第3讲 专题强化：带电粒子在磁场中运动的临界、多解问题-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考物理大一轮复习全新方案通用版

第十一章磁场 A.粒子带负电 B.若粒子射入磁场的速度增大为2，粒子将 (2)半径的计算方法 从a点射出 方法一 由R=m求得。 C.若粒子射入磁场的速度增大为2，粒子将 gB 从b点射出 方法二连半径构出三角形，由数学方法解三角形 D.若粒子射入磁场的速度增大为2，粒子在 或勾股定理求得。 磁场中的运动时间将变短 n或R=2+(R-d)求得，如图丙 ①由R= 听课记录 所示。 069(偏转角) -L- %, A0 R-d 、a, R 丙 归纳总结 ②常用到的几何关系 粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法 a.粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图丁所 (1)圆心的确定方法 示，9=a。 ①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定 b.弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图丁所示， 两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图 甲所示。 0、1 9。 239 ②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速 (3)时间的计算方法 度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如 方法一 图乙所示。 利用圆心角0、周期T,求得4=号 7 . 方法二 利用弧长、线速度0，求得1= M M 温馨提示) 乙 ! 学习至此，请完成课时作业56 第3讲 专题强化：带电粒子在磁场中运动的临界、多解问题 热点题型突破 题型探究·能力提升 题型一 带电粒子在磁场中运动的临界问题 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关 件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相 键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突 切，故边界（边界的切线）与轨迹过切点的半径 破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界 (直径)垂直 和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 2.几种常见的求极值情况（速度一定时）】 1.临界条件 (1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边 带电粒子刚好穿出（不穿出）磁场边界的条 界相切。 2勾·讲与练·高三物理 圆形边界：公共弦为边界圆直径时，出现极 法正确的是 值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时， 以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹 A,粒子的人射速度为Bg 4m 对应的圆心角最大，粒子运动时间最长 (2)最短时间：弧长最短（弦长最短），入射点确 B粒子的人射速度为BBgL 12m 定，人射点和出射点连线与边界垂直。 C.从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时 如图所示，P为入射点，M为出射点，此时 在磁场中运动时间最短。 问为器 D.若射入的粒子为负电荷，要使一半的粒子射 M 出6c,则粒子的入射速度至少为5BgL 6m Xx xx ×××× 听课记录 M`、 X 单边界磁场 平行边界磁场 3.判断临界问题的三种常用方法：“平移圆法”“旋 转圆法”“放缩圆法”。 考向1“平移圆法”的应用 考向2“旋转圆法”的应用 粒子源发射速度大小、方向一定，入射 速度大小 点不同但在同一直线上的同种带电粒 粒子源发射速度大小一定、方向不同的 240 一定，方 子进人匀强磁场时，它们做匀速圆周运 带电粒子进人匀强磁场时，它们在磁场 向一定， 动的半径相同，若人射速度大小为， 中做匀速圆周运动的半径相同，若射入 适 但人射点则半径R= 初速度为v。,则圆周运动半径R 速度大小 条 店如图所不 在同一直 一定，方 mvo ,如图所示 gB 线上 ×收× 适 向不同 条 轨迹圆圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的 心共线 圆心在同一直线上 将半径为R=的圆进行平移，从而 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的 aB 界定方法 轨迹圆圆 圆心在以入射点P为圆心、半径R三 探索粒子运动的临界条件，这种方法叫 心共圆 mv “平移圆法” 的圆上 gB 【典例1】如图所示，在直角 三角形abc区域内存在垂 将一半径R= 的圆以入射点为圆 9B 直纸面向里的匀强磁场， 界定方法 心进行旋转，从而探索粒子的临界条 磁感应强度大小为B。大 件，这种方法叫“旋转圆法” 量均匀分布在ab边的同 【典例2】 如图所示，竖直平面 ↑y 种带电粒子（质量为m,电 内有一xOy平面直角坐标 2aN× 荷量为十q)以相同的速度沿纸面垂直于ab边 系，第一、四象限中存在垂直aMxx×× 射入场区，结果有一半的粒子从bc边射出。 于纸面向里的匀强磁场，磁 已知bc边长为L,bc与ac的夹角为60°，不计 感应强度大小记为B(B未 粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说 知)。坐标原点O处有一放 第十一章磁场 进 射源，放射源可以源源不断向一、四象限180 续表 范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的 以人射点P为定点，圆心位于PP' 正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集 直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而 板MN,M点坐标为(0，a),N点坐标为(0， 界定方法 探索出临界条件，这种方法叫“放缩 2a),当辐射的离子速率为v。时离子打在收集 圆法” 板上的位置最远到N点，最近到M点。不计 离子的重力及离子间相互作用的影响。求： 【典例3】（多选）(2024·四川雅安模拟)如图所 (1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的 示，矩形边界ABCD内存在磁感应强度大小 时间： 为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，AB、CD (2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的 边足够长，AD边长为L。现有质量为m、电荷 比例。 量为q的不同速率的带正电粒子，从AD的中 点E射入磁场且速度方向与AD成30°角，不 计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正 确的是 () E 30××.×.× D C A,粒子在磁场中运动的最长时间为” 3qB 241 B.从AB边射出粒子的最小速度为3qBL Am 考向3“放缩圆法”的应用 C.从CD边射出粒子的最小速度为9BL m D.AB边上有粒子射出的区域长度为 粒子源发射速度方向一定，速度大小 速度方向 不同的带电粒子进人匀强磁场时，这 定，速度大 停+ 些带电粒子在磁场中做匀速圆周运 小不同 听课记录 动的轨迹半径随速度的变化而变化 如图所示（图中只画出粒子带正电的 情境)，速度。越大，运动半径也越 用 大。可以发现这些带电粒子射人磁 场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初 轨迹圆圆 速度方向的直线PP'上 心共线 × + 红圈勾·讲与练·高三物理 题型二带电粒子在磁场中运动的多解问题 1.带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动， (3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是 由于多种因素的影响，使问题形成多解。多解 出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 形成的原因一般包含四个方面： 考向1带电粒子电性不确定的多解问题 类型 分析 图例 【典例4】（多选）(2025·河南开封重点中学联 受洛伦兹力作用的带 考)如图所示，两平行××××B××× 电粒子，可能带正电 M- N 线EF和MN将磁场 荷，也可能带负电荷，在 EA30°C F 分割为上、下两部分，××x”×x 相同的初速度下，正、负 磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向 带电粒粒子在磁场中运动轨迹 里。现有一质量为m、电荷量为g的带电粒子 子电性 不同，形成多解。 X a 不确定如图，带电粒子以速度 (不计重力)从EF线上的A点以速度？斜向 垂直进人匀强磁场， 下射入EF下方磁场，速度与EF成30°角，经 若带正电荷，其轨迹为 过一段时间后粒子正好经过C点，经过C点 a,若带负电荷，其轨 时速度方向斜向右上方，与EF也成30°角。 迹为b 已知A、C两点间距为L,两平行线间距为d, 在只知道磁感应强度 下列说法正确的是 大小，而未具体指出磁 A.粒子不可能带负电 场方向时，必须考虑由 242 于磁场方向的不确定 B.磁感应强度大小可能为B= gL 磁场方 而形成多解。 πm,4d C.粒子到达C点的时间可能为 向不确 如图，带正电粒子以速 定 度v垂直进人匀强磁 BaL D.粒子的速度大小可能为o= 场，若磁场方向垂直纸 m 面向里，其轨迹为a, 听课记录 若磁场方向垂直纸面 向外，其轨迹为b 有些题目只告诉了带 电粒子的电性，但未具 粒子速 体指出速度的大小或 度不确 D,××× 方向，此时必须考虑由 定 于速度的不确定而形 B× 考向2磁场方向不确定的多解问题 成的多解 【典例5】（多选）如图所示，A 带电粒子飞越有界磁 点的离子源沿纸面垂直OQ 临界状 场时，可能穿过磁场飞 方向向上射出一束负离子，离0-证”。 态不唯 出，也可能转过180 子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在 从入射界面一侧反向 OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。 飞出，形成多解 已知O、A两点间的距离为s,负离子的比荷为 2.求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧 (1)分析题目特点，确定题目多解形成的原因。 g,速率为0,0P与0Q间的夹角为30°，则所 (2)作出粒子运动轨迹示意图（全面考虑多种可 加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可 能性)。 能是 第十一章磁场 进 A.B 垂直于y轴且与x轴重合的足够大的吸收平 ,垂直纸面向里 3qs 板。大量质量为m,带电荷量为十q(q>0)的 B.Bm ,垂直纸面向里 粒子，以相同的速率口=gBL,从0沿垂直磁 m C.Bmv ,垂直纸面向外 场方向均匀射入第一象限。不计重力及粒子 qs 间相互影响，粒子可能经过区域的面积是 D.B3m ,垂直纸面向外 ( Er A.0.5πL2 B.πL2十L2 听课记录 C.1.5πL2 D.0.5πL2-L2 听课记录 考向3粒子速度不确定的多解问题 【典例6】（多选)(2022·湖北 。 卷)在如图所示的平面内，分 界线SP将宽度为L的矩形区0 --p 考向4临界状态不唯一的多解问题 域分成两部分，一部分充满方 ××××× 【典例8】（多选）长为1的水平 向垂直于纸面向外的匀强磁 极板间有垂直纸面向里的匀 场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强 强磁场，如图所示。磁感应+q·一 磁场，磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右 强度大小为B,板间距离为 243 边界垂直。离子源从S处射人速度大小不同 ,极板不带电。现有质量为 的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且 m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从 与SP成30°角。已知离子比荷为k,不计重 左边极板间中点处垂直磁感线以速度？水平 射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的方 力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方 法是 () 向的夹角为0，则离子的入射速度和对应0角 A.使粒子的速度v< Bql 的可能组合为 A.B.0 B.B0 B.使粒子的速度o>5Bq叫 4m C.kBL,60 D.2kBL,60 C.使粒子的速度v> Bql 吧听课记录 m D.使粒子的速度为 5Bql 40m 4m 听课记录 【典例7】如图所示， xOy坐标系内存在 垂直于纸面向里的 ×××××× 匀强磁场，磁感应强××××修×× 温馨提示Q 度大小为B,MN为M 0 学习至此，请完成课时作业57则最短时间有t=2T=4红”，故C错 gB 误：粒子从A点射入到从C点射出圆 形区域用时最短，则轨迹如图乙所示， ×××/。 乙 设粒子在磁场中运动的半径为？，根据 几何关系可知r=5R,根据洛伦益力 3 提供向心力有gBm,可得U 5qBR,故D正确。 3m 典例5BCD速率不同的粒子在CD 边射出时，粒子在磁场中运动时间相 同，A错误；根据左手定则，粒子向左 偏转，从CD边飞出的粒子最远从D 点飞出，来径R台由B-贸，解 得vm= BL,B正确：由B项分析可知 2 粒子可以从D点飞出，当粒子轨迹与 CE相切从DE飞出时，对应粒子从 DE飞出的最远，点，如图所示，由几何 关系得DG=DP三)CD=L,粒子从 DE边飞出的区域长度为L,C正确； 当粒子与CE相切飞出时，对应从CE 边飞出的粒子在磁场中运动的最长时 间，由几何关系可得∠FDC=60°，从 CE边飞出的粒子在磁场中运动的最 60° 长时间为tm=360×B0=3B· D正确。 E ·B D···C p 典例6D根据左手定则可知粒子带正 电，故A错误：根据gB=m”,解得 ,阳设正方形边长为1，粒子以速 度如和速度2如进入破场，有号一器 L=m:2”,轨远如图，可知若粒子射 gB 入磁场的速度增大为2心，射出的位置 在N、b之间，故B、C错误：由图可知， 若粒子射入磁场的速度增大为2U,则 在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角 将度小，由：品，又T-器粒子 红对勾·讲与练·高三物理 在磁场中的运动时间将变短，故D 正确。 02 a9x×b N-- M :: d××-×.×.×c 第3讲专题强化：带电粒子 在磁场中运动的临界、多解问题 热点题型突破 题型一 带电粒子在磁场中运动的临 界问题 典例1B如图甲所示，设d为ab的中 ,点，满足条件的临界情况为从d点射 入的粒子轨迹与bc相切，轨道半径为 r1,根据几何关系得ab=Lcos30°= 3L3r三2ab,根据牛顿第二定律 vi 得qv1B=m 3 BqL ,联立得v1=12m 故A错误，B正确；从bc边射出的粒子 在磁场中运动的最长时间为了T,t= d d 甲 带负电粒子从d点射入磁场临界情况 的轨迹如图乙所示，由几何关系得r2= L,根指牛颜第二定律得g如B 4 m正解得， BBg业，故D错误。 Am 典例21)0或C2)号 .2 3v3vo 解析：(1)由题意可知，沿x轴正方向 出射的离子，经半圆到达V点，由此可 得r=a,可知通过M点的离子有两个 出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆 心角为60，即1=合T,另一个轨选 5 转过的圆心角为300，即t=后T,离 子做匀速圆周运功，周期T=2”,即 Vo T=2,解得t1=30 ,t一300 5πa -576- y 1N×××× × X 甲 (2)如图乙所示，由旋转圆法分析结果 可知，能打到收集板上的离子分布在 速度方向与x轴正方向成60°角的范 围内，因为放射源均匀打出离子，因此 打到收集板上的离子数占辐射总数的 州为需 2 3 乙 典例3CD当粒子从AD边离开时， 粒子在磁场中运动的时间最长，如图 甲所示， A --B 30 D --C 甲 由图可知粒子在磁场中运动的最长时 300° 间为tmax一360 T=5×2xm_5m X 6 gB 3gB 故A错误； 当粒子运动轨迹刚好与AB边相切时， 如图乙所示， A B 309 D -C 乙 根据几何关系可得r1十r1sin30°= 之，由洛伦兹力提供向心力得gB= ,联立解得从AB边射出粒子的 最小速度为，=gBL 3m 故B错误； 当粒子运动轨迹刚好与CD边相切时， 如图丙所示， A B E 30° D' 根据几何关系可得r2=L,由洛伦兹力 U 提供向心力得qv2B=m兰，联立解得 从CD边射出粒子的最小速度为U2= gBL,故C正确：由乙、丙图中几何关 m 系可得AB边上有粒子射出的区域长 度为△x=r2十r2c0s30°-r1c0s30°= (1+)L,故D正确。 题型二 带电粒子在磁场中运动的多 解问题 典例4BCD若粒子带负电，其运动轨 迹可能如图甲所示，粒子可以经过C 点，故粒子可能带负电，A错误：若粒 子带正电，第一次到达EF时经过C 点，如图乙所示，由几何关系可知，粒 2 子轨迹半径为L,由B=m元，可解 得u BqL ,B= 72U qL' B、D正确；若粒子 m 带正电，其运动轨迹也可能如图丙所 示，在下方磁场中运动一次的时间 T π2 t1= 6- ,在上方磁场中运动一次 3qB 的时间tg= 5πm 3Bq ,在无磁场区域中做 2d 一次直线运动的时间为=2d,则粒 7πm 子到达C,点的时间可能为t= 3gB 4d,C正确。 A U 丙 典例5BD当磁场方向垂直纸面向里 时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲 所示，切，点为M,设轨迹半径为r1,由 几何关系可知，sin30°= ，可得 s十r r=s,由r1=可得B,=”;当磁 72U qB 场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹 如图乙所示，切，点为N,由几何关系知 S= sin30十r,得r=，又r= 3mv m,所以B2=8m心，综合上述分析可 qs 知B、D正确，A、C错误。 MP 053 A r -00 甲 乙 典例6BC若离子最后经过下部分磁 场从P点射出，如图甲，则日=60°， R=上(m=1,3,5,),又4B=mR 可得0=gBR-BL(m=1,3,5,…): 若离子最后经过上部分磁场从P点射 出，如图乙，则0=0°，R= L(n=2,4, 6…）又mB=m尺可得-5 BL（m=2,4,6,…)。综上可知，B、C 可能，A、D不可能。 。··。 米30° ----P 30· --P SX婴××× ××××× ××××× ×××××1 ××××× L 甲 典例7B粒子在磁场中由洛伦兹力提 v 供向心力mB=mR,解得R=L,粒 子在以x轴为边界的磁场中做匀速圆 周运动，粒子从x轴进入磁场，后离 开，沿x轴正方向的刚好进入磁场转 一个圆周，沿y轴正方向进入的刚好 转半个圆周，如图甲在两图形的相交 的部分是粒子不经过的地方，图乙阴 影面积为S=2πR+π(2R)P 1.5πL2,如图丙设粒子不经过的地方 面积为S2, ↑y 2R ×××义××B×× ×× -2R 0 甲 2R M N 2R 乙 X × M 0 丙 由几何关系得S2十2S1=L2,2S1十 2S:=7πL,粒子可能经过区域的面 积为S'=S-S2,解得S'=πL2十L2, 故选B。 -577- 典例8AB如图O 所示，若带电粒子 刚好打在极板右 边缘，有r片=气r )广+，又因为 +q 9u,B=m,解 得1= 5Bql 4:若粒子刚好打在极板左 边维，有n=个又g加：B=m行，解 得2= Bql 欲使粒子不打在极板上， 应使U< Bql 或v> 5Bql ,故A、B正 Am Am 确，C、D错误 第4讲 专题强化：洛伦兹力 与现代科技 热点题型突破 题型一 质谱仪的原理和分析 典例1 (1) 2qU n (2)Bd 2qU m 2 2mU (3) B 解析：(1)粒子加速过程，根据动能定 理有U=分m,解得= 2qU m (2)粒子经过速度选择器过程，由平衡 U: 条件有g=B1, 解得U2=B1d入 2qU (3)粒子在分离器中做匀速圆周运动， 根据牛顿第二定律有gB,=m”,解 得r= B, 一，则OP=2r= 2 2mU B21 对点演练 1.C 设原子核的质量为m,电荷量为 q,进入磁场时的速度大小为，则两原 子核在电场中加速的过程，由动能定 里得gU三2mw,速度为0与 在匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力 有mB=m,代入得r= 1 2mU B 由题知r1= ,则原子核质量之比为 my 1 。,故C正确。 m2 2.AD 粒子在静电分析器内沿电场线方 向偏转，说明粒子带正电荷，极板M比 极板N的电势高，故A正确；由qU= 参考答案“☑。