专题02 相交线与平行线（考题猜想，9种易错重难点与新考向解题模型53题）七年级数学上学期新教材人教版五四制

专题02 相交线与平行线 （考题猜想，9种易错重难点与新考向解题模型53题） 题型一：根据平行线的性质探究角的关系 1．（23-24七年级下·四川达州·期末）定义：若、是同旁内角，并且，满足，则称是的内联角． (1)如图1，已知是的内联角． ①当时，________°； ②当直线时，求的度数． (2)如图2，已知是的内联角，点O是线段上一定点．是的内联角吗？请说明理由． 2．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，已知，点P为射线上的动点（不与点A重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)若，则__________； (2)猜想与之间的数量关系并说明理由； (3)设的度数为，当点P运动到使时，求的度数．（用含的代数式表示） 3．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，已知，的平分线交交于点. (1)求证：； (2)若点为射线上一点.连接，探究和之间的数量关系，并证明你的结论. 4．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余．    (1)求证：； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，平分，，，求证：平分． 完成下面的证明过程． 证明：∵（已知）， ∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵， ∴（______）， ______（两直线平行，同位角相等）， ∴______（等量代换）， ∴平分． 6．（23-24七年级下·吉林四平·期末）已知：如图，点是直线上一动点，连接，过点作交直线于点．(图2，图3为备用图) (1)如图1，当点在线段上时， ①依题意，在图1中补全图形； ②若，则__________(填度数)． (2)当点在线段的延长线上时，请写出的数量关系，并证明． (3)当点在直线上时，请直接写出的数量关系，不需要证明． 7．（23-24七年级下·河南商丘·期末）已知∶ 平分 (1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图②，当时，求的度数； (3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，． 题型二：根据平行线的性质求角的度数 8．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求的度数． 9．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． (1)请指出的同位角的有哪些？ (2)若，测得，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯的的度数为多少？ 10．（24-25七年级上·山西临汾·期末）在科学实验课上，小明做了两个富有趣味的实验，结果发现：1．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，而且当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过反复实验，小明还发现凸透镜具有这样一种特性，那就是它能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明精心设计了以下两个问题． (1)如图1，这是一块玻璃的两面，且．现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成为射线上的一点．已知，求的度数． (2)如图2，箭头所画的是光线的方向，是凸透镜的焦点，．若，，求的度数． 11．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 12．（23-24七年级下·重庆渝北·期末）已知直线，点和点分别在直线和上，点在直线之间，连接． (1)如图，若，，则 ； (2)如图，若点是直线下方一点，连接与直线交于点，连接，分别是的角平分线，已知，．求的度数？ (3)如图，连接，点在点右侧且在直线上，过点在下方作，垂足为点，若，，平分．将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为秒，直接写出与的任意一条边平行时的值． 题型三：平行线的性质在生活中的应用 13．（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·广西贵港·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级下·北京丰台·期末）为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（     ）    A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 16．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ． 17．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 18．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 题型四：根据平行线判定与性质求角度 19．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，在三角形中，D、E、F分别是、、上的点，且． (1)若，试判断与是否垂直，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 20．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，直线，． (1)补全下列说理过程； ∵（已知）， ∴_______（___________）． ∵（已知）， ∴_______（等量代换）， ∴（__________）； (2)若平分，且，求的度数． 23．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 24．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且， (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线CA，HC上，连接MP，NQ，且，分别延长MP，NQ交于点K，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分，且HE平分，若，求的度数． 题型五：根据平行线判定与性质证明 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）补全下面推理过程： 已知：如图，，E是直线AB上的一点，CE平分，射线，与互余． 求证： 证明：， ______ 平分， ______=______角平分线定义， ______等量代换， ______， 垂直的定义， ， ______， 与互余， ______互余的定义， ______， ______ 26．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，已知，，垂足分别为、，．试说明：，在下列解答中，在横线填空（理由或数学式）． 解：∵，（________）， ∴（________） ∴（________） ∴________（________） 又∵（________）， ∴（________） ∴________（________） ∴（________） 27．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，如果，，那么与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） （平角的定义） ∴①________（同角的补角相等） ∴②________（同位角相等，两直线平行） ∴（③________） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（④________） 28．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，已知直线，当点E在直线与之间时． (1)与之间有怎样的关系（写出结论即可）； (2)当点E在直线与之外时，试猜想这三个角的关系并加以证明． 29．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①所示的是一个“互”字，如图②所示的是由图①抽象的几何图形，其中，．点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． (1)与平行吗？请说明理由； (2)试说明：． 30．（23-24七年级下·江西宜春·期末）【探索发现】 （1）已知：如图1，，点M在，之间，连接，．证明：． 【深入思考】 （2）如图2，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点M，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点N，若，，．求的度数． 31．（23-24七年级下·重庆江津·期末）已知，直线与直线分别交于点E、F. (1)如图1，，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由. 32．（23-24七年级下·四川广元·期末）已知直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上． (1)如图1，若，，且，则的度数为 ； (2)如图2，若，，平分，过点D作交于点F，求证：； (3)如图3，若，直线和直线相交于点K，点H在上方的直线上，试探究，和之间的数量关系，并说明理由． 题型六：解题模型-猪蹄模型 33．（22-23七年级下·江西·期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．    【问题探究】 （1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由 【类比迁移】 （2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 如图2，直线．若，，，求的度数； 【灵活应用】 （3）如图3，直线，若，，则__________度． 34．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 35．（22-23七年级上·四川遂宁·期末）【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 如图2，已知，，点E在上，，请你说明；（把下面的解答补充完整） 解：因为 所以 （                ） 因为（                ） 又因为 所以 （                ） 即 所以 由（1）知 ∴ (3)【拓展延伸】如图3，平分，平分，．若，请直接写出的度数为 ． 36．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 37．（22-23七年级上·四川宜宾·期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ； (2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ； 如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ； 如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示) 题型七：解题模型-铅笔模型 38．问题情境1：如图1，，是、内部一点，在的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究，，之间的关系，小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间的关系是 　　； 问题情境2：如图3，，是，内部一点，在的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得，，之间的关系是 　　； 问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题： 已知，与两个角的角平分线相交于点． （1）如图4，若，求的度数； （2）如图5中，，，探究与之间的数量关系； （3）如图5中，若，，设，用含有，的代数式直接写出　　． 39．（23-24七年级上·山东济南·期末）【问题情境】（1）如图1，，，求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你帮忙完成推理过程： 解：（1）过点P作（如图2）则 （ ） ∴ ∵， ∴（ ） ∴ 又∵ ∴ ∴ 【问题迁移】（2）如图3，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，．试判断，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，求的度数． 40．（1）如图1，，则 度． 如图2，，则 度． 如图3，，则 度． 请在图2中，证明你所填写结论的正确性． （2）如图4，，则 度． （3）利用上述结论解决问题：如图5，已知AB//CD．∠ABE和∠CDE平分线相交于F．∠E＝m°（0＜m＜180），用含m代数式表示∠BFD度数，并判断∠BFD是钝角、锐角还是直角？ 41.已知，点P在直线之间，连接． (1)探究发现：（填空） 如图1，过P作， ______ （已知） （____） _______； (2)解决问题： ①如图2，延长至点分别平分交于点Q，试判断与存在怎样的数量关系，并说明理由； ②如图3，若，分别作分别平分，求的度数（直接写出结果）． 42．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知直线，点P在直线之间，连接． (1)如图1，若，直接写出的大小； (2)如图2，点Q在之间，，试探究和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，直接写出的值（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． 题型八：解题模型-鸟头模型 43．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用，李老师给出如下问题：，点为下方一点，连接，，得到，试探究与，的数量关系． ①小红的做法是：如图2，过点作． ②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． 请你选择一名同学的做法，写出证明过程． 【归纳总结】 （2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答． 如图，直线，点在，之间，点在下方，连，．延长至，和的角平分线相交于点．探究与的数量关系； 图4 45．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    46.已知．    (1)如图1，求证：； (2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C． ①如图2，若，且，求的度数； ②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ． 47．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用．李老师给出如下问题： ，点为下方一点，连接，得到，试探究与的数量关系． （1）小红的做法是：如图2，过点作． （2）小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． 请你选择一名同学的做法，写出证明过程． 【归纳总结】 （2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答． 如图4，直线，点在之间，点在下方，连．延长至和的角平分线相交于点．探究与的数量关系； 【学以致用】 （3）如图5，和的角平分线相交于点．作平分交的延长线于点，若，求的度数． 题型九：解题模型-靴子模型 48．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 49．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作， ， ，， ， ， ． 即． 可以运用以上结论解答下列问题： (1)【类比应用】 ①如图3，已知，已知，，求的度数； ②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (2)【拓展应用】 如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数 50.已知，． (1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E； (2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，，求∠A的度数． 51.已知． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在内且在之间，平分平分，请猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，点M在上，点N在上，点E是上方一点，点G在之间，连接的延长线平分平分，若，求的度数． 52．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 53．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知，点P为直线AB上方一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，CE平分∠PCD，过点P作CE的平行线交∠PAB的角平分线于点Q，探索∠Q与∠APC之间的关系，并说明理由： (3)在（2）的条件下，若CE经过点A，，点M是直线PC上一点，请直接写出和、的数量关系． 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线 （考题猜想，9种易错重难点与新考向解题模型53题） 题型一：根据平行线的性质探究角的关系 1．（23-24七年级下·四川达州·期末）定义：若、是同旁内角，并且，满足，则称是的内联角． (1)如图1，已知是的内联角． ①当时，________°； ②当直线时，求的度数． (2)如图2，已知是的内联角，点O是线段上一定点．是的内联角吗？请说明理由． 【答案】(1)①80；② (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，同旁内角等知识点，握平行线的性质及同旁内角是解决本题的关键． （1）①已知，；②因为，、是同旁内角，所以，则，可得的度数． （2）因为，，，可得，即是的内联角． 【详解】（1）解：①是的内联角， ， ， ； 故答案为：80． ②是的内联角， ， ， ， ， ， ． （2）解：是，理由如下： 是的内联角， ， ，， ， ， 又是同旁内角， 是的内联角． 2．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，已知，点P为射线上的动点（不与点A重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)若，则__________； (2)猜想与之间的数量关系并说明理由； (3)设的度数为，当点P运动到使时，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质得到，然后利用角平分线的定义得到，，进而求解即可； （2）同（1）的方法求解即可； （3）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∵、分别平分和， ∴， ∴； （2）， 理由：， ，， 又平分， ， ； （3）， ， 又， ， ， 、分别平分和， ，即， ，， ， ． 3．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，已知，的平分线交交于点. (1)求证：； (2)若点为射线上一点.连接，探究和之间的数量关系，并证明你的结论. 【答案】(1)见详解 (2)或 【分析】（1）由平行线的性质及角平分线的定义即可得解； （2）分两种情况讨论，分别作图，运用数形结合思想以及平行线的性质即可得解． 此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ； （2）解：当点在线段上时，过点作，交于点，连接， ， ， ， ， ， ． 当点在线段的延长线上时，过点作，连接， ， ， ， ， ， ． 综上，或． 4．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余．    (1)求证：； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的性质及角平分线的有关计算， （1）由平行得，结合已知求出即可证出结论； （2）先求出，根据角平分线得，即可求出结论； 【详解】（1）证明：， 与互余， ； （2）， ，平分， ． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，平分，，，求证：平分． 完成下面的证明过程． 证明：∵（已知）， ∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵， ∴（______）， ______（两直线平行，同位角相等）， ∴______（等量代换）， ∴平分． 【答案】，两直线平行，内错角相等，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴平分． 6．（23-24七年级下·吉林四平·期末）已知：如图，点是直线上一动点，连接，过点作交直线于点．(图2，图3为备用图) (1)如图1，当点在线段上时， ①依题意，在图1中补全图形； ②若，则__________(填度数)． (2)当点在线段的延长线上时，请写出的数量关系，并证明． (3)当点在直线上时，请直接写出的数量关系，不需要证明． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)当点D在上时，；当D点在的延长线上时，；当D点在的延长线上时， 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）①根据几何语言画出对应的几何图形； ②根据平行线的性质得到，，所以； （2）当D点在的延长线上时，；根据平行线的性质分别进行证明即可； （3）分三种情况进行讨论：当点D在线段上时，当点D在线段延长线上时，当点D在线段的延长线上，分别根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图1所示： ②∵， ∴，， ∴； （2）解：当D点在的延长线上时，如图2，； 理由如下： ∵， ∴，， ∴； （3）解：当点D在上时，； ∵， ∴，， ∴； 当D点在的延长线上时，根据解析（2）可知，； 当D点在的延长线上时，如图3，； 理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴． 7．（23-24七年级下·河南商丘·期末）已知∶ 平分 (1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图②，当时，求的度数； (3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据推出，进而得出，再根据角的和差关系、角平分线的定义推出，可证； （2）仿照（1）求出，再根据，推出，根据即可求解； （3）根据推出，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，，理由如下： ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的定义、角的和差关系是解题的关键． 题型二：根据平行线的性质求角的度数 8．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键； （1）根据可得，从而证明，根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，最后根据平行线的性质得出． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 9．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． (1)请指出的同位角的有哪些？ (2)若，测得，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯的的度数为多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了对同位角定义的应用，平行线的性质，主要考查学生的理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．平行线的性质：（1）两直线平行同位角相等；（2）两直线平行内错角相等；（3）两直线平行同旁内角互补． （1）根据同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，处于两条直线的同旁，位于第三条直线的一侧的两个角叫同位角）逐个判断即可． （2）根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：与是同位角的有，； （2）解：∵， ． ∵， ∴． 10．（24-25七年级上·山西临汾·期末）在科学实验课上，小明做了两个富有趣味的实验，结果发现：1．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，而且当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过反复实验，小明还发现凸透镜具有这样一种特性，那就是它能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明精心设计了以下两个问题． (1)如图1，这是一块玻璃的两面，且．现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成为射线上的一点．已知，求的度数． (2)如图2，箭头所画的是光线的方向，是凸透镜的焦点，．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟记平行线的性质，利用角的关系求解； （1）先根据平行线的性质求出，再根据邻补角的性质求解即可； （2）根据平行线的性质求出，，再根据角的和差求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 11．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 12．（23-24七年级下·重庆渝北·期末）已知直线，点和点分别在直线和上，点在直线之间，连接． (1)如图，若，，则 ； (2)如图，若点是直线下方一点，连接与直线交于点，连接，分别是的角平分线，已知，．求的度数？ (3)如图，连接，点在点右侧且在直线上，过点在下方作，垂足为点，若，，平分．将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为秒，直接写出与的任意一条边平行时的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）如图，作，可得，再利用平行线的性质即可求解； （）由角平分线的定义得，，进而由（）得，即得，得到，如图，作，得，又由平行公理的推论得，即得到，最后利用角的和差关系即可求解； （）利用角平分线可得，进而由平行线的性质可得，即得，又由垂直得，过作与的一条边平行，再分，，三种情况分别画出图形解答即可求解； 本题考查了平行线性质，平行公理的推论，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别是的角平分线， ∴，， 由()可得，， ∴， 解得， ∴， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作与的一条边平行，由题意知，分，，三种情况， 当即时，如图①， ∴， ∵， ∴，此情况不成立； 当，即时，如图②， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴旋转了， ∴； 当，即时，如图③， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴旋转了， ∴； 综上，当与的一条边平行时，的值为或． 题型三：平行线的性质在生活中的应用 13．（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等，可知，进而得出结果． 【详解】解：如图， ∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴， ∴， 故选：C． 14．（23-24七年级下·广西贵港·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，，    ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 15．（23-24七年级下·北京丰台·期末）为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（     ）    A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要则，分两种情况，分别画出图形利用平行线的性质列出关于t的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要， ∴， 由题意满足以下条件时，两灯的光束互相平行，如图1： ，即， 解得：， 如图2 此时， 即， 解得：， 综上：当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是1或17.5秒， 故选：D． 16．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 17．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 【答案】/122度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出，再由两直线平行同旁内角互补即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵水中的两条光线平行，， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ∴， ∵， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质完成证明过程，即可求解． 【详解】解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 所以（平角的定义）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；． 题型四：根据平行线判定与性质求角度 19．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，在三角形中，D、E、F分别是、、上的点，且． (1)若，试判断与是否垂直，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质： （1）根据，可得，再由，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，再根据角平分线的定义，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定等知识． （1）先根据得到，结合证明，从而得到； （2）先求出，再证明，进而证明，即可求出． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解：，， ， ， ， ，， ，即， ． 21．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，直线，． (1)补全下列说理过程； ∵（已知）， ∴_______（___________）． ∵（已知）， ∴_______（等量代换）， ∴（__________）； (2)若平分，且，求的度数． 【答案】(1)；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质得出，结合题意得出，即可得证； （2）由平行线的性质结合题意得出，再由角平分线的定义得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质，灵活运用平行线的判定定理和性质定理是解答本题的关键． （1）由已知条件结合对顶角相等可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）先证明，再结合可得，进而证得，由平行线的性质可得，即，再结合求解即可解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴①， 又∵②， ∴①②联立可得， ∴． 24．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且， (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线CA，HC上，连接MP，NQ，且，分别延长MP，NQ交于点K，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分，且HE平分，若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）利用，再利用等量代换，即可解决； （2）过作，因为，所以，则，，代入即可解决． （3）过作，过作，可以得到，设，利用平行线的性质，用表示出角，即可解决． 【详解】（1），， ， ， （2）过作，如图， ， ， ，， ， （3）如图，过作，过作， ， ， 平分 ∴可设， ∵平分 , 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行导角． 题型五：根据平行线判定与性质证明 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）补全下面推理过程： 已知：如图，，E是直线AB上的一点，CE平分，射线，与互余． 求证： 证明：， ______ 平分， ______=______角平分线定义， ______等量代换， ______， 垂直的定义， ， ______， 与互余， ______互余的定义， ______， ______ 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）， 平分， （角平分线定义）， （等量代换）， ， （垂直的定义）， ， ， 与互余， （互余的定义）， （同角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行 26．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，已知，，垂足分别为、，．试说明：，在下列解答中，在横线填空（理由或数学式）． 解：∵，（________）， ∴（________） ∴（________） ∴________（________） 又∵（________）， ∴（________） ∴________（________） ∴（________） 【答案】已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，同角的补角相等．根据相关知识点逐一判断填空即可． 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 27．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，如果，，那么与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） （平角的定义） ∴①________（同角的补角相等） ∴②________（同位角相等，两直线平行） ∴（③________） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（④________） 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据同角的补角相等，平行线的判定方法和性质，进行作答即可． 【详解】解：∵（已知） （平角的定义） ∴（同角的补角相等） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 28．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，已知直线，当点E在直线与之间时． (1)与之间有怎样的关系（写出结论即可）； (2)当点E在直线与之外时，试猜想这三个角的关系并加以证明． 【答案】(1) (2)或，见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质， （1）过点E作，先证明，得出，根据角的和差计算得出结论； （2）分两种情况：当E在的上方时或当E在的下方时，分别作辅助线根据平行线的性质求出结论． 【详解】（1）解：与之间的关系为：，理由如下： 如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图2，当E在的上方时，，证明如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3，当E在的下方时，，证明如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴． 29．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①所示的是一个“互”字，如图②所示的是由图①抽象的几何图形，其中，．点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． (1)与平行吗？请说明理由； (2)试说明：． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键， （1）根据平行线的判定和性质即可证明； （2）根据平行线的性质结合邻补角的定义即可证明． 【详解】（1）解：．理由如下： 因为， 所以． 因为， 所以， 所以； （2）证明：如图，延长交于点． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 30．（23-24七年级下·江西宜春·期末）【探索发现】 （1）已知：如图1，，点M在，之间，连接，．证明：． 【深入思考】 （2）如图2，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点M，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点N，若，，．求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）过点作，证明，则，．即可得到结论； （2）由邻补角、三角形内角和定理和（1）中的结论求出，即可证明； （3）利用平行线的性质和（2）中的条件列方程，进行解答即可． 【详解】（1）解：过点作， ， ． ，． ． 即； （2）证明：在三角形中， ， ， ． ∵， ． ∴； （3）解：平分，， ． 设， ． 在（2）的条件下， ． 在（2）的条件下，， ， 解得：， ． 设， 平分， ． ， ． ． ， 在（2）的条件下，， 同理可得：． 即， 解得：， ． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，角的计算，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． 31．（23-24七年级下·重庆江津·期末）已知，直线与直线分别交于点E、F. (1)如图1，，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的大小不变，. 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角． （1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线与直线平行； （2）过点P作，根据与的角平分线交于点，可得，进而证明； （3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得的度数． 【详解】（1）（1）解：，理由如下： ，，， ， ∴； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：的大小不变，. 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 平分， ∴， ∴． 32．（23-24七年级下·四川广元·期末）已知直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上． (1)如图1，若，，且，则的度数为 ； (2)如图2，若，，平分，过点D作交于点F，求证：； (3)如图3，若，直线和直线相交于点K，点H在上方的直线上，试探究，和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)满足条件的关系是或，理由见解析 【分析】（1）由垂直的定义先求出再根据平行线的性质即可得到； （2）设则，由角平分线的定义得到则 ，同理可得，再由垂直的定义得到, 则 ； （3）分当点在点上方时，当点在点C，K之间时，点H在点C，D之间时，三种情况画出图形，根据角之间的关系求解即可． 本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵, ， 故答案为：； （2）证明：设． ， ． 平分， ， ． ，， ，， ． ， ， ． （3）解：如图，当点H在点K上方时，过点H作，则， ，， ， ， ， ； 如图，当点H在点C，K之间时，过点H作，则， ，， ， ， ， ，即； 如图，当点H在点C，D之间时，过点H作，则， ，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的关系是或 题型六：解题模型-猪蹄模型 33．（22-23七年级下·江西·期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．    【问题探究】 （1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由 【类比迁移】 （2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 如图2，直线．若，，，求的度数； 【灵活应用】 （3）如图3，直线，若，，则__________度． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质得到，，进而求解即可； （2）过点G作，由（1）中的结论得到，，进而求解即可； （3）过点E作，首先根据三角形内角和定理得到，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点E作    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）如图所示，过点G作    ∵ ∴ 由（1）可得，， ∴ ； （3）如图所示，过点E作      ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质及应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理，并能熟练应用． 34．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)等于 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 35．（22-23七年级上·四川遂宁·期末）【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 如图2，已知，，点E在上，，请你说明；（把下面的解答补充完整） 解：因为 所以 （                ） 因为（                ） 又因为 所以 （                ） 即 所以 由（1）知 ∴ (3)【拓展延伸】如图3，平分，平分，．若，请直接写出的度数为 ． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质和判定求解即可； （3）根据平行线的性质得出，再由角平分线及（1）中结论求解即可． 【详解】（1），理由如下： 过点E作，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）因为 所以（两直线平行，同旁内角互补） 因为（平角的定义） 又因为 所以（等角的补角相等） 即 所以 有由（1）知： 所以． （3）∵ ∴， ∵ 即， ∴ 由（1）可知， ， ∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键． 36．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）过E作，根据平行线的性质求解即可； （2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再结合角的和差关系可得答案． （3）如图，分别过作，的垂线，由（1）可得：，，证明，，，，可得，可得，过作的平行线，而，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： 过E作，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）如图，过作，过作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，分别过作，的垂线，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， 过作的平行线，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 37．（22-23七年级上·四川宜宾·期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ； (2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ； 如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ； 如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示) 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)(i)； (ii)； (iii) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而根据，即可求解； （2）过点作，根据（1）的方法即可求解； （3）（）由（2）可得， ，得出，根据，即可求解； （）由“猪蹄模型”，可得，，根据角平分线的性质得出，继而根据，即可求解； （）如图所示，延长交于点，设，，根据平行线的性质得出，，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． （2）, 如图所示，过点作， ， ， ， ， ， ； （3）解：（）由（2）可得， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （）解：如图所示，∵ 由“猪蹄模型”，可得，； ∵、分别平分和 ∴ ∴ ∴， ∴, 故答案为：． （）解：如图所示，延长交于点， 设， ∵、分别平分和， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定求角度，掌握平行线的性质是解题的关键． 题型七：解题模型-铅笔模型 38．问题情境1：如图1，，是、内部一点，在的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究，，之间的关系，小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间的关系是 　　； 问题情境2：如图3，，是，内部一点，在的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得，，之间的关系是 　　； 问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题： 已知，与两个角的角平分线相交于点． （1）如图4，若，求的度数； （2）如图5中，，，探究与之间的数量关系； （3）如图5中，若，，设，用含有，的代数式直接写出　　． 【答案】问题情境；问题情境2:；（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用． 问题情境1：过点作，根据平行线的性质，得到，，进而得出：； 问题情境2：过点作，再由平行线的性质即可得出结论； ②，③根据①中的方法可得出结论； 问题迁移： （1）如图4，根据角平分线定义得：，，由问题情境1得：，再根据四边形的内角和可得结论； （2）设，，则，，，，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论； （3）同（2）将3倍换为倍，同理可得结论． 【详解】解：问题情境 如图2，，理由是： 过作， ，， ∴， ，， ， 即， 故答案为：； 问题情境2： 如图3，，理由是： 过点作， ∵， ∴， ，， ， 即； 故答案为：； 问题迁移： （1）如图4，、分别是和的平分线， ，， 由问题情境1得：， ， ， ， ； （2）如图5，，理由是： 设，，则，，，， 由问题情境1得：， ， ， ， ， ， ； （3）如图5，设，， 则，，，， 由问题情境1得：， ， ， ， ， ； 故答案为：． 39．（23-24七年级上·山东济南·期末）【问题情境】（1）如图1，，，求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你帮忙完成推理过程： 解：（1）过点P作（如图2）则 （ ） ∴ ∵， ∴（ ） ∴ 又∵ ∴ ∴ 【问题迁移】（2）如图3，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，．试判断，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，求的度数． 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2），理由见解析； （3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）过点P作，根据（1）的方法，利用平行线的性质解答即可； （3）过点P作，过点Q作，利用（2）的结论和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）过点P作（如图2） 则：（两直线平行，同旁内角互补）， ∴． ∵，， ∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2），，之间的数量关系为：．理由： 过点P作，如图， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）过点P作，过点Q作，如图， 由（2）的结论可得：， ∵的平分线与的平分线相交于点Q， ∴， ∴ ． 40．（1）如图1，，则 度． 如图2，，则 度． 如图3，，则 度． 请在图2中，证明你所填写结论的正确性． （2）如图4，，则 度． （3）利用上述结论解决问题：如图5，已知AB//CD．∠ABE和∠CDE平分线相交于F．∠E＝m°（0＜m＜180），用含m代数式表示∠BFD度数，并判断∠BFD是钝角、锐角还是直角？ 【答案】（1）①180，②360，③540；（2）（n-1）180°；（3）180°-m°，∠BFD是钝角 【分析】（1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论．根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论．在上题的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论． （2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是1×180°，三个A点时，结论是2×180°，四个A点时，结论是3×180°，所以n个A点时，即可得结论． （3）运用上述结论和角平分线定义可得结论． 【详解】解：∵MA1∥NA2， ∴∠A1+∠A2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 过点A2 作A2B∥A1M， ∴∠MA1A2+∠A1A2B=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵MA1∥NA3， ∴A2B∥NA3（平行于同一条直线的两条直线平行）． ∴∠BA2A3+∠A2A3N=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠MA1A2+∠A1A2B+∠BA2A3+∠A2A3N=180°+180°=360° ， 即∠A1+∠A2+∠A3=360°； 分别过点A2、A3作A2B∥A1M、A3C∥A1M， 同上题可得180°+180°+180°=540°， 即∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°， 故答案为：180，360，540． （2）∵∠A1+∠A2=180°=1×180°， ∠A1+∠A2+∠A3=360°=2×180°， ∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°=3×180°， ∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=（n-1）180°． 故答案为：（n-1）180°． （3）根据上述结论得： ∠BFD=∠ABF+∠CDF， ∠ABE+∠E+∠CDE=360°， 又∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F， ∴2∠ABF+∠E+2∠CDF=360°， 即2（∠ABF+∠CDF）+∠E=360°， ∴2（∠ABF+∠CDF）=360°-∠E=360°-m°， ∴∠ABF+∠CDF=180°-m°， 即∠BFD=180°-m°， 又∵0＜m＜180， ∴0＜m＜90， ∴90°＜180°-m°＜180°， ∴∠BFD是钝角． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程． 41.已知，点P在直线之间，连接． (1)探究发现：（填空） 如图1，过P作， ______ （已知） （____） _______； (2)解决问题： ①如图2，延长至点分别平分交于点Q，试判断与存在怎样的数量关系，并说明理由； ②如图3，若，分别作分别平分，求的度数（直接写出结果）． 【答案】(1)180，两直线平行，同旁内角互补，360 (2)①；②= 【分析】（1）读懂每步推理及推理的依据，即可完成填写； （2）①两角关系为：；由AB∥CD、角平分线的性质及三角形外角的性质可得，再由（1）的结论即可得到两角的关系； ②延长AM交CD于H，设∠BAM=β，∠MDN=α，由平行线的性质及（1）的结论可得∠B+2α=80゜，∠B+2β=180゜，从而可得β−α=40゜；再由AB∥CD及三角形外角的性质可得∠AMD=∠MHD+α=180−β+α，从而可求得结果． 【详解】（1）（1）如图1，过P作， 180 （已知） （两直线平行，同旁内角互补） 360； 故答案为：180；两直线平行，同旁内角互补；360 （2）① 分别平分 ∴， 由（1）知 ②如图3，延长AM交CD于H 设∠BAM=β，∠MDN=α ∵AM、DM分别平分∠PAB、∠CDN ∴∠PAM=∠BAM=β，∠MDH=∠MDN=α ∵BN∥AP，DN∥PC ∴∠B+2β=180゜，∠C+2α=180゜ ∴∠B+2β+∠C+2α=360゜ 由（1）结论及∠APC=100゜ ∴2β+∠C=360゜−∠APC=260゜ ∴∠B+2α=100゜ ∴∠B+2β−(∠B+2α)=80゜ 即β−α=40゜ ∵AB∥CD ∴∠MHD=180゜−β ∴∠AMD=∠MHD+α=180−β+α==180゜−(β−α)=140゜ 即的度数为 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质与角平分线的性质等知识，构造适当的辅助线是解决本题后两问的关键，也是本题的难点． 42．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知直线，点P在直线之间，连接． (1)如图1，若，直接写出的大小； (2)如图2，点Q在之间，，试探究和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，直接写出的值（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的性质即可求解； （2）过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论； （3）过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论. 【详解】（1）解： 过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴, ∴； （3）解：过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加辅助线，理清各个相关角的关系是关键. 题型八：解题模型-鸟头模型 43．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 44．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用，李老师给出如下问题：，点为下方一点，连接，，得到，试探究与，的数量关系． ①小红的做法是：如图2，过点作． ②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． 请你选择一名同学的做法，写出证明过程． 【归纳总结】 （2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答． 如图，直线，点在，之间，点在下方，连，．延长至，和的角平分线相交于点．探究与的数量关系； 图4 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）①过点作，根据平行线的性质得出； ②设交于点，过点作．根据平行线的性质可得，，进而可得； （2）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得由（1）可得，即可求解． 【详解】解：（1）①小红的做法是：如图2，过点作． ∵ ∴ ∴ ∵； ②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． ∴， ∵ ∴ ∴ （2）如图所示，过点作 ∵和的角平分线相交于点． ∴ ∵ ∴ ∴ 由（1）可得 ∴ 45．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 46.已知．    (1)如图1，求证：； (2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C． ①如图2，若，且，求的度数； ②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）过E作，然后根据两直线平行，内错角相等进行解答即可； （2）①过F作，交于H点，过点作，则，，根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质结合，从而得出，进而得出答案； ②过点F作，设，则，，所以，，然后分当K在上；当K在延长线上两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过E作，    ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （2）①如图， 过F作，交于H点，过点作，则，，    ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ②如图，过点F作，则，作，    设，则， ∵， ∴， ∵ ∴，， ∵， ∴ ∴，即 ∴，， 当K在上，， 同推出的道理可证： ∴， ∵平分， ∴，即， ∴； 当K在延长线上时，    同推出的道理可证： ∴ ∵ ∴， ∵平分， ∴，即， ∴； 综上所述，或． 故答案是：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质、作出正确辅助线、运用分类讨论的思想解题是关键． 47．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用．李老师给出如下问题： ，点为下方一点，连接，得到，试探究与的数量关系． （1）小红的做法是：如图2，过点作． （2）小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． 请你选择一名同学的做法，写出证明过程． 【归纳总结】 （2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答． 如图4，直线，点在之间，点在下方，连．延长至和的角平分线相交于点．探究与的数量关系； 【学以致用】 （3）如图5，和的角平分线相交于点．作平分交的延长线于点，若，求的度数． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．； （1）①过点作，根据平行线的性质得出； ②设交于点，过点作．根据平行线的性质可得，，进而可得； （2）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得由（1）可得，即可求解． （3）过点H作，利用（1）中结论，利用平行线的性质、角平分线定义、邻补角和为，角与角之间的基本运算、等量代换等得出，进而用等量代换得出．过点H作，由①的结论得．利用平行线性质得，由角平分线定义及邻补角可得．继续使用等量代换可得度数． 【详解】解：（1）①小红的做法是：如图2，过点作． ∵ ∴ ∴ ∵； ②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． ∴， ∵ ∴ ∴ （2）如图所示，过点作 ∵和的角平分线相交于点． ∴ ∵ ∴ ∴ 由（1）可得 ∴ （3）过点H作，如图， 由（1）可得， 由图可知， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 即． ∵， ∴． ∴． 过点H作． ∵， ∴． ∴， ∵平分， ∴． ∵． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型九：解题模型-靴子模型 48．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 49．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作， ， ，， ， ， ． 即． 可以运用以上结论解答下列问题： (1)【类比应用】 ①如图3，已知，已知，，求的度数； ②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (2)【拓展应用】 如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； ②过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； （2）设，，先根据角平分线的定义可得，，再根据（1）的结论可得，根据材料的结论可得，然后代入计算即可得． 本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】（1）解：①如图，过点作， ， ，， ， ， ， 即． 解：②，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ，， ， ， ， 即． （2）解：设，， 平分，平分， ，， ， 由（1）可知，， 由材料的结论可知，， ． 50.已知，． (1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E； (2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，，求∠A的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后计算即可得证； （2）过点作于点，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据（1）的结论即可得． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作于点， ，， ， ， 解得， 平分，平分， ， ， 由（1）已得：， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 51.已知． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在内且在之间，平分平分，请猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，点M在上，点N在上，点E是上方一点，点G在之间，连接的延长线平分平分，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）首先延长BA，再利用三角形外角性质和平行线性质证明即可； （2）由（1）中结论，结合三角形内角和证明即可； （3）设，根据（1）中的结论表示出，过G作GK∥AB，即可表示出，最后根据列方程求出x的值即可． 【详解】（1）延长BA交CE于H，则 ∵ ∴ ∴ （2），理由如下： ∵平分平分， ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 ∴ （3）过G作GK∥AB，则GK∥AB∥CD 设， ∵平分平分， ∴ ∴ ∵GK∥AB∥CD ∴ ∴ 根据（1）中的结论可得： ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 52．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 53．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知，点P为直线AB上方一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，CE平分∠PCD，过点P作CE的平行线交∠PAB的角平分线于点Q，探索∠Q与∠APC之间的关系，并说明理由： (3)在（2）的条件下，若CE经过点A，，点M是直线PC上一点，请直接写出和、的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 (3)或或 【分析】（1）作，利用平行线的判定和性质即可证明； （2）过点P作，过点Q作，利用平行线的判定和性质得到①，②，③，④，计算即可得到； （3）求得，延长交于点G，则，分三种情况讨论，当点M在的延长线上时，当点M在线段上时，当点M在线段的延长线上时，利用三角形的外角性质，计算即可求解． 【详解】（1）解：； 过点P作， ∵， ∴， ∴， ，即， ∴，即； （2）解：；理由如下， 过点P作，过点Q作， ∵平分，平分，即平分， ∴，， ∵， ∴， ∴①， ②， ③， ④， 由①②得， 代入③得⑤， 由④⑤得； （3）解：∵，CE平分∠PCD， 设， ∴，即， 延长交于点G，则， 当点M在的延长线上时， 由（1）得， ∴，即； 当点M在线段上时， ， ∴； 当点M在线段的延长线上时， ， ∴，即， ∴； 综上，或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线，构造内错角以及同位角，依据三角形外角性质进行计算求解． 21 / 96 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $