专题01 分类加法计数原理4大重点题型（专项训练）数学人教A版选择性必修第三册

专题01 分类加法计数原理4大重点题型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、简单直接分类计数题 1 题型二、组数问题（常考点） 2 题型三、几何问题 2 题型四、其他问题 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、简单直接分类计数题（常考点） 1.每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（    ） A．22种 B．33种 C．300种 D．3 600种 2.某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．90种 B．30种 C．14种 D．11种 3.一项工作可以用两种方法完成，有6人只会用第一种方法完成，另有11人只会用第二种方法完成，现从中选出1人来完成这项工作，则不同选法的种数为（   ） A．60 B．66 C．16 D．17 4.集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 题型二、组数问题 5.数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（   ） A．24个 B．12 C．9个 D．6个 6.从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 7.数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 题型三、几何问题 8.从正六边形的6个顶点中任取两个点连成一条线段，可得线段条数为 ． 9.三角形的三条边长均为整数，且最大边长为12，则这样的不同三角形共有 个． 10.空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ． 题型四、其他问题 11.如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 12.设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为（   ） A． B． C． D． 13.已知有红绿黄蓝4个不同颜色的球及红绿黄蓝4个不同颜色的盒子,现在在每个盒子里放一个球,并且确保4个盒子与盒子里的球的颜色都不相同,则不同的放法有 种. 1.某同学从个球类项目和个田径类项目中选个项目参加，则不同的选择方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2.一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（    ） A．20种 B．9种 C．5种 D．4种 3.我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（    ） A．66个 B．55个 C．36个 D．28个 4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（    ） A．26 B．24 C．19 D．18 5.平面上的两个点A()，B()，其中横纵坐标均为自然数，且不大于5，则两点之间的距离可以有多少种取值（    ） A．19 B．20 C．25 D．27 6.在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有 种. 7.现有编号为1，2，3，4的四个人到编号也为1，2，3，4的四个座位上落座，若要求落座时每个人的编号不能与其座位号相同，则不同的坐法共有 种． 8.某楼梯共有个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者个台阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分类加法计数原理4大重点题型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、简单直接分类计数题（常考点） 1 题型二、组数问题 2 题型三、几何问题 2 题型四、其他问题 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、简单直接分类计数题（常考点） 1.每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（    ） A．22种 B．33种 C．300种 D．3 600种 【答案】B 【解析】从甲地到乙地不同的方案数为. 2.某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．90种 B．30种 C．14种 D．11种 【答案】C 【解析】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 3.一项工作可以用两种方法完成，有6人只会用第一种方法完成，另有11人只会用第二种方法完成，现从中选出1人来完成这项工作，则不同选法的种数为（   ） A．60 B．66 C．16 D．17 【答案】D 【解析】求出不同选法的种数，有两类：选取只会用第一种方法的人，有6种方法；再选取只会用第二种方法的人，有11种，所以不同方法种数是. 4.集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数．若集合提供横坐标，集合提供纵坐标，则符合题意的点有，共2个；若集合提供纵坐标，集合提供横坐标，则有，，共4个．综上，符合题意的点的个数为. 题型二、组数问题 5.数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（   ） A．24个 B．12 C．9个 D．6个 【答案】C 【解析】当百位上为1时，组成的三位数有101，102，110，112，120，121，共6个数，当百位上为2时，组成的三位数有201，210，211，共3个数，所以组成不同的三位数有9个. 6.从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 【答案】D 【解析】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为，当不取时，底数有种，真数有种，其中，故此时有个，所以共有个. 7.数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 【答案】C 【解析】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个；最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个；最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个；最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个，所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为. 题型三、几何问题 8.从正六边形的6个顶点中任取两个点连成一条线段，可得线段条数为 ． 【答案】15 【解析】分5类，以正六边形的某个顶点为第1个顶点，按顺时针，依次为第个顶点，第1个顶点为端点时，共有5条线段；第个顶点依次为端点时，分别有4条，3条，2条，1条线段，所以共有条线段． 9.三角形的三条边长均为整数，且最大边长为12，则这样的不同三角形共有 个． 【答案】42 【解析】设另外两条边分别为x，y，，则第一类：；则第二类：，；第三类：，，11，12；第四类：，，10，11,12；第五类：，，9，10，11,12；第六类：，，8，9，10，11,12；第七类：，，8，9，10，11,12；第八类：，，9，10，11,12；第九类：，，10，11,12；第十类：，，11,12；第十一类：，,12，第十二类：所以共个． 10.空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ． 【答案】9 【解析】因为空间中有三个点，且，不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种：第一种：为正四棱锥的侧面，如图1，此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的;不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；第二种：为正四棱锥的对角面，如图2，此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的;不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种；综上所述：总共有9种情况. 题型四、其他问题 11.如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【解析】按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有共2种情况，若脱落2个，则有共6种情况，若脱落3个，则有共4种情况，若脱落4个，则有共1种情况，由分类加法计数原理，情况种数共有种． 12.设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，若，则且，或且，或且，当且时，有，或，或，或，共4种可能；当且时，有，或，或，或，共4种可能，当且时，有，或，或，或，或，或，或，或，共8种可能，满足的不同排列的个数为． 13.已知有红绿黄蓝4个不同颜色的球及红绿黄蓝4个不同颜色的盒子,现在在每个盒子里放一个球,并且确保4个盒子与盒子里的球的颜色都不相同,则不同的放法有 种. 【答案】9 【解析】解:记为红绿黄蓝4个不同颜色的球,将四个盒子按红绿黄蓝顺序放好,将表示放入四个盒子的球的颜色,则所有的结果为: 共9种. 1.某同学从个球类项目和个田径类项目中选个项目参加，则不同的选择方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】某同学从个球类项目和个田径类项目中选个项目参加，若选择的为球类项目，有种选择，若选择的为田径类项目，有种选择，由分类加法计数原理可知，不同的选择方案种数为种. 2.一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（    ） A．20种 B．9种 C．5种 D．4种 【答案】B 【解析】从4本语文类读物取出1本，有4种取法；从数学类读物中取出1本，有5种取法；由分类加法计数原理，共有9种不同的取法. 3.我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（    ） A．66个 B．55个 C．36个 D．28个 【答案】C 【解析】当首位数字为1时，后两位相加为7， “幸运数”分别是116,161,125,152,134,143, 107,170，共8个；当首位数字为2时，后两位相加为6， “幸运数”分别是206,260,215, 251,224,242,233，共7个；当首位数字为3时，后两位相加为5，“幸运数”分别是305,350, 314,341,323,332，共6个；当首位数字为4时，后两位相加为4，“幸运数”分别是404,440, 413,431,422，共5个；当首位数字为5时，后两位相加为3，“幸运数”分别是503,530,512,521，共4个；当首位数字为6时，后两位相加为2，“幸运数”分别是602,620,611，共3个；当首位数字为7时，后两位相加为1，“幸运数”分别是701,710，共2个；当首位数字为8时，后两位相加为0，“幸运数”是800，共1个.因此，所有的“幸运数”共有个. 4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（    ） A．26 B．24 C．19 D．18 【答案】C 【解析】由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3，4，6，6，由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为. 5.平面上的两个点A()，B()，其中横纵坐标均为自然数，且不大于5，则两点之间的距离可以有多少种取值（    ） A．19 B．20 C．25 D．27 【答案】B 【解析】依题意， ，且均不大于5，将其中任意两个数的差的绝对值记为，则可能的值有共6个，而A()，B()之间的距离为,而与的可能的取值都分别有共6个，故的不同取值可分成五类：①与中有一个取0，另一个可取六个数，则|AB|的不同取值有：；②与中有一个取1，另一个可取五个数，则|AB|的不同取值有：；③ 与中有一个取2，另一个可取四个数，则|AB|的不同取值有：；④ 与中有一个取3，另一个可取两个数，则|AB|的不同取值有：⑤ 与中有一个取4，另一个可取两个数，则|AB|的不同取值有：；⑥与均取5时，则|AB|的不同取值有；由分类加法计数原理可得，不同的取值共有6+5+4+2+2+1=20个. 6.在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有 种. 【答案】14 【解析】不妨设圆周上的点依次为，要使得四条弦既无公共点又无交点，如图所示：符合图①的连结方式有2种；符合图②的连结方式有4种；符合图③的连结方式有8种；共计种. 7.现有编号为1，2，3，4的四个人到编号也为1，2，3，4的四个座位上落座，若要求落座时每个人的编号不能与其座位号相同，则不同的坐法共有 种． 【答案】9 【解析】为了方便将编号为1，2，3，4的四个座位依次记为，则编号为1的人落座的情况有3种，即．编号为1的人落座时，按照1，2，3，4的顺序有，，，共3种；编号为1的人落座时，按照1，2，3，4的顺序有，，，共3种；编号为1的人落座时，按照1，2，3，4的顺序有，，，共3种．综上共有种情况. 8.某楼梯共有个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者个台阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答） 【答案】 【解析】设小明上个台阶有种方法，考虑最后一步：若最后一步小明上个台阶，则前个台阶有种方法且；若最后一步小明上个台阶，则前个台阶有种方法且.由加法原理得，易知，可得，所以小明不同的上楼方法共有种. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $