专题04有理数的乘除运算期末冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学讲义通过表格化梳理和层级化框架构建有理数乘除运算知识体系，涵盖乘法法则、倒数概念、除法法则等核心知识点，用对比表格呈现法则异同，结合易错点警示归纳符号错误等常见问题，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于12类常考题型设计，如有理数乘法实际应用（铜丝长度问题）、数轴翻折变换等，融入运算能力、几何直观等核心素养。每个题型配典例与跟踪专练，基础题夯实技能，压轴题提升推理意识，助力不同层次学生进阶，为教师精准教学提供有力支持。

专题04有理数的乘除运算期末冲刺必备讲义 1.掌握有理数的乘法、除法法则，能熟练进行有理数乘除运算。 2.理解倒数的概念，会求一个数的倒数。 3.能运用乘除混合运算的顺序和运算律简化计算。 4.能解决有理数乘除相关的实际应用问题。 期末必备 知识点梳理 1.有理数的乘法法则 2.倒数的概念 3.有理数的除法法则 4.有理数的乘除混合运算 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.有理数的两数乘除运算 2.多个有理数的连乘运算 3.有理数乘法的实际问题应用 4.倒数的概念与性质 5.有理数乘法的运算律 6.有理数的除法运算法则与计算 7.有理数乘除混合运算方法 8.有理数四则混合运算规则 9.有理数四则混合运算的实际问题应用 10.利用数轴上点的位置判断式子的正负 11.数轴上点的翻折变换 12.有理数除法的实际问题应用 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.有理数的乘法法则】 1.两数相乘 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0 示例：2×3=6；(−2)×(−3)=6；(−2)×3=−6；0×(−5)=0 2.多个有理数相乘 *几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负；再把各数的绝对值相乘。 示例：(−1)×(−2)×(−3)=−6（3 个负因数，奇数个）； (−1)×(−2)×3=6（2 个负因数，偶数个） *几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0。示例：(−2)×0×5=0 【知识点02.倒数】 乘积是1的两个数互为倒数。 *正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数。 *求分数的倒数：交换分子、分母的位置；求整数的倒数：以这个整数为分母，分子为 1。 示例：的倒数是；−5的倒数是−；1的倒数是1；−1的倒数是−1 【知识点03.有理数的除法法则】 法则 1：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 公式：a÷b=a×(b≠0) 示例：(−6)÷2=(−6)×=−3 法则 2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 示例：12÷(−4)=−3；(−15)÷(−3)=5；0÷(−8)=0 【知识点04.有理数的乘除混合运算】 1.运算顺序：从左到右依次计算；有括号的先算括号里面的。 2.简便运算：将除法转化为乘法后，可利用乘法交换律、结合律简化计算。 *乘法交换律：a×b=b×a *乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 示例：(−8)÷(−2)×(−)=4×(−)=−1 【知识点05.易错点警示】 1.符号错误：多个有理数相乘时，易漏数负因数的个数；乘除混合运算时，忽视符号的判断。 易错示例：(−2)×(−3)×(−4)=24（错误，正确结果为 - 24） 2.倒数概念混淆：误认为 0 有倒数，或求小数、带分数倒数时未先转化为分数。易错示例：求−2.5的倒数时，直接写成−（错误，应先转化为−，倒数为−） 3.运算顺序错误：乘除混合运算时，未按从左到右顺序，盲目先算乘法。 易错示例：18÷3×=18÷1=18（错误，正确结果为2） 【题型1.有理数的两数乘除运算】 【典例】如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，且原点为，根据图中各点位置，则下列选项不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质，不等式的性质等知识．关键是利用好数轴来判断两个数的大小． 根据，，的大小，进行判断即可． 【详解】解：根据数轴得，，，，， A、，所以，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意． D、，所以，所以，故本选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】已知，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的乘法法则，有理数的混合运算等知识．根据得到，根据，得到或．分别代入即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以或． 当时，； 当时，． 故答案为：3或 【跟踪专练2】已知、、三个数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，观察数轴可知：，，再根据有理数的加减乘除法则判断各个选项的正误即可．解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则及有理数的大小比较． 【详解】解：观察数轴可知：，， ∴，，，，， ∴， ∴A，B，C选项的结论错误，D选项的结论正确． 故选：D． 【题型2.多个有理数的连乘运算】 【典例】比大而比小的所有整数的积为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的大小比较，以及多个有理数的乘法法则． 找出比大而比小的所有整数，并计算它们的乘积即可． 【详解】解：，， ∵， ∴比大而比小的所有整数为，，，，，． ∴这些整数的积为． 故答案为0． 【跟踪专练1】已知a、b、c三个数在数轴上对应的点如图所示，且，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的运算法则，能根据数轴得出正确的结论是解此题的关键． 根据数轴得出，，再逐个判断即可． 【详解】解：从数轴可知：，， A．，正确，本选项不符合题意； B．，正确，本选项不符合题意； C．，正确，故本选项不符合题意； D．，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】把表示成三个互不相等的整数的积，其中有两个整数是互为相反数： （写出符合条件的一个式子）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的乘法，相反数，分解质因数，分类讨论． 设两个互为相反数的整数为和，第三个整数为，则乘积，化简得．寻找整数和满足条件，且三个整数互不相等． 【详解】由，且、为整数，．为平方数，且是12的因数，可能取值为1、4、9（12不是平方数，舍去）． 当时，或，，三个整数为、、，互不相等，乘积为． 当时，或，，三个整数为、、，互不相等，乘积为． 当时，，不是整数，舍去． 故答案为（或）． 【题型3.有理数乘法的实际问题应用】 【典例】一根长的铜丝，先剪去铜丝的，再剪去剩下铜丝的，则两次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数减法，乘法的实际应用，先计算第一次剪去后剩余的长度，再计算第二次剪去的长度，最后求第二次剪后剩余的长度即可． 【详解】解：∵铜丝的初始长度为，第一次剪去铜丝的， ∴剩余长度为， 第二次剪去剩余铜丝的，即剪去， ∴最终剩余长度为． 故选：D． 【跟踪专练1】甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲每小时行80千米，乙每小时行75千米，甲到达B地时，乙离B地还有15千米．A、B两地相距 千米． 【答案】240 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算的应用，先计算出甲到达B地所用的时间，再根据时间乘以速度等于路程即可得出答案． 【详解】解：（小时）， （千米）， 答：A、B两地相距240千米． 故答案为：240 【跟踪专练2】如图，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁，凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室．李明同学要参加兴趣活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室，他输入的密码是（　　） A．722427 B．729624 C．722724 D．722496 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法的应用，解题的关键是总结出数字规律．根据示例总结出密码规律，然后求解即可． 【详解】解：； ； ， 密码共有6位， 前两位为：， 中间两位为：， 后两位为：， 密码为722427， 故选：A． 【题型4.倒数的概念与性质】 【典例】已知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相反数及倒数的定义，根据相反数的定义求出 b，再根据倒数的定义求出a即可． 【详解】解：∵ b与c互为相反数，且， ∴， ∵ a与b互为倒数， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列说法：①一个数同相乘得这个数的相反数；②若，则a，b都为0；③若，则a，b同号；④倒数等于本身的数有1，，0．其中正确的有（ ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法和倒数的性质．说法①正确，因为任何数乘以得其相反数；说法②错误，时或至少一个为，但不一定都为；说法③正确，则，同号；说法④错误，没有倒数，倒数等于本身的数只有和． 【详解】解：一个数乘以得该数的相反数，①正确； 时，或，但不一定同时为，②错误； 时，和同号，③正确； 没有倒数，倒数等于本身的数只有和，④错误． 正确的有①和③，共个． 故选：B． 【跟踪专练2】已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值是5，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，有理数的加减混合运算． 根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义求出，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵和互为相反数，和互为倒数，的绝对值是5， ∴，，， ∴或． 故答案为：或． 【题型5.有理数乘法的运算律】 【典例】张丽用计算器计算“”时，发现数字键“9”坏了，按照下列算式输入不能得到正确结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法运算律（结合律、分配律）的灵活应用，熟练掌握运算律对算式进行等价变形是解题的关键． 将原式通过运算律（乘法结合律、分配律）变形，避开数字“9”，逐一验证选项是否与原式等价． 【详解】解：原式：， 选项A：， ； 选项B：， ； 选项C：， ； 选项D：，， ； 故选：B． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算和乘法分配律的应用，解题的关键是准确识别并运用乘法分配律对式子进行变形． 根据乘法分配律直接计算即可． 【详解】解： ； 故选：A． 【题型6.有理数的除法运算法则】 【典例】老师让大家写出三个互不相等的有理数，小聪写出的是1，，a，小明写出的是0，，b，老师说两人写的数字完全一样．则字母a表示的有理数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的有关运算，由小明的数中有0，可得小聪的数中必有0．又由分数有意义，可得分母．因此只能是，即．由于小聪的数中有1，可得小明的数中必有1．因此或．再求解即可． 【详解】解：由题意，小聪写的三个数是1，，a，小明写的三个数是0，，b，且两组数完全相同． 因为小明的数中有0， 所以小聪的数中必有0． 又因为分数有意义， 所以分母． 因此只能是，即． 因为小聪的数中有1， 所以小明的数中必有1． 因此或． 若，将代入得，即，此式不成立，故舍去． 所以只能是． 将代入得，解得． 检验：当时，小聪的数为，小明的数为，两组数相同且互不相等，符合题意． 故． 故答案为：． 【跟踪专练1】数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是（   ） A．3或4 B．或 C．或4 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数，结合点C到点A和到原点距离相等，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ 点B到原点的距离为1， ∴ 点B表示的数为1或， ∵ 点A向右移动7个单位到达点B， ∴ 点A表示的数为或， ∵ 点C到点A和到原点的距离相等， ∴ 点C表示的数为 或， 点表示的数是或， 故选：． 【跟踪专练2】若定义表示两数中取较小的一个，表示两数中取较大的一个，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了新定义，有理数的大小比较及除法运算，理解新定义是关键；根据定义，先计算内部括号中的最大值或最小值，逐步化简表达式． 【详解】解： （因为 ） （因为 ） （因为 ） （因为 ） ； 故答案为：1． 【题型7.有理数乘除混合运算方法】 【典例】下面算式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了有理数的混合运算，通过直接计算每个选项的表达式，判断其正确性． 【详解】解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故正确． D、，故错误； 故选：C． 【跟踪专练1】.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除运算，熟练掌握运算顺序和运算原则是解题的关键． 先将小数化为分数，带分数化为假分数，再根据有理数乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘除的应用． 根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴a，b，c中最小的数是b． 故选：B． 【题型8.有理数四则混合运算规则】 【典例】若，求代数式 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的四则混合运算，根据题意可得，据此化简绝对值，再根据有理数的四则混合运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 【跟踪专练1】对有理数a，b定义一种新的运算“*”：．例如，则的值是（        ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，根据题目中给出的定义，列式进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】已知，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的混合运算，根据绝对值的意义，以及，求出的值，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：或． 【题型9.有理数四则混合运算的实际问题应用】 【典例】王女士在王府井大街一商场看中了两件不同的衣服，希望店家都以每件120元的价格卖给她．店家发现如果这样销售，一件盈利，另一件亏损．请你用学过的知识判断一下如果店家按王女士的意愿卖这两件衣服总的情况是（   ） A．亏损10元 B．盈利8元 C．盈利10元 D．不盈不亏 【答案】A 【分析】本题考查销售问题，根据题意求出两件衣服的进价，再利用总售价减去总进价，进行判断即可． 【详解】解：由题意，两件衣服的进价分别为（元），（元）， （元）； 故亏损10元． 故选A． 【跟踪专练1】小彤从学校乘出租车回家，起步价（不超过千米）为元，之后每多千米增加元，小彤共付了元，问小彤学校到他家最多有 千米． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用．先计算超过起步价的费用部分，再除以每千米增加的费用得到超过的距离，最后加上起步价包含的4千米即可． 【详解】解：超过起步价的费用为：（元）． 每多千米增加元，因此超过的距离为：（千米）， 总距离为：（千米）． 故小彤学校到他家最多有千米． 故答案为：． 【跟踪专练2】一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动；设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中，正确结论的序号是（   ） A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类，以及数轴上的动点问题，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点．按“前进3步后退2步”的程序找出规律，从而可以解答本题．根据运动的规律，借助数轴，得出每次移动后所表示的数呈现的规律进行解答即可． 【详解】解：从原点出发，且每次前进3步后退2步， 每5次一个循环，每个循环前进一个单位， ，故（1）正确； ，故（2）正确； ，， ，， ，故（3）错误； ，， ，， ，故正确； 综上所述，正确的有， 故选： 【题型10.利用数轴上点的位置判断式子的正负】 【典例】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，①；②；③；④，则其中正确的结论有 ． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，根据数轴可得，再根据有理数的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴①②④错误，③正确， 故答案为：③． 【跟踪专练1】若有理数，b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负，由数轴可知，，进而可得出，，，，进而可得出答案． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴，，，， 故选C． 【跟踪专练2】有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论：①，②，③，④其中正确的是 填序号 【答案】①④/④① 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置比较式子大小，以及有理数的减法、加法法则，熟练掌握利用数轴比较数的大小是解决问题的关键．由在数轴上的位置可直接判断①②；根据有理数的加法和减法运算法则可判断③④． 【详解】解：由数轴得，，故①正确，②错误； ，，，故③错误； ，故④正确； ①④正确， 故答案为：①④． 【题型11.数轴上点的翻折变换】 【典例】数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，2．现以为折点，将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在数轴上，且点与点之间的距离是2，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．先求出点表示的数，再据此求出点C表示的数即可． 【详解】已知点表示数，点表示数2，以为折点将数轴向右对折，点的对应点为， 则点是与的中点． 因为与之间的距离是2， 所以分两种情况讨论： 此时表示的数为． 设点表示的数为，根据中点坐标公式可得，解得． 当在的右侧时： 此时表示的数为． 同样设点表示的数为，由中点坐标公式可得解得． 综上，点表示的数是或． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为 ． 【答案】或3/3或 【分析】本题考查数轴对折问题，设点A的对应点为，分点在点B左侧与右侧两种情况，先求出点表示的数，再根据中点公式求出点表示的数． 【详解】解：设点A的对应点为，分两种情况： 当点在点B左侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 当点在点B右侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 综上可知，点表示的数为或3， 故答案为：或3． 【跟踪专练2】已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与表示7的点重合．若数轴上两点之间的距离为2025，且两点经以上方法折叠后重合，则点表示的数是（　　） A．或 B．或1013 C．或1012 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数．根据数轴上两点间的距离为这两个数差的绝对值，若表示的点与7表示的点重合，则折痕经过3；若数轴上A、B两点之间的距离为2025，则A、B两个点分别距离中点3都是个单位长度，再分情况进一步得到B点表示的数． 【详解】解：依题意得：两数是关于和7的中点对称， 即关于对称， A、B两点经以上方法折叠后重合，即A、B关于表示3的点对称， ． 当点B在A点左侧，即点B在表示3的点的左边个单位长度， 则点B表示的数为：； 当点B在A点右侧，即点B在表示3的点的右边个单位长度， 则点B表示的数为：． 故选：A． 【题型12.有理数除法的实际问题应用】 【典例】根据试验测定：高度每增加，气温大约降低．某登山队从地面（温度为）出发攀登一座山峰，当队员甲到达某一高度时，测得气温为；队员乙在另一位置测得气温为．则队员甲比队员乙所在位置的高度高 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，有理数除法的应用，根据高度每增加气温降低的规律，分别计算队员甲和队员乙相对于地面的高度，再求高度差即可． 【详解】解：地面温度为，队员甲测得气温为， 气温降低值为，故甲的高度为． 队员乙测得气温为，气温降低值为， 故乙的高度为． 因此，队员甲比队员乙高． 故答案为：1． 【跟踪专练1】下列说法：①与互为相反数；②不相等的两个数绝对值不相等；③若，则；④若，则、互为相反数．其中正确的结论是（    ）． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相反数，绝对值的意义，有理数的大小比较，以及有理数的除法，结合各选项，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①与互为相反数，故①正确； ②不相等的两个数绝对值有可能相等，例如，，故②错误； ③若，则，故③正确； ④若，则、互为相反数，故④正确． 其中正确的结论是①③④， 故选：D． 【跟踪专练2】快车和慢车分别从甲、乙两地相向而行，小时相遇．相遇后，快车继续行驶了小时到达乙地，慢车继续行了千米到达甲地．慢车的速度是 千米/小时． 【答案】 【分析】本解考查了较复杂的行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系，分析题中各数量之间的关系，如此快车行3小时的路程等于慢车行4小时的路程，是解答此题的关键． 快车4小时行240千米，可求出快车的速度为（千米/时)，从相遇点到乙地这段路程，快车只行3小时，而慢车需行4小时，可以求出慢车的速度． 【详解】解：快车的速度为：（千米/时）， 慢车的速度为：（千米/时）． 故答案为：45． 1．比较分数与的大小，结果是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小比较，由于分数的分母和分子都是较大数，通分化为同分母比较困难， 利用，，将它们转化为同分子比较，即可得出结论． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴ ∴ 故选A． 2．有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下面式子：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查了数轴、有理数的大小比较、有理数的乘除法等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据数轴可得：，再根据有理数的乘除法逐个判断即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴，，故①正确，故②错误； ∵， ∴，即，即③正确； ∵， ∴，故④错误； ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 3．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为20尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，算出前五天累计所打的墙厚，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 第一天：大鼠打1尺，小鼠打1尺，累计共尺， 第二天：大鼠打尺，小鼠打尺，累计共尺， 第三天：大鼠打尺，小鼠打尺，累计共尺， 第四天：大鼠打尺，小鼠打尺，累计共尺， 第五天：大打尺，小打尺，累计共尺， ∵墙厚为20尺，， 故在第五天相逢， 故需要5天时间才能打穿， 故选：B． 4．为了更好的促进学生对科学知识的兴趣，七年级(1)班组织了一次科普益智测试活动，测试共有10道选择题，每道题答对得10分，答错或不答扣2分． （1）小明答对了6道题，答错了4道题，则他的总得分为 分； （2）若该班的学生中一定有4人的得分相同，则这个班级的学生至少有 人． 【答案】 52 34 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，熟练掌握有理数运算的意义，是解题的关键． （1）根据“正负分数的和等于总积分”列式求值； （2）根据题意先求出一共有分值种类数，再根据该班的学生中至少有4人的得分相同列式求解即可． 【详解】解：（1）（分）． 故答案为：52． （2）∵最高得分为100分，最低得分为分， ∴一共有分值种类数 ． ∴参加竞赛的学生至少有（人）． 故答案为：34． 5．如图，数轴上O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，数d是的倒数，根据图中各点的位置，下列结论正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值、倒数的定义、有理数的运算，利用数轴比较有理数的大小是解题的关键．由数轴可得，，得到，，，再根据倒数的定义可得，再结合选项逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， 又∵数d是的倒数， ∴， ∴，故A选项结论错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，故B选项结论错误，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，故C选项结论错误，不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，故D选项结论正确，符合题意； 故选：D． 6．如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，点，，对应的数分别是，，．从下列四个条件：①；②；③；④中任取两个进行组合．下面四个选项中，（   ）可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分中的某一个部分． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴上表示有理数，有理数的乘法加法．分别从每一个选项出发，根据有理数的运算进行判断即可． 【详解】解：A、则①；②，可确定，都是正数，但不能确定的符号，该选项不符合题意； B、由③；④，可确定是负数，是正数，但不能确定的符号，该选项不符合题意； C、由①；③，不能确定的符号，该选项不符合题意； D、由，可确定是负数，是正数，由，可确定，都是正数，则原点在Ⅱ这个部分； 故选：D． 7．如图，点，，在数轴上表示的有理数分别是，，，若，，则原点的位置在（   ） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间 D．点与点之间 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法．根据数轴上点A、B、C的位置得出，结合得出，或，再结合可得出原点的位置在线段上． 【详解】解：∵，， ∴，或， ∵， ∴， ∴，， ∴原点的位置点与点之间． 故选：D． 8．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质、数轴上两点间的距离和有理数的运算，正确得出折痕表示的数是关键． 根据折叠的性质可得折痕表示的数是，然后根据数轴上两点间的距离和、两点之间的距离为求解即可． 【详解】折叠纸面上的数轴，数轴上表示的点与8表示的点重合， 折合点在数轴上所对应的数为， 设点A，点B在数轴上所表示的数分别为a，b， 数轴上A、B两点之间的距离为2026， ， 又点A、B两点经以上方法折叠后重合， ， 即， 解得，或，， 故答案为：或 9．正五边形广场的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿逆时针方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后最少经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上． 【答案】104 【分析】本题考查行程问题，由正五边形广场的周长为2000米，可得其边长为400米；甲、乙两人分别从A，C两点同时出发时距离是800米，若甲、乙两人第一次行走在同一条边上时，极有可能此时距离为一条边长400米，此时时间为分．而就在此时，甲、乙分别在中点处，不在同一条边上，需继续前行，则甲至少还需走200米，即4分，此时甲在点D，乙在边上，也就是说出发后经过104分钟，甲乙两人第一次行走在同一条边上． 【详解】解：因为正五边形广场的周长为2000米，则其边长为400米， 甲，乙两人分别从A，C两点同时出发时距离是即800米， 若甲、乙两人第一次行走在同一条边上时，极有可能此时距离为一条边长400米，此时时间为分． 而就在此时，甲、乙分别在中点处，不在同一条边上，需继续前行，则甲至少还需走200米，即4分，此时甲在点D，乙在边上，也就是说出发后经过104分钟，甲乙两人第一次行走在同一条边上． 故答案为：104 10．三个有理数，，，满足，求 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查了绝对值的化简与有理数的符号分析，解题关键是根据分情况讨论a、b、c的正负性，再化简绝对值计算． 由 可知，、、 要么全为正数，要么两负一正，分别计算这两种情况下原式的值即可． 【详解】解：， 、、 全为正数或两负一正． 当 、、 全为正数时， ，，，， 故原式 ． 当 、、 两负一正时（不妨设 ，，）， ，，，， 故原式 ． 综上，原式的值为 或 ． 故答案为0或4． 11．阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算及倒数的性质． （1）根据除法没有分配律来判断解法的正误； （2）先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果． 【详解】（1）解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即， 在解法一中，将错误地运用了分配律，得到，所以解法一错误； 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确． 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ． 所以，原式． 12．探究并解决问题： 对有理数a，b定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”． 按照“乘减法”运算的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)请将下面整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 异号得 ，并 ；绝对值相等的两数相“乘减”，都得 ；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)计算：． (3)有理数加法和乘法都有结合律，结合律在有理数的“乘减”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举一反例即可）． 【答案】(1)正；负；用较大的绝对值减去较小的绝对值；0 (2) (3)不适用，例如：，而，两者不相等 【分析】（1）根据题中的“乘减法”的算式，归纳出其计算得法则即可； （2）根据“乘减法”的运算法则计算即可； （3）举例，，即可判断结果． 【详解】（1）解：根据题意，“乘减法”法则为：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正；负；用较大的绝对值减去较小的绝对值；0． （2）解： ； （3）解：不适用． 例如：，而，两者不相等． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘法，有理数的加法，有理数加法的结合律，有理数乘法的结合律，正确理解新定义运算的法则是解题的关键． 13．翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)① ②， (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数．解决本题的关键是根据数轴上两点表示的数表示出两点之间的距离． (1)根据表示的点与表示的点重合，可知对称点表示的数为，与表示的点关于原点对称的点表示的数是； (2)①根据两个对称点表示的数分别是和，可以求出对称点表示的数是，根据关于对称点对称的两个点到对称点的距离相等，求出表示的点关于对称的点表示的数； ②因为，两点之间的距离为，所以，两点到对称点的距离都是，因为点在对称点的左侧，可知点表示的数是，因为点在对称点的右侧，可知点表示的数是； (2)根据数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，再根据两个对称的点到对称点的距离相等求出的对称点表示的数． 【详解】（1）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 折叠的时候折痕过数轴的原点， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 到对称点的距离是， 与表示的点重合的点表示的数是； 故答案为：； ②解：数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且两点经折叠后重合， ，两点到对称点的距离为， 又对称点所表示的数是， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （3）解：数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，， 对称点为， 当在对称点右侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 当在对称点左侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 综上所述，与数表示的点重合的点为. 14．乘积与位置 数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d． (1)①若点A，B的位置如图1所示，则表示数的点在原点的__________侧（填“左”或“右”）． ②若点在原点左侧，点在原点右侧，点对应整数，点对应整数，若，当取最大值时，的值是__________； (2)若它们的位置如图2所示，则表示数的点在点__________侧（填“左”或“右”），表示数的点与点__________最接近． (3)数轴上点E表示数，它与A，B在数轴上的位置如图3所示，在数轴上画出原点O和表示1的点的位置．（若有不同情况，每种情况应单独画一个图形） 【答案】(1)左， (2)左，B (3)①见解析 ②见解析 【分析】本题考查了数轴上表示的数和有理数乘除法，解题关键是明确数轴上表示的数的符号和乘除法法则； （1）①根据异号得负即可判断在原点左侧；②先确定，然后由，即可确定； （2）先确定a，b，c，d所表示数的符号和表示数的大约值，再判断即可； （3）根据积的位置分类讨论，确定a，b的正负，再确定原点O和表示1的点的位置即可． 【详解】（1）解：①由数轴可得，则， ∴表示数的点在原点的左侧， 故答案为：左； ②∵， ∴， ∵点在原点左侧，点在原点右侧，且均为整数，取最大值时，则， ∴， 故答案为： （2）解：由数轴上的位置可知，，，d在附近，a在附近， 所以，接近1，故接近点B， 故答案为：左，B； （3）解：①时，因为， 所以，， 原点O和表示1的点的位置如图所示， ②时，因为， 所以，， 原点O和表示1的点的位置如图所示， 或 15．如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．（无恶意，逝者安息） 小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日，但他们无法完成． (1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日； 小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则：当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了． 此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？ 小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶... (2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明． 【答案】(1)2月14日可表示为月日； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数四则运算的法则是解题的关键． （1）通过对24和8进行四则运算，找到能分别得到2（对应月份）和14（对应日期）的式子； （2）设出任意两个正整数和任意非负有理数，利用四则运算的规则，推导出非负有理数可用这两个正整数的运算表示． 【详解】（1）解：∵，， ∴2月14日可表示为月日； （2）证明：设任意两个正整数为，，任意非负有理数， ∵， ∴任意非负有理数可以用表示（、为任意正整数）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数的乘除运算期末冲刺必备讲义 1.掌握有理数的乘法、除法法则，能熟练进行有理数乘除运算。 2.理解倒数的概念，会求一个数的倒数。 3.能运用乘除混合运算的顺序和运算律简化计算。 4.能解决有理数乘除相关的实际应用问题。 期末必备 知识点梳理 1.有理数的乘法法则 2.倒数的概念 3.有理数的除法法则 4.有理数的乘除混合运算 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.有理数的两数乘除运算 2.多个有理数的连乘运算 3.有理数乘法的实际问题应用 4.倒数的概念与性质 5.有理数乘法的运算律 6.有理数的除法运算法则与计算 7.有理数乘除混合运算方法 8.有理数四则混合运算规则 9.有理数四则混合运算的实际问题应用 10.利用数轴上点的位置判断式子的正负 11.数轴上点的翻折变换 12.有理数除法的实际问题应用 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.有理数的乘法法则】 1.两数相乘 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0 示例：2×3=6；(−2)×(−3)=6；(−2)×3=−6；0×(−5)=0 2.多个有理数相乘 *几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负；再把各数的绝对值相乘。 示例：(−1)×(−2)×(−3)=−6（3 个负因数，奇数个）； (−1)×(−2)×3=6（2 个负因数，偶数个） *几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0。示例：(−2)×0×5=0 【知识点02.倒数】 乘积是1的两个数互为倒数。 *正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数。 *求分数的倒数：交换分子、分母的位置；求整数的倒数：以这个整数为分母，分子为 1。 示例：的倒数是；−5的倒数是−；1的倒数是1；−1的倒数是−1 【知识点03.有理数的除法法则】 法则 1：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 公式：a÷b=a×(b≠0) 示例：(−6)÷2=(−6)×=−3 法则 2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 示例：12÷(−4)=−3；(−15)÷(−3)=5；0÷(−8)=0 【知识点04.有理数的乘除混合运算】 1.运算顺序：从左到右依次计算；有括号的先算括号里面的。 2.简便运算：将除法转化为乘法后，可利用乘法交换律、结合律简化计算。 *乘法交换律：a×b=b×a *乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 示例：(−8)÷(−2)×(−)=4×(−)=−1 【知识点05.易错点警示】 1.符号错误：多个有理数相乘时，易漏数负因数的个数；乘除混合运算时，忽视符号的判断。 易错示例：(−2)×(−3)×(−4)=24（错误，正确结果为 - 24） 2.倒数概念混淆：误认为 0 有倒数，或求小数、带分数倒数时未先转化为分数。易错示例：求−2.5的倒数时，直接写成−（错误，应先转化为−，倒数为−） 3.运算顺序错误：乘除混合运算时，未按从左到右顺序，盲目先算乘法。 易错示例：18÷3×=18÷1=18（错误，正确结果为2） 【题型1.有理数的两数乘除运算】 【典例】如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，且原点为，根据图中各点位置，则下列选项不正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，则的值为 ． 【跟踪专练2】已知、、三个数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2.多个有理数的连乘运算】 【典例】比大而比小的所有整数的积为 ． 【跟踪专练1】已知a、b、c三个数在数轴上对应的点如图所示，且，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】把表示成三个互不相等的整数的积，其中有两个整数是互为相反数： （写出符合条件的一个式子）． 【题型3.有理数乘法的实际问题应用】 【典例】一根长的铜丝，先剪去铜丝的，再剪去剩下铜丝的，则两次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲每小时行80千米，乙每小时行75千米，甲到达B地时，乙离B地还有15千米．A、B两地相距 千米． 【跟踪专练2】如图，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁，凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室．李明同学要参加兴趣活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室，他输入的密码是（　　） A．722427 B．729624 C．722724 D．722496 【题型4.倒数的概念与性质】 【典例】已知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且，则 ． 【跟踪专练1】下列说法：①一个数同相乘得这个数的相反数；②若，则a，b都为0；③若，则a，b同号；④倒数等于本身的数有1，，0．其中正确的有（ ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值是5，则的值为 ． 【题型5.有理数乘法的运算律】 【典例】张丽用计算器计算“”时，发现数字键“9”坏了，按照下列算式输入不能得到正确结果的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算： ． 【跟踪专练2】在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【题型6.有理数的除法运算法则】 【典例】老师让大家写出三个互不相等的有理数，小聪写出的是1，，a，小明写出的是0，，b，老师说两人写的数字完全一样．则字母a表示的有理数是 ． 【跟踪专练1】数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是（   ） A．3或4 B．或 C．或4 D．3或 【跟踪专练2】若定义表示两数中取较小的一个，表示两数中取较大的一个，则 ． 【题型7.有理数乘除混合运算方法】 【典例】下面算式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【跟踪专练1】.计算： ． 【跟踪专练2】已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【题型8.有理数四则混合运算规则】 【典例】若，求代数式 ． 【跟踪专练1】对有理数a，b定义一种新的运算“*”：．例如，则的值是（        ） A． B．4 C．6 D．8 【跟踪专练2】已知，且，则的值为 ． 【题型9.有理数四则混合运算的实际问题应用】 【典例】王女士在王府井大街一商场看中了两件不同的衣服，希望店家都以每件120元的价格卖给她．店家发现如果这样销售，一件盈利，另一件亏损．请你用学过的知识判断一下如果店家按王女士的意愿卖这两件衣服总的情况是（   ） A．亏损10元 B．盈利8元 C．盈利10元 D．不盈不亏 【跟踪专练1】小彤从学校乘出租车回家，起步价（不超过千米）为元，之后每多千米增加元，小彤共付了元，问小彤学校到他家最多有 千米． 【跟踪专练2】一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动；设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中，正确结论的序号是（   ） A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 【题型10.利用数轴上点的位置判断式子的正负】 【典例】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，①；②；③；④，则其中正确的结论有 ． 【跟踪专练1】若有理数，b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论：①，②，③，④其中正确的是 填序号 【题型11.数轴上点的翻折变换】 【典例】数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，2．现以为折点，将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在数轴上，且点与点之间的距离是2，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练1】如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为 ． 【跟踪专练2】已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与表示7的点重合．若数轴上两点之间的距离为2025，且两点经以上方法折叠后重合，则点表示的数是（　　） A．或 B．或1013 C．或1012 D．或 【题型12.有理数除法的实际问题应用】 【典例】根据试验测定：高度每增加，气温大约降低．某登山队从地面（温度为）出发攀登一座山峰，当队员甲到达某一高度时，测得气温为；队员乙在另一位置测得气温为．则队员甲比队员乙所在位置的高度高 ． 【跟踪专练1】下列说法：①与互为相反数；②不相等的两个数绝对值不相等；③若，则；④若，则、互为相反数．其中正确的结论是（    ）． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【跟踪专练2】快车和慢车分别从甲、乙两地相向而行，小时相遇．相遇后，快车继续行驶了小时到达乙地，慢车继续行了千米到达甲地．慢车的速度是 千米/小时． 1．比较分数与的大小，结果是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下面式子：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ．（填序号） 3．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为20尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．为了更好的促进学生对科学知识的兴趣，七年级(1)班组织了一次科普益智测试活动，测试共有10道选择题，每道题答对得10分，答错或不答扣2分． （1）小明答对了6道题，答错了4道题，则他的总得分为 分； （2）若该班的学生中一定有4人的得分相同，则这个班级的学生至少有 人． 5．如图，数轴上O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，数d是的倒数，根据图中各点的位置，下列结论正确的是 （   ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，点，，对应的数分别是，，．从下列四个条件：①；②；③；④中任取两个进行组合．下面四个选项中，（   ）可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分中的某一个部分． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 7．如图，点，，在数轴上表示的有理数分别是，，，若，，则原点的位置在（   ） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间 D．点与点之间 8．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 9．正五边形广场的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿逆时针方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后最少经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上． 10．三个有理数，，，满足，求 ． 11．阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 12．探究并解决问题： 对有理数a，b定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”． 按照“乘减法”运算的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)请将下面整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 异号得 ，并 ；绝对值相等的两数相“乘减”，都得 ；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)计算：． (3)有理数加法和乘法都有结合律，结合律在有理数的“乘减”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举一反例即可）． 13．翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 14．乘积与位置 数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d． (1)①若点A，B的位置如图1所示，则表示数的点在原点的__________侧（填“左”或“右”）． ②若点在原点左侧，点在原点右侧，点对应整数，点对应整数，若，当取最大值时，的值是__________； (2)若它们的位置如图2所示，则表示数的点在点__________侧（填“左”或“右”），表示数的点与点__________最接近． (3)数轴上点E表示数，它与A，B在数轴上的位置如图3所示，在数轴上画出原点O和表示1的点的位置．（若有不同情况，每种情况应单独画一个图形） 15．如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．（无恶意，逝者安息） 小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日，但他们无法完成． (1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日； 小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则：当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了． 此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？ 小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶... (2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $