4.2.2等差数列的前n项和公式讲义（二）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦等差数列前n项和性质及应用核心知识点，在已学前n项和公式基础上，通过自学探究性质推导，再经练习巩固应用，构建“公式—推导—应用”学习支架，具体涵盖{Sₙ/n}的等差性、分段和的等差关系、跨数列前n项和与通项比、项数奇偶性相关性质等内容。 资料以“自学探究—练习应用—系统总结”为主线，自学环节引导学生用数学的眼光发现性质（如证明{Sₙ/n}是等差数列），练习中例2用性质快速解题、变式探究设前n项和表达式求通项比，培养数学思维（整体思想、函数与方程思想），解疑与评议用数学语言梳理性质及方法。课中助力教师引导自主推导与应用，课后学生可借性质总结与练习解析查漏补缺，强化知识理解与方法掌握。

等差数列的前n项和公式（二） 一、立标 1．理解等差数列的通项公式与前n项和公式Sn的关系． 2．用等差数列前n项和公式去探索等差数列前n项和的性质，并会灵活运用． 二、自学 若数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，则 （1）数列是等差数列吗？若是，公差为？（用等差数列的定义证明） （2）若Sn，S2n，S3n(m∈N*)分别为等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项的和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n....也为等差数列数列吗？若是，公差为多少？ 用等差数列的前n项和公式及等差数列的下标和性质推到以下性质 （3）设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn(n∈N*)，则＝. （4）若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. （5）若等差数列的项数为2n＋1(n∈N*)，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. 三、练习 [例2] (1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为 (　　) A．130 B．170 C．210 D．260 (2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于 (　　) A． B． C． D． (1)C　(2)A　解析：(1)利用等差数列前n项和的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，可得S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即30＋(S9－100)＝2×(100－30)，解得S9＝210. (2)＝＝＝＝＝. [变式探究] 本例(2)条件改为＝，求的值． 解：根据题意，因为数列{an}，{bn}都是等差数列，显然两个数列都不是常数列， 所以＝＝. 因为等差数列前n项和公式为Sn＝n2＋(a1－)n(d≠0)， 所以不妨令Sn＝2kn2，Tn＝3kn2＋kn(k为常数，且k≠0)， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(4n－2)，bn＝Tn－Tn－1＝k(6n－2). 所以a5＝18k，b4＝22k，所以＝. 所以＝＝＝. 还有其它方法求吗？ [练3] (2024·张家口高二开学考试)已知等差数列{an}，a1＝－4 048，其前n项和为Sn，若－＝4，则S2 025＝ (　　) A．0 B．2 0242 C．2 025 D．2 0252 A　解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以数列{}也是等差数列． 设数列{}的公差为d，则－＝4＝2d，所以d＝2， 故＝＋2 024d＝－4 048＋2 024×2＝0，则S2 025＝0. [练4] 等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________． 答案：10　解析：因为等差数列共有2n＋1项， 所以S奇－S偶＝an＋1＝， 即132－120＝，解得n＝10. 四、解疑 等差数列前n项和的有关性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，则数列也是等差数列，且公差为. (2)若Sm，S2m，S3m(m∈N*)分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn(n∈N*)，则＝. (4)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. (5)若等差数列的项数为2n＋1(n∈N*)，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. 五、评议 1．知识清单 (1)等差数列前n项和性质及应用． 2．方法归纳：函数与方程思想、整体思想． 3．常见误区：对数列前n项和其性质记忆不准确致错. 学科网（北京）股份有限公司 $