4.2.2等差数列的前n项和公式（思维导图+3大知识点+10大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

本讲义聚焦等差数列前n项和公式这一核心知识点，系统梳理公式推导（倒序相加法）、性质（片段和、奇偶项和）、函数关系（二次函数特性）及应用（实际问题、绝对值求和等），构建从原理到应用的完整学习支架。 资料设计亮点突出，涵盖十种题型及高考真题风格例题变式，配合思维导图整合知识。实际应用题型（如古塔挂灯）培养数学眼光，倒序相加法证明强化数学思维，助力课中教学增效与课后学生查漏补缺。

4．2．2 等差数列的前n项和公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、等差数列的前项和公式 4 知识点二、等差数列的前项和的有关性质 4 知识点三、等差数列中的函数关系 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：基本量计算 6 题型二：比值问题 6 题型三：等差数列前n项和的性质问题 7 题型四：最值问题 8 题型五：绝对值数列求和问题 9 题型六：实际应用 10 题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列 11 题型八：片段和性质问题 13 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 13 题型十：恒成立与范围问题 14 知识点一、等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式 公式一： 证明：倒序相加法 ① ② ①+②： 因为 所以 由此得： 公式二： 证明：将代入可得： 知识点二、等差数列的前项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 ①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． ②若项数为，则，， ③若项数为，则，，，， 知识点三、等差数列中的函数关系 等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数） 等差数列中，，令，则： （，是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． ①当时，一次函数单调增，为递增数列； ②当时，一次函数单调减，为递减数列． 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则： （，是常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点． （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点． ①当时有最小值 ②当时，有最大值 题型一：基本量计算 【例题1】（2025·高三·江苏南京·期中）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．54 B．90 C．84 D．100 【例题2】（2025·高三·湖南·期中）记等差数列的前项和为.若则（    ） A．9 B．10 C．17 D．19 【方法技巧与总结】 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用． 【变式1】（2025·高二·宁夏·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式2】（2025·高二·北京·月考）已知数列为等差数列，为其前项和，满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（2025·高二·重庆·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 题型二：比值问题 【例题3】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题4】（2025·高二·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 设，的前项和为，，则． 【变式4】（2025·高二·河北沧州·期中）已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（   ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【变式5】（2025·高三·湖南常德·月考）等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式6】（2025·高二·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 题型三：等差数列前n项和的性质问题 【例题5】（2025·高二·四川成都·期末）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．140 B．150 C．160 D．180 【例题6】（2025·高二·河南周口·月考）已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 【方法技巧与总结】 利用等差数列前n项和的性质简化计算 （1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有时运算量大些； （2）等差数列前项和的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． （3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法． 【变式7】（2025·高三·吉林四平·月考）设为等差数列的前项和，且，，则（    ） A．34 B．35 C．36 D．37 【变式8】（2025·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式9】已知等差数列的前项和为，若，且，则使成立的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型四：最值问题 【例题7】（2025·高二·江苏泰州·月考）在等差数列中，，且，则使数列的前项和取得最小值的等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【例题8】（2025·高三·河北邢台·期中）已知公差为的等差数列的前项和为，若，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．若，则的最大值为12 D．前100项中，被7除余3的有14项 【方法技巧与总结】 （1）等差数列前项和最大（小）值的情形 ①若，，则存在最大值，即所有非负项之和． ②若，，则存在最小值，即所有非正项之和． （2）求等差数列前项和最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 或来寻找． ②运用二次函数求最值． 【变式10】（2025·高二·贵州贵阳·月考）记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 【变式11】（2025·高二·北京顺义·月考）已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 【变式12】（2025·高二·湖南衡阳·期中）已知是等差数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)n为何值时，取得最大值并求其最大值. 题型五：绝对值数列求和问题 【例题9】（2025·高二·山东临沂·月考）已知是等差数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)求数列的前n项和． 【例题10】已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【方法技巧与总结】 已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”． 【变式13】（2025·高二·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【变式14】（2025·高二·河北邯郸·月考）已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)设，求数列的前20项和. 【变式15】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列为公差为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当公差不为0时， （i）求使成立的的取值； （ii）求数列的前项和. 题型六：实际应用 【例题11】（2025·高三·山西·月考）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 【例题12】（2025·高二·河南·月考）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【方法技巧与总结】 （1）与等差数列前项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． （2）遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观． 【变式16】（2025·高二·山东淄博·期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（    ） A．26 B．36 C．38 D．46 【变式17】（2025·高二·广东佛山·期中）小明从店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为10%，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花（   ） A．28.5万元 B．30.6万元 C．31.8万元 D．32.2万元 【变式18】（2025·高二·四川眉山·期中）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列 【例题13】已知数列的前项和为，满足，证明：数列为等差数列． 【例题14】已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 【方法技巧与总结】 （其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件． 【变式19】（2025·高三·浙江杭州·期末）设数列的各项均为正数，前n项和为，满足（，，，，，，c为常数）. (1)若，，求的通项公式； (2)若，证明为等差数列. 【变式20】（2025·高二·湖南长沙·期中）已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式21】（2025·河北·三模）设等差数列的前项和为，若，那么等于（    ） A．10 B．80 C． D． 【变式22】已知等差数列的前项和为．若，则的值是（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 题型八：片段和性质问题 【例题15】（2025·高二·宁夏·月考）已知等差数列的前项和，，，则 ． 【例题16】（2025·高二·宁夏银川·月考）已知等差数列前项和，则 . 【方法技巧与总结】 连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【变式23】（2025·高二·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【变式24】（2025·高二·甘肃·月考）已知等差数列的前项和为.若，则 . 【变式25】（2025·高二·甘肃平凉·月考）在等差数列中，，则 ． 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 【例题17】（2025·高三·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 【例题18】（2025·高二·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 【方法技巧与总结】 （1）若项数为，则，， （2）若项数为，则，，，， 【变式26】（2025·高二·江苏苏州·月考）若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 【变式27】（2025·高二·安徽宣城·期末）等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式28】（2025·高二·四川南充·月考）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 题型十：恒成立与范围问题 【例题19】（多选题）（2025·高二·河南新乡·月考）记等差数列的公差为，前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【例题20】（2025·高二·陕西榆林·期中）已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【方法技巧与总结】 分类讨论. 【变式29】（多选题）（2025·高二·吉林·月考）已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A．数列是递增数列 B． C． D． 【变式30】（2025·高二·广西贺州·月考）已知正项数列满足（且），. (1)求； (2)求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 【变式31】（2025·高二·浙江绍兴·月考）设为数列的前n项和，且. (1)求； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．2．2 等差数列的前n项和公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、等差数列的前项和公式 4 知识点二、等差数列的前项和的有关性质 4 知识点三、等差数列中的函数关系 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：基本量计算 6 题型二：比值问题 7 题型三：等差数列前n项和的性质问题 10 题型四：最值问题 11 题型五：绝对值数列求和问题 14 题型六：实际应用 17 题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列 20 题型八：片段和性质问题 23 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 24 题型十：恒成立与范围问题 26 知识点一、等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式 公式一： 证明：倒序相加法 ① ② ①+②： 因为 所以 由此得： 公式二： 证明：将代入可得： 知识点二、等差数列的前项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 ①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． ②若项数为，则，， ③若项数为，则，，，， 知识点三、等差数列中的函数关系 等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数） 等差数列中，，令，则： （，是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． ①当时，一次函数单调增，为递增数列； ②当时，一次函数单调减，为递减数列． 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则： （，是常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点． （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点． ①当时有最小值 ②当时，有最大值 题型一：基本量计算 【例题1】（2025·高三·江苏南京·期中）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．54 B．90 C．84 D．100 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 则有，解得， 则. 故选：D. 【例题2】（2025·高三·湖南·期中）记等差数列的前项和为.若则（    ） A．9 B．10 C．17 D．19 【答案】C 【解析】因为数列等差数列，所以， 所以， 解得，所以， 故选：C. 【方法技巧与总结】 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用． 【变式1】（2025·高二·宁夏·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解析】因为为等差数列的前项和，且， 所以等差数列的前项公式有，即 又因为，所以， 则. 故选：C 【变式2】（2025·高二·北京·月考）已知数列为等差数列，为其前项和，满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】设等差数列公差为， 则， 所以， 故选：B 【变式3】（2025·高二·重庆·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以有. 化简得，解得. 所以. 故选：B. 题型二：比值问题 【例题3】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】， 又， ， 当时，，所以使得为整数的正整数的个数是4个. 故选：D. 【例题4】（2025·高二·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，分别为等差数列，的前n项和， 所以， ， 所以. 故选：A. 【方法技巧与总结】 设，的前项和为，，则． 【变式4】（2025·高二·河北沧州·期中）已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（   ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解析】因为等差数列,的前n项和分别为和,， 所以可设（），， 所以时，， 又满足上式，所以（）， 时，， 又满足上式，所以,， 则， 因为，所以是63的正因数，63的正因数有1，3，7，9，21，63， 又，则，解得；，解得， 所以，15，即满足的正整数n有2个. 故选：B. 【变式5】（2025·高三·湖南常德·月考）等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】等差数列与的前n项和分别为和，因为， 所以. 故选：A. 【变式6】（2025·高二·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A. 题型三：等差数列前n项和的性质问题 【例题5】（2025·高二·四川成都·期末）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．140 B．150 C．160 D．180 【答案】B 【解析】， ， ， ， ， . 故选：B. 【例题6】（2025·高二·河南周口·月考）已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 【答案】B 【解析】因为，所以． 故选：B． 【方法技巧与总结】 利用等差数列前n项和的性质简化计算 （1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有时运算量大些； （2）等差数列前项和的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． （3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法． 【变式7】（2025·高三·吉林四平·月考）设为等差数列的前项和，且，，则（    ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】D 【解析】因为数列是一个等差数列，且， 所以，即. 又，所以公差， 所以. 故选：D． 【变式8】（2025·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】因为，又， 所以， 所以，即， 设等差数列的公差为， 则， 所以，又， 所以， 所以． 故选：C. 【变式9】已知等差数列的前项和为，若，且，则使成立的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 又，所以公差 所以使成立的最大值为 故选：C 题型四：最值问题 【例题7】（2025·高二·江苏泰州·月考）在等差数列中，，且，则使数列的前项和取得最小值的等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以，即， 又因为即解得，则. 又因， 由，又，则； 由，则， 又，即数列是递增数列， 所以时，等差数列的前项和取得最小值. 故选：A. 【例题8】（2025·高三·河北邢台·期中）已知公差为的等差数列的前项和为，若，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．若，则的最大值为12 D．前100项中，被7除余3的有14项 【答案】D 【解析】由题意及等差数列的前项和公式， ，， 即：即， 解得所以，故A，B正确． ，解不等式，，得， 所以的最大值为12，故C正确． 因为在自然数中，被7除余3的数可表示为，， ，解不等式，得，又，所以有15项，故D错误． 故选：D． 【方法技巧与总结】 （1）等差数列前项和最大（小）值的情形 ①若，，则存在最大值，即所有非负项之和． ②若，，则存在最小值，即所有非正项之和． （2）求等差数列前项和最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 或来寻找． ②运用二次函数求最值． 【变式10】（2025·高二·贵州贵阳·月考）记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意得：，， 则，解得， 所以. （2）由， 函数开口向下，对称轴为， 而，则或6， 此时， 所以在或6时，取得最大值，无最小值. 【变式11】（2025·高二·北京顺义·月考）已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 【解析】（1）设数列的公差为， 则，，解得， 则数列的通项公式为. （2），， 因二次函数在处取最大值，故的最大值为. 【变式12】（2025·高二·湖南衡阳·期中）已知是等差数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)n为何值时，取得最大值并求其最大值. 【解析】（1）由题意可知：， 当时，， 当时，， 当时，，符合， ∴数列的通项公式； （2）法一：， 由二次函数图象及知或时，取得最大值56. 法二：当时，， 当时，， 当时，， 所以当或时，有最大值. 题型五：绝对值数列求和问题 【例题9】（2025·高二·山东临沂·月考）已知是等差数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)求数列的前n项和． 【解析】（1），，， ，； （2），， 对称轴为，故当时，取最小值， 且最小值为，无最大值； （3）当时，；当时，， 故当且时，；当且时，； 设数列的前n项和为， 当且时， 则， 当且时， . 故. 【例题10】已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【解析】（1）在数列中，， 当时，， 两式相减，得，则，当n＝1时，，即，满足上式， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 令，得，则，记， 当时，，则； 当时，，则 ， 所以数列的前n项和. 【方法技巧与总结】 已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”． 【变式13】（2025·高二·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【解析】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 【变式14】（2025·高二·河北邯郸·月考）已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)设，求数列的前20项和. 【解析】（1）设数列的首项为，公差为， 则 解得， 故的通项公式为. （2）因为，所以单调递增. 因为，所以的最小值为，无最大值. （3）由（1）可知，， 所以易知为等差数列. 设的前项和为，则， 所以数列的前20项和为 【变式15】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列为公差为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当公差不为0时， （i）求使成立的的取值； （ii）求数列的前项和. 【解析】（1）因为，， 则，解得或， 则数列的通项公式或. （2）（i）因为公差不为0，则，， 令，即，且， 所以的取值为且. （ii）由时，令，则， 当时，，此时， 则此时； 当时，，此时， 则 综上，. 题型六：实际应用 【例题11】（2025·高三·山西·月考）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 【答案】C 【解析】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则 首项为 ，公差 ，项数 ，， 根据等差数列前 项和公式： ， ， 计算化简：即， 所以根据等差数列通项公式： ，代入 、、， . 故选：C. 【例题12】（2025·高二·河南·月考）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【解析】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 【方法技巧与总结】 （1）与等差数列前项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． （2）遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观． 【变式16】（2025·高二·山东淄博·期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（    ） A．26 B．36 C．38 D．46 【答案】C 【解析】二二数之剩一、三三数之剩一的数分别为、，， 因此数列的项即为以上两类数的公共项，即，， 而，则数列是等差数列， 于是，， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取得最小值38. 故选：C 【变式17】（2025·高二·广东佛山·期中）小明从店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为10%，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花（   ） A．28.5万元 B．30.6万元 C．31.8万元 D．32.2万元 【答案】B 【解析】首付11万元，余款14万元，按题意可知是分7次还清， 设每次付款数组成数列， 则（万元）， （万元）， （万元），， （万元）， 因而数列是首项3.4，公差为的等差数列， 则（万元）， 因此购车款最后实际共付万元. 故选：B. 【变式18】（2025·高二·四川眉山·期中）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，为5人出钱数依次为， 依题意，，解得， 所以公士出钱数为34钱. 故选：D 题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列 【例题13】已知数列的前项和为，满足，证明：数列为等差数列． 【解析】因为，① 有，② ②－①得． 即 整理得，③ 当时，④ ③－④得， 则（），故数列为等差数列． 【例题14】已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 【解析】（1）当时，，令，， 所以时， ， 所以， 此时， 所以， 所以， 可得数列是公差为的等差数列. （2）， 令，得， 所以时， ， 所以， 所以， 可得时，数列是公差为的等差数列， 若数列是等差数列，则， 所以． 【方法技巧与总结】 （其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件． 【变式19】（2025·高三·浙江杭州·期末）设数列的各项均为正数，前n项和为，满足（，，，，，，c为常数）. (1)若，，求的通项公式； (2)若，证明为等差数列. 【解析】（1）由，得，， 两式相减得，整理得. 因为，所以，即数列是公差为2的等差数列， 由，解得，所以的通项公式为. （2）由条件知，，成等差数列，设它们的公差为d， 由，得， 所以，① ，② ，③ ②①得，即，④ ③②得，即，⑤ ⑤④得，由于显然不合题意， 所以，代入④解得， 所以，， 上述两式相减得， 因为，∴，所以当时，数列为等差数列. 【变式20】（2025·高二·湖南长沙·期中）已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】等差数列的前项和公式为，这是关于的二次函数，且该二次函数图象过原点. 当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确，当时，是过原点的抛物线上的点，所以选项A，D正确. 故选：C. 【变式21】（2025·河北·三模）设等差数列的前项和为，若，那么等于（    ） A．10 B．80 C． D． 【答案】D 【解析】因为等差数列的前项和为，所以设， 则，即， 两式相减，得，所以， 所以. 故选：D. 【变式22】已知等差数列的前项和为．若，则的值是（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为． 等差数列的前项和可看作是关于的二次函数， 又故对称轴方程为． 又，解得． 故选：B. 题型八：片段和性质问题 【例题15】（2025·高二·宁夏·月考）已知等差数列的前项和，，，则 ． 【答案】24 【解析】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：24. 【例题16】（2025·高二·宁夏银川·月考）已知等差数列前项和，则 . 【答案】 【解析】因为为等差数列，所以成等差数列， 所以，即， 解得. 故答案为： 【方法技巧与总结】 连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【变式23】（2025·高二·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】56 【解析】因为是等差数列，所以成等差数列， 则，即，解得. 故答案为： 【变式24】（2025·高二·甘肃·月考）已知等差数列的前项和为.若，则 . 【答案】12 【解析】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，所以，解得. 故答案为：12 【变式25】（2025·高二·甘肃平凉·月考）在等差数列中，，则 ． 【答案】24 【解析】由等差数列片段和性质知成等差数列， 所以， 所以. 故答案为：24. 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 【例题17】（2025·高三·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． 【例题18】（2025·高二·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 【答案】B 【解析】设项数为， 则， . 此数列共有19项. 故选：B 【方法技巧与总结】 （1）若项数为，则，， （2）若项数为，则，，，， 【变式26】（2025·高二·江苏苏州·月考）若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【解析】由题设，则，显然， 所以，可得，则共有项. 故选：C 【变式27】（2025·高二·安徽宣城·期末）等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】根据题意，，即， 又，所以，解得或， 又，， 所以， 所以，则， 解得. 故选：D. 【变式28】（2025·高二·四川南充·月考）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【解析】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 题型十：恒成立与范围问题 【例题19】（多选题）（2025·高二·河南新乡·月考）记等差数列的公差为，前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】作差得，，所以； 选项A，由和可知，公差，正确； 选项B，，与推导结论一致，正确； 选项C，，不成立，错误； 选项D，，，由均值不等式得，因为，所以成立，正确. 故选：ABD. 【例题20】（2025·高二·陕西榆林·期中）已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【解析】（1）由，可得，解得． 所以． （2）因为，且时，恒成立，所以， 因为时，，所以， 所以时，数列单调递减， 所以，所以，即实数的最小值为． 【方法技巧与总结】 分类讨论. 【变式29】（多选题）（2025·高二·吉林·月考）已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A．数列是递增数列 B． C． D． 【答案】ACD 【解析】设等差数列的公差为，由题知，所以. 对于A，，所以，所以，所以数列是递增数列，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：ACD. 【变式30】（2025·高二·广西贺州·月考）已知正项数列满足（且），. (1)求； (2)求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为，（且）， 所以，又，所以，，又，所以，，又，所以； （2）因为，所以（且）， 即， 又因为，所以， 所以是以1为首项、1为公差的等差数列， 所以； （3）由（2）得. 所以即为， 又因为，所以该不等式等价于， 又因为（当且仅当时，）. 所以 【变式31】（2025·高二·浙江绍兴·月考）设为数列的前n项和，且. (1)求； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1），，得 . ，则， 两式相减得， 即 ① ② ②①得， 即，故数列为等差数列. 因此公差为，则 （2）由（I）可得 ， 由得对任意正整数恒成立，， 令， ， 当时，，当时，， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $