专题02 分步乘法计数原理4大重点题型（专项训练）数学人教A版选择性必修第三册

专题02 分步乘法计数原理5大重点题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、简单直接分步计数题 1 题型二、限制性分步计算（常考点） 2 题型三、多事件独立分步 2 题型四、涂色问题（常考点） 3 题型五、其他问题 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、简单直接分步计数题 1.要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【解析】依题意，在左边并联的两个开关中任取1个合上，再在右边并联的三个开关中任取1个合上，电路正常工作，所以不同方法种数为2×3=6. 2.口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，只有一个红球的取法种数是（    ） A．20 B．26 C．32 D．36 【答案】A 【解析】依题意，取出1个红球有4种方法，取出1个白球有5种方法，所以取出2个球中只有一个红球的取法种数是. 3.5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，则不同的选择方法有 种. 【答案】243 【解析】由题意可知5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，共有种不同方法. 题型二、限制性分步计算（常考点） 4.书架上有6本不同的书，再往书架放另外3本不同的书，要求不改变原来书架上6本书的左右顺序，则不同的放法有（   ）种. A．504 B．84 C．1008 D．168 【答案】A 【解析】将新买的本书逐一放进去，对第一本书，本书形成个空当，在个空当里面选一个有种选法；对第二本书，本书形成个空当，在个空当里面选一个有种选法；最后一本书，本书形成个空当，在个空当里面选一个有种选法；由分步乘法计数原理可得，共有(种). 5.安排4位顾客去三家餐馆就餐，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆，则不同的安排方案共有 种． 【答案】27 【解析】由题意可知，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆，则剩下3位顾客每人就餐餐馆有3种安排方案，故不同的安排方案共有种. 6.在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 . 【答案】 【解析】由题意，可分4步进行选取：第一步，先在第一列中4个格子中选一个格子，有4种选法；第二步，在第二列中3个格子（与第一步所选的格子不同行）中选一个格子，有3种选法；第三步，在第三列中2个格子（与前两步所选的格子不同行）中选一个格子，有2种选法；第四步，在第4列中只有一个格子可选，有1种选法.所以一共有种选法.经观察，选中方格的4个数之和的要最大，只能是4个数都是4，所以4个数之和的最大值为. 7.如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有 种． 【答案】 【解析】参观路线分步完成：第一步，选择三个“环形”路线中的一个流览，有3种选法；而在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针2类方法完成；第二步，选择余下的两个“环形”路线中的一个游览，有2种方法，同理，在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针两类方法完成；第三步，游览最后一个“环形”路线，也可以按顺时针或按逆时针两类方法完成，根据分步乘法计数原理可知不同的参观路线共有种. 8.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如212，324等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是 ，其中能被3整除的“凹数”的个数是 . 【答案】 30 10 【解析】依题意，十位数字是1的“凹数”个数为；十位数字是2的“凹数”个数为；十位数字是3的“凹数”个数为；十位数字是4的“凹数”个数为1，所以所求“凹数”的个数是；1，2，3，4，5除以3的余数依次为1，2，0，1，2，因此能被3整除的“凹数”含有数字3时，另两个数字除以3的余数不同，其中十位数字是1，另两个数字分别为2，3和3，5；十位数字是2，另两个数字为3，4；十位数字是3，另两个数字分别为4，5；共有个；不含数字3时，三个数字除以3的余数相同，十位数字是1，另两个数字分别为4，4；十位数字是2，另两个数字为5，5，共2个，所以能被3整除的“凹数”的个数是10个. 题型三、多事件独立分步 9.品牌电商服务商是指专门为品牌方提供电子商务服务的商家，其中包括运营、营销、仓储物流、客户服务等内容.某品牌方准备与甲、乙、丙3家服务商进行合作，为此对这3家服务商的运营、营销、仓储物流、客户服务4个项目进行考察，并根据考察结果对每项内容按照从优到劣分为A，B，C三个等级，则甲服务商的4项内容等级均高于乙和丙服务商的所有可能情况的种数为（   ） A．24 B．120 C．256 D．625 【答案】D 【解析】若甲服务等级为A，则乙和丙可以B，C等级，共有种；若甲服务等级为B，则乙和丙只能C等级，此时有1种情况，所以每个项目甲高于乙和丙服务商的情况有5种，所以甲服务商的4项内容等级均高于乙和丙服务商的所有可能情况的种数为. 10.某电商推出了A，B，C，D四种红包，活动规定每人可以依次点击5次，每次都会获得四种红包的一种，若集齐四种才能获奖，且每次红包出示的顺序不同对应的奖次也不同.甲按规定依次点击了5次，直到第5次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为 . 【答案】144 【解析】由题意可得直到第5次才获奖，说明前4次点击中恰有其余三种不同类型，采用分步计算，第五次共有4种选择，前四次共有种，减去缺少一种的类型有种；再加上缺少两种的类型共有，由容斥原理可得前4次点击中恰有其余三种不同类型共有种，由分步乘法原理可得种. 11.已知有4名工人分别在4个不同的岗位，现根据需要进行轮岗调整，则至少有3名工人岗位变动的轮岗方式种数有 . 【答案】17 【解析】分两类：当恰有3名工人岗位变动时，则先从4名工人中选出1名保持岗位不变，剩余3名工人进行错位排列有种；当4名工人岗位全部变动时，则不妨记4名工人分别为，对应的岗位分别为，工人有3种岗位选择，若工人选择岗位时，则工人选择对应的岗位为、或共3种轮岗方式，同理工人选择岗位时有3种轮岗方式，工人选择岗位时有3种轮岗方式，所以4名工人进行错位排列有种；综上，共有种轮岗方式. 12.小明在注册账号时想到一个问题. 他将这个问题简化如下：可以使用字符来组成五位密码，要求必须包含数字、小写字母和大写字母，且不可以出现两个相同的字符相邻. 例如密码可以设置为或，但不能设置为或，则可以设置不同的密码的个数为 . 【答案】 【解析】我们先只考虑相邻字符不同的密码，共有种. 这里面不满足要求的有两类：第一类是仅包含单一字符类型（如全数字），这类共有种；第二类是仅包含两种字符类型（如数字和小写字母），共有个不同的字符可选，只满足相邻不同的密码有种，其中单一字符类型的有种，故第二类共有种. 所以不同密码的总个数为. 题型四、涂色问题（常考点） 13.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为，，，的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为，，的小正方形涂相同的颜色，则共有（    ）种涂法， A． B． C． D． 【答案】D 【解析】把区域分成三部分，第一部分为，，，有种涂法.第二部分为，，.当，同色时，，各有2种涂法；当，异色时，有种涂法，，均只有种涂法.故第二部分共有种涂法.第三部分为，，，与第二部分一样，共有种涂法.因此根据分步乘法计数原理，共有种涂法. 14.如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法. 【答案】 【解析】先给I地区涂色有6种，再给Ⅱ地区涂色有5种，给Ⅲ地区涂色有4种，给Ⅳ地区涂色有4种，所以由分步乘法计数原理得：种. 15.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种． 【答案】630 【解析】根据题意，只需确定区域1，2，3，4的颜色，即可确定整个伞面的涂色情况．先涂区域1，有6种选择，再涂区域2，有5种选择，当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有4种选择，剩下的区域4有4种选择；当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有5种选择．故不同的涂色方案有（种）． 题型五、其他问题 16.某学校准备派遣5名教师同时到三个不同的学校进行支教活动.要求每个学校至少派遣1名教师，若教师甲乙去往不同的学校，则不同的派遣方案有（    ）种. A．36 B．72 C．114 D．162 【答案】C 【解析】安排甲有3种方法，再安排乙有2种方法，因此安排甲乙共有种方法；余下3人，每人有3种安排方法，共有种方法，除甲乙去的学校外的学校无人去的情况有种，所以不同的派遣方案有（种）. 17.展开后，共有项数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】展开后每一项都必须在以及两式中任取一项相乘，故有项． 18.已知直线方程，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则可表示 条不同的直线． 【答案】22 【解析】当时，可表示1条直线；当时，可表示1条直线；当时，A有5种选法，B有4种选法，可表示条不同的直线．由分类加法计数原理，知共可表示条不同的直线． 19.现有3名医生，5名护士，2名麻醉师.从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 解：第一步，选出1名医生有3种选派方法； 第二步，选1名护士有5种选派方法； 第三步，选1名麻醉师有2种选派方法. 由分步计数可知，总的选派方法有种. 1.有一个信号装置，从左到右依次有4个信号显示窗，每个显示窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则该装置所能发出的不同信号种数为（   ） A．12 B．64 C．81 D．256 【答案】C 【解析】由题意可得每个信号灯有三种情况，各自独立，故该装置所能发出的不同信号种数为种. 2.从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（    ） A．4个 B．9个 C．12个 D．16个 【答案】B 【解析】根据题意可知，若复数表示虚数，则；第一步，从中任取一个数作为，共有3种选法；第二步，再从剩余的三个数任取一个作为，共有3中选法，因此共有种. 3.已知直线的斜率为正，且a，b，，则符合上述条件的不同的直线条数为（    ） A．40 B．20 C．17 D．15 【答案】C 【解析】因为直线的斜率为正，则，当a>0，b<0时，的取值有2种取法，的取值有2种取法，的取值有5种取法，共有种取法，其中和和和表示同一条直线，故符合条件的直线共有条．当a<0，b>0时，此时所得直线与a>0，b<0时所得直线相同． 4.用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】区域①有n种，区域②有种，区域③有种，区域④有种， 舍去，得(负数解舍去). 5.从4个汉字、10个数字、3种颜色中选元素组成3个标识，每个标识含1个汉字、1个数字、1种颜色，且同一组内汉字、数字、颜色均不重复.最多可设计不同标识组的数量为（    ） A．2400 B．3200 C．4320 D．5760 【答案】D 【解析】由题设，3种颜色（假设为红黄蓝）分别填入3条标识的颜色栏，如下表， 颜色 汉字 数字 红 * * 黄 * * 蓝 * * 再将4个汉字、10个数字安排到上表的3条标识中，且各条标识间的汉字、数字不重复，所以，依次填入3条标识汉字栏、数字栏，有种，所以一共可以构成个标识，而每3个标识构成一个标识组，所以不同标识组最多有个. 6.比2000小且没有重复数字的四位偶数有 个．（用数字表示） 【答案】280 【解析】当千位数字为1时，个位数字可以为0，2，4，6，8，有5种选择，百位数字从剩下8个数字中选择，十位数字从剩下7个数字中选择，共有个． 7.如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】6 【解析】先给点涂色，因为有红、黄、蓝3种颜色可供选择，所以点有3种涂色方法；再给点、涂色，若颜色相同，则需与点不同，有种，则点、只有1种；若颜色不同，则点、无法保证同一条棱的两个顶点不同色，则共有种. 8.若正整数（b，c都是整数），则称b和c为a的因数，的不同正因数的个数为 . 【答案】210 【解析】正整数的正因数形如，其中，因此依次确定的值即得一个确定的正因数，确定分别有5种、6种、7种方法，由分步乘法计数原理得不同正因数个数为. 9.一个3×3的正方形花坛被划分为9个1×1小方格（如图），计划种植4种花卉（玫瑰、月季、百合、郁金香）每个小方格种1种花卉.要求：花坛中任意2×2的小区域内，4种花卉必须全部种植且不重复，则不同的种植方案共有 种. 【答案】72 【解析】如图对正方形每个方格编号： 不妨记玫瑰、月季、百合、郁金香分别为：，第一步在方格中种植4种不同花卉，有种方法；第二步：不妨取一种种植情况如图： A B 3 D C 6 7 8 9 （1）当方格种植花卉时，则方格种植D花卉，方格只能种植B花卉， 方格种植A花卉， 方格种植D花卉，只有种方法； （2）当方格不种植花卉时，则方格中种植花卉，方格种植A花卉， ①当方格种植花卉时，则方格种植B花卉，方格种植花卉，只有种方法； ②当方格种植B花卉时，则方格中只能种植花卉，方格种植B花卉，只有种方法； 因此根据分类加法计数原理和分步计数原理可知，共有种方法. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分步乘法计数原理5大重点题型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、简单直接分步计数题 1 题型二、限制性分步计算（常考点） 2 题型三、多事件独立分步 2 题型四、涂色问题（常考点） 3 题型五、其他问题 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、简单直接分步计数题 1.要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 2.口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，只有一个红球的取法种数是（    ） A．20 B．26 C．32 D．36 3.5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，则不同的选择方法有 种. 题型二、限制性分步计算（常考点） 4.书架上有6本不同的书，再往书架放另外3本不同的书，要求不改变原来书架上6本书的左右顺序，则不同的放法有（   ）种. A．504 B．84 C．1008 D．168 5.安排4位顾客去三家餐馆就餐，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆，则不同的安排方案共有 种． 6.在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 . 7.如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有 种． 8.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如212，324等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是 ，其中能被3整除的“凹数”的个数是 . 题型三、多事件独立分步 9.品牌电商服务商是指专门为品牌方提供电子商务服务的商家，其中包括运营、营销、仓储物流、客户服务等内容.某品牌方准备与甲、乙、丙3家服务商进行合作，为此对这3家服务商的运营、营销、仓储物流、客户服务4个项目进行考察，并根据考察结果对每项内容按照从优到劣分为A，B，C三个等级，则甲服务商的4项内容等级均高于乙和丙服务商的所有可能情况的种数为（   ） A．24 B．120 C．256 D．625 10.某电商推出了A，B，C，D四种红包，活动规定每人可以依次点击5次，每次都会获得四种红包的一种，若集齐四种才能获奖，且每次红包出示的顺序不同对应的奖次也不同.甲按规定依次点击了5次，直到第5次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为 . 11.已知有4名工人分别在4个不同的岗位，现根据需要进行轮岗调整，则至少有3名工人岗位变动的轮岗方式种数有 . 12.小明在注册账号时想到一个问题. 他将这个问题简化如下：可以使用字符来组成五位密码，要求必须包含数字、小写字母和大写字母，且不可以出现两个相同的字符相邻. 例如密码可以设置为或，但不能设置为或，则可以设置不同的密码的个数为 . 题型四、涂色问题（常考点） 13.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为，，，的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为，，的小正方形涂相同的颜色，则共有（    ）种涂法， A． B． C． D． 14.如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法. 15.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种． 题型五、其他问题 16.某学校准备派遣5名教师同时到三个不同的学校进行支教活动.要求每个学校至少派遣1名教师，若教师甲乙去往不同的学校，则不同的派遣方案有（    ）种. A．36 B．72 C．114 D．162 17.展开后，共有项数为（   ） A． B． C． D． 18.已知直线方程，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则可表示 条不同的直线． 19.现有3名医生，5名护士，2名麻醉师.从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 1.有一个信号装置，从左到右依次有4个信号显示窗，每个显示窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则该装置所能发出的不同信号种数为（   ） A．12 B．64 C．81 D．256 2.从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（    ） A．4个 B．9个 C．12个 D．16个 3.已知直线的斜率为正，且a，b，，则符合上述条件的不同的直线条数为（    ） A．40 B．20 C．17 D．15 4.用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5.从4个汉字、10个数字、3种颜色中选元素组成3个标识，每个标识含1个汉字、1个数字、1种颜色，且同一组内汉字、数字、颜色均不重复.最多可设计不同标识组的数量为（    ） A．2400 B．3200 C．4320 D．5760 6.比2000小且没有重复数字的四位偶数有 个．（用数字表示） 7.如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有 种. 8.若正整数（b，c都是整数），则称b和c为a的因数，的不同正因数的个数为 . 9.一个3×3的正方形花坛被划分为9个1×1小方格（如图），计划种植4种花卉（玫瑰、月季、百合、郁金香）每个小方格种1种花卉.要求：花坛中任意2×2的小区域内，4种花卉必须全部种植且不重复，则不同的种植方案共有 种. 学科网（北京）股份有限公司 $