期末难点03：工程问题“奥数思维训练”（专项训练）-2025-2026学年六年级数学上册北师大版

期末难点03：工程问题“奥数思维训练”-2025-2026学年六年级数学上册（北师大版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．某村小麦和玉米运往储存点的路有3600米需要维修，甲队单独修要20天完成，乙队单独修要25天完成。如果两队合修，几天能完成这条路的？ 2．五、六年级同学开展“百人百米图绘画”活动，六年级同学单独画需要15天，五年级同学单绘画需要30天，如果两个年级合作，多少天能画完这幅图的？ 3．学校组织社会实践活动，两个小组的同学帮助社区修剪一块面积为200平方米的草坪。如果甲组单独修剪需要2小时完成，乙组单独修剪需要3小时完成。 （1）两个小组合作，修剪完这块草坪需要多少小时？ （2）两个小组合作修剪完成后，乙组实际修剪了多少平方米的草坪？ 4．修一条公路，甲工程队单独完成需要20天，乙工程队单独完成需要的天数是甲工程队单独完成需要天数的倍还少5天。已知每天给甲工程队的费用是万元，每天给乙工程队的费用是万元。 （1）乙工程队单独完成整个工作任务需要多少天？ （2）先由甲工程队单独修了整条公路的后，再由甲、乙两个工程队合修，还需多少天完成？ （3）若按（2）的方式修这条公路，共需给甲、乙两队的费用是多少万元？ 5．某开发商在城中村改造过程中，有一项面积1200m2的绿化工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标。三家公司竞标条件如表。 公司名称 单独完成所需天数 甲 10天 乙 15天 丙 30天 （1）如果想尽快完工，你认为应该选择哪两家公司合作完成？为什么？ （2）这两家公司合作多少天可以完成绿化工程的？ 6．洪涝灾害具有很大的破坏性和普遍性，会严重影响我们的日常生活。某市在洪灾到来前对防洪工程进行堤改扩建工程，请来甲、乙两个工程队。已知甲工程队单独完成需要6小时，乙工程队单独完成需要4小时。 （1）甲乙两队合作多少小时能完成任务？ （2）由于乙队有其他工作安排，现由甲乙两队合作2个小时后，再由甲队单独完成。还需要多少小时完成任务？ 7．打一份稿件，如果单独打，王老师要用4小时，李老师要用6小时，这份稿件由王老师先打了，剩下的由李老师和王老师一起打，还要几小时才能打完？ 8．为了全面提升城镇老旧小区和社区居住环境、设施条件和服务功能，推动建设安全健康、设施完善、管理有序的完整社区。祥和社区决定对辖区内的道路进行修缮，甲工程队单独做需要20天完成，乙工程队单独做每天可以完成。甲队单独做10天后，甲队邀请乙队共同完成余下的工程，还需要几天才能完成？ 9．加工一批零件，师傅单独做需6天完成，徒弟单独做需12天完成，如果徒弟先做3天，剩下的师徒两人合作，还需要几天才能加工完这批零件？ 10．生产一批零件，如果单独做，李师傅每天可以完成这批零件中的，张师傅每天可以完成这批零件的。现在两人一起做，几天可以完成？ 11．据《墨子·鲁问》中记载，鲁班的“木鹊”是风筝的早期形式，工程复杂。现在科技发达，制作240个风筝，甲队单独做需要8天完成，乙队单独做需要10天完成。甲、乙两队合作多少天能完成任务？ 12．服装厂有一批校服订单，第一车间单独做需要20天完成，第二车间单独做需要25天完成。如果两个车间合作，那么多少天后还剩下这批订单的没做？ 13．王村要进行河道绿化工程，要沿着一条小河种1200棵小树苗。村长请了甲、乙两个植树队种植，通过了解得知：甲队单独种，种完需要30天；乙队单独种，种完需要20天。两队合种，15天能全部种完吗？ 14．信息课上，小兰和小新同时录入一篇作文，两人一同录入3分钟后，小兰因故离开，剩余的由小新独自完成。他还需要多少分钟才能全部录完？ 15．为了方便各地游客进山游玩，武安市修建了多条旅游路线。其中的一段路线的修建由甲、乙两个工程队合作完成，甲队单独修需要24天，乙队单独修需要18天，两队合修了8天后，甲队有事离开，剩下的由乙队单独完成，乙队还要修多长时间才能全部完成？ 16．某食品坊计划制作一批红团，甲团队单独做8天可完成这批红团总量的；乙团队的工作效率是甲团队的。若甲乙两团队合作，多少天可以完成？ 17．盾构机是一种使用盾构法的隧道挖掘机，某工程队同时使用甲、乙两台盾构机相对进行隧道挖掘，甲盾构机单独挖掘需要12天完成，乙盾构机单独挖掘需要8天完成。 （1）甲乙两台盾构机同时工作，挖通这个隧道需要多少天？ （2）如果有一笔4400元的酬金，按工作量分配，甲盾构机能分到多少元钱？ 18．某玩具生产厂接到一批吉祥物玩偶的订单，甲车间单独生产要10天完成，乙车间单独生产要15天完成。甲、乙两个车间合作，多少天能完成这批订单的？ 19．建设美丽乡村，要美化一段1500米的河堤路，甲工程队独做需要15天完成任务，乙工程队独做需要12天完成任务。如果甲乙两队合作，7天能完成全部工程吗？ 20．要加工一批零件，李师傅单独做3小时完成，刘师傅单独做4小时完成。刘师傅先做了1小时，剩下部分两人合作多少小时能完成？ 21．“智能亚运”是杭州第19届亚运会的一大亮点，120件物品由甲、乙两只电子狗进行配送。甲电子狗单独配送6小时完成，乙电子狗单独配送4小时完成。甲电子狗先独立完成物品总量的后，甲乙电子狗再合作完成，还要几小时才能完成？ 22．王叔叔家准备请两个队伍采摘脐橙，如果甲队单独摘要8天摘完，如果乙队单独摘要10天摘完，如果两队合作要多少天才能摘完？ 23．绿色消费，环保购物，“袋”“袋”相传。某小区物业员工分成两个小组制作一些环保购物袋送给本小区的业主，甲小组单独做8天可以完成，乙小组每天做这些环保袋的，两个小组合作，多少天能做完这些环保袋的？ 24．包装一批节日礼盒，如果甲单独做要4小时才能完成，如果乙单独做要6小时才能完成，两人从一开始就一起做，完成这批礼盒的一半需要几小时？ 25．某工程队需要在规定日期内完工，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作两天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问：规定日期为几天？ 26．一件工程甲单独做需要9小时完成，乙单独做需要12小时完成。如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，那么完成全部工作需要几小时？ 27．一项工程，甲、乙两人一起做需36天完成，乙、丙两人一起做需45天完成，甲、丙两人一起做需60天完成。甲、乙、丙三人分别单独做，各需多少天完成？ 期末专项·奥数题 期末专项·奥数题 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末难点03：工程问题“奥数思维训练”-2025-2026学年六年级数学上册（北师大版）》参考答案 1．天 【分析】将这条路要修的总长度看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，甲队单独修要20天完成，甲队的工作效率为：1÷20＝；乙队单独修要25天完成，乙队的工作效率为：。两队合修的工作效率和为：，根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，工作总量为，所以用除以计算即可。 【详解】1÷20＝ ÷ ＝÷ ＝÷ ＝× ＝（天） 答：如果两队合修，天能完成这条路的。 2．4天 【分析】把绘画总量看作单位“1”。六年级同学单独画需要15天，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，六年级同学的工作效率为1÷15＝；五年级同学单绘画需要30天，五年级同学的工作效率为1÷30＝。两个年级合作的工作效率和为六年级同学的工作效率与五年级同学的工作效率之和，即，工作总量为，根据“”，用除以，计算即可。 【详解】1÷15＝ 1÷30＝ （天） 答：4天能画完这幅图的。 3．（1）小时； （2）80平方米 【分析】由题意知：修剪这块草坪，如果甲组单独修剪需要2小时完成，将这块草坪看作单位“1”，则甲的工作效率是；乙组单独修剪需要3小时完成，则乙的工作效率是；两人合作，工作时间＝工作总量÷工作效率之和，据此列式计算； （2）修剪一块面积为200平方米的草坪，乙组单独修剪需要3小时完成，先用除法计算出乙组每小时能修剪多少平方米，再根据计算出两个小组合作修剪完成所需要的时间，最后用乘法计算出结果即可。 【详解】（1） （小时） 答：修剪完这块草坪需要小时。 （2） （平方米） 答：乙组实际修剪了80平方米的草坪。 4．（1）30天    （2）9天     （3）15.7万元 【分析】（1）根据求一个数的几倍是多少，用这个数乘倍数，用甲工程队单独完成需要的天数乘，求出20的倍是多少，再减去5即可解答。 （2）把这条公路的全长看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲、乙两个工程队的工作效率，用1减去甲工程队单独修的整条公路的，求出剩下的工作量，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用剩下的工作量除以两个工程队的工作效率效率和即可解答。 （3）用甲队完成的工作量÷甲队的工作效率＝甲队完成总工作量的用的天数，再加上甲、乙两队合修的天数，就是甲队一共用的天数，用每天给甲工程队的费用×甲队的总天数＝修完这条路甲队的费用，用每天给乙工程队的费用×甲、乙两队合修的天数＝修完这条路给乙队的费用，再把甲、乙两队的费用相加即可解答。 【详解】（1）20×－5 ＝35－5 ＝30（天） 答：乙工程队单独完成整个工作任务需要30天。 （2）1÷20＝ 1÷30＝ （1－）÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝×12 ＝9（天） 答：甲、乙两个工程队合修，还需9天完成。 （3）÷＝×20＝5（天） 由（2）知，甲、乙两队合作了9天。 ×5＋×9＋×9 ＝4＋7.2＋4.5 ＝11.2＋4.5 ＝15.7（万元） 答：共需给甲、乙两队的费用是15.7万元。 5．（1）选择甲公司和乙公司合作；因为两家合作的效率和最高； （2）4天 【分析】（1）一项工作，用的时间越少，工作效率越高（工作效率＝工作量÷工作时间），所以如果想尽快完工，应找两家工作效率高的合作； （2）先算出甲、乙两公司的合作效率和，再根据“工作时间＝工作量÷工作效率和”计算合作时间即可。 【详解】（1）甲公司工作效率：1÷10＝ 乙公司工作效率：1÷15＝ 丙公司工作效率：1÷30＝ 因为＞＞，所以如果想尽快完工，应该选择甲公司和乙公司合作，因为两家合作的效率最高。 答：如果想尽快完工，应该选甲公司和乙公司合作，因为两家合作的效率最高。 （2）÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝×6 ＝4（天） 答：这两家公司合作4天可以完成绿化工程的。 6．（1）小时； （2）1小时 【分析】（1）把一项工程的工作量看作单位“1”，根据，分别求出两队的工作效率，再根据，代入数据计算即可解答。 （2）先求出甲、乙两队的工作效率和，再乘2算出甲乙两队合作2个小时完成的工作量，再用“1”减去这2个小时完成的工作量得到剩下的工作量，再除以甲队的工作效率即可得解。 【详解】1÷6＝ （小时） 答：甲乙两队合作小时能完成任务。 （2） （小时） 答：还需要1小时完成任务。 7．小时 【分析】将一份稿件的工作量看作单位“1”，王老师如果单独打要用4小时，则王老师的工作效率为，李老师如果单独打要用6小时，则李老师的工作效率为； 将王老师和李老师的工作效率求和，用王老师剩下的工作占比除以两人的工作效率和即可计算还要几小时才能打完。 【详解】 （小时） 答：还要小时才能打完。 8．6天 【分析】假设出工作总量，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出甲工程队的工作效率，再根据“工作总量＝工作效率×工作时间”表示出甲工程队单独做10天的工作总量，两队合作需要的天数＝剩下的工作总量÷（甲工程队的工作效率＋乙工程队的工作效率），据此解答。 【详解】假设工作总量为1。 甲工程队的工作效率：1÷20＝ （1－×10）÷（＋） ＝（1－）÷ ＝÷ ＝×12 ＝6（天） 答：还需要6天才能完成。 9．3天 【分析】将总工作量看作单位“1”，师傅的工作效率为，徒弟为。徒弟先做3天完成，剩余工作量为。剩余部分由师徒合作完成，合作效率为，根据工作时间＝工作量÷合作效率，所需时间为，计算即可。 【详解】 （天） 答：还需要3天才能加工完这批零件。 10．4天 【分析】把这批零件的总量看作单位“1”。李师傅每天完成这批零件中的；张师傅的工作效率：每天完成这批零件中的；则两人的效率和为：＋＝。根据“工作时间＝工作总量÷效率和”，可得：1÷＝4（天）。 【详解】把这批零件的总量看作单位“1”。 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1×4 ＝4（天） 答：两人一起做，4天可以完成。 11．天 【分析】可以把工作总量看作单位“1”，分别求出甲、乙两队的工作效率，再根据工作总量除以工作效率和得到合作完成任务的时间。据此求解。 【详解】 ＝（天） 答：甲、乙两队合作天能完成任务。 12．天 【分析】工程问题工作总量为单位“1”，还剩下这批订单的没做，则做了这批订单的（1－）。根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可求得第一车间和第二车间的工作效率。将二者的工作效率相加，可得两车间合作的工作效率，还剩下这批订单的没做，工作总量为（1-），再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求得两个车间合作多少天后还剩下这批订单的没做。 【详解】 （1－）÷（＋） ＝ ＝ ＝（天） 答：天后还剩下这批订单的没做 13．能 【分析】把1200棵小树苗看作单位“1”，甲队单独种需要30天，则甲队效率为：1÷30＝，乙队单独种需要20天，乙队效率为：1÷20＝。现在两队合种，效率和为，然后用单位“1”除以效率和即可得出两队合种的天数，然后与15比较即可。 【详解】1÷30＝ 1÷20＝ ＝ ＝1×12 （天） 15天＞12天 答：15天能全部种完。 14．2分钟 【分析】分析题目，把这篇作文的总字数看作单位“1”，先根据工作效率＝工作总量÷工作时间分别计算小兰和小新每分钟可以录入几分之几；再用加法求出他们两人合作1分钟可以录入几分之几，再乘合作录入的时间可以得到两人合作3分钟一共录完了几分之几；再用工作总量减去已经录入的即可得到还剩几分之几没录，再根据工作总量÷工作效率＝工作时间算出小新录完剩下的需要的时间，最后用小新单独录入的时间加上两人合作的时间即可解答。 【详解】1÷6＝ 1÷10＝ （＋）×3 ＝（＋）×3 ＝×3 ＝ （1－）÷ ＝×10 ＝2（分钟） 答：他还需要2分钟才能全部录完。 15．4天 【分析】将工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲、乙两队的工作效率，再根据工作总量＝工作效率×工作时间，求出两队合修8天的工作量，进而求出剩余工作量，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率求出乙队单独完成剩余工作所需的时间。 【详解】（）×8 8 1 4（天） 答：乙队还要修4天才能全部完成。 16．天 【分析】根据题目，先用除以8求出甲团队每天的工作效率，再乘就是乙团队的工作效率，再用单位“1”除以两个团队工作效率的和即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝（天） 答：天可以完成。 17．（1）天 （2）1760元 【分析】（1）将挖掘隧道的工作量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”先分别计算出甲和乙单独挖掘时的工作效率，然后将甲、乙工作效率求和计算出合作效率，再根据“合作时间＝工作量÷合作效率”即可计算挖通隧道需要的天数。 （2）用甲的工作效率乘合作时间计算出甲完成的工作量，所得的分率就是能得到的酬金占总酬金的分率，再根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”用总酬金乘该分率即可计算甲盾构机能分到的钱数。 【详解】（1）＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（天） 答：挖通这个隧道需要多少天。 （2） ＝ ＝1760（元） 答：甲盾构机能分到1760元。 18．4天 【分析】把生产这批玩偶的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙两个车间各自的工作效率，两个车间的工作效率相加即是合作工效； 求两个车间合作几天能完成这批订单的，根据“合作工时＝合作工作量÷合作工效”，即可求解。 【详解】甲车间的工作效率：1÷10＝ 乙车间的工作效率：1÷15＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝×6 ＝4（天） 答：4天能完成这批订单的。 19．能 【分析】把这项工程看作“1”，甲工程队独做需要15天完成任务，甲工程队每天完成这项工程的；乙工程队独做需要12天完成任务，乙工程队每天完成这项工程的。甲乙两队合作，每天完成这项工程的（＋）。甲乙两队合作每天完成这项工程的几分之几乘工作的天数，即可算出一共能完成这项工程的几分之几，再与1比较大小即可。 【详解】（＋）×7 ＝（＋）×7 ＝×7 ＝ ＞1 答：7天能完成全部工程。 20．小时 【分析】把加工一批零件的工作量看作单位“1”， 李师傅单独做3小时完成，则李师傅每小时的工作效率为，刘师傅单独做4小时完成，则刘师傅每小时的工作效率为； 刘师傅先做了1小时，则刘师傅先完成，则剩余的工作量为，用剩余的工作量除以甲乙两人的工作效率之和，即可求出剩下部分两人合作多少小时能完成。 【详解】 ＝ 答：还需要小时完成。 21．小时 【分析】把物品总量看作工作总量“1”：甲电子狗的工作效率是1÷6＝，乙的工作效率是1÷4＝。甲先完成总量的，剩余工作量为1−＝。甲、乙合作的效率和是，再用剩余工作量除以合作效率，即小时，所以还要小时才能完成。 【详解】 （小时） 答：还要小时才能完成。 22．天 【分析】把采摘脐橙的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲队、乙队各自的工作效率，两队的工作效率相加即是合作工效；根据“合作工时＝工作总量÷合作工效”，求出两队合作摘完脐橙需要的天数。 【详解】甲队的工作效率：1÷8＝ 乙队的工作效率：1÷10＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 答：如果两队合作要天才能摘完。 23．天 【分析】把工作总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出甲小组的工作效率，两小组合作需要的天数＝两小组合作的工作总量÷（甲小组的工作效率＋乙小组的工作效率），据此解答。 【详解】把工作总量看作单位“1”。 甲小组的工作效率：1÷8＝ 1×÷（＋） ＝1×÷ ＝÷ ＝× ＝（天） 答：两个小组合作，天能做完这些环保袋的。 24．小时 【分析】把这批礼盒的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙两人各自的工作效率，两人的工作效率相加即是合作工效；求两人合作几小时完成这批零件的一半，根据“合作工时＝合作工作量÷合作工效”，即可求解。 【详解】1÷4＝ 1÷6＝ ÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（小时） 答：两人从一开始就一起做，完成这批礼盒的一半需要小时。 25．6天 【分析】若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作两天，再由乙队单独做，恰好如期完成，则乙超过的三天的工作总量甲用两天可以完成，由此得出甲乙的工作效率之比，同时求出甲乙工作时间之比，根据时间比的差计算出甲队的工作时间，若由甲队去做，恰好如期完成，则甲队的工作时间就是规定的天数，据此解答。 【详解】分析可知，甲的工作效率×2＝乙的工作效率×3，则甲的工作效率∶乙的工作效率＝3∶2 所以，甲的工作时间∶乙的工作时间＝2∶3 3÷（3－2）×2 ＝3×2 ＝6（天） 答：规定日期为6天。 【点睛】分析题意求出甲乙的工作效率之比是解答题目的关键。 26．10.25小时 【分析】把某项工作的工作总量看作单位“1”，甲的工效是，乙的工作效率是，“按照甲，乙，甲，乙，…的顺序轮流工作，每次1时”，那么甲乙各做1小时，即2个小时，则完成＋＝，5个循环后（即10个小时），则完成×5＝，还剩，1－＝，由甲来完成，求得甲再做的时间，再加上10小时即是完成这项工作共需要的时间。 【详解】由分析可得：10小时后，剩下的由甲做还需要： [1－（＋）×5]÷ ＝[1－×5]÷ ＝（1－）÷ ＝÷ ＝0.25（时） 甲、乙轮流做共需要：10＋0.25＝10.25（小时） 答：完成这项工作需要10.25小时。 【点睛】此题主要考查工程问题的有关知识，解答此题要注意甲、乙交替工作一次完成的工作量和所用的时间，判断可交替工作几次，剩下的再按顺序完成，所用时间加起来就是完成工作用的总时间。 27．甲需90天；乙需60天；丙需180天 【分析】把这项工程看作单位“1”，则工作效率＝1÷工作时间，分别计算出甲、乙，乙、丙，甲、丙两人合作一天的工作效率； 将甲、乙，乙、丙，甲、丙两人合作一天的工作效率加起来后，再除以2即可求出甲、乙、丙三人合作一天的工作效率； 用甲、乙、丙合作一天的工作效率分别减去甲、乙，乙、丙，甲、丙两人合作一天的工作效率即可求出甲、乙、丙各自的工作效率； 最后根据工作总量÷工作效率＝工作时间分别计算出甲、乙、丙单独做各需要的时间，据此解答。 【详解】把这项工程看作单位“1” 甲、乙两人合作一天完成1÷36＝ 乙、丙两人合作一天完成1÷45＝ 甲、丙两人合作一天完成1÷60＝ 那么甲、乙、丙人合作一天完成 ＋＋ ＝＋＋ ＝ ＝ ÷2 ＝× ＝ 丙单独一天完成 － ＝－ ＝ 甲单独一天完成 － ＝－ ＝ ＝ 乙单独一天完成 － ＝－ ＝ ＝ 那么：甲、乙、丙单独做，各需要天数为： 甲：1÷＝1×90＝90（天） 乙：1÷＝1×60＝60（天） 丙：1÷＝1×180＝180（天） 答：甲、乙、丙单独做分别需要90天、60天、180天。 【点睛】此题主要考查了稍复杂的工程问题，解答此意的关键是把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝1÷工时，分别计算出甲、乙，乙、丙，甲、丙两人合作一天的工作效率，进而得出甲、乙、丙三人合作一天的工作效率，即可解题。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $