第03讲 角（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年浙教版七年级数学上册《知识解读•题型专练》

本讲义聚焦“角”主题，系统梳理角的概念（两种定义）与表示方法，衔接角度制运算（度分秒换算），延伸至钟表夹角、方位角等生活应用，再到角平分线性质、角的和差运算及余角补角性质，构建完整知识支架。 资料特色在于结合钟表夹角、方位角等实例培养数学眼光，通过典例与变式题（如角平分线计算、三角板角度问题）发展推理与运算能力（数学思维），规范表述强化数学语言。课中助教师分层教学，课后综合练习帮学生查漏补缺。

第03讲 角 知识点1：角的概念和表示 知识点2：角度制及其运算 知识点3：钟表上的夹角问题 知识点4：方位角 知识点5：角平分线 知识点6：角的运算 知识点7：余角和补角 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【题型1 角的概念理解】 【典例1】在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【变式2】用一个4倍的放大镜看一个的角，这个角是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，如果用10倍的放大镜看，那么的度数（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大到原来的10倍 D．扩大到原来的100倍 【题型2 角的表示方法】 【典例2】下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列四个图中，能用，和表示同一个角的是（    ） A．B．C． D． 【变式2】平板电脑支架方便用户在不同位置和角度观看平板电脑，如图是支架侧面的平面示意图，其中还可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，下列说法：①就是；②就是；③就是；④就是．其中正确的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【题型3 角的分类】 【典例3】如图，下列四个城市相应钟表指示的时刻，其中时针与分针所成角是锐角的是（    ） A．B． C．   D．   【变式1】下列各角中，是钝角的是（    ） A．周角 B．平角 C．2锐角 D．直角 【变式2】一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【变式3】如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【题型4 角的单位与角度制】 【典例4】若，则将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】将化成度、分、秒的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】把化成以度为单位是（   ） A． B． C． D． 【变式3】 ，    ． 【题型5 角的度数大小比较】 【典例5】若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列角度中，比小的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】，，关于两个角的大小，下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式3】若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【题型6 钟面角】 【典例6】某同学周六下午2点30分开始做数学作业，此时时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】钟表在4点10分时，它的时针和分针所形成的锐角度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】时针从数字6走到数字10，经过的时间是（   ） A．10分钟 B．4分钟 C．4小时 D．40 分钟 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【题型7 方向角的表示】 【典例7】如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏东的方向，同时轮船B在南偏西的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（    ）． A．北偏东 B．西偏南 C．南偏西 D．东偏北 【变式3】如图，关于射线表示的方向，下列说法错误的是（　　） A．射线表示的方向是北偏东 B．射线表示的方向是北偏西 C．射线表示的方向是南偏东 D．射线表示的方向是东北方向 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【题型8 角平分线的有关计算】 【典例8】如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 【变式1】如图，是直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)是否平分?并说明理由． 【变式2】如图，已知直线，相交于点，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 【变式3】如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【题型9 三角板中角度计算问题】 【典例9】如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】将一副三角尺按如图的位置摆放，则与的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式3】把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中，，三点在同一条直线上，为的平分线，为的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型10 角度的四则运算】 【典例10】计算 (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； 【变式3】计算： (1)； (2)． （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【题型11求一个角的余角】 【典例11】已知，则的余角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，则的余角用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列图形中，与互为余角的是 （    ） A．B．C． D． 【变式3】一个角的余角是它的3倍，则这个角的度数是（　　） A． B． C． D． 【题型12求一个角的补角】 【典例12】如果与互补，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知与互余，且，则的补角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，甲从O处出发沿北偏东方向走向A处，乙从O处出发沿南偏西方向走到B处，则的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，是直线上一点，，的度数是（  ） A． B． C． D． 【题13与余角、补角有关的计算】 【典例13】把一个直角分成两个锐角，如果一个锐角是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（ ） A． B． C． D． 【变式1】将一副三角板按如图所示摆放，使其中一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若一个角的余角比它的补角的少， 则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如果一个角的补角比这个角的倍大，那么这个角的余角为（    ） A． B． C． D． 【题型14同(等)角的余(补)角相等的应用】 【典例11】如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式1】如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（   ） A． B． C． D． 4．在时刻：，时钟上的时针和分针之间的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．按下图所示，点A在点B的（    ）方向上． A．北偏西 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏西 6．用度、分、秒表示为（ ） A． B． C． D． 7．在下列图形中，能用三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 7．一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．若，，，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．互不相等 9．如图，将一个三角板的角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，将一个平角分为和，已知，则的度数为 ． 11．如图，与相交于点，若，，则的度数是 ． 12．如图，，平分，则 度． 13．，两个海上观测站的位置如图所示， 在灯塔北偏东方向上， ，则 在灯塔的 ． 14．如图，直线， 相交于点，是直角， 平分，若，则的度数是 ． 3、 解答题 15．如图，已知是的平分线，求的度数． 16．如图，直线，相交于点O，于点O，平分，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 角 知识点1：角的概念和表示 知识点2：角度制及其运算 知识点3：钟表上的夹角问题 知识点4：方位角 知识点5：角平分线 知识点6：角的运算 知识点7：余角和补角 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【题型1 角的概念理解】 【典例1】在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查角的定义，根据角的定义，进行判断即可． 【详解】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；故①错误； 角的大小与边的长短无关；故②错误； 角的两边是两条射线，无法比较长短；故③错误； 角的两边是两条射线．故④正确； 故选：D． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【答案】C 【分析】本题考查了角的相关概念，根据角的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握角的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、角是由一条射线绕着它的一个端点旋转而形成的图形，故原说法错误，不符合题意； B、角的大小和角的开口大小有关，故原说法错误，不符合题意； C、由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角，故原说法正确，符合题意； D、角的大小与两边的长短没有关系，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】用一个4倍的放大镜看一个的角，这个角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键在于理解放大镜只改变物体的大小不改变图形的形状．根据放大镜的原理回答即可． 【详解】解：放大镜放只改变物体的大小，不改变物体的形状， 放大4倍的角与原的角相等， 故选：A． 【变式3】已知，如果用10倍的放大镜看，那么的度数（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大到原来的10倍 D．扩大到原来的100倍 【答案】B 【分析】本题考查了角的大小的概念，明确角度的大小由角的两边张开的程度决定，与边的长短无关是解决本题的关键． 根据角的大小的概念，即“角的大小是指角的两边张开的程度”，由此可求解． 【详解】解：根据角的大小的概念，当用放大镜放大时，只是放大了角的边的长度， 而角的两条边张开的程度并没有发生改变， 故用10倍的放大镜看，那么的度数不变． 故选：B ． 【题型2 角的表示方法】 【典例2】下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念，准确识图，熟练掌握角的表示方法是解题的关键．结合各选项中的图形，根据角的表示方法即可得出答案． 【详解】解：A、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； B、图中的，可以用表示，也能用表示，故该选项符合题意； C、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； D、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； 故选：B ． 【变式1】下列四个图中，能用，和表示同一个角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】解：A、图中、、表示同一个角，故本选项正确； B、图中的和不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的不能用表示，故本选项错误； D、图中的不能用表示，故本选项错误； 故选：A． 【变式2】平板电脑支架方便用户在不同位置和角度观看平板电脑，如图是支架侧面的平面示意图，其中还可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的表示，熟知角的三种表示方法是关键．角的表示方法有四种：①用三个字母，中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点；②当以某点为顶点的角只有一个时，可以只用这个角的顶点字母表示；③用一个数字表示一个角；④用一个希腊字母表示一个角，由图即可得出答案． 【详解】解：还可以表示为． 故选C． 【变式3】如图所示，下列说法：①就是；②就是；③就是；④就是．其中正确的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，解题的关键是熟练掌握角的不同的表示方法，注意当一个顶点处有几个角时，不能用一个大写字母表示这个角．根据角的表示方法进行判断即可． 【详解】解：①就是，此说法正确； ②就是，原说法错误； ③就是，原说法错误； ④就是，原说法错误； 综上分析可知，正确的只有①． 故选：A． 【题型3 角的分类】 【典例3】如图，下列四个城市相应钟表指示的时刻，其中时针与分针所成角是锐角的是（    ） A．B． C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了角的分类，根据锐角是0到90度的角进行求解即可． 【详解】解；A、图中时针与分针所成角的度数在0到90度之间，是锐角，符合题意； B、图中时针与分针所成角的度数是0度，不是锐角，不符合题意； C、图中时针与分针所成角的度数大于90度，不是锐角，不符合题意； D、图中时针与分针所成角的度数等于90度，不是锐角，不符合题意； 故选A． 【变式1】下列各角中，是钝角的是（    ） A．周角 B．平角 C．2锐角 D．直角 【答案】B 【分析】根据周角、平角、直角的度数计算出各角，再根据钝角定义判定即可． 【详解】解：A、周角是直角，故此选项不符合题意； B、平角是钝角，故此选项符合题意； C、∵锐角，当锐角时，2锐角，2锐角是锐角；当锐角时，2锐角，2锐角是直角；当锐角时，2锐角，2锐角是钝角；故此选项不符合题意； D、∵直角是锐角，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查角的分类，熟练掌握大于90度且小于180度的角叫钝角是解题的关键． 【变式2】一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题是对钝角与锐角的取值的考查． 【详解】解：一个钝角与一个锐角的差可能是直角，也可能是锐角，也可能是钝角， 故选：D． 【点睛】本题主要考察角的计算，角的概念，解答的关键是对角的概念的掌握． 【变式3】如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】B 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角、直角、钝角的概念是解题关键．连接各选项点进行分析即可． 【详解】解：A、连接，由图形可知，，不符合题意； B、连接，由图形可知，接近于，则边可能经过点N，符合题意； C、连接，由图形可知，，不符合题意； D、连接，由图形可知，，不符合题意； 故选：B． 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【题型4 角的单位与角度制】 【典例4】若，则将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，掌握，是关键． 利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 【变式1】将化成度、分、秒的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键，根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 【变式2】把化成以度为单位是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度制的计算，根据角度制进行转化即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式3】 ，    ． 【答案】 41 12 【分析】本题主要考查的是度分秒的换算，掌握两个度数相加：度与度、分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为1度成为解题的关键． 按照两个度数相加的方法解；根据对进行单位换算即可． 【详解】解：； ． 故答案为：，41，12． 【题型5 角的度数大小比较】 【典例5】若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握角的单位换算是解答本题的关键． 把化为，然后再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】下列角度中，比小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角度的度分转换，解题的关键是将分转化为度，统一单位后进行角度大小比较． 先将选项中的角度都转化为以度为单位的形式，再与比较大小． 【详解】因为，所以将分转化为度： ，则． ，则． 现在比较各选项与的大小： ． ． ． ，即比小． 故选：D． 【变式2】，，关于两个角的大小，下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查角的大小比较，解决本题的关键是熟练掌握度分秒的换算． 先换算单位，再进行比较 【详解】解：， ∴， 故选：B． 【变式3】若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：， 故， 故选C． 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【题型6 钟面角】 【典例6】某同学周六下午2点30分开始做数学作业，此时时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，分别求出时针和分针每一分钟走的角的度数，时针和分针同时从2点开始动，分针运动30分钟，时针运动30分钟，据此分别求出时针与分针运动的角度即可得到答案． 【详解】解：， ∴此时时针和分针的夹角是， 故选：B． 【变式1】钟表在4点10分时，它的时针和分针所形成的锐角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了钟面角的计算，注意钟面上每2个数字之间相隔30度． 根据4点10分时时针和分针相差格，每格度数为，据此即可求解． 【详解】解：4点10分时，分针指向2、时针指向间偏向4的位置， 所以时针和分针所形成的锐角度数为：． 故选：A． 【变式2】在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角，解题关键是结合题意作出图形，利用钟表表盘的特征解答．根据钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，而下午四点半的时候，时针和分针中间相差1.5个大格，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 下午四点半的时候，时针和分针中间相差1.5个大格， ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴下午四点半钟分针与时针的夹角是． 故选：B． 【变式3】时针从数字6走到数字10，经过的时间是（   ） A．10分钟 B．4分钟 C．4小时 D．40 分钟 【答案】C 【分析】本题主要考查认识钟面问题，时针每走一大格为1小时，时针从数字6走到数字10，一共走了（大格），即经过的时间是4小时． 【详解】（小时）， 即时针从数字6走到数字10，经过的时间是4小时． 故选：C． 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【题型7 方向角的表示】 【典例7】如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键． 根据已知条件可直接确定的度数． 【详解】解：表示北偏东方向的一条射线，表示南偏东方向的一条射线， ． 故选：D． 【变式1】如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏东的方向，同时轮船B在南偏西的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与方向角有关的计算，根据方向角的描述进行求解即可 【详解】解：根据题意可知：，， ∴， ∴ 故选：D 【变式2】极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（    ）． A．北偏东 B．西偏南 C．南偏西 D．东偏北 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．由 与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间即可解答． 【详解】解：如图： 与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间， 表示的方向为南偏西， 故选：C． 【变式3】如图，关于射线表示的方向，下列说法错误的是（　　） A．射线表示的方向是北偏东 B．射线表示的方向是北偏西 C．射线表示的方向是南偏东 D．射线表示的方向是东北方向 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的概念，用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 根据方位角的概念，对每个选项分析、判断，解答出即可． 【详解】解：A、射线表示的方向是北偏东；故本选项正确，不符合题意； B、射线表示的方向是北偏西；故本选项正确，不符合题意； C、射线表示的方向是南偏东；故本选项错误，符合题意； D、射线表示的方向是东北方向；故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【题型8 角平分线的有关计算】 【典例8】如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理清角与角之间的关系是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 【变式1】如图，是直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)是否平分?并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，垂直的定义． （1）根据角平分线的定义可求出，进而根据即可求解； （2）根据角的和差求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：平分，理由如下： 理由：∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【变式2】如图，已知直线，相交于点，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）由条件可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）由条件可知， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据直角结合角的和差关系得到的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据角平分线和角的和差关系推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴； （2）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【题型9 三角板中角度计算问题】 【典例9】如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角板角的计算，熟知直角三角板的特点是解题的关键． 由题意可得：，先根据角的和差求得，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，是一副直角三角板， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】将一副三角尺按如图的位置摆放，则与的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是三角尺中角的计算，熟练掌握三角尺中各个角的度数是解决本题的关键．根据三角尺的摆放特点，计算出，，再求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， 故选：A． 【变式2】一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，通过平角，直角的应用，即可计算出的度数． 【详解】解：如图，， ∵， ∴． 故选：A． 【变式3】把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中，，三点在同一条直线上，为的平分线，为的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，利用角平分线的定义计算角的度数是解题的关键． 根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，计算即可得到答案． 【详解】解： ，，三点在同一条直线上，， 为的平分线， ， 为的平分线， ， ， 故选：C ． 【题型10 角度的四则运算】 【典例10】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的运算，注意是解题的关键． （1）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减； （2）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与6相乘，然后依次进位． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算法则，熟练掌握角的四则运算法则是解题关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【题型11求一个角的余角】 【典例11】已知，则的余角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是余角的定义，即如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．根据余角的定义求得的余角度数，即可解题． 【详解】解：因为，则的余角的度数是. 故选：A． 【变式1】若，则的余角用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，度、分、秒单位的换算，解题的关键是掌握余角的定义． 根据余角的定义求出余角，再进行单位换算即可． 【详解】解： ， ， 故选：C． 【变式2】下列图形中，与互为余角的是 （    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是余角的定义，掌握余角的定义是解题关键． 根据两个角的和等于，则这两个角互为余角解答即可． 【详解】解：观察选项中只有选项D中，，即与互为余角， 故选：D． 【变式3】一个角的余角是它的3倍，则这个角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与余角有关的计算，度数之和为90度的两个角互余，设这个角为x，则这个角的余角为，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角为x， 由题意得，， 解得． 故选：A． 【题型12求一个角的补角】 【典例12】如果与互补，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了互补的定义，解题的关键是掌握互补的定义． 利用互补的定义进行求解即可． 【详解】解：∵与互补， ∴， 故选：D． 【变式1】已知与互余，且，则的补角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角的概念．根据题意先求出，再求其补角即可． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴补角的度数． 故选：． 【变式2】如图，甲从O处出发沿北偏东方向走向A处，乙从O处出发沿南偏西方向走到B处，则的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求方向角、求一个角的补角，先求出的度数，再根据补角的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵甲从O处出发沿北偏东向走向A处，乙从O处出发沿南偏西方向走到B处， ∴， ∴的补角的度数是， 故选：A． 【变式3】如图，是直线上一点，，的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了互补，角度的和差计算，掌握互补的概念，角度和差计算方法是解题的关键． 根据互补的概念得到，再根据角度的和差计算即可求解，理解在角度计算中的运用． 【详解】解：根据题意，， 故选：B ． 【题13与余角、补角有关的计算】 【典例13】把一个直角分成两个锐角，如果一个锐角是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解方程． 直角为，将其分成两个锐角，其中一个锐角是另一个的2倍．设较小的锐角为，则较大的锐角为，根据角度和为列方程求解即可． 【详解】设较小的锐角为，则较大的锐角为， 根据题意，两角之和等于直角，即： 解得： 故选：C． 【变式1】将一副三角板按如图所示摆放，使其中一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的概念和度分秒的换算，关键是求出的度数，是一道基础题．根据，，求出的度数，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选A． 【变式2】若一个角的余角比它的补角的少， 则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．设这个角的度数为，则它的余角为，它的补角为，根据题意列出方程，解出即可解答． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的余角为，它的补角为， 由题意得，， 解得：， 这个角的度数是． 故选：B． 【变式3】如果一个角的补角比这个角的倍大，那么这个角的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的运算，一元一次方程的知识，解题的关键是设这个角的度数为，则其补角为，根据题意，列出方程，解出，再根据余角的定义，进行解答，即可． 【详解】解：设这个角的度数为， ∴其补角为， ∴， 解得：， ∴该角的余角为：． 故选：C． 【题型14同(等)角的余(补)角相等的应用】 【典例11】如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了余角的知识，用到的知识点为：等角的余角相等．根据等角的余角相等，即可判断∠1=∠3． 【详解】解： ，， ， 故选：C． 【变式1】如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同角的余角，根据同角的余角相等，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【变式2】如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的余角相等，熟知同角的余角相等是解题的关键．由，利用同角的余角相等可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3】如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知的直角条件，通过角的和差关系，找出、、之间的联系进而代入各项逐一判断即可．本题主要考查了余角的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴，故A项错误； ，故B项错误； ，故C项错误； ，故D项正确； 故选：D． 一、单选题 1．用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的性质，熟练掌握角的性质是解题的关键．根据角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，解答即可． 【详解】解：角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，因此用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数仍然是． 故选：A． 2．如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义求出的度数，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：，射线平分， ， ． 故选：C． 3．图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个放大5倍的放大镜看一个的角，仍然是，放大镜放大的只是两边的长短． 【详解】解：用一个放大5倍的放大镜看一个的角，那么看到的仍然是的角， 故选：A． 4．在时刻：，时钟上的时针和分针之间的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟表角，利用钟表表盘的特征解答． 【详解】解：点分，时针和分针中间相差个大格． ∵钟表个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴点分针与时针的夹角是． 故选：B． 5．按下图所示，点A在点B的（    ）方向上． A．北偏西 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏西 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，正确理解方向角的概念，数形结合是解题的关键； 由图知，点B在点A的南偏西方向上，根据两点位置的相对性原则求解即可． 【详解】由图知，点B在点A的南偏西方向上， 所以点A在点B的北偏东方向上． 故选：C． 6．用度、分、秒表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，掌握换算公式是解题的关键．根据1度等于60分，1分等于60秒，由大单位转换成小单位乘以60，按此转化即可． 【详解】解： ∴ 故选：A 7．在下列图形中，能用三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能用表示，不符合题意； B、不能用表示，不符合题意； C、能用三种方法表示同一个角，符合题意； D、不能用表示，不符合题意； 故选C． 7．一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角板的实际应用， 根据题意可知，再结合求出答案即可． 【详解】解：根据题意，得， 因为， 所以． 故选：A． 8．若，，，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．互不相等 【答案】D 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：，，， 互不相等， 故选：． 9．如图，将一个三角板的角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，根据图形正确列式并进行度分秒的计算是解题的关键． 根据先求出的度数，然后根据即可求出的大小． 【详解】解：由题意可得： ， ， 故选：． 二、填空题 10．如图，将一个平角分为和，已知，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平角的定义，角度的减法运算，用减即可求解，掌握角度的减法运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 11．如图，与相交于点，若，，则的度数是 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了角的和差，解决本题的关键是数形结合．根据求解即可． 【详解】， ， 故答案为：． 12．如图，，平分，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义计算即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，平分， ∴， 故答案为：． 13．，两个海上观测站的位置如图所示， 在灯塔北偏东方向上， ，则 在灯塔的 ． 【答案】南偏东 【分析】本题考查方位角的知识，解题的关键是根据题意，可得，，求出的角度，即可． 【详解】解：∵ 在灯塔北偏东方向上， ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴ 在灯塔的南偏东． 故答案为：南偏东． 14．如图，直线， 相交于点，是直角， 平分，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查角的运算，解题的关键是掌握角平分线的运算，平角，直角的性质，根据角的和差，进行计算，即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3、 解答题 15．如图，已知是的平分线，求的度数． 【答案】； 【分析】本题主要考查几何中角的计算，角平分线的定义，掌握关于角平分线的定义中角的和差计算方法是解题的关键． 根据图示，，再根据角平分线的定义可得，由此即可求解． 【详解】解：， ∵是的平分线， ∴． 16．如图，直线，相交于点O，于点O，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】由平角的定义及求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数． 【详解】∵，∴， ∵，， ∴， ∵平分，∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质、平角的定义，熟练应用平角及角平分线得出等角是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $