6.3 直线方程（教学课件）--北师大版《数学 基础模块下册》《上好课》

6.3 直线方程 第六章 直线与圆的方程 北师大版 基础模块下册 学习目标 1.理解并掌握直线方程的三种表达形式; 2.能根据已知条件选择合适的方程形式求解直线方程，并实现不同方程形式的互化; 3.通过感受直线方程在生活中的实用价值，激发对“几何问题代数化” 的学习兴趣，增强用数学工具解决现实问题的意识。 教学引入 观察下图，思考：在平面直角坐标系内如何才能确定一条直线？ P y x O l n m . y x O l α 我们可以发现： 已知直线上的一点和直线的倾斜角(或斜率)可以确定一条直线；已知两点也可以确定一条直线． 教学引入 也就是说，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率，或给定两个点，，就能唯一确定一条直线，但用不同的条件直接确定的直线的方程形式有所不同， 下面我们来学习直线的方程的几种不同的形式． 教学引入 已知直线的倾斜角为，且经过定点 ，这条直线的位置就被确定了，那么如何用方程来表示直线呢？ y x O . 教学引入 分析:设点为直线上不与重合的任意一点，可以发现：无论点 在直线上怎样移动，直线的倾斜角始终不会发生任何变化，由斜率公式可 得 即，化简得 ． 导入新知 一般地，若直线过点且斜率为，在上任取一个不同于的点，则由斜率公式可得，即 1.直线的点斜式方程 导入新知 由于这个方程是由直线上的一点和直线的斜率这两个要素来确定的，因此我们把 叫作直线的点斜式方程． 其中为直线上的点，为直线的斜率． 导入新知 想一想：在下图中，直线的倾斜角分别为和，这两种类型的直线的方程能用点斜式方程来表示吗？应该如何表示呢？ y x O . y x O . 导入新知 (1)当直线的倾斜角为时，斜率，此时直线与轴平行（或重合），将点的坐标和代入点斜式方程中， 得，即 上式说明，平行于轴（或与轴重合）的直线上的任意一点的纵坐标都等于;当时，直线与轴重合，也就是说，轴的方程为。 导入新知 (1)当直线的倾斜角为时，此时直线与轴垂直，斜率不存在，直线不能用点斜式方程表示。因为直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程为 当时，直线与轴重合，也就是说，轴的方程为。 案例分析 学以致用 教学引入 思考： 若直线的斜率为，与轴的交点是，那么该直线的方程如何表示呢？ 导入新知 我们将点和代入点斜式方程中，得到, 化简可得 像这样的直线方程，叫作直线的斜截式方程. 1.直线的斜截式方程 导入新知 在斜截式方程中，为直线与轴交点的 纵坐标，我们把称为直线在轴上的截距，也可称为直线的纵截距，如图(1)所示. 同理，直线与轴交点的横坐标，我们称 之为直线的横截距，如图(2)所示. 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 教学引入 我们已经学过了直线的点斜式方程、斜截式方程以及和不存在时的直线的方程，这些方程能否统一形式？ 可以发现，无论直线的方程是什么形式的，经过整理后都可以化为二元一次方程的形式. 例如，可化为的形式. 导入新知 我们把方程(,不同时为0)叫作直线的一般式方程. 在平面直角坐标系内任何关于的二元一次方程 (,不同时为0)叫所表示的图像都是一条直线. 1.直线的一般式方程 导入新知 在直线的一般式方程(,不同时为0)中： (1)当时，直线的方程为，该直线与轴平行或重合； (2)当时，直线的方程为，该直线与轴垂直； (3)当时，该直线的方程可转化为，直线的斜率为， 纵截距为. 案例分析 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 请同学们结合本节课所学知识为下列生活场景选择合适的直线方程形式并说明理由，不需要完整求解方程。 ①小区内一条健身步道，经过点A(2,3)，坡度(斜率)为0.2，描述步道的直线方程； ②超市货架的摆放轨道，与y轴交点(截距)为(0,1)，斜率为-0.5，确定轨道的直线方程。 答案： ①选点斜式，理由：已知直线上一点和斜率，符合点斜式适用条件；②选斜截式，理由：已知斜率和轴截距，斜截式可直接代入求解. 课堂小结 直线方程的三种表示形式 点斜式方程： 斜截式方程： 一般式方程： 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】求经过点，倾斜角为的直线的点斜式方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，由题意可得. 化简可得， 这就是所求直线的点斜式方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知直线经过，两点，求直线的点斜式方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，由点斜式方程可得. 故直线的点斜式方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知直线的倾斜角为，纵截距是，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设直线的斜率为，则 ，纵截距， 故所求直线的方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知直线l经过点，且倾斜角为，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设直线的斜率为，则 ，纵截距， 故所求直线的方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】若直线l经过原点和，求直线l的方程 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设直线方程为， 因为直线l经过原点和， 故将点代入得， 解得，所以直线方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知直线的方程为，求直线的纵截距与横截距. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 令，则有； 令，则有，解得； 故直线的纵截距为，横截距为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】将直线的方程转化为一般式方程，并分别求出直线的横截距和纵截距. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 方程经过移项、合并，可得，故直线的一般式方程为. 令，则，故直线的横截距为； 令，则，故直线的纵截距为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知直线l经过点，且直线l的倾斜角为．求直线l的一般式方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知直线l经过点，且直线l的倾斜角为， 则直线斜率为， 所以直线方程为，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】已知直线过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 因为直线过点， 则直线方程为化为一般式方程为， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】倾斜角为且在轴上的截距为的直线方程为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 倾斜角为，所以. 又因为在轴上的截距为，所以直线方程为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】若直线过点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为直线过点，所以直线l的斜率， 则直线的斜截式方程为，即. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】过点和点的直线的点斜式方程为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为直线过点和点，所以直线的斜率， 所以直线的点斜式方程为或， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】已知点，，则过线段的中点且倾斜角为的直线的一般式方程为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 线段AB的中点为，倾斜角为的直线的斜率为，根据直线的点斜式方程得，化为直线的一般式方程. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $