4.3等比数列的性质及应用教学设计 -2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦等比数列的单调性、子数列、下标和等核心性质及应用，通过知识回顾等比数列定义、等比中项及判定方法搭建学习支架，衔接基础概念与性质深化，引导学生从已知探究未知。 其特色在于采用自主探究与小组合作结合的方式，引导学生通过阅读课本、讨论问题培养数学眼光，教师结合表格讲解单调性、设计基础与综合例题（如例2结合等比与等差数列求通项及前n项和）发展数学思维与语言表达，助力学生提升综合解题能力，为教师提供清晰教学路径。

等比数列的性质及应用教学设计 一、基本信息 课程名称：等比数列的性质及应用 教材版本：高中数学人教A版选择性必修第二册 章节：第四章数列4.3.1等比数列的概念 授课对象：高中二年级学生 课时安排：1课时（45分钟） 授课类型：新授课+习题课 二、教学目标 1、掌握等比数列的单调性、子数列、下标和等核心性质。 2、能熟练运用等比数列的性质解决求值、证明、求通项公式及前n项和等问题。 3、理解等比数列与等差数列的综合应用思路，提升综合解题能力。 三、教学重难点 （一）教学重点 （1）等比数列的核心性质（单调性、下标和性质、子数列性质）。 （2）等比数列性质的实际应用及与等差数列的综合运算。 （二）教学难点 （1）等比数列“下标和”性质的灵活运用。 （2）等比数列与等差数列综合问题的解题思路构建。 （3）等比数列单调性的判定条件理解。 四、教学方法 教法：启发式教学法、讲授法、小组合作探究法。 学法：自主阅读法、练习巩固法、归纳总结法。 五、教学准备 教具：多媒体课件（PPT）、课本相关内容。 学具：课本、笔记本、练习本。 六、教学过程 （一）知识回顾 1．教师提问： 什么是等比数列？请用符号语言表示。（从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个不为0的常数q，即 什么是等比中项？ 证明一个数列是等比数列的方法有哪些？（定义法、中项公式法） 2．导入过渡：我们已经掌握了等比数列的基本概念和判定方法，今天我们将深入探究等比数列的重要性质，并学习如何运用这些性质解决实际问题。 （二）自主探究 1．自主阅读：让学生阅读课本31－33页，思考课件中提出的两个问题： 问题1：等比数列＂子数列＂的性质（如是否成等比数列？是否为等比数列？） 问题2：等比数列＂下标和＂的性质（若，则；若，则 2．小组讨论：学生以4人小组为单位，交流自主阅读的收获和疑问，尝试解决课本P31练习5和P34练习2的部分问题。 3．教师巡视：观察各小组讨论情况，对学生的疑问进行初步引导，收集共性问题。 （三）教师点拨 1．等比数列的单调性（结合表格讲解）： 公比 首项 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 递减数列 递增数列 常数列 摆动数列 2．等比数列的子数列性质： 若 是等比数列，则其任意等距的子数列（如 ）仍为等比数列，公比为 。 当 时， 是等比数列（即等比数列中，中间项是前后等距两项的等比中项）。 3．等比数列的下标和性质： 若 ，且 ，则 。 推论：若 ，且 ，则 （即是与的等比中项）。 注意：等比数列中，奇数项（或偶数项）的符号相同。 4．两个等比数列的运算性质： 若是等比数列，则 也是等比数列。 （四）例题精讲 1．基础题型（下标和性质应用）： 例 1： （1）在等比数列 中，若，则的值？ （2）在等比数列中，若，则的值？ 解析：利用时， （1）中，故； （2）中，故。 变式训练1： （1）在等比数列中，，则的值？ （2）在等比数列中，是方程的两根，则的值？ （答案：（1）±9；（2）－2） 2．综合题型（性质与通项、前n项和结合）： 例2：已知是各项均为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和，并求的最大值。 解析： （1）设公比为q，由，代入， 解得（舍去，因各项为正），故； (2),是等差数列，，当或5时，最大为30. 变式训练2：已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列。（1）求的通项公式； （2）求. （答案：（1）；（2）） 3．拓展题型（单调性与求值结合） 例3：已知等比数列是递增数列，若，求公比q. 解析：由题意得，两式相除得，化简得，解得或，因数列递增且，故。 变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若，求. （答案：或） （五）课堂小结 1．教师引导学生回顾本节课重点： (1)等比数列的三大核心性质（单调性、子数列、下标和）。 (2)性质应用的关键：抓住下标关系、符号规律。 (3)等差与等比数列综合问题的解题思路：分别运用各自性质，建立联系求解。 2．强调易错点： (1)忽略的条件。 (2)下标和性质中＂m , n , p , q为正整数＂的前提。 (3)单调性判断时需同时考虑首项和公比的符号。 （六）课后作业，巩固提升 1．基础作业：完成课后训练P13习题。 学科网（北京）股份有限公司 $