小题） 43．（25-26八年级上·江西·期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点：，是解题的关键． 根据平方差公式，判断是否具有使用公式的条件，即看乘积中是否能写成的形式，是否可以整理或转化成这种形式，注意这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A、，x相同，a与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； B、，两项都互为相反数，无相同项，不符合公式，故不能用平方差公式进行计算； C、，中x相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； D、，m相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算． 故选：B． 44．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，掌握知识点是解题的关键． 由大正方形的面积减去小正方形的面积等于矩形的面积，进而可以证明平方差公式，即可解答． 【详解】解：∵图①中大正方形的面积减去小正方形的面积为，图②中矩形的面积为， ∴． 故选A． 45．（25-26八年级上·江西·期末）计算： ． 【答案】/ 【知识点】整式四则混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． 先根据平方差公式和多项式的乘法法则计算，再合并同类项． 【详解】原式 ． 故答案为：． 46．（24-25八年级上·吉林四平·期末）把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中，我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的因式分解公式，它是 ． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．图1中阴影部分的面积计算方法是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；图2中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，根据这两个图形的阴影部分的面积相等，即可获得答案． 【详解】解：图1中， ∵大正方形面积减去小正方形面积即为阴影部分面积， ∴阴影部分面积可表示为； 图2中， ∵拼接后阴影部分是个长方形，长为，宽为， ∴阴影部分面积可表示为， 由阴影部分面积相等，得因式分解公式． 答案：． 47．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）先化简再求值：其中． 【答案】， 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、平方差公式和代数式求值，主要考查学生的化简能力和计算能力．先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 48．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图①所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示，； 并写出上述过程所揭示的公式； (2)拓展提升：试利用这个公式计算： (3)迁移应用：计算 【答案】(1)，， (2) (3)2 【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是平方差公式的几何应用，平方差公式的应用，熟练地推导平方差公式与运用平方差公式解决问题是关键． （1）图①阴影部分的面积等于大的正方形的面积减去小的正方形面积，图②阴影部分的面积为长方形的面积，从而可得答案；由图①与图②阴影部分的面积相等可得公式； （2）先把原式乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可． （3）先把原式乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； （2）解： ； （3）解： . 题型十四 完全平方公式（共12小题） 49．（25-26八年级上·江西·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【详解】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 50．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，则的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．37 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键． 根据完全平方公式得出，再代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 51．（24-25八年级上·全国·期末）若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查完全平方公式问题，关键要根据完全平方公式的结构特征进行分析，两数和的平方加上或减去它们乘积的2倍，就构成完全平方式，在任意给出其中两项的时候，未知的第三项均可求出，要注意积的2倍符号，有正负两种情形，不可漏解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选B 52．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的木板面积为（　　）（不计接缝） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式的混合运算、完全平方式在几何图形中的应用 【分析】此题考查了整式混合运算的应用，根据题意，总面积减去正方形油画的面积即可． 【详解】解：根据题意，制作边框的面积是： ， 故选：B． 53．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B．9 C．7 D．5 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可． 【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为,面积为， 由图2可得，大长方形的长为,宽为,因此面积为， 所以，即， ，即，而， ， ，而，则, . 故选：C． 54．（24-25八年级下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 【答案】35 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．利用完全平方公式计算即可求出m，n的值，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： ． 55．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知，则的值是 ． 【答案】98 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求值，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键．把已知条件两边分别平方，然后整理即可求解．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：． 【详解】解：， ∴， ， ． 故答案为：98． 56．（25-26八年级上·内蒙古·期末）若是一个完全平方式，则实数的值为 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了求完全平方式中字母系数，关键是将一般形式变形为然后将其展开，对比一次项系数即可． 【详解】解：因为 是一个完全平方式， 所以可以变形为 所以． 故答案为：． 57．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在线段上取一点，分别以为边向上作正方形和正方形，点是线段上一点，且满足，连接和，，，且，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，由正方形的性质得出，，则有，又图中阴影部分的面积为，通过完全平方公式的变形可求出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 58．（25-26八年级上·内蒙古·期末）计算：． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的乘法公式，熟知整式的乘法公式，并进行化简即可． 【详解】解：原式 ． 59．（23-24八年级上·全国·期末）附加题：(有兴趣的同学自愿完成) 已知 ，，，请计算代数式的值 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，由题意得，根据即可求解； 【详解】解：∵ ，，， ∴； ， ∴ 60．（24-25八年级上·广东湛江·期末）综合与实践． 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式，之间的等量关系为 ； (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值； (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且 ，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)36 (3)10 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）先用代数式表示图形中各个部分的面积，然后根据各个部分面积之间的关系即可解答； （2）由求出的值； （3）用代数式表示阴影部分的面积，再根据，然后代入相关数据计算即可． 【详解】（1）解：图2中，整体是边长为的正方形,面积为，阴影部分的正方形的边长为，因此面积为，四个长为a，宽为b的长方形的面积为， 因此有． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴； （3）解：阴影部分的面积为： ∵， ∴ ． ∴阴影部分的面积为10． $