6.2 直线的倾斜角及斜率（教学课件）--北师大版《数学 基础模块下册》《上好课》

6.2 直线的倾斜角及 斜率 第六章 直线与圆的方程 北师大版 基础模块下册 学习目标 1.理解并掌握直线倾斜角的定义及范围; 2.理解并掌握直线斜率的概念及计算公式; 3.通过分析生活场景的倾斜程度，提升从几何直观抽象出代数量化(斜率)的能力，初步形成数形结合的数学思维。 教学引入 南京大胜关长江大桥，主桥主跨648m，全长约14.89km，其中跨江大桥长4.744km，索塔高215m，主桥为双塔双索面钢塔钢箱梁斜拉桥，是中国第一座钢塔斜拉桥，也是世界上第一座弧线形钢塔斜拉桥，采用钢砼塔身设计，下横梁以下部分为砼塔身，以上部分为钢塔身，建造时在中国尚属首创. 教学引入 观察右图，并思考： 相对于桥面而言，斜拉钢索有的平缓而有的却陡直，那该如何刻画钢索的陡缓程度呢？ 观察斜拉桥，可以看出: 图中的斜拉钢索与桥边缘的夹角越小，斜拉钢索越平缓，否则就越陡直.所以，斜拉索的陡缓可以用斜拉索面边缘的夹角来刻画. 教学引入 如图所示: 经过点P的直线l，m，n的倾斜程度互不相同，我们同样也可以用角来描述直线的倾斜程度. P y x O l n m . 导入新知 一般地，在平面直角坐标系中，我们把直线向上的方向与轴正方向所夹的最小正角叫作直线的倾斜角，通常用α来表示,如右图所示。 y x O l α 导入新知 直线的倾斜角有以下4种不同的状态： 导入新知 由图可知，直线的倾斜角有锐角、钝角、直角，我们规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为，因此，直线的倾斜角的取值范围为 导入新知 这样，平面直角坐标系内任意一条直线都有一个确定的倾斜角： 倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等； 倾斜程度不相同的直线，其倾斜角不相等. 因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内任意一条直线的倾斜程度. 案例分析 学以致用 教学引入 思考： 日常生活中，除了倾斜角，还有没有表示倾斜面倾斜程度的量呢？ 教学引入 如图所示，我们经常用“升高量与前进量的比值”表示倾斜面的“坡度”，即 坡度（比）= 前进量 升 高 量 教学引入 想一想： 直线的倾斜角与斜坡坡度(比)都可以用来表示倾斜程度，那么这两者之间有联系吗？ l 前进量 升 高 量 导入新知 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率. 直线的斜率通常用表示，即 案例分析 案例分析 学以致用 学以致用 深入理解 观察下图，根据直线的倾斜角的4种不同状态，不难发现： （1）当倾斜角为锐角时，斜率；当倾斜角为钝角时，斜率； 当倾斜角为时，斜率；当倾斜角为直角时，斜率不存在. 深入理解 （2）与轴不垂直的直线都有斜率，倾斜角不同，斜率也不一样；斜率不存在的直线与轴垂直，倾斜角为. 深入理解 在平面直角坐标系内，给定两点,，且，那么， （1）当为锐角时，. （2）当为钝角时， 导入新知 设点,为直线上的任意两点，则直线的斜率为 案例分析 案例分析 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 请同学们根据展示的生活场景回答答“该场景对应的倾斜角范围”、“斜率的大小”： 场景1：商场自动扶梯（向上倾斜，与地面夹角为30°） 场景2：垂直的电梯井壁（与地面夹角为90°） 答案：场景1：倾斜角30°，斜率（斜率为正）； 场景2：倾斜角90°，斜率不存在（垂直直线无斜率）. 课堂小结 1.直线的倾斜角的取值范围？ 2.直线的斜率如何表示？ 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】已知直线与直线相交形成的锐角为，直线的倾斜角为，求直线的倾斜角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直线与的相交形成的锐角为，分两种情况(如图所示)。 所以直线的倾斜角为 或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】如图，直线与轴正向之间的夹角为，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D．不确定 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由图像可知，直线与轴正向之间的夹角为， 所以直线与轴正向的夹角为， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知直线的斜率，求直线的倾斜角. （1）；（2）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）因为，且，故. （2）因为，所以是钝角，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知直线的倾斜角，求直线的斜率. （1）=；（2）= 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）. （2）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为直线与x轴垂直， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知直线l的斜率，则它的倾斜角（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ∵直线l的倾斜角为，直线l的斜率， ∴，又，∴. 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】求经过两点的直线的斜率和倾斜角。 （1）和； （2）和。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）将点，的坐标代入公式中，可得，即， 又因为，所以倾斜角。 因此，所求直线的斜率是，倾斜角是。 （2）将点，的坐标代入公式中，可得，即， 又因为，所以倾斜角。 因此，所求直线的斜率是，倾斜角是。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】直线过点，，则直线的斜率为（ ） A． B．6 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知直线过点，， 则直线的斜率为， 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】已知直线方程为，则该直线向上的方向与轴正方向的夹角为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直线方程为，则直线的斜率为，设直线的倾斜角为，所以，则，所以该直线向上的方向与轴正方向的夹角为， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】在平直角坐标系中，过点和的直线的斜率为（ ） A． B． C．1 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知点和， 由斜率的坐标公式知. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直线，斜率为，则原直线的倾斜角为，绕着原点逆时针旋转，旋转后倾斜角为，所以新直线的斜率为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】直线的斜率和倾斜角是（ ） A．， B．， C．不存在， D．k不存在， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 直线可化为，垂直于轴， 故其斜率不存在，则倾斜角为． 故选：D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】已知直线过点两点，若直线的倾斜角为，则的值为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又直线过点两点，则， 所以，解得. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $