4.2.2等差数列的前n项和公式（10大题型）（训练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

本高中数学讲义聚焦等差数列前n项和公式核心知识点，构建从基本量计算、比值问题到性质应用（片段和、奇偶项和）、最值问题、绝对值求和及实际应用的递进式学习支架，衔接公式推导与综合解题。 资料以10类基础题型+重难点拓展系统覆盖考点，精选2025年各地月考、期中真题，如鬼工球层数计算等实际问题培养数学眼光，比值问题、恒成立问题强化数学思维，课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性查漏补缺。

4．2．2 等差数列的前n项和公式 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：基本量计算 2 题型二：比值问题 2 题型三：等差数列前n项和的性质问题 2 题型四：最值问题 3 题型五：绝对值数列求和问题 3 题型六：实际应用 4 题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列 4 题型八：片段和性质问题 5 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 5 题型十：恒成立与范围问题 5 02 重难点拓展 7 题型一：基本量计算 1．（2025·高二·浙江湖州·月考）已知是等差数列的前n项和，若，则（   ） A．33 B．44 C．55 D．66 2．（2025·高二·江苏泰州·月考）已知数列满足，其前项和记为，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·湖南·月考）已知等差数列的前n项和为，若，，则=（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 题型二：比值问题 4．（2025·高三·山东·开学考试）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（2025·高二·黑龙江·期中）已知分别是等差数列与的前项和，且，则（   ） A． B． C． D． 题型三：等差数列前n项和的性质问题 7．（2025·高二·河南焦作·期中）记为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 8．（2025·高二·河南周口·期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．（2025·高二·宁夏吴忠·期末）在数列中，，点在直线上，则（ ） A． B． C． D． 题型四：最值问题 10．（2025·高二·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（2025·高二·辽宁·月考）已知数列满足，. (1)求； (2)记为的前项和，求的最小值及此时的值. 12．（2025·高二·陕西渭南·月考）已知是一个等差数列，且. (1)求的通项； (2)求的前n项和为，并求的最大值. 题型五：绝对值数列求和问题 13．（2025·高二·江苏常州·月考）已知等差数列的前n项和为，且 (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 14．（2025·高二·陕西西安·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 15．（2025·高二·重庆·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 题型六：实际应用 16．（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 17．（2025·高二·河南·月考）现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株（视为第一圈），第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉的数目比第圈多种（，）株，则第8圈栽种花卉（   ） A．57株 B．56株 C．55株 D．54株 18．（2025·高三·重庆·月考）已知一座能容纳人的学术报告厅共排座位，从第二排起，每排比前一排多2个座位，则第1排的座位数为（    ） A．21 B．39 C．41 D．43 题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列 19．（2025·高二·北京·月考）已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 20．（2025·北京东城·一模）已知数列的前项和，则是（    ） A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 21．（2025·高二·江苏苏州·期中）已知数列的前项的和为，且，给出下列四个命题，其中正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．对任意的自然数都有 C．是等差数列 D．是等差数列 题型八：片段和性质问题 22．（2025·高二·全国·单元测试）已知为等差数列的前项和，若，则 ． 23．（2025·高二·陕西榆林·月考）在等差数列中，为其前项和，若，，则的值为 ． 24．（2025·高二·辽宁·期中）设为等差数列的前n项和，且，，则 ． 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 25．（2025·高二·山西晋中·月考）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 26．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·高二·陕西榆林·月考）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 题型十：恒成立与范围问题 28．（多选题）（2025·高二·浙江嘉兴·月考）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则中最大； D．若，则使的的最大值为11 29．（多选题）（2025·高二·浙江金华·月考）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为13 D．数列前项和为，最大 30．（2025·高二·湖南·月考）记数列的前项和为，已知. (1)求证：是等差数列； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 1．（2025·高二·湖南·月考）设为数列的前项和，已知是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·河南新乡·月考）已知数列满足，，，若中的第项为奇数，把该项替换成，若第项为偶数，把该项替换成，得到数列，则的前100项和为（    ） A．1121 B．1123 C．3365 D．3367 3．（2025·高三·山西长治·期中）数列满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2025·高二·安徽·月考）记等差数列的前项和为，则根据下列条件能够确定的值的是（   ） A． B． C．， D．， 5．（2025·高二·安徽合肥·期中）已知数列满足，，则数列的前 项和为 . 6．（2025·高二·江苏南京·月考）已知数列满足，则数列的前9项和 ． 7．（2025·高二·江苏泰州·月考）已知是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若，则 ． 8．（2025·高二·江苏泰州·月考）已知等差数列，前项和分别为和，若，则 . 9．（2025·高二·全国·专题练习）在数列中，，．记是数列的前n项和，则 ． 10．（2025·高二·福建·月考）设等差数列的公差为，且.令，记，分别为数列，的前项和，已知， (1)求，的通项公式; (2)若，数列的前项和为，求. 11．（2025·高二·重庆荣昌·月考）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 12．（2025·高二·山西·月考）已知等差数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值． 13．（2025·高二·新疆·月考）等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若从数列中依次剔除，剩下的项组成新的数列，求数列的前项和. 14．（2025·高二·河南新乡·月考）（1）若为等差数列，且，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，且为等差数列，求和． 15．（2025·高二·江西上饶·期中）已知等差数列为递增数列，且满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和，并求最大值、最小值． 16．（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，. (1)求； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 17．（2025·高二·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，， (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 18．（2025·高三·湖南·月考）在数列中，令为其前项和，若，. (1)证明：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．2．2 等差数列的前n项和公式 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：基本量计算 2 题型二：比值问题 2 题型三：等差数列前n项和的性质问题 4 题型四：最值问题 4 题型五：绝对值数列求和问题 6 题型六：实际应用 7 题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列 9 题型八：片段和性质问题 10 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 11 题型十：恒成立与范围问题 12 02 重难点拓展 15 题型一：基本量计算 1．（2025·高二·浙江湖州·月考）已知是等差数列的前n项和，若，则（   ） A．33 B．44 C．55 D．66 【答案】C 【解析】由题意知，， 所以. 故选：C 2．（2025·高二·江苏泰州·月考）已知数列满足，其前项和记为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为数列满足，则数列为等差数列，设该数列的公差为， 则， 因为数列的前项和记为，故. 故选：B. 3．（2025·高二·湖南·月考）已知等差数列的前n项和为，若，，则=（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 【答案】B 【解析】由等差数列的性质可知， 所以. 故选：B. 题型二：比值问题 4．（2025·高三·山东·开学考试）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由等差数列的性质可得， 因为，所以， 因为，要使为整数，即为整数， 所以，共个， 即使得为整数的正整数的个数是. 故选：C 5．已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【解析】由，得， 又，所以， 整理得，所以，故符合条件的可取1，2， 故选：C． 6．（2025·高二·黑龙江·期中）已知分别是等差数列与的前项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别是等差数列与的前项和，所以，同理可得：， 因为，所以 故选：C 题型三：等差数列前n项和的性质问题 7．（2025·高二·河南焦作·期中）记为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】B 【解析】设数列的公差为d，因为，所以， 所以. 故选：B. 8．（2025·高二·河南周口·期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】因为，所以，所以， 即，所以，所以. 故选：D 9．（2025·高二·宁夏吴忠·期末）在数列中，，点在直线上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，点在直线上， 则，即， 可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 所以. 故选：C. 题型四：最值问题 10．（2025·高二·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由等差数列前项和公式得：， 因为，所以，即， 因为，所以， 又因为，可得，即， 由，可知数列前6项为负，第7项开始为正， 因此当取得最小值时，. 故选：C. 11．（2025·高二·辽宁·月考）已知数列满足，. (1)求； (2)记为的前项和，求的最小值及此时的值. 【解析】（1）由可知数列是公差为1的等差数列 因为，所以，解得 （2）由（1）可得， 所以当或13时，取得最小值，最小值为. 12．（2025·高二·陕西渭南·月考）已知是一个等差数列，且. (1)求的通项； (2)求的前n项和为，并求的最大值. 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 由已知得，解得，， 所以； （2）由（1）及等差数列前n项和公式得 ， 当时，前项和取得最大值，为4. 题型五：绝对值数列求和问题 13．（2025·高二·江苏常州·月考）已知等差数列的前n项和为，且 (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【解析】（1），时 两式相减得：， 又也符合， 所以 （2）① ② 综上： 14．（2025·高二·陕西西安·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）当时，， 当时， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以； （2）设数列的前项和为， 由，则当时，，， 此时， 当时，， 所以； 综上所述，数列的前项和． 15．（2025·高二·重庆·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 【解析】（1）设的公差为，由，则或， 若，则，此时，， 满足条件等式； 若，则， 此时，， 不满足条件等式，舍去； 综上，. （2）由上可知， 所以当时， 此时， 当时， 此时 ， 综上，. 题型六：实际应用 16．（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即. 根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为11. 故选：C. 17．（2025·高二·河南·月考）现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株（视为第一圈），第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉的数目比第圈多种（，）株，则第8圈栽种花卉（   ） A．57株 B．56株 C．55株 D．54株 【答案】A 【解析】设第圈栽种花卉株，则，（，）， 又，，则，，，，， 所以 . 故选：A 18．（2025·高三·重庆·月考）已知一座能容纳人的学术报告厅共排座位，从第二排起，每排比前一排多2个座位，则第1排的座位数为（    ） A．21 B．39 C．41 D．43 【答案】A 【解析】由题意得，从前到后，每一排的座位数构成等差数列，公差， ∵， ∴. 故选：A. 题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列 19．（2025·高二·北京·月考）已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 【答案】A 【解析】当时，， 当时，，作差得， 显然时，也满足上式，故， 显然，由等差数列与等比数列的定义知A正确，B、C、D错误. 故选：A 20．（2025·北京东城·一模）已知数列的前项和，则是（    ） A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 【答案】A 【解析】因为， 所以当时，有， ，得， 当时，适合上式， 因为， 所以该数列是以2为公差的等差数列， 故选：A 21．（2025·高二·江苏苏州·期中）已知数列的前项的和为，且，给出下列四个命题，其中正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．对任意的自然数都有 C．是等差数列 D．是等差数列 【答案】D 【解析】由求出，利用等差数列的定义，即可判断A；知求，有公式，即可判断B；对C，只需求出每一项，用等差数列定义判断即可；由求出，即可判断D．当时，； 当时，，不满足上式． 所以，故A、B错误； 因为；； ；， 所以；；， 因为，故C错误； 对D，因为，而当时，， 故，所以D正确． 故选：D 题型八：片段和性质问题 22．（2025·高二·全国·单元测试）已知为等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】27 【解析】法一：因为为等差数列的前项和，所以成等差数列， 即， 又，所以， 所以，解得． 法二：设等差数列的公差为，由题意， 即，即，解得， 则． 故答案为：27. 23．（2025·高二·陕西榆林·月考）在等差数列中，为其前项和，若，，则的值为 ． 【答案】30 【解析】由题意，得，，也是等差数列， 即， 又，，所以，解得． 故答案为：30 24．（2025·高二·辽宁·期中）设为等差数列的前n项和，且，，则 ． 【答案】 【解析】因为为等差数列的前n项和，则成等差数列， 且，，则，则其公差为， 所以， 所以. 故答案为： 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 25．（2025·高二·山西晋中·月考）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【解析】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 26．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在等差数列中，设， 依题意，，解得， 而，， 所以. 故选：D 27．（2025·高二·陕西榆林·月考）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 题型十：恒成立与范围问题 28．（多选题）（2025·高二·浙江嘉兴·月考）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则中最大； D．若，则使的的最大值为11 【答案】BCD 【解析】若，则，不能推出，即不能推出，故A错误； 若，则，即，则，故B正确； 若，，则，， 所以，，则中最大，故C正确； 若，则， 即， 因为首项为正数，则公差小于0，则，， 则，， 则使的的最大值为11，故D正确. 故选：BCD 29．（多选题）（2025·高二·浙江金华·月考）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为13 D．数列前项和为，最大 【答案】ABD 【解析】对于A，若，则为递增数列， 所以，与矛盾， 若，则为常数列，所以，，与矛盾， 若，则为递减数列，则， 由，可得，合乎题意，故A正确， 对于B，由已知得，且为递减数列， 则数列的前项均为正数，从第项开始出现负数， 可得的最大值为，故B正确， 对于C，由A可知，，， 得到，， 则当时，的最大值为，故C错误， 对于D，由题意得，则， 则， 得到数列为等差数列，且其首项为，公差为， 由，得，由得，， 由得，，即， 令，，则等差数列为递减数列， 且，，， 得到数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD 30．（2025·高二·湖南·月考）记数列的前项和为，已知. (1)求证：是等差数列； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由， 可得， 两式作差变形，可得， 所以. 当时，由，可得， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得，则. ，即. 令， 则， 当时，，， 当时，， 所以的最小值为， 则，即的取值范围为. 1．（2025·高二·湖南·月考）设为数列的前项和，已知是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得.则，又， 两式相减，得，即， 所以，所以，即为常数列，从而， 所以，故A错误，B错误，C正确； 所以，故D错误. 故选：C. 2．（2025·高二·河南新乡·月考）已知数列满足，，，若中的第项为奇数，把该项替换成，若第项为偶数，把该项替换成，得到数列，则的前100项和为（    ） A．1121 B．1123 C．3365 D．3367 【答案】D 【解析】已知，，，所以，， ，，，， ， 可以发现，每3项为一组，依次是“奇、奇、偶”. 若为奇数，；若为偶数，，结合的周期，每3项的为： ，，，和为， ，，，和为， ，，，和为， 可见每组和为6，12，18，（等差数列，首项6，公差6，共33项） 所以前99项和为， 第100项为第34组的第1项，为奇数，故. 所以的前100项和为. 故选：D. 3．（2025·高三·山西长治·期中）数列满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 设数列的前项和为， 则. 故选：B 4．（多选题）（2025·高二·安徽·月考）记等差数列的前项和为，则根据下列条件能够确定的值的是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】AD 【解析】由等差数列的前项和公式，可得， 对于A，若，可得，A符合题意； 对于B，由，不能确定的值，B不符合题意； 对于C，由，可得，不能确定的值，C不符合题意； 对于D，由等差数列前项和的性质，可得构成等差数列， 即构成等差数列，所以，解得，D符合题意. 故选：AD 5．（2025·高二·安徽合肥·期中）已知数列满足，，则数列的前 项和为 . 【答案】 【解析】因为， 所以，可得数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以， 则数列的前项和为. 故答案为：. 6．（2025·高二·江苏南京·月考）已知数列满足，则数列的前9项和 ． 【答案】70 【解析】由，可得， 两式相减，可得， 又由且，可得， 所以数列是首项为，公差为4的等差数列， 数列是首项为，公差为4的等差数列， 即n为奇数时，，n为偶数时，， ． 故答案为：70． 7．（2025·高二·江苏泰州·月考）已知是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】/ 【解析】因为是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若， 可设，其中，则， 所以， ， 故. 故答案为：. 8．（2025·高二·江苏泰州·月考）已知等差数列，前项和分别为和，若，则 . 【答案】1 【解析】由，， 所以. 故答案为： 9．（2025·高二·全国·专题练习）在数列中，，．记是数列的前n项和，则 ． 【答案】1300 【解析】在数列中，，， 当为奇数时，，即数列的奇数项是首项为1，公差为1的等差数列， 因此， 当为偶数时，，因此， 所以. 故答案为：1300 10．（2025·高二·福建·月考）设等差数列的公差为，且.令，记，分别为数列，的前项和，已知， (1)求，的通项公式; (2)若，数列的前项和为，求. 【解析】（1）由，即，得， ∴， 则， ， 又， 所以即解得(舍去)， 所以， 则， （2）， ， . 11．（2025·高二·重庆荣昌·月考）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 解得，，所以数列的通项公式为； （2）由， 所以. 12．（2025·高二·山西·月考）已知等差数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值． 【解析】（1）设数列的公差为，由，即，得， 所以，所以， 即. （2）由（1）可得， 所以，即，即，即， 解得或， 又，故当时，成立，所以的最小值为7. 13．（2025·高二·新疆·月考）等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若从数列中依次剔除，剩下的项组成新的数列，求数列的前项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得， 所以，即. （2）因为数列中依次剔除值为的项，由， 再令，，即. 所以方程有四组解，，，，且. 即等差数列前项中有4项是要剔除，分别是第，. 所以. 故. 14．（2025·高二·河南新乡·月考）（1）若为等差数列，且，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，且为等差数列，求和． 【解析】（1）设的公差为． 由题意知，解得， 所以． （2）设的公差为， 则，即． 当时，， 又，得， 所以，也符合该式． 此时． 15．（2025·高二·江西上饶·期中）已知等差数列为递增数列，且满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和，并求最大值、最小值． 【解析】（1）等差数列为递增数列，且满足，故， 即，解得，(不符合递增数列舍去)， 所以该数列的公差， 所以通项公式为． （2）由（1）可得， 又. 当为奇数时， 所以， 同理，当为偶数时， 故， 为奇数时，， 此时， 故的奇数项构成递减数列，故 为偶数时，， 此时， 故的偶数项构成递增数列，故 故的最大值为，最小值为． 16．（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，. (1)求； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 因，可得， 解得， 故； （2）由（1）得，则，则. 因数列的项依次为：，而数列的项依次为：， 将两数列的所有项从小到大排列依次为：，故其通项为. 则， 故数列的前项和为： . 17．（2025·高二·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，， (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 【解析】（1）由题意等差数列中，，，设公差为， 可得，解得， 故. （2）由（1）可得， 故. 因为，所以，得证. 18．（2025·高三·湖南·月考）在数列中，令为其前项和，若，. (1)证明：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）由， 两边同时除以得，，， 因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 则，即， 当时，， 显然满足上式，则， 而， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. （2）由， 则数列的前项和为 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $